數學規律型問題探索

知識梳理

數學規律型問題，即按照一定的規律排列的數之間的相互關系或大小變化規律的問題，解決這類問題的關鍵

是仔細分析前后各數之間的關系，從而發現其中所蘊含的規律.此類型題常涉及以下內容：

⑴運算規律或關系；

⑵數字關系或規律；

(3)圖形關系或規律；

⑷操作規律.

具體方法和步驟如下：

(1)通過對幾個特例的分析，尋找規律并且歸納；

(2)猜想符合規律的一般性結論；

(3)驗證或證明結論是否正確.

典型例題

例1

觀察下列各數：0,3,8,15,24,…試按此規律寫出的第100個數是—.第n個數是—.

分析解答這一題，可以先找一般規律，然后使用這個規律，計算出第100個數.

解我們把有關的量放在一起加以比較：

給出的數：0,3,8,15,24,…

序列號：1,2,3,4,5,…

容易發現，已知數的每一項，都等于它的序列號的平方減1.因此，第n項是/—1,第100項是1002-1.故答

案為：9999,*1.

例2

如圖6-l(a)所示,圖中是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面一層有一個圓圈，以下各層

均比上一層多一個圓圈，一共堆了n層.將圖6-l(a)倒置后與原圖6-1⑶拼成如圖6-l(b)所示的形狀，這樣我們可以

算出圖6-l(a)中所有圓圈的個數為1+2+3+…+幾=也等.

第1層0.00-00

第2層dooQQP

00-000

如果圖6-l(a)中的圓圈共有12層，(1)我們自上往下，在每個圓圈中都按如圖6-l(c)所示的方式填上一串連續

的正整數1,2,3,4,…，則最底層最左邊這個圓圈中的數是多少；(2)我們自上往下，在每個圓圈中都按如圖6-

1(d)所示的方式填上一串連續的整數-23,-22,-21,....求圖6-l(d)中所有圓圈中各數的絕對值之和.

分析(1)當圖中圓圈共有12層時，最底層最左邊這個圓圈中的數是11層的數字之和再加1;

(2)首先計算圓圈的個數，從而分析出23個負數后，又有多少個正數.

解⑴圖6-l(c)中依次排列為1,2,4,7,11...,如果用后項減前項依次得到1,2,3,4,5…，正好是等差數列，再展開原數

列可以看出第一位是1,從第二位開始后項減前項得到等差數列，分解一下：1,1+1』+1+2,1+1+2+3,1+1+2+3+4,…，從

分解看，第n個圓圈的個數應為l+(l+2+3+4+...+n),而l+2+3+4+...+n正好是連續自然數和的公式推導，上面已給

出了公式：1+2+3+…+n=竺F廁第n項公式為1+吟2已知共有12層，那么求圖6-1(c)中最左邊最底

層這個圓圈中的數應是12層的第一個數，那么1+11x(11+1)/2=67.

(2)已知圖中的圓圈共有12層,按如圖6-l(d)所示的方式填上-23,-22,-21,…，那么可運用等差數列求和公式得第一

層到第十二層的圓圈總數為：(1+12)x昔=78個,78個圓圈中有23個負數，1個0,54個正數，再利用分段求

和得到圖6-l(d)中所有圓圈的和.即第一段:S=警邂X則數=(|-23|+|-1|)x§=276,第二段=(1

+54)Xy=1485,兩段相加后得1761.

例3

用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖6-2所示的方式鋪地板，則第⑶個圖形中有黑色瓷磚―

圖6-2

分析這一題的關鍵是求第n個圖形中需要幾塊黑色瓷磚.

解在這三個圖形中，最先出現的4塊黑瓷磚不變，變化的是后面出現的黑瓷召專數量.它們的數量分別是，第一

個圖形中多出(0X3塊黑瓷磚,第二個圖形中多出lx3塊黑瓷磚,第三個圖形中多出2x3塊黑瓷磚，依次類推，

第n個圖形中多出(5-1)X33塊黑瓷磚.所以，第n個圖形中一共有4+(n-l)x3塊黑瓷磚.故答案為:10,3n+l.

例4

如圖6-3所示，是一回形圖，其回形通道的寬與OB的長均為1,回形線與射線OA交于點A1人A，.…若從

點O到點4的回形線為第1圈(長為7),從點A1到點A2的回形線為第2圈，…，依此類推.則第10圈的長為—

分析根據題意結合圖形，可從簡到繁，先從第1圈開始，逐圈分析，推出通用公式，再代入計算.

解我們從簡單的情形出發，從中發現規律，第1圈的長為1+1+2+2+1,第2圈的長為2+3+4+4+2,第三圈的長為

3+5+64-6+3,,第四圈的長為4+7+8+8+4,…歸納得到第10圈的長為10+19+20+20+10=79.

例5

在數學活動中，小明為了求升點+/+/+-+景勺值(結果用n表示)，設計如圖6-4(a)所示的圖形.

22“232’2"

(1)請你利用這個幾何圖形求"/+/+2+???+5的值為一.

