專題16雙曲線

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

1.鬲考對(duì)雙曲線的考查，重點(diǎn)是

(1)雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)

方程。2023?新高考I卷,16

(2)雙曲線的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱雙曲線的離心率2024?新高考I卷，12

性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)。

(3)直線和雙曲線的位置關(guān)系及綜合

應(yīng)用。

’2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷考查應(yīng)用定義求解雙曲線的離心率，難度較易。n卷是雙曲線與數(shù)列的綜合問(wèn)題,

后續(xù)專題會(huì)解讀。雙曲線是圓雉曲線的重要內(nèi)容，但從總體上看，雙曲線的考試要求要比橢圓和拋物線低,

在雙曲線的試題中，最為重要的是三點(diǎn)是：方程、漸近線、離心率。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查雙曲線

的定義和離心率、漸近線。

試題精講

一、填空題

22

1.(2024新高考I卷-12)設(shè)雙曲線2=1伍＞0/＞0)的左右焦點(diǎn)分別為耳、石，過(guò)耳作平行于＞軸的

ab

直線交C于A,B兩點(diǎn)，若I耳41=13』/切=10,則C的離心率為.

3

【答案】j

【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出|，月|,結(jié)合雙曲線第一定義求出X周，即可得到。,仇。的值，

從而求出離心率.

22

【詳解】由題可知4昆與三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入?一4=1

ab

得y二±以，即一故同=^—=10,1^47^1=—=5,

又卜2a,得H4|=M&|+2a=2a+5=13,解得a=4,代入土=5得/=20,

a

「63

故c~+〃=36,,即c=6,所以e=L,

近年真題精選

一、填空題

1.（2023新高考I卷-16）已知雙曲線C：=-2=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大，片.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B

ab

__________2___

在y軸上，不，耳瓦酩=-§豆豆，則c的離心率為.

【答案】m/jV5

55

【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到|/聞,|陋|,忸耳］，M姆關(guān)于出加的表達(dá)式，

從而利用勾股定理求得。=加，進(jìn)而利用余弦定理得到應(yīng)。的齊次方程，從而得解.

52

方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得/=:0,為=-：/,產(chǎn)=402,將點(diǎn)A代入雙曲線C

得到關(guān)于6,c的齊次方程，從而得解；

【詳解】方法一：

依題意，設(shè)以閶=2加,則忸閶=3加=忸卜,|4月|=2a+2加,

在Rtzk/5片中，9m2+（2a+2m）2=25m2,貝5|（a+3⑼（。一機(jī)）=0,故。=加或〃=一3根（舍去），

所以|/胤=4%|4周=2°,忸￡|=忸匐=3〃，則|/同=5-

AF_4tz_4

故cos/片力用=X

AB5a5

所以在△/“中，“鳥=弋”/整理得5c2=9A

依題意，得月(—c,0),居(c,0),令/(%,%),3(0/),

_______2__.252

因?yàn)?-］瑪5,所以-=則/=§。/()=-［，

又有,而，所以百.踮=1|c,-|,(c,/)=gc2-|?=0,貝！］/=4°2,

2222

又點(diǎn)A在C上，貝！|—9c—9t］，整理得2空5r2-4產(chǎn)%=1,則?與5r-1號(hào)6r=1,

ab

所以25c2〃一16c2/=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),

整理得25c4-50匹2+9/=0,則(5c?=0,解得5c?=9/或5c2=/,

又e>l,所以e=述或e=@(舍去)，故6=述.

555

故答案為：*5.

5

必備知識(shí)速記

一、雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)斗，區(qū)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于零且小于區(qū)用）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩

個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為｛M|〔I"用-|九啊|=2°（0<2°<閨可）｝

注意：（1）若定義式中去掉絕對(duì)值，則曲線僅為雙曲線中的一支.

（2）當(dāng)2a=由用時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以月和月為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)2a=0時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段耳耳的垂直

平分線.

（3）2a>|耳閶時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

①條例耳聞>2?！笔欠癯闪ⅲ虎谝榷ㄐ停ń裹c(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定/的值），注意

的應(yīng)用.

