第08講：第一章集合與常用邏輯用語、不等式、復數

章節(jié)總結

第一部分：典型例題講解

題型一：集合的表示

1.（2023上?遼寧?高一校聯(lián)考期中）已知集合時={相-2,加之+4祖,9},且-3是/中的一個

元素，則加=（）

A.-3B.-1或3C.3D.-3或-1

【答案】A

【分析】根據元素與集合的關系可得出關于實數機的等式，利用集合元素滿足互異性可得

出實數加的值.

【詳解】集合M=卜”-2,病+4w,9},且-3eM.

①當機-2=-3時，m=-l,此時，m2+4m=-3,集合A中的元素不滿足互異性，故不符

合題意，舍去；

②當加+47n=-3時，7〃=-1（舍）或-3.

若〃2=-3,則〃2-2=-5,此時集合A={-5,-3,9},符合題意，

綜上所述，機=-3.

故選：A.

2.（多選）（2024下?浙江,高三校聯(lián)考開學考試）已知集合4=卜€(wěn)同/+1=0},3={0},

則（）

A.A=0B.A=3C.A&BD.AcB

【答案】ACD

【分析】根據條件得到A=0，從而得到選項A正確，再由元素與集合，集合與集合間的關

系，對B,C和D逐一分析判斷，即可得出結果.

【詳解】易知方程1+1=0無解，所以A=0,所以選項A正確，

因為3={0},所以選項B錯誤，

因為集合8是以。為元素的集合，由元素與集合間的關系，知選項C正確，

又空集是任何集合的子集，所以選項D正確，

故選：ACD.

3.（2024上?全國?高一專題練習）已知集合A={。-2,"+4a,l。},且-3eA,則。=.

【答案】-3

【分析】根據題意，列出方程，求得。的值，結合集合元素的互異性，即可求解.

【詳解】因為一3eA,所以4—2=—3或°2+4a=—3,解得〃=一1或。=一3,

當。=一1時，a—2=3,/+船=_3,集合A不滿足元素的互異性，所以”=—1舍去；

當。=-3時，經檢驗，符合題意，所以。=-3.

故答案為：-3.

4.（2023下?遼寧阜新?高二校考期末）集合A=[xeN|feNj用列舉法表示為.

【答案】{1,3,4}

【分析】依題意逐個驗證即可.

【詳解】x=0時上任N,x=l時工=4eN,x=2時上eN,x=3時

5-05-15-25-3

x=4時-1，=16eN,x25時5-xVO,不合題意，

5-4

故滿足題意的有{1,3,4},

故答案為：{1,3,4）.

5.（2023上?廣東?高一校聯(lián)考期中）已知集合則M的子集個數

為.

【答案】4

【分析】利用描述法及子集的概念計算即可.

【詳解】易知M=[xeN*Eez1={l,2},有2個元素，

所以加的子集個數為22=4.

故答案為：4

題型二：集合的基本關系

1.（2024上?河南洛陽?高一統(tǒng)考期末）已知集合

「Ji?八1八7

1sin（7\cos6（、

=\y\y=-^7+1——后>,N={a,b,lga},若M=N,則次;=（）

21sin，Icos^lJJ

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】B

【分析】先求出集合“，然后結合集合相等的條件即可求解.

【詳解】由題意得+keZ,

1sin0\cos0

當sin6>0,cos6>。時，y=-+=1,

21sH1，］|cos6^|J

.八、.1(|sin0\cos0

當sin8<0,cos，>0或sin8>0,cos8<0時，y=-------+；----1=0,

2(sin。|cos電

11Isin0\cos0\,、

當sin0<0,c°s0<(W,片］［焉+砌］=7則八{1,。,-1}，

若M=N,且a>0,貝Ua=l,N={l,Z?,0},

所以〃=-l,ab=-1.

故選：B.

2.（2024上?安徽合肥?高三合肥一中校考期末）已知集合人={1,2,3},B=a<x<a2

若A=則實數。的取值范圍是（）

A.（-co,-V3]B.卜8,一百）

C.^—^3,1）D.^—oo,一6）川石,+°0）

【答案】B

【分析】根據At8,建立條件關系即可求實數。的取值范圍.

【詳解】因為A={1,2,3},8={電（尤<1},

若A=3,貝I]8={尤,（無<￡?}W0,

fa<l廣

則20，所以。<-6.