22“2$2'2"

⑵請你利用圖6-4(b),再設計一個能求畀或+套+或+…+擊的值的幾何圖形.

圖6-4

分析由所給圖形可以看到，當n等于某數時，剩下部分的圖形面積為煮則幾何圖形的面積為1-弟

解(1)1-味.

⑵可設計如圖6-5(a)(b)(c)(d)所示的方案(答案不唯一):

雙基訓練

1.拉面館的師傅能把一根很粗的面條，先兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復幾次，就把這根很粗的

面條拉成了許多根細面條，如下面圖6-6所示.請問按圖中所示的方式這樣第一次可拉出256根面條.

第一次第二次第三次

圖6-6

2.用黑白兩種顏色的正六邊形地磚按如圖6-7所示的規律拼成若干個圖案：第(4)個圖案中有黑色地磚4塊，那

么第(n)個圖案中有白色地磚一塊.

(1)(2)(3)

圖6-7

3.觀察下面一列數，按某種規律在橫線上填上適當的數：1,強，卷…則第n個數為—

4yio

4.觀察下列順序排列的等式：

9x0+1=19x1+2=119x2+3=219x4+5=41,...,猜想:第n個等式應為:.

5.已知下列等式：

①d=I2;

@13+23=32;

③d+23+33=62;

@13+23+33+43=IO2;

由此規律知，第⑤個等式是__________.

6.如圖6-8所示，請觀察下列球的排列規律（其中?是實心球，C是空心球）：

?ooeeoooooeooeeoooooeooeeoooooe-

圖6-8

從第1個球起到第2014個球止,共有實心球一個.

7.如圖6-9所示,下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規律組成,其中第①個圖形一共有2個五角星,

第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數為一.

★★

★★★★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★★★

★★

圖6-9

8.如圖6-10所示，圖中各圓的三個數之間都有相同的規律，據此規律，第n個圓中，m=—（用含n的代數式

表小）.

圖6-10

9.大于1的正整數m的三次幕可“分裂”成若干個連續奇數的和，如23=3+53=7+9+11,43=13+15+17+19,…

若rtf分裂后，其中有一個奇數是2013,則m的值是（）.

A.43B.44C.45D.46

10.填在下面各正方形中的四個數之間都有相同的規律，根據此規律，m的值是（）.

0426486

A.38B.52C.66D.74

11.如圖6-11所示，請你認真觀察和分析圖中數字的變化規律，由此得到圖中所缺的數字是（）.

A.32B.29—

C.25D.23/1

圖6-11

12.如圖6-12所示，下列圖案均是長度相同的火柴按一定的規律拼搭而成：第1個圖案需7根火柴，第2個圖

案需13根火柴，……依此規律，第11個圖案需（）根火柴.

A.156B.157C.158D.159

13.我國古代文獻《周易》上記載了“八卦”的由來，當時的人們認為世界上的萬事萬物歸根結底是由陰陽兩種

基本元素構成的，就把它們化成了兩種卦爻，陽爻為陰爻為“一”.將陽爻和陰爻每次取三個，就會形成8種不

同的排列方式，這與德國數學家萊布尼茨(1646—1716)創造的二進制竟不謀而合.表6-1就反映了“八卦”圖符與二進

制間的對應關系，根據表中的規律，從左到右的空格中應依次填寫的數字是().

表6-1

====三

000110100111001101

A.100,011B.010,011C.011,101D.101,110

14.古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1,3,6,10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1,4,9,16,…這樣的數

稱為“正方數”.如圖6-13所示，從圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形數”之

和.下列等式中，符合這一規律的是().

圖6-13

A.20=6+14B.25=9+16C.36=16+20D.49=21+28

15.觀察下列三角形數陣：則第50行的最后一個數是().

23

456

78910

II12131415

A.1225B.1260C.1270D.1275

16.觀察圖6-14(a),尋找規律，圖6-14(b)(c)(d)分別是從圖6-14(a)中截取的一部分，其中a,b,c的值分別為().

1234

2468

36912

481216

???

(b)(c)(d)

圖6-14

A.20,29,30B.18,30,26C.18,20,26D.18,30,28

17.觀察下列各式：

(1)1=I2

(2)2+3+4=32

(3)3+4+5+6+7=52

（4）4+5+6+7+8+9+10=72

請你根據觀察得到的規律判斷下列各式正確的是().

A.1005+1006+1007+...+3016=20112

B.1005+1006+1007+...+3017=20112

C.1006+1007+1008+...+3016=20112

D.1007+1008+1009+...+3017=20112

18.定義一種對正整數n的運算：①當n為奇數時，結果為3n+5；②當n為偶數時，結果為人/2x(其中k是

使學為奇數的正整數)，并且運算重復進行.例如：取n=26,則：回告回#回告回……，若n=15,則第15次

“F”運算的結果是().

A.5B.10C.15D.20

19.觀察下列各組數字：

①0,3,8,15,24,…

②2,5,10,17,26,...

③0,6,16,30,48,...