二、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程亍一3=1(Q>0,6>0)會(huì)-1r=1(Q>0,/)>0)

圖形

a

耳(0,-c),

焦點(diǎn)坐標(biāo)￡(-c,0),F2(C,0)F2(0,C)

對(duì)稱性關(guān)于x,y軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

頂點(diǎn)坐標(biāo)4（一。,0）,4（〃,o）4（0,。），4（0,-。）

范圍|x|>a1…

實(shí)軸、虛軸實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b

「冬(e>1)

離心率e=Ea=\

a

令，。2Tx,人「一a

漸近線方程a2b2b

焦點(diǎn)到漸近線的距離為b焦點(diǎn)到漸近線的距離為6

>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)>1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線內(nèi)

點(diǎn)和雙曲線X2J2（含焦點(diǎn)部分）y2x2（含焦點(diǎn)部分）

------------------S—

222

的位置關(guān)系a2b=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上ab=1,點(diǎn)（%,%）在雙曲線上

<1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線外<1,點(diǎn)（X。,%）在雙曲線外

共焦點(diǎn)的雙2222

22

-------~=1(-/<k<b)/-----Y-=1(-〃2<k<b)

曲線方程a2+kb2-ka2+kb2-k

共漸近線的2y222

二X一與=4(4w°)4-總=4(4wO)

雙曲線方程abab

=

切線方程‘哈—碧二L（Xo/o）為切點(diǎn)^T~~7TL(x()/o)為切點(diǎn)

abab

對(duì)于雙曲線上一點(diǎn)所在的切線方程，只需將雙曲線方程中尤2換為，換成便

切線方程…

得.

/X%）歹二1(工0，歹0)為雙曲線外一

ab2~理一等=1,(%,%)為雙曲線外一點(diǎn)

切點(diǎn)弦所在

ab

點(diǎn)

直線方程

點(diǎn)(/Jo)為區(qū)叉曲線與兩漸近線之間的點(diǎn)

1殳直線與雙由1線兩交點(diǎn)為/(4必)，B(x2,y2),kAB=k.

Jl+左2-|%1-X|=+*，|%一%|(左。0)，

用弦長(zhǎng)2

弦長(zhǎng)公式

1+%2)2-4中2=￡,其中是消“y”后關(guān)于“X”的一元二次方程的

1X1--^2=V(X

一同

X2”系數(shù).

2b2

通徑通徑(過(guò)焦點(diǎn);且垂直于耳耳的弦)是同支中的最短弦，其長(zhǎng)為竺

a

雙曲線上一片P(x°Jo)與兩焦點(diǎn)月凡構(gòu)成的"g成為焦點(diǎn)三角形，

設(shè)/耳尸6=6),|「耳|=4，|Pg|=&，貝hos6=l-----,

rir2

(xojo)

聲弋

焦點(diǎn)三角形

2

Sy=".八sin。,2b|c%,焦點(diǎn)在x軸上

sinu—■b—八一<.,.,..，

l-cos<9tang［。/，焦點(diǎn)在丁軸上

I

焦點(diǎn)三角形嚀?一般要用到的關(guān)系是

'附1一附||=2a(2a>2c)

尸片“盟卜in/片尸E

［忸周2=|尸尸

「+附「-2附|附|cos4；即

等軸雙曲線涉^足如下充要條件：雙曲線為等軸雙曲線oa=Z)o離心率e=^o兩漸

等軸雙曲線

近線互相垂堇Lo漸近線方程為>=±xo方程可設(shè)為X2-/=2(2*0).

【雙曲線常用結(jié)論】

1、雙曲線的通徑

過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且與雙曲線實(shí)軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通徑.通徑長(zhǎng)為也.

a

2、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系

對(duì)于雙曲線二-4=1（。>6>0）,點(diǎn)尸（%,%）在雙曲線內(nèi)部，等價(jià)于另一號(hào)>1.

abab

點(diǎn)尸（X。，%）在雙曲線外部，等價(jià)于國(guó)■一色<1結(jié)合線性規(guī)劃的知識(shí)點(diǎn)來(lái)分析.

