課時作業4簡潔計數問題時間：45分鐘——基礎鞏固類——一、選擇題1．5個人分4張同樣的足球票，每人至多分1張，而且票必需分完，那么不同分法的種數是(D)A．54 B．45C．5×4×3×2 D．5解析：由題意知，只有一個人沒有票，故共有5種不同的分法．2．某次數學測驗中學號為i(i＝1,2,3,4)的4名同學的考試成果f(i)∈{86,87,88,89,90}且滿意f(1)<f(2)≤f(3)<f(4)，則此4名同學的成果的可能狀況有(C)A．5種B．120種C．15種D．10種解析：當f(2)≠f(3)時，從五個數中任選四個從小到大排列對應學號為i(i＝1,2,3,4)的4名同學的考試成果，共有Ceq\o\al(4,5)＝5種方法；當f(2)＝f(3)時，從五個數中任選三個組成4名同學的考試成果，共有Ceq\o\al(3,5)＝10種方法，故共有10＋5＝15種方法．3．將4個不同的小球全部放入A，B兩個盒子中，每個盒子至少放1個小球，求不同的放置方法的種數．甲列式子：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)×22；乙列式子：Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)；丙列式子：24－1；丁列式子：Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2).其中列式正確的是(B)A．甲B．乙C．丙D．丁解析：第一類：1個放A盒，3個放B盒，有Ceq\o\al(1,4)種放置方法．其次類：2個放A盒，2個放B盒，有Ceq\o\al(2,4)種放置方法．第三類：3個放A盒，1個放B盒，有Ceq\o\al(3,4)種放置方法．依據加法原理，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)種不同的放置方法，所以乙列式正確．4．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且1、3都不與5相鄰的六位偶數的個數是(C)A．72B．96C．108D．144解析：分兩類：若1與3相鄰，有Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝72(個)，若1與3不相鄰有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(個)故共有72＋36＝108(個)．5．5本不同的書，全部分給四個學生，每個學生至少一本，則不同的分法種數是(B)A．480B．240C．120D．96解析：從5本書中任取兩本有Ceq\o\al(2,5)種取法，這兩本為一堆，另外三本當成三堆，共四堆有四個學生拿，方法有Aeq\o\al(4,4)種，∴分法有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240(種)．6．現支配甲、乙、丙、丁、戊5名同學參與上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參與．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同支配方案的種數是(B)A．152B．126C．90D．54解析：先支配司機：若司機有一人，則共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝108(種)方法，若司機有兩人，此時共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18(種)方法，故共有126種不同的支配方案．7．4位同學參與某種形式的競賽，競賽規則規定：每位同學必需從甲、乙兩道題中任選一道作答，選甲答對得100分，答錯得－100分；選乙答對得90分，答錯得－90分．若4位同學的總分為0，則這4位同學不同得分狀況的種數是(B)A．48種B．36種C．24種D．18種解析：本題是考查排列組合及相關分類的問題．①設4人中兩人答甲題，兩人答乙題，且各題有1人答錯，則有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)．②設4人都答甲題或都答乙題，且兩人答對，兩人答錯，則有2Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(種)．∴4位同學得總分為0分的不同狀況有24＋12＝36(種)．故選B.8.如圖A，B，C，D為海上的四個小島，要建三座橋，將這四個小島連接起來，則不同的建橋方案共有(C)A．8種 B．12種C．16種 D．20種解析：如圖，構造三棱錐A－BCD；四個頂點表示四個小島，六條棱表示連接隨意兩島的橋梁．由題意，只需求出從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法．這可由間接法完成：從六條棱中任取三條棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)種，任取三條共面棱的不同取法有4種，所以從六條棱中任取三條不共面的棱的不同取法有Ceq\o\al(3,6)－4＝16(種)．故不同的建橋方案共有16種．二、填空題9．某旅游團組織的旅游路途有省內和省外兩種，且省內路途有4條，省外路途有5條，則參與該旅游團的游客的旅游方案有9種．解析：游客的旅游方案分為兩類：第一類：選省內路途，有4種方法，其次類：選省外路途，有5種方法，由分步加法計數原理知，游客的旅游方案有4＋5＝9(種)．10．將A，B，C，D，E，F六個字母排成一排，且A，B均在C的同側，則不同的排法共有480種(用數字作答)．解析：A、B兩個字母與C的位置關系僅有3種：同左、同右或兩側，各占eq\f(1,3)，∴排法有eq\f(2,3)Aeq\o\al(6,6)＝480(種)．11．將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有10種．解析：有兩種滿意題意的放法：(1)1號盒子里放2個球，2號盒子里放2個球，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種放法；(2)1號盒子里放1個球，2號盒子里放3個球，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)種放法．綜上可得，不同的放球方法共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)＝10種．三、解答題12．有9本不同的課外書，分給甲、乙、丙三名同學，求在下列條件下，各有多少種分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．解：(1)分三步完成：第一步：從9本不同的書中，任取4本分給甲，有Ceq\o\al(4,9)種方法；其次步：從余下的5本書中，任取3本給乙，有Ceq\o\al(3,5)種方法；第三步：把剩下的書給丙，有Ceq\o\al(2,2)種方法．∴共有不同的分法為Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)＝1260種．(2)分兩步完成：第一步：按4本、3本、2本分成三組有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)種方法；其次步：將分成的三組書分給甲、乙、丙三個人，有Aeq\o\al(3,3)種方法．∴共有Ceq\o\al(4,9)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝7560種．13．有四個不同的數字1,4,5，x(x≠0)組成沒有重復數字的全部的四位數的各位數字之和為288，求x的值．解：因為1,4,5，x四個數字不同，排成的四位數中1在千位上、百位上、十位上、個位上分別有Aeq\o\al(3,3)個，所在的1的和共為4×Aeq\o\al(3,3)＝24.同理，排成的四位數中4在千位上、百位上、十位上、個位上分別有Aeq\o\al(3,3)個，所以，所在的4的和共為4×4×Aeq\o\al(3,3)＝96.所在的5的和共為5×4×Aeq\o\al(3,3)＝120.所在的x的和為x×4×Aeq\o\al(3,3)＝24x.即24x＋120＋96＋24＝288，解得：x＝2.——實力提升類——14．甲、乙、丙三人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區分站的位置，則不同的站法種數是336(用數字作答)．解析：由題意分類計數：若7個臺階上每一個臺階只站一人，則“3人站到7級的臺階上”有Aeq\o\al(3,7)種不同的站法；若選用2個臺階，有一個臺階站2人，另一個站1人，則“3人站到7級的臺階上”有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種不同的站法．因此不同的站法種數是Aeq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)＝336.15．男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1人，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男3名，女2名；(2)隊長至少有1人參與；(3)至少有1名女運動員；(4)既要有隊長，又要有女運動員．解：(1)Ceq\o\al(3,6)×Ceq\o\al(2,4)＝120(種)不同的選派方法．(2)分為兩類：僅1名隊長參與和兩人都參與：共Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(種)不同的選派方法．(3)全部選法中解除無女運動員的狀況：共C