[a>3

故選：B.

3.（2024下?重慶?高三重慶一中校考開學考試）已知集合4=卜：<1，，/

={x|x2-2x>0j-

則（）

A.AcBB.A3BC.A=BD.A|JB=R

【答案】B

【分析】通過解不等式求得集合A3,進而判斷出正確答案.

【詳解】2?1,2_1=七±o=]（2-：）x"。，解得x<0或X22,

XXxxwO

所以A={x|x<0或1N2}.

X2-2X=A:(X-2)>0,解得％vO或%>2,

所以5={x|x<0或x>2}.

所以A35,B選項正確，其它選項錯誤.

故選：B

4.（2024上?江蘇無錫?高一江蘇省天一中學校考期末）已知集合4={小區(qū)2},3={a,0},

且則實數。的取值范圍是（）

A.[-2,2]B.[-2,0）u（0,2]C.（-2,2）D.（-2,0）u（0,2）

【答案】B

【分析】根據集合8是集合A的子集，結合集合8中元素的互異性求解即可.

【詳解】集合&={小區(qū)2}=卜卜24彳42},3={a,0},

由于BuA,則實數。的取值范圍是[―2,0）u（0,2].

故選：B.

5.（2024上?吉林延邊?高一統(tǒng)考期末）已知全集。=區(qū)，集合

（1）求圖中陰影部分表示的集合C；

（2）若非空集合。={xl4-a<x<a},且。=（Au5）,求實數。的取值范圍.

【答案】（1）。={疝52}

（2）{a|2<a<3}

【分析】（1）由韋恩圖分析得。=Ac（23）,再化簡集合A,從而利用集合的交并補運算

即可得解；

（2）先求得利用集合的包含關系得到關于。的不等式組，解之即可得解.

【詳解】（1）根據題意，分析可得。=4門（屯8）,

而A={x|-Y+4尤-320}=1x|l<x<3},B={x|2<x<4],

則eg={x|xW2或xN4},

所以C=Ac&3）={知<x<2}；

（2）因為4={%|1<%<3},3={*|2<%<4},貝I]AuB={x|lWx<4},

若非空集合。={N4-a<x<a},且O=（Au3）,

4-a<a

則有<4-a>l,解得2<aW3,

a<4

所以實數a的取值范圍是{司2<a43}.

題型三：集合的基本運算

1.(2024?陜西?校聯(lián)考一模)已知函數/(x)=J?p的定義域為A,函數

g(x)=log2x,xeJ.4的值域為8,則AcB()

A.(0,2)B.(0,2]C.(一s,4]D.(-1,4]

【答案】B

【分析】求出函數/(x)的定義域可得集合A,求出函數8(元)的值域可得集合2,再求AC3

可得答案.

【詳解】f(x)=J—,則4N0,r.x(無一4)V0且xwO,

Y尤尤

可得4={尤|0<;(^4}，8(尤)的值域8={川一14尤42},，41B={x|0<x<2}.

故選：B.

2.(2024下,江西?高三校聯(lián)考開學考試)設集合M={2,-2,-1},M=卜人-4<1},若"cN

的真子集的個數是1,則正實數。的取值范圍為.

【答案】{前<"3}

【分析】解出集合N,分析可知，集合McN的元素個數為1,確定集合McN,可得出

關于實數。的不等式，解之即可.

【詳解】由|無一a|<1可得一l<x-a<l,解得a-l<x<a+l,

因為a>0,則且。+1>1,

因為McN的真子集的個數為1,設McN的元素個數為"，則2"-1=1，解得〃=1，

因為“={2,-2,-1},則為cN={2},所以，a-l<2<a+l,解得l<a<3,

因此，實數。的取值范圍是{如<"3}.

故答案為：{a|l<a<3}.

3.(2024上?河北石家莊?高一石家莊市第二十四中學校考期末)已知集合

A=1x|2<x<6},B=1x|3x-7>8-.

(1)求AuB；

(2)^C={xla-4<x<a+4},且4口。=人，求。的取值范圍.

【答案】⑴Au3={尤|xN2}

⑵[2,6)

【分析】(1)先求得集合B,然后由并集定義計算AuB；

(2)由AcC=A,可得A=C,列出相應不等式組，從而可求解.