3、雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)6；頂點(diǎn)到兩條漸近線的距離為常數(shù)也；

C

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)噂；

C

4、雙曲線焦點(diǎn)三角形面積為一J（可以這樣理解，頂點(diǎn)越高，張角越小，分母越小，面積越大）

ta/

2

5、雙曲線的切線

22

點(diǎn)在雙曲線?-斗=1（a>0,6>0）上，過(guò)點(diǎn)M作雙曲線的切線方程為理-理=1.若點(diǎn)

abab

22

在雙曲線二-占=1（a>0,6>0）外，則點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)切點(diǎn)弦方程為笑-寫=1

abab

名校模擬探源

一、單選題

22

I.（2024?甘肅蘭州?三模）已知雙曲線C:」--土=1（加>0）的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的2倍，則C的漸近線

3m+2m

方程為（）

]F）

A.y=±-xB._y=±-xC.y=+2xD.y=±0x

22

【答案】C

【分析】先得到方程，求出加=2,得到雙曲線方程和漸近線方程.

【詳解】由題意得j3%+2=2A/^，解得m=2,

22

C:匕-土=1,故漸近線方程為了=±2》.

82

故選：C

22

2.（2024?浙江紹興?三模）已知耳，耳為曲線C：'+'=1（僅*4）的焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若m=l,則曲線C的離心率e=3

2

B.若"=-l,則曲線C的離心率6=

2

C.若曲線C上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/與尸月=90。，則機(jī)=2

D.若機(jī)＜0,則曲線C上存在四個(gè)不同的點(diǎn)尸，使得/與尸8=90°

【答案】C

【分析】根據(jù)給定的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)加=1時(shí)，曲線C是橢圓，離心率e=3H=1,A正確；

22

對(duì)于B,當(dāng)，"=-1時(shí)，曲線C是雙曲線，離心率6=乂運(yùn)=正，B正確；

22

對(duì)于C,當(dāng)m=8時(shí)，曲線C是橢圓，其短半軸長(zhǎng)6=2,半焦距c=J』=2,

顯然以線段丹外為直徑的圓恰過(guò)這個(gè)橢圓短軸端點(diǎn)，即符合條件的加可以是8,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)加＜0時(shí)，則曲線是焦點(diǎn)在x上的雙曲線，貝力大￡|＞4,

以線段與匕為直徑的圓與雙曲線有4個(gè)交點(diǎn)，即符合條件的點(diǎn)尸有4個(gè)，D正確.

故選：C

22

3.（2024?安徽?三模）過(guò)雙曲線C:與-]=1（。＞6＞0）的下頂點(diǎn)尸作某一條漸近線的垂線，分別與兩條漸

ab

近線相交于兩點(diǎn)，若標(biāo)=2可7,則C的離心率為（）

A.—B.V3C.273D.3

3

【答案】A

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線FAT于AT,借助雙曲線的對(duì)稱性計(jì)算可得即可得離心率.

b

【詳解】過(guò)點(diǎn)尸作另一條漸近線的垂線尸于由對(duì)稱性可得忸=

由標(biāo)=2而7，則有|收卜2,”|,貝！=

故4N0M=',故2N0F=',=tan---=tan—=73,

故選：A.

22

4.(2024?全國(guó)?三模)己知雙曲線C：］一2=1.>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,F2,且離心率為

e=也，過(guò)點(diǎn)月的直線/與C的一條漸近線垂直相交于點(diǎn)。，貝iJtanNDGB=()

A.1B.|C.2D.3

【答案】A

【分析】設(shè)焦點(diǎn)工匕0),根據(jù)題意求點(diǎn)。的坐標(biāo)和的值，進(jìn)而畫出圖象即可解決.

a

【詳解】不妨設(shè)焦點(diǎn)g(c,o),其中一條漸近線為y=2x,則直線1的方程為y=-?(x-c),

ab

過(guò)點(diǎn)。作X軸的垂線，垂足為77,如下圖:

22

5.(2024?四川成都?三模)已知雙曲線1-看=1(。>0,8>0)的左焦點(diǎn)為耳，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M

ab

為雙曲線漸近線上一點(diǎn)且滿足|兒名|=過(guò)耳作X軸的垂線交漸近線于點(diǎn)N,已知囚明|=乎|巧|,則

其離心率為（）

A.2B.y/3C.與D.V5

【答案】D

【分析】設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式列方程求解即可.