(1)第一組有什么規律？

(2)第二、三組分別跟第一組有什么關系？

⑶取每組的第7個數，求這三個數的和.

20.先觀察工+工=已―工）+仁—工）=1--=-,—+—+—=f-

1X22X31127\237331x22x33x4\1

再計算-11F1-―^的值.

1X22X33X4n（n+l）

能力提升

21.如圖6-15所示，一枚棋子放在七角棋盤的第0號角，現依逆時針方向移動這枚棋子，其各步依次移動1,

2,3,…，n個角，如第一步從0號角移動到第1號角，第二步從第1號角移動到第3號角，第三步從第3號角移

動到第6號角.....若這枚棋子不停地移動下去，則這枚棋子永遠不能到達的角的個數是().

22.一個由小菱形組成的裝飾鏈，斷去了一部分，剩下部分如圖6-16所示,則斷去部分的/」蛔的個數可能

圖6-16

23.如圖6-17所示，觀察圖中正方形四個頂點所標的數字規律，可知數2011應標在().

1291613

第I個第2個第3個第4個

正方形正方形正方形正方形

圖6-17

A.第502個正方形的左下角B.第502個正方形的右下角

C.第503個正方形的左上角D.第503個正方形的右下角

24.如圖6-18所示，從A地至！JC地，可供選擇的方案有三個，分別是走水路、走陸路、走空中.從A地至IJB地

有2條水路、2條陸路可供選擇.從B地到C地有3條陸路可供選擇.走空中的話可以從A地不經過B地直接到C

地.那么從A地到C地可供選擇的方案一共有().

A.20種B.8種C.5種D.13種

圖6-18

25.如圖6-19所示，一位小朋友按圖中的規則練習數數，數到2009時應對應的指頭是().

A.大拇指B.食指C.中指D.無名指、

26.把所有正奇數從小到大排列，并按如下規律分組：圖6-19

(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),...,現用等式4M=Q/)表示正奇數M是第i組第j個數(從左往

右數)i如4=(2*3),則&oi3=()-

A.(45,77)B.(45,39)C.(32,46)D.(32,23)

27.如圖6-20所示，圖中每一個小方格的面積為1,則可根據面積計算得到如下算式：l+3+5+7+...+(2n-l)=—

_.(用n表示，n是正整數)T??怛

圖6-20

28.有一列數：第一個數為=1,第二個數為x2=3,第三個數開始依次記為x3,x4xn;從第二個數開始,

每個數是它相鄰兩個數和的一半(秒冷=")

⑴求第三、第四、第五個數，并寫出計算過程；

(2)根據⑴的結果，推測.%8=；

(3)探索這一列數的規律，猜想第k個數.=.(k是大于2的整數)

29.正整數按如圖6-21所示的規律排列，則第十行，第十一列的數字是.

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行12510

111

第二行4--3611118

1111

第三行9--8-712

19—

1I

第四行16—15—14--1320

第五行25--24--23—22

圖6-21

30.(1)如圖6-22(a)所示，是由幾個大小完全一樣的小正方體搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示

在該位置小正方體的個數，請你在圖622(b)中畫出該幾何體的主視圖和左視圖.

(b)

圖6-22

(2)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一組數：1,1,2,3,5,8,13,,其

中從第三個數起，每一個數都等于它前面兩個數的和.現以這組數中的各個數作為正方形的邊長長度構造如圖6-23

所示的正方形：

再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個……正方形拼成如圖6-24所示的長方形，并記為①，②，③，④，…

2

□□iEZ

①②③④

圖6-24

相應長方形的周長見表6-2：

表6-2

序號①②③④

周長610y

仔細觀察圖形，上表中的x=

若按此規律繼續作長方形，則序號為⑧的長方形周長是.

拓展資源

31.探索：⑴一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成四部分，三條直線最多可以把平

面分成一部分，四條直線最多可以把平面分成一部分，試畫圖說明.

（2）n條直線最多可以把平面分成幾部分？

32.將正方形ABCD的各邊按如圖6-25所示的方式進行延長，從射線AB開始，分別在各射線上標記點A

1,Az,Ag，…,按此規律廁點A2012不在射線上.

圖6-25圖6-26

33.如圖6-26所示，電子跳蚤游戲盤為△ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果電子跳蚤開始時在BC邊上的點Po,BP0

=4第一步跳蚤跳到AC邊上點Pi,且（CPi=CP。;第二步跳蚤從點Pi跳到AB邊上點P2，.且AP2=AP];第三步跳

蚤從點P2跳回到BC邊上點P3,且打3=BP2;…….跳蚤按上述規則跳下去，第n次落點為點Pn（n為正整數），

則點B與點P2012之間的距離為（）.

A.3B.4C.5D.6

34.如圖6-27所示，是在正方形網格中按規律填成的陰影，根據此規律，則第n個圖中陰影部分小正方形的個

35如圖6-28所示，在標有刻度的直線1上，從點A開始,

以AB=1為直徑畫半圓，記為第1個半圓；

以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓；

以CD=4