【詳解】(1)由題意知：3x-7>8-2%,解得x\3,所以8={小23},

所以=.

〃+4>〃-4

(2)由題意AcC=A,得AqC,所以<〃+426,解得2W〃v6.

a—4<2

故。的取值范圍為[2,6).

4.(2024上?江西南昌?高一校聯(lián)考期末)在①&口3=臺；②"x?A"是"xe3”的必要條

件；③BI、A=0這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答.

間題：已知集合A={xeRI(x-l)(x+2)>0),B={xeR|y=Jx+a,yeR}.

(1)當a=l時，求AcaB；

(2)若,求實數。的取值范圍.

【答案】⑴{x|x<-2}

(2)(T?,-L)

【分析】(1)根據題意，求得A={無|x<-2或x>l},B={x\x>-1},結合集合的運算，

即可求解；

(2)由A={x|尤<一2或x>l}和B={x|xN-"},若選擇①②，轉化為BgA,列出不等式，

即可求得。的取值范圍；若選擇③：得到"A={x|-2Wx〈l},結合集合的運算，列出不等

式，即可求解.

【詳解】(1)解：由不等式(x—l)(x+2)>0,解得了<—2或x>l,可得A={無|無<-2或x>l},

當a=l時，可得2={xeR|y=Jx+1,yeR}={x|x>-1),

則48={x[x<-l},所以4C148={乂x<-2}.

(2)解：由集合A={x[x<-2或x>l}和8={x|x?-a},

若選擇①：由4口3=3，即BgA,可得一a>l,解得a<—l,

所以實數。的取值范圍為(f,T);

若選擇②：由"xeA"是"xeB"的必要條件，可得可得-a>l,解得a<T,

所以實數a的取值范圍為;

若選擇③：由4={劃尤<-2或x>l},可得率A={x|-2WxWl},

要使得2I<A=0,則F>1,解得a<-l,所以實數。的取值范圍為(9,-1).

5.(2023下?河南?高一校聯(lián)考階段練習)已知集合A={x|aVx《a+4},B={x12'-3<4}.

(1)若。=2,求("B)cA；

(2)若("A)U3=R,求實數。的取值范圍.

【答案】(1){X|5<XV6}

⑵口』

【分析】⑴求出集合48后可求&3)cA；

(2)先求出再根據&A)uB=R可得。的不等式，故可求其取值范圍.

【詳解】(1)由2={&|24344}得，B={x|xW5},

當a=2時，A^{x\2<x<6},

\8={x|x〉5},所以&3)cA={尤［5<尤46}.

(2)因為<A={%|%<〃或%>。+4},

又瓜A)u3=R,

所以a+4V5,所以實數。的取值范圍是(―』

2a—x

6.(2024上?湖南衡陽?高一統(tǒng)考期末)已知集合4=卜|￡-8彳+15<0},函數>=3言］可

定義域為集合艮

(1)若4eB,求實數a的取值范圍.

⑵若Ac3=0,求實數a的取值范圍.

【答案】(1)a<-耳或指<a<2

(2)-72Wa<加且awl或々弓

2a—4

【分析】(1)由可得—°，解不等式可得所求范圍；

2a—x

(2)由V可得3=卜|24<方</+1},根據AcB=0轉化為關于實數0的不等

X—\CLilli)

式，解不等式可得所求范圍.

2〃-4_2〃一2八

【詳解】⑴由題可得，zzpnf。得a一<0,即記即可°，

所以a<-A/3或也<a<2.

2a-xx-2a

(2)A={x\3<x<5}；對函數(〃2工1\,丫(“2―八由于2aK“2+i,

、7A—ILZ+11A—Ia+11

2a—x

當2a=〃2+i時，即々=1,/2,八二-1，函數無意義，所以awl,得3=卜|2々<%<〃2+1

X~\Cl+1II

由Ac5=0,知儲+1<3或2，25,得一夜WQ〈返且awl或。之：.

題型四：充分條件與必要條件

1.（2024上?全國?高三校聯(lián)考競賽）設a,beR,集合A={a,〃+1},3=也萬+”.貝=

是"a=Z?"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用集合相等的定義得到關于6的方程組，推得充分性成立；再簡單證得必要性

也成立即可得解.