故設(shè)點(diǎn)以一|",必卜（-"2）,

不妨設(shè)MN均在尸紇上，貝u必=一生,%=一",

a2aa

?.?|町=卓附，F(xiàn)（~c,O）,

b、.「

「?一=2,故離心率為e=—=

aa

故選：D.

6.（2024?山西陽(yáng)泉三模）已知雙曲線C:\-2=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，雙曲線的右支上

ab

TT

有一點(diǎn)4/月與雙曲線的左支交于點(diǎn)8,線段/鳥的中點(diǎn)為且滿足月，若/耳/鳥=1,則雙曲

線C的離心率為（）

A.2B.V6C.V?D.V13

【答案】C

【分析】根據(jù)條件得匕是等邊三角形，設(shè)的邊長(zhǎng)為加，結(jié)合雙曲線定義得

用=6a,|Z閭=4°,在△必巴中，由余弦定理求得離心率.

【詳解】

因?yàn)椤笆蔷€段Ng的中點(diǎn)，且所以|/同=忸用，

又/8=],所以4/8鳥是等邊三角形，

設(shè)△N8B的邊長(zhǎng)為加，由雙曲線的定義知，|/蜀-|/閶=2°,忸聞-忸周=2°,

所以以用=加+2名忸周=加一2〃,

又|/胤一忸周二=/，所以加+2”(加一2a)=m,即加=4q,

所以|4周=6〃,|/閭=4Q,

在△四心中，由余弦定理知，僧用「=|/「+健月『-21ali/刃cosg,

所以(2c)2=36a2+16/-2X6aX4。*g=28/

即c=ga,所以離心率e=￡=V7.

a

故選：C

22

7.(2024?寧夏銀川?三模)已知雙曲線氏5-%=1(°>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，耳，過(guò)點(diǎn)鳥的

直線與雙曲線E的右支交于/,8兩點(diǎn)，若|/卻=|";|,且雙曲線E的離心率為亞，貝IjCOS/B4F；=()

3s'311

A."B.——C.-D.——

8488

【答案】D

【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得忸用=2。，從而再得忸用=4°,由余弦定理求得cos/87笆，

由誘導(dǎo)公式得cos4巴耳，設(shè)|4用=〃7,貝!]|/胤=加+2。，再由余弦定理求得加，從而利用余弦定理求解即

可.

【詳解】因?yàn)殡p曲線E的離心率為亞，所以c=缶，因?yàn)閨/可=|/片

所以忸閶=|48|-|4閶=|/周一|4閶=2°,

由雙曲線的定義可得忸周-忸閭=忸匐-2a=2a,

所以忸周=4a=2忸周，

在△8片乙中,

忸與「+山周2-忸片『_4a2+8/16a2V2

由余弦定理得cos片=

2忸聞M聞2x2。x2>j2a4

在△/百工中，cosZFXF2A=-cosZFXF2B=

設(shè)|/閭=加，^\AF\=m+2a,

由|/司2=|片與「+.與「一2|片段|4^cos/甲〉得

乎，解得機(jī)=+，所以|明吟

(2a+m)2=(2A/2(7)2+m2-2X2?a.m?

64/64a21,2

----+------16。1

99_1

所以cosNBN片==

2|/卜|明,SaSa8

2x——x——

33

8.（2024?湖南永州?三模）已知耳，耳分別是雙曲線=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，過(guò)百的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，CB=3F/,BF2平%NF\BC,

其中一條漸近線與線段交于點(diǎn)P，貝Ijsin/POE=（）

nV42「V43D.加

A.叵

7777

【答案】B

【分析】由赤=3項(xiàng)可得△耳/巴?△耳8C,結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的定義可得

\BF^\AF^=\AB\=Aa,從而可得乙—月=60。，在記8工中，由余弦定理可得,=不“，進(jìn)而可得

,而tanNPO￡=2,從而可求解.

