7.3.1離散型隨機變量的均值第七章§7.3離散型隨機變量的數字特征學習目標1.掌握離散型隨機變量的均值的概念和性質.2.掌握兩點分布的均值.3.會利用離散型隨機變量的均值和性質，解決一些相關的實際問題.在射擊運動中，射擊選手的每次射擊成績是一個非常典型的隨機事件.(1)如何刻畫每個選手射擊的技術水平與特點？(2)如何比較兩個選手的射擊情況？(3)如何選擇優秀的射擊運動員代表國家參加奧運會才能使得獲勝的概率較大？導語離散型隨機變量的均值問題1某人射擊10次，所得環數分別是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，則所得的平均環數是多少？知識梳理則稱E(X)＝

＝

為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱

.(2)兩點分布的均值：一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么E(X)＝

.(1)均值：一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，Xx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn期望0×(1－p)＋1×p＝p知識梳理注意點：分布列只給了隨機變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平.例1

(1)已知隨機變量X滿足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，則E(X)等于A.0.3B.0.7 C.0.21 D.1√根據題意可知，隨機變量X服從兩點分布，所以E(X)＝0.3.(2)某地最近出臺一項機動車駕照考試規定：每位考試者一年之內最多有4次參加考試的機會，一旦某次考試通過，便可領取駕照，不再參加以后的考試，否則就一直考到第4次為止.如果李明決定參加駕照考試，設他每次參加考試通過的概率依次為0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年內李明參加駕照考試次數ξ的分布列和均值，并求李明在一年內領到駕照的概率.反思感悟求隨機變量X的均值的方法和步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X所有可能的取值.(2)求出X取每個值的概率P(X＝k).(3)寫出X的分布列.(4)利用均值的定義求E(X).跟蹤訓練1從裝有2個紅球，2個白球和1個黑球的袋中隨機逐一取球，已知每個球被取到的可能性相同.若取后不放回，設取完紅球所需的次數為X，求X的分布列及均值.均值的性質知識梳理離散型隨機變量的均值的性質若Y＝aX＋b，其中a，b均是常數(X是隨機變量)，則Y也是隨機變量，且E(aX＋b)＝

.aE(X)＋b6.隨機變量的均值的性質問題2若X，η都是離散型隨機變量，且η＝aX＋b(其中a，b是常數)，那么E(η)與E(X)有怎樣的關系？提示

X，η的分布列為Xx1x2…xi…xnηax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn例2已知隨機變量X的分布列為若Y＝－2X，則E(Y)＝______.延伸探究1.本例條件不變，若Y＝2X－3，求E(Y).所以a＝15.反思感悟求線性關系的隨機變量η＝aξ＋b的均值的方法(1)定義法：先列出η的分布列，再求均值.(2)性質法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可.跟蹤訓練2

(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為A. B.5 C.1 D.31因為E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，所以E(X)＝1.√(2)已知隨機變量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，則m的值為√均值的應用例3

等級珍品特級優級一級箱數10151510(1)用比例分配的分層隨機抽樣的方法從這50箱臍橙中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，ξ表示隨機抽取的3箱中是特級的箱數，求ξ的分布列及均值E(ξ)；(2)利用樣本估計總體，該地提出兩種購銷方案供采購商參考：方案一：不分等級賣出，價格為20元/kg；方案二：分等級賣出，分等級的臍橙價格如表所示：等級珍品特級優級一級售價(元/kg)25201510從采購商節約資金的角度考慮，應該采用哪種方案？反思感悟解答實際問題時，(1)把實際問題概率模型化；(2)利用有關概率的知識去分析相應各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相應均值.跟蹤訓練3某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；隨堂演練1.已知隨機變量X的分布列如表所示：X0246P0.10.2m0.2則E(X)的值為A.2 B.2.4C.3.6D.不確定√依題意和分布列的性質得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.2.已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，則E(X)等于A.67 B.11 C.2 D.1√E(Y)＝4E(X)＋7＝15，則E(X)＝2.4.利用下列盈利表中的數據進行決策，應選擇的方案是______.自然狀況方案盈利概率A1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A3A1的均值為50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；A2的均值為70×0.