【詳解】因為4={。,"+1},8={6,k+1},

a=ba=b2+1

當4=3時，則有/+1=6+廠或

a1+l=b

a=b

若入]一+],顯然解得aS

2

若則,2+1)+1=萬，整理得92_6+l)W+6+2)=0,

因為62-匕+1=（匕_工）+->o,b1+b+2=[b+]-\+->0,

I2；4I2）4

所以僅2-〃+1）,2+匕+2）=0無解；

綜上，a=b,即充分性成立；

當a=6時，顯然A=3,即必要性成立；

所以"4=3"是"a=6"的充分必要條件.

故選：C.

2.（2022上?北京?高一校考階段練習）"a>2"是"">4"的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】/>4解得a>2或。<-2,根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.

【詳解】/>4解得a>2或一2,

所以"4>2"0"片>4","4>4%"a>2",

所以"a>2"是"">4"的充分不必要條件.

故選：B.

3.（2024上?天津?高三校聯(lián)考期末）已知x,yeR,則"x>0"是"兇+”|>0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】由尤>0,得1制>0,必有Ix|+lyl>o,

而當|x|+|y|>0時，x可以是負數，如|-1|+及|>0成立,卻有T<0,

所以"尤>0"是"|x|+|y|>0"的充分不必要條件.

故選：A.

4.（2024上?北京密云?高一統(tǒng)考期末）已知b,ceR,則“。>6"的一個充分而不必要

條件是（）

A.a2>b2B.2a>2b

C.sina>sinZ?D.ac2>be1

【答案】D

【分析】根據函數單調性結合充分、必要條件逐項分析判斷.

【詳解】當。=-1,6=0時，滿足/>。2,但”>b不成立，不滿足充分性，A選項錯誤；

由指數函數單調性可知，若2。>2"，貝反之，若a>b,則2。>2"，

所以2。>2〃是的充要條件，B選項錯誤；

TT57r

當a==L時，滿足sina>sinZ?,但不成立，不滿足充分性，C選項錯誤；

若比2>〃o2,則有反之，1>人不能得至!!a2>兒2,比如當C=0時，〃，>兒2不成立，

所以at?>歷2是［>匕的充分不必要條件，D選項正確.

故選：D

5.（2024上?江蘇南京?高一統(tǒng)考期末）設全集U=R,已知集合

A=1x|x2—5x+4<0^,B=1x|m<x<m+l1.

⑴若AcB=0,求實數加的取值范圍；

⑵若〃是〃xeA〃的充分條件，求實數冽的取值范圍.

【答案】（1）{4加V。或加>4}

（2）{m|l<m<3}.

【分析】（1）求出集合4由集合運算列式可得結果，

（2）由充分條件得3=A,根據子集關系列式可得結果.

【詳解】（1）由X2-5X+4V0，解得1WX44,所以A=｛疝<X<4｝.

因為Ac3=0,且5w0,所以m+lvl或加〉4,解得機<0或機>4,

所以實數加的取值范圍是｛4加<。或根>4｝.

（2）因為〃xe5〃是"xeA〃的充分條件，所以B=

fm+1<4

所以《，解得14屋3,

[m>l

所以實數加的取值范圍是｛疝4加43｝.

題型五：“的”字結構與“是”字結構對比

1.（2023?湖南岳陽?校聯(lián)考模擬預測）"x>3"是"3（X-1）N2X+1”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解一元一次不等式結合必要不充分條件的定義即可得解.

【詳解】由題意3（X—1）N2X+1OXN4,

所以"x>3"是"3（x-l"2x+l”的必要不充分條件.

故選：A.

2.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）已知xeR,則“x>l"是"logjx-l）<1"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】先求出不等式1。825-1）<1的解集，再根據兩個范圍的包含關系即可判斷.

【詳解】由1鳴。-1）<1可得0<%-1<2,解得：1<X<3,

因｛x[l<x<3｝是印尤>1｝的真子集,故"%>1"是"女2（》-1）<1"的必要不充分條件.

故選：B.

3.（2024上?福建南平?高一統(tǒng)考期末）不等式工>1成立的一個充分不必要條件是（）

X

F11八1

A.x<1B.x<—C.x>—D.0<x<一

332

【答案】D

【分析】先分析不等式工〉1成立的一個充分不必要條件的性質，再解不等式工>1即可得解.