c7a

【詳解】

如圖?.?C5=364，:ARALBC,|片瑪|=2C,\CF2\=4c9

設(shè)M耳上/廁I幽1=3力14S|=2t,

??此平分、少5，第15cl=I曷KCI=c2,

.-.|5C|=2|BFt|=6t,\AF^=^BC\=2t,

由雙曲線定義可知IAF2\-\/用=/=2a,忸周-忸閶=2",

:.\BF^=\AF^\=\AB\=Aa,即44典=60°,

在△耳典中，由余弦定理知

“好|空『+怩引2-1片片F(xiàn)(64+(旬2_(24

cosZFBF.=j-----r——n---；------=-------------..-

2\FXB[\F2B\2.6Q.4Q

化簡(jiǎn)得c=V7a,由/+/=,2得2=盧，

C7

不妨令一條漸近線與線段48的交點(diǎn)P在第一象限，貝!ItanN尸Og=2，.-POF,="^.

ac7

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是由赤=3不可得右片/月?A￡8C,結(jié)合角平分線的性質(zhì)和雙曲線的

定義可得忸甩=M閶=|43|=4。，從而可得N/88=60。.

9.（2024?天津河西?三模）已知￡,8是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且

7T

/片尸工=§,若橢圓的離心率為q,雙曲線的離心率為e?,則e；+e；的最小值為（）

A.3+V3B.C.D.4

22

【答案】C

2222

【分析】設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：=+今=1，=-a=1，易得a\b；=a；+b；=/,設(shè)

axa2b2

\PF\=m]PF^=n,利用橢圓和雙曲線的定義得到加=%-出，"=%+電，然后在△期月中，利用余弦定理

13

得到&+言=4,然后利用基本不等式求解.

【詳解】解：如圖所示:

2222

設(shè)橢圓和雙曲線的方程分別為：—+77=1,-=

axb{a2b2

由題意得—b；=a；+b；=c1,

設(shè)p片卜私=貝（J加+〃=2〃i，〃一加二2出，

解得加=q-%,〃=%+%,

在△尸片名中，由余弦定理得：區(qū)對(duì)=|尸￡「+「國(guó)2_2|尸司尸B「cos4%,

即（2c）2=（q-2）2+（%+電）2_（%_〃2）（Q]+電），化簡(jiǎn)得=Q：+3"；,

,13,

貝廣+二=4,

eie2

所以》=*+或）:+卦。+:+41

>11<2層?至+/-2+g

-43；e；+4J-2，

當(dāng)且僅當(dāng)冬=苓，即/=&；時(shí)，等號(hào)成立；

e\e2

故選：C

22

10.（2024?浙江杭州?三模）己知雙曲線3-與=l（a,6>0）上存在關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的兩點(diǎn)N,B,以及雙

ab

曲線上的另一點(diǎn)C,使得。8c為正三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（）

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)/（》/）,則可取C卜回,瓜），代入雙曲線方程整理可得<="上與，結(jié)合漸近線列式求

JCCLI3D

解即可.

【詳解】由題意可知：雙曲線的漸近線方程為/=±2尤，

a

設(shè)點(diǎn)/（》/）,則可取。卜島,底）,

二上=i

則一；/2,整理得一=3『+￡＜》,

3y3x2x2a2+3b2a2

[―■—=1

解得〃＞/,即可得＜＞2,貝!]e=￡￡＞后,

aa\a

所以該雙曲線離心率的取值范圍是（后,.

故選:A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.巧妙設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)/（X/）,根據(jù)垂直和長(zhǎng)度關(guān)系可取。卜后,氐卜

2.根據(jù)漸近線的幾何意義可得：

xa

二、多選題

22

11.（2024?河北邯鄲?三模）已知雙曲線C:」----匚=1,則（）

2+63-2

A.2的取值范圍是（-6,3）B.C的焦點(diǎn)可在x軸上也可在y軸上

C.C的焦距為6D.C的離心率e的取值范圍為（1,3）

【答案】AC

【分析】根據(jù)雙曲線方程的特征，易于求得-6<2<3,判斷方程中分母的符號(hào)即可判斷A,B項(xiàng)，計(jì)算易得

C項(xiàng)，先算出離心率的表達(dá)式，再根據(jù)4的范圍，即可確定e的范圍.

