13.3.1等腰三角形的性質(zhì)（難點練）一、單選題1．（2020·浙江嘉興·）如圖，已知為的高線，，以為底邊作等腰，且點E在內(nèi)部，連接，，延長交于F點，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2020·青縣第二中學(xué)八年級月考）如圖，△DAC和△EBC均為等邊三角形，A、C、B三點在同一直線上，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，有如下結(jié)論：①△ACE≌△DCB；②AC=DN；③AE=BD；④∠BOE=60°；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2020·長沙市望城區(qū)郡維學(xué)校）如圖，OE是等邊的中線，，點C是直線OE上一動點，以AC為邊在直線AC下方作等邊，連接ED，下列說法正確的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值 D．ED沒有最大值也沒有最小值4．（2021·湖北咸安·）如圖，AO⊥OM，點B為射線OM上的一個動點，分別以O(shè)B，AB為直角邊，B為直角頂點，在OM兩側(cè)作等腰直角△OBF?等腰直角△ABE，連接EF交OM于P點，當(dāng)點B在射線OM上移動時，PB的長度為（）A． B．3 C． D．不能確定5．（2020·宜興市實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是（）A．2 B．4 C． D．6．（2020·四川省青神縣南城鎮(zhèn)初級中學(xué)校八年級期中）點B、C、E在一條直線上，△ABE與△ECD都是等邊三角形，其中的點及對應(yīng)的字母如圖所示．①AC＝BD；②∠AHB＝60°；③EG＝FE；④△GEF是等邊三角形；⑤EH平分∠BHC，則正確的結(jié)論的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．（2020·宿遷市鐘吾初級中學(xué)八年級期中）如圖，等邊△ABC中，AB=2，D為△ABC內(nèi)一點，且DA=DB，E為△ABC外一點，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，連接DE，CE，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，則S△EBC=1，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)）如圖，，平分，．若P到OA的距離為．若點，分別在射線，上，且△是邊長為整數(shù)的等邊三角形，則滿足上述條件的點有（參考數(shù)據(jù)：（）A．4個以上 B．4個 C．3個 D．2個9．（2020·浙江八年級單元測試）如圖，已知中，，，，若把繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度，使它與原的重疊部分為等腰三角形．則為（）A．或 B．或 C．或 D．或10．（2021·宜興市實驗中學(xué)八年級月考）如圖，在中，是邊上的高，，，．連接，交的延長線于點，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題11．（2020·四川成都·）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝，點P是AC上的動點，連接BP，以BP為邊作等邊△BPQ，連接CQ，則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是_____．12．（2021·廣西玉州·八年級期末）如圖，中，，，為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于．以下四個結(jié)論：①；②當(dāng)為中點時，；③當(dāng)為等腰三角形時，；④當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論是______（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上），13．（2021·全國）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，點D為AB邊上一點且不與A、B重合，將△ACD沿CD翻折得到△ECD，直線CE與直線AB相交于點F．若∠A＝40°，當(dāng)△DEF為等腰三角形時，∠ACD＝__________________．14．（2020·杭州江南實驗學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖，在一張直角三角形紙片中，，，，是邊上的一動點，將沿著折疊至，當(dāng)與的重疊部分為等腰三角形時，則的度數(shù)為______．15．（2021·天津南開翔宇學(xué)校八年級月考）在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點A在x軸上，點A的坐標(biāo)為（4，0），∠AOB=30°，點E的坐標(biāo)為（1，0），點P為斜邊OB上的一個動點，則PA+PE的最小值為_____．16．（2020·重慶市渝北中學(xué)校八年級月考）已知：，，，，則的度數(shù)為______．17．（2021·全國八年級單元測試）如圖，與中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．給出下列結(jié)論：①∠AFC=∠C；②DF=CF；③FA是∠DFC的平分線；④∠BFD=∠CAF．