XX

【詳解】要成為不等式工>1成立的一個充分不必要條件，

X

則該條件所對應的集合為不等式工>1的解集的真子集,

X

解:>1,得故不等式:>1的解集為{乂0<》<1},

逐一分析各選項，可知只有D選項對應的集合滿足題意，故D正確.

故選：D.

4.（2024上?陜西咸陽?高一統(tǒng)考期末）“不等式〃吠2+%+4能>0在R上恒成立"的一個必要

不充分條件是（）

1c11八1

A.m>—B.0<m<—C.m>—D.0<m<-

4488

【答案】C

【分析】先求出不等式如2+%+4機>o恒成立的充要條件，然后逐項判斷即可.

【詳解】因為“不等式加2+%+4相〉0在R上恒成立〃，

顯然機=0不滿足題意，

fm>01

所以A一二2八，解得相

[A=l-16m<04

則“不等式nz/+%+4機>0在R上恒成立”等價于m>^~,

4

故要找的必要不充分條件需要被根推出.

對于A,根是充要條件，故A錯誤；

對于B,因為根推不出。<機<],故B錯誤;

44

對于C,因為m>；=>%>:，反之不能推出，故C正確；

48

對于D,因為機推不出0<〃7<1，故D錯誤.

48

故選：C.

5.（多選）（2024上?四川廣安?高一統(tǒng)考期末）"Vx>0,f一如+i>o”為真命題的充分條

件可以是（）

A.a<0B.a<\C.a<3D.a<4

【答案】AB

【分析】變形得到。〈x+工，尤>0恒成立，由基本不等式求出無+1的最小值，從而得到。<2,

XX

分析四個選項，得到AB滿足要求.

【詳解】X2-ax+1>0^>a<x+—,%>0恒成立,

x

其中尤+,22/無」=2,當且僅當x=L即x=l時，等號成立，

XVXX

故〃<2,

由于｛創(chuàng)々<0｝和他|々<1｝均為｛創(chuàng)々<2｝的真子集，故AB正確，CD不合要求.

故選：AB

題型六：全稱量詞與存在量詞

2

1.（2024下?廣東,高三校聯(lián)考開學考試）已知p:Vxe[T,2],x-2x+a<0;q：3x^R,

x2-4x+a=0.若。為假命題，夕為真命題，則。的取值范圍為（）

A.[-3,4]B.（-3,4]

C.D.[4,+oo）

【答案】A

【分析】根據全稱命題以及特稱命題的真假，結合二次函數的最值以及一元二次方程的判別

式，即可求得答案.

【詳解】由題意知p：Vxe[-l,2],尤2一2》+々<0為假命題，

則->p:*e[-1,2],f—2x+a20為真命題，

當xe[―1,2]時，y=x2—2x+a的圖象的對稱軸為x=l,

止匕時其最大值為（T）2+2+a=3+a,則3+。20,，。2-3；

又q:玉eR,X?—4尤+a=0為真命題，

BfJA=16—4a>0,即得aW4,

綜合可得。的取值范圍為[-3,4],

故選：A

2.（2024?廣西南寧?南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題p:*eR,lgx+無23,則力為（）

A.VxeR,lgx+x<3B.3xeR,lgx+x<3

C.VxeR,lgx+x>3D.3xeR,lgx+x<3

【答案】A

【分析】根據含有一個量詞命題的否定，即可得答案.

[詳解】由題意知命題/2：3xeR,lgx+x>3為存在量詞命題，

其否定為全稱量詞命題：VxeR,lgx+x<3,

故選：A

3.（2024上?江蘇徐州?高一統(tǒng)考期末）若命題〃玉cR,Y+4X+/<0〃是假命題，則實數/的

最小值為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】根據特稱命題與全稱命題的真假性質，結合一元二次不等式的解集的性質進行求解

即可.

【詳解】因為命題"玉eR,f+4x+t<0"是假命題，

所以命題"VxeR,x?+4x+f20"是真命題，

因此;有A=42-4fW0=>t24,所以實數f的最小值為4,

故選：C

4.（2023上?云南昆明?高一官渡五中校考期中）命題。：3xeR,V尤+14。是假命題，

則實數。的值可能是（）

9

A.—B.—2

4

1

C.—1D.—

2

【答案】CD

【分析】先由P是假命題，得到可是真命題，求出b的范圍，對四個選項一一驗證.