22

【詳解】對(duì)于A,-----匚=1表示雙曲線，，（幾+6）（3-㈤>0,解得-6<4<3,故A正確；

4+63-A

對(duì)于B,由A項(xiàng)可得-6<4<3,故4+6>0,3-4>0,「.C的焦點(diǎn)只能在x軸上，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)。的半焦距為貝!|。2=九+6+3-4=9,，c=3,即焦距為2c=6,故C正確；

3I______________________

對(duì)于D,離心率e=/,*/-6<2<3,0<〃+6<3,的取值范圍是。,+8）,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

22

12.（2024?河北保定?三模）已知雙曲線C：1T一方=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過(guò)點(diǎn)耳

的直線與C的左支相交于尸，。兩點(diǎn)，若尸。，尸乙，且4|尸0|=3|尸閭，則（）

A.\PQ\=2aB.PFl=-2QFl

C.C的離心率為近D.直線尸。的斜率為±4

3

【答案】ACD

【分析】設(shè)|尸耳|=x,|。胤=了，結(jié)合雙曲線的定義與勾股定理可以求得的值，即可判斷出A,B選項(xiàng);

再結(jié)合勾股定理可以求得見(jiàn)。的關(guān)系，再求出離心率；求直線的斜率，在直角三角形中，用斜率的定義求正

切值可以求得直線的斜率.

【詳解】如圖，由4|PQ|=3|尸閭，可設(shè)|尸1=3加，|尸閶=4憶

因?yàn)槭?，小，所以|鑿|=5加.

設(shè)盧耳|=x,口耳|=',貝！］4〃Lx=2a,5m-y=2a,x+y=3m,解得加=三，

貝!|X=H，7=—，

所以戶0|=2a,故A選項(xiàng)正確；西=2用，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

在△理外中，由附「+忸聞2=閨可，得,+竽=皚，則/=?，

從而C的離心率為姮，故C選項(xiàng)正確.

3

又tanN班;工=%=4,所以直線P。的斜率為±4,故D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

13.（2024?貴州貴陽(yáng)?三模）雙曲線u￡-4=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)用外，斜率為正的漸近

ab

線為4,過(guò)點(diǎn)互作直線4的垂線，垂足為點(diǎn)A,交雙曲線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)M是雙曲線c上任意一點(diǎn)，若

24

|*="組總曄="則（）

A.雙曲線C的離心率為追

B-雙曲線C的共軌雙曲線方程為「一土1

C.當(dāng)點(diǎn)〃?位于雙曲線C右支時(shí),

4

D.點(diǎn)M到兩漸近線的距離之積為《

【答案】ACD

【分析】利用三角形面積公式得。6=2,再利用余弦定理得6=2%則解出雙曲線方程，再利用離心率定義

和共朝雙曲線方程的含義即可判斷AB；對(duì)C,計(jì)算得總=1+的，再根據(jù)|〃工合石-1的范圍即可判

斷；對(duì)D,〃(%,%),利用點(diǎn)到直線的距離公式并結(jié)合點(diǎn)雙曲線上化簡(jiǎn)即可.

【詳解】如圖，因?yàn)镠"|=6,所以忸閭=守,

則又空2=32.—=：,所以仍=2,又忸周=@+2”，

內(nèi)片「+|%|2-尸解b

在△尸尸2月中，cos/wy；=

2|瑪可附7

2

化簡(jiǎn)得6=2a,所以。=1,6=2,c=石，雙曲線C方程為X?-L=i,

4

對(duì)于A,雙曲線C的離心率為￡=VLA正確；

a

對(duì)于B,雙曲線C的共軌雙曲線方程為己-無(wú)2=1,B錯(cuò)誤;

4

\MF.\\MF,\+22,,r-

對(duì)于C,-?=1+]——r,因?yàn)镸F,2石-1,

JJ21

\MF2\\MF2\\MF2\

對(duì)于D,漸近線方程為y=±2x,設(shè)

..41+--v2

點(diǎn)M到兩漸近線的距離之積為卜2無(wú)。一%|=四一用=（4廠。=3,D正確，

75忑—-—5—-5—5

故選：ACD.