其中正確的結(jié)論是：____（填寫所有正確結(jié)論的序號）．18．（2021·安徽太和·）如圖，已知，點P是射線上一動點（P不與B重合），當(dāng)______時，以A、O、B中的其中兩點和P點為頂點的三角形是等腰三角形．19．（2021·全國八年級專題練習(xí)）如圖，設(shè)（）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線，上．從點開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中為第一根小棒，且，若只能擺放4根小棒，則的范圍為________．20．（2020·武漢市二橋中學(xué)八年級月考）在中，，，，點D是直線BC上一動點，連接AD，在直線AD的右惻作等邊，連接CE，當(dāng)線段CE的長度最小時，則線段CD的長度為__________．三、解答題21．（2021·吉林德惠·八年級期末）如圖，是等邊三角形，．動點分別從點同時出發(fā)，動點以的速度沿向終點運動．動點以的速度沿射線運動．當(dāng)點停止運動時，點也隨之停止運動．點出發(fā)后，過點作交于點，連結(jié)，以為邊作等邊三角形，連結(jié)，設(shè)點的運動時間為用含的代數(shù)式表示的長．求的周長(用含的代數(shù)式表示)．求的長(用含的代數(shù)式表示)．當(dāng)?shù)倪吪c垂直時，直接寫出的值．22．（2021·山東夏津·）已知和都是等腰直角三角形，點是直線上的一動點（點不與，重合），連接．（1）在圖中，當(dāng)點在邊上時，求證：；（2）在圖中，當(dāng)點在邊的延長線上時，結(jié)論是否還成立？若不成立，請猜想，，之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在圖中，當(dāng)點在邊的反向延長線上時，不需寫證明過程，直接寫出，，之間存在的數(shù)量關(guān)系及直線與直線的位置關(guān)系．23．（2021·云南峨山·）如圖①，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）當(dāng)點D在線段AM上時（如圖①），則ADBE（填“＞”“＜”或“=”），∠CAM=度；（2）當(dāng)點D在線段AM的延長線上時（如圖②），直線BE與直線AM的交點為O，求∠AOB的度數(shù)；（3）當(dāng)動點D在線段AM的反向延長線上時，直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請求出∠AOB的度數(shù)，若不變，請說明理由．24．（2021·全國）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片和重合放置，其中，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，固定，使繞點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點恰好落在邊上時．填空：①線段與的位置關(guān)系是________；②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）猜想論證：當(dāng)繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了和中、邊上的高，請你證明小明的猜想．25．（2020·浙江）已知，點P為其內(nèi)部一點，連結(jié)，在中，如果存在一個三角形，其內(nèi)角與的三個內(nèi)角分別相等，那么就稱點P為的等角點．（1）判斷以下兩個命題是否為真命題，若為真命題，則在相應(yīng)橫線內(nèi)寫“真命題”反之，則寫“假命題”．①內(nèi)角分別為的三角形存在等角點；_________命題；②任意的三角形都存在等角點；___________命題；（2）如圖①，點P是的等角點，若，探究圖①中之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖②，在中，，若的三個內(nèi)角的角平分線的交點P是該三角形的等角點，直接寫出三個內(nèi)角的度數(shù)．26．（2019·浙江八年級期中）如圖①，點分別是等邊邊上的動點（端點除外），點P從點A、點Q從頂點B同時出發(fā)，且它們的運動速度相同，連續(xù)交于點M．（1）求證：；（2）點分別在邊上運動時，變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．（3）如圖②，若點在運動到終點后繼續(xù)在射線上運動，直線交點為M，求的度數(shù)．27．（2021·山東濱州·八年級月考）如圖，在等邊中，厘米，厘米，如果點以厘米/秒的速度運動．（1）如果點線段上由點向點運動，點在線段上由點向點運動．它們同時出發(fā)，若點的運動速度與點的運動速度相等．經(jīng)過秒后，和是否全等？請說明理由；（2）在（1）的條件下，當(dāng)兩點的運動時間為多少時，是一個直角三角形？（3）若點的運動速度與點的運動速度不相等，點從點出發(fā)，點以原來的運動速度從點同時出發(fā)，都順時針沿三邊運動，經(jīng)過秒點與點第一次相遇，則點的運動速度是多少厘米/秒．28．（2021·杏花嶺·山西實驗中學(xué)八年級開學(xué)考試）情景觀察：如圖1，中，，，，，垂足分別為，，與交于點．（1）寫出圖1中所有的全等三角形________________________________；（2）線段與線段的數(shù)量關(guān)系是，并寫出證明過程：問題探究：如圖2，在中，，，平分，，垂足為，與交于點．求證：．29．（2020·南通市新橋中學(xué)）如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