【詳解】由P：mxeR,yr+bx+\<Q,得「p：VxeR,A:2+Z?X+1>0.

由于命題p是假命題，可知力是真命題，所以無?+6無+1>0在xeR時恒成立，

則A=Z?2-4<0，解得-2<b<2.

故選：CD.

5.（多選）（2024上?內蒙古呼倫貝爾?高一校考期末）命題“V1W無W3,f一“WO”是真命題

的一個充分不必要條件是（）

A.a>9B.a>ll

C.a>10D.a>12

【答案】BCD

【分析】先將恒成立問題轉化為最值問題求出。的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選

擇答案.

【詳解】\/l<x<3,x2-a<0,

貝尤2對都成立，

又x2W9,所以

觀察選項可得命題"VIWxW3,尤2一。w0〃是真命題的一個充分不必要條件是BCD.

故選：BCD.

題型七：一元二次不等式

1.（2023?湖南岳陽?校聯(lián)考模擬預測）不等式爐-1<3（尤+1）的解集是（）

A.{x\x<4}B.{x|-4<x<l}

C.{x|-l<x<4}D.卜[X<-1或%>4}

【答案】C

【分析】將不等式化簡成一元二次不等式的標準形式，即可求得結果.

【詳解】由不等式/一1<3(%+1)可得九2一3%—4<0,

即(x-4)(x+l)<0,可得一1

因此不等式x2-l<3(x+1)的解集是卜|—1<xv4}.

故選：C

2.(2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末)不等式產之。的解集為

2-x

【答案】-3,2)

【分析】將分數不等式轉換為與之等價的不等式組即可求解.

【詳解】V—>0,即=40,貝U(x+3)(x-2)V。且x—2w。.解得一3Wx<2,

2-xx-2

??.不等式的解集為[-3,2).

故答案為：-3,2).

3.(2015下,福建?高一校聯(lián)考階段練習)已知不等式ax2-3x+2>0的解集為{xIx<1或x>圻

⑴求6的值

(2)解不等式at?-(^am+b^x+bm<0.

[a=l

【答案】⑴,、

[b=2

⑵答案見解析

【分析】⑴由題知為=1#2=6是方程分2—3尤+2=0的兩個解，根據韋達定理列出方程，

解出即可；

(2)化簡不等式，分類討論，即可得到不等式的解集.

【詳解】(1)因為不等式以2_3尤+2>0的解集解集為{x|x<l或x>。},

所以再=1,無2=6是方程公之-3元+2=0的兩個解,

l+b=-

aa=l

所以,解得

1x6=2b=2

a

(2)由(1)矢口原不等式為d—(冽+2)x+2祖<0,

即(x-m)(x-2)<0,

當相>2時，不等式解集為卜|2<尤<加};

當"7=2時，不等式解集為0;

當機<2時，不等式解集為｛尤卜2｝.

4.（2023上?吉林白山?高一統(tǒng)考期末）解關于尤的不等式:

2x

(1)------43；

1-X

(2)_(2a_l)x_220.

3

【答案】（1）（-8,小U（L+8）

⑵答案見解析

【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；

（2）將不等式化為（公+1）（尤-2）20,分類討論。的取值范圍，從而得解.

【詳解】（1）由題意盧-3=9^40,

I—x1—x

可得產3,樂。3、

解得或x>l,

3

所以不等式的解集為（-.

(2)不等式分2—(2〃一1)%—220可化為(依+1)(%—2)20,

當。=0時，x-2>0,不等式的解集為［2,+8）；

當。>0時，不等式化為（x+與尤-2）20,其解集為（-8,」甘2,+功；

aa

當〃<0時，不等式化為（無+3（X-2）W0,

a

（i）當-4<2,即“<一時，不等式的解集為［-±2］；

a2a

（ii）當-1=2,即a=-（時，不等式的解集為｛2｝；

a2

（iii）當」>2,即-］<”0時，不等式的解集為［2,-”

a2a

5.（2024上?四川南充?高一統(tǒng)考期末）已知函數〃力=三-MU+1.