2222

14.（2024?山西呂梁?三模）已知橢圓斗+與=1（。1＞伉＞0）的離心率為q,雙曲線■-a=1（出＞0也＞0）

axb[a2b2

的離心率為4,兩曲線有公共焦點(diǎn)片，工,夕是橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，ZFXPF2=60°,以下結(jié)論正確的

是（）

A.a：_婚=b：一22

131

B.7方+:方=1

4e；4e；

C.早=3岑

25V3

D.若02?[6,2],則qe

13'H

【答案】BCD

【分析】根據(jù)焦距相等可判斷A；根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合余弦定理整理可判斷B；根據(jù)B中

4/=a；+3而變形可判斷C；由B中結(jié)論，結(jié)合的范圍可判斷D.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)耳（《⑼,據(jù)（。,0）,

_T2=2

對(duì)于A中，因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，可得；*-2,所以〃；-斤=〃；+片，

的+W=C

即吊-第=廳+公，所以A錯(cuò)誤；

pp_pp-2a

對(duì)于B中，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義，可得p二"。之，

PFX+PF2=24

所以|尸周=ax+a2,\PF2\=a1-a2,

又由余弦定理得閨入「=|尸用2+「閭2_2戶片卜歸閭cos60。,

可'4c2=2Q；+2Q；-（Q；-電）=a；+,

所以/萬(wàn)+]＞+，所以B正確；

4e；4e；4c4c4c

對(duì)于C中，由吊―，=3°2—3城，可得計(jì)=3眩,所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)?￡卜/^,2],所以,

e2L43_

[3]「"13-9/T-3伺

由”+==1可得不￡3,-,所以,所以D正確.

4,4/q4」133

故選：BCD.

22

15.（2024?重慶?三模）已知雙曲線C:\-匕=l（a>0）的左，右焦點(diǎn)分別為片,4,尸為雙曲線C上點(diǎn)，且

a16

△期月的內(nèi)切圓圓心為/（3,1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

B.直線的的斜率"

A.a=3

C.AP/M；的周長(zhǎng)為§D.鳥的外接圓半徑為§

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)三角形與其內(nèi)切圓性質(zhì)結(jié)合雙曲線定義即可求解；根據(jù)已知條件片工、F/、"以

及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出/尸44=2/44、NPF2A=2gA和NF』K，進(jìn)而可依次求出直線PF1

的斜率、結(jié)合焦三角形面積公式邑=（咫+%+么巴”得APF\E的周長(zhǎng)、結(jié)合正弦定理得△尸片外的外

△門廠122

接圓半徑.

【詳解】如圖1,由條件，點(diǎn)P應(yīng)在雙曲線C的右支上，

設(shè)圓/分別與△尸片片的三邊切于點(diǎn)M、N、A,則由題/（3,o）,

且忸M=|PM，陽(yáng)MT耳H，閃W=|%4|,

又引尸耳|-|尸閭=|耳閭一I取V|=M周一向）=（肛+C）-（CTQ=2XL2a

由選項(xiàng)A得片（/―5,0）、,鳥（/5,0）、,連接與、/、IA,貝！Jtan/邛/=舄"=$1,

~7/cl/c八lA2tan/邛/16，一支

所以電=tan/呻=tan2/3/=匚荷芝麗=dB選項(xiàng)錯(cuò)誤;

4

同理，tan/"Z=tan24=§,

「.tan/片”=-tm(ZPF{A+ZPF2A)=-y,

NF\PF23

「.=>tan!——-=—,

22

s_b2_32

所以由焦三角面積公式得以"尸2一NF\PF「F,

tan[——-

2

又S—=(%”'+3"，故得冏|+|叫+叱|=墨

，△尸耳片的周長(zhǎng)為6莖4，C選項(xiàng)正確；

1212

由tan一片P耳=一二二sin^FlPF2=—,

由正弦定理.=2R得R=2,D選項(xiàng)正確.

smZFiPF212

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求直線PF1的斜率、△打；￡的周長(zhǎng)、△期月的外接圓半徑的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件

耳4、84、"以及與各個(gè)所需量的關(guān)系即可求出/尸片/=2乙//、NPF2A=2〃BA和NFfK.

三、填空題

16.（2024?湖北荊州三模）已知雙曲線C:=-W=i5>o）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,1）,則C的漸近線方程為,

a

【答案】y=±^~x