⑴若關于X的不等式”x）+〃-1W0的解集為［-1,2］,求實數加，”的值；

（2）求關于x的不等式”x）-x+7”-l>0（meR）的解集.

【答案】①加=1,〃=一2；

（2）答案見解析.

【分析】（1）由不等式解集可得-1,2是尤2-皿+〃=o的兩個根，利用根與系數關系求參數

值；

(2)由題意有(x-m>0,討論m<1、m=l.勿>1求不等式解集.

【詳解】(1)由題設％之—+的解集為[一1,2],即一1,2是Y一7nx+〃=。的兩個根,

所以m=—1+2=1,〃=—1x2=—2.

(2)由題意/(x)-x+m-l=x2-(m+l)x+m=(x-m)(x-l)>0,

當加<1時，解得%(加或元>1,故解集為(―,㈤U(L+oo)；

當根=1時，解得XW1,故解集為｛%￡RI%W1｝；

當%>1時，解得了<1或無>相，故解集為(-°M)UO,+oo);

題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題

1.(2024上?重慶?高一重慶市青木關中學校校考期末)函數〃無)=-6+2的定義域

為R,則”的取值范圍為()

A.[8,+oo)B.(0,8]C.[0,8]D.{0}u[8,+w)

【答案】C

【分析】由題意得恒有ax?一方+220成立，結合二次不等式恒成立性質對。進行分類討論

進行求解即可.

【詳解】由題意得分2一依+220恒成立，當。=0時，220恒成立，滿足題意;

a>0

當aw0時,，解得0<aW8,綜上0WaW8.

a?—8Q<0

故選:C.

2.(2024上?貴州畢節(jié)?高一統(tǒng)考期末)命題p:*e[0,4],Y-3x-a>0,若刃是假命題，

則實數。的取值范圍是.

【答案】(3,4)

【分析】由題意確定。為真命題，則只需任-3*鵬>。，設/(x)=f—3x,根據二次函數

的性質求得在[0,4]上的最大值，即可求得答案.

【詳解】若力是假命題，則P為真命題，故lre[0,4],x2-3x>a,

只需(尤2-3尤)>a,

\/max

設〃尤)=/_3尤=卜_|1則“力=/一3%在0,|上單調遞減,

在1,4上單調遞增，其中〃0)=0,〃4)=16-12=4,

故/(x：U=4,所以a<4,即實數。的取值范圍是(-8,4),

故答案為：(-℃),4)

3.(2024上?福建龍巖?高一福建省武平縣第一中學校聯(lián)考期末)已知二次函數

f(x)=X2-bx+c,對任意XER者R有/(一2—％)=/(—2+龍)，且/(0)=6.

⑴求函數“X)的解析式；

(2)若對于V相w[-L,2],不等式時(勸-6<。恒成立，求尤的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=/+4x+6

(2)(-3,-1)

【分析】(1)由題意可得函數/'(x)關于x=-2對稱，再根據了(0)=6求出仇c即可;

(2)不等式時(無)-6<0即為租(f+4尤+6)<6,將x當作參數，分加e[-l,0),機=0和

mt(0,2]三種情況討論，利用分離參數法求解即可.

【詳解】(1)因為2-x)=/(-2+x),所以函數〃尤)關于x=-2對稱,

。=-2

。=-4

則2,解得

c=6

/(O)=c=6

所以/(無)=尤？+4x+6；

(2)不等式時(尤)一6<0即為租(x?+4尤+6)<6,

當初目-1,0)時，貝！|/+4苫+6>9恒成立,

m

而已

|=-6,

vmmax

所以x?+4x+6>-6,即尤2+4尤+12>0,

因為A=16-48=—32<0,

所以xeR；

當〃2=0時，-6<0恒成立，止匕時xeR；

當mi(0,2]時，貝W+4尤+6<9恒成立,

'」m

而仔

|=3,

1mmin

所以X2+4X+6<3,解得一3<x<—1,

綜上所述，x的取值范圍為(-3,-1).

4.(2024上?江蘇無錫,高一江蘇省天一中學校考期末)已知函數"x)=log2(2x”og2j

⑴當xe[1,4]時，求該函數的值域;

(2)若/("〈Mikgx對于xe[2網恒成立，求實數加的取值范圍.

【答案】⑴卜不9。

【分析】⑴由對數的運算性質和換元法，結合二次函數的最值求法，可得所求值域；

(2)由題意可得(log2X)2-(〃2+l)log2X-2<0,xe[2,8卜恒成立，運用換元法和參數分離，以

及二次函數的圖象和性質，解不等式可得所求范圍.

2

【詳解】⑴/(元)=log?(2x)?log?；=(1+log2x)(log2無一2)=(log,x)-log2x-2,

4>log2x=f,則函數化為y=〃__2,re[0,2],

因此當￡=3時，y=,―2取得最小值一彳，

當方=2時,y=t2-t-2,/￡[0,2]取得最大值0,

即當x=及時，函數/(X)取得最小值-當x=4時，函數/(x)取得最大值0,

可得函數的值域為卜7。];

(2)/(x)<mlog2x,%￡[2,8]恒成立，

即(log2%)?-(m+l)log2x-2<0,x￡[2,81恒成立,

令log2%=,，則/一(m+1"-2<0,令[1,31恒成立,

令g⑺二/一(m+l?-2v0,tG[1,3],

fg(l)=-2-m<0

貝U]g(3)=4—3m<0，

4

解得相>§，

所以實數加的取值范圍為

5.(2024上?安徽蕪湖?高一統(tǒng)考期末)設函數/("=就2+次+3,關于%的一元二次不等

式/(">0的解集為

⑴求不等式V+辦+6>。的解集；

(2)若Vxe[-1,3],/(x)2如2,求實數小的取值范圍.

【答案】⑴{小<T或x>2}

4

(2)m<--.

【分析】（1）利用韋達定理求參數后再解不等式即可.

（2）對變量范圍進行討論，分離參數法求解參數即可.

【詳解】（1）因為一元二次不等式/（彳）>0的解集為（-3,1）,

-3+1=--

所以-3和1是方程加+云+3=0的兩個實根，則，a",

-3-1=-

、a

解得a=T,6=-2.因此所求不等式即為：9_彳_2>0,解集為3》<-1或x>2}.

（2）/（x）2mx之可化為：（加+1）%2w-2x+3,當x=0時顯然成立；

當xwO時，根+1<-2；+3口]對以4—1,31恒成立，

14

所以m+1W——,即用《——.

33

6.（2024上?安徽安慶?高一安慶一中校考期末）設定義域為R的奇函數/（x）=:二;,

（其中。為實數）.

（1）求。的值；

（2）是否存在實數上和xw[-l,3],使不等式/優(yōu)一區(qū)）+/（2-％）>0成立？若存在，求出實數

上的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴1

（2）存在；（-8,-4）口（2直-L+8）

【分析】（1）由“力是定義在R的奇函數，利用/（。）=0,即可求出。的值，再利用定義

驗證.

（2）先證明函數單調性脫去不等式中的了,轉化為不等式恒成立問題，通過分離參數轉化

為函數最值問題求解.

【詳解】（1）由是定義在R的奇函數，則有"0）=0,得。=1,把。=1代入函數得

A1-21

/,/（X）-2工+1+2'

1_升（1-2~X}2X9X-1

而="a+j2工=缶=-/（x），所以。=1符合題意?

l-2x-2X-1+211

（2）f（x）=^^=2（2T+1）=~2+27T1,因為函數2'+l>0且在R單調遞增，

所以，在R上單調遞減，從而/"）在R上單調遞減.

2"+1

/（x2-Ax）+/（2-x）>0<^>y（x2-Ax）>/（x-2）

.2

k-----1（0<XW3）

因為/（九）在R上單調遞減.所以一—日〈兀-20"〉/_冗+20,；

k<xH-----1（—l<x<0）

、x

o

設函數g（x）=x+：-l,要想滿足題意，只需左大于g（X）在（0,3］上的最小值或者小于g⑴在

［-1,0）上的最大值即可，

由雙勾函數的性質可知g（無）在（。，血）遞減，在（應,3］遞增，在［-1,0）上遞減，

所以g⑺在（0,3］上的最小值為g（72）=272-1,在［-1,0）上的最大值為g（-l）=-4.

所以存在左€（—。，-4）0（25/^-1,+8）.

題型九：基本不等式及其應用

1.（2023上?新疆?高一校考期末）若正實數X、y滿足x+y=2,則工的最小值為（）