專題13隱圓問題3種模型

壓軸題密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現方式：（1）定點定長：當遇到同一個端點出發的等長線段時，通常以這個端點為圓心，

等線段長為半徑構造輔助圓；（2）定弦定角：當遇到動點對定點對定線段所張的角為定值時，通常把張角

轉化為圓周角構造輔助圓。當遇到直角時，通常以斜邊為直徑構造輔助圓。（3）四點共圓：對角互補的四

邊形的四個頂點共圓。隱圓常與線段最值結合考查。

壓軸題預測

類型1：定點定長

1.（2023?新城區校級三模）圓的定義：在同一平面內，到定點的距離等于定長的所有點所組成的圖形.

（1）已知：如圖1,Q4=OB=OC,請利用圓規畫出過A、3.C三點的圓.若NAOS=70。，則NACB=.

如圖，RtAABC中，NABC=90。，ZBC4=3O°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點P為AC邊的中點，將AC沿54方向平移2個單位長度，點A、P、C的對應點分

別為點。、E、F,求四邊形尸C的面積和NBE4的大小.

（3）如圖3,將AC邊沿方向平移a個單位至小，是否存在這樣的“，使得直線加上有一點。，滿

足NBQ4=45。且此時四邊形54￡＞尸的面積最大？若存在，求出四邊形54DF面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說明理由.

D

圖3

圖1圖2

2.（2024?蘭州模擬）綜合與實踐

【問題情境】在數學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角形為背景，探究圖形變化過程中的幾何問

題，如圖，在AABC中，AB=AC,ABAC=90°,點D為平面內一點（點A,B,。三點不共線），AE為

AABD的中線.

【初步嘗試】（1）如圖1,小林同學發現：延長AE至點使得=連接DM.始終存在以下兩

個結論，請你在①，②中挑選一個進行證明：

@DM=AC；②NMZM+NZMB=180。；

【類比探究】（2）如圖2,將相>繞點A順時針旋轉90。得到AF,連接CF.小斌同學沿著小林同學的思

考進一步探究后發現：AE=-CF,請你幫他證明；

2

【拓展延伸】（3）如圖3,在（2）的條件下，王老師提出新的探究方向：點。在以點A為圓心，AD為半

徑的圓上運動（AO>AB）,直線AE與直線CF相交于點G,連接3G,在點D的運動過程中BG存在最大

值.若AB=4,請直接寫出3G的最大值.

圖1圖2圖3

3

3.（2022?番禺區二模）已知拋物線>=依2+陵-3（”>0）與工軸交于點4,3兩點，OA<OB,AB=4.其

頂點C的橫坐標為-1.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設點。在拋物線第一象限的圖象上，上，4。垂足為石，DF//y軸交直線AC于點P,當ADEF面

積等于4時，求點。的坐標；

（3）在（2）的條件下，點M是拋物線上的一點，〃點從點3運動到達點C,FM工FN交直線BD于點、N,

延長與線段DE的延長線交于點點P為N,F,H三點構成的三角形的外心，求點P經過的路線

長.

4.（2021?紅谷灘區校級模擬）（1）學習心得：小剛同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到有一些幾何

例如：如圖1,在A4BC中，AB=AC,440=80。，。是AABC外一點，^.AD=AC,求N3ZX7的度數.若

以點A為圓心，A5為半徑作輔助圓?A,則點C、。必在［A上，44C是A的圓心角，而N3DC是圓

周角，從而可容易得到NBDC=.

（2）問題解決：

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求NBAC的度數.

（3）問題拓展:

拋物線y=-L（x-l）2+3與y軸交于點A,頂點為3,對稱軸3C與x軸交于點C,點P在拋物線上，直線

PQ//8C交x軸于點。，連接BQ.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點。在僅2上，另一頂點E在

尸。上，求。的坐標；

②若含30。角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點。在3。上，另一個頂點E在PQ上，點。與點

3,點。不重合，求點P的坐標.

類型2：定弦定角

1.(2022?雁塔區校級三模)問題提出

(1)如圖①，已知AABC為邊長為2的等邊三角形，則AABC的面積為；

問題探究

(2)如圖②，在AABC中，已知NBAC=120。，BC=6百，求AABC的最大面積；

問題解決

(3)如圖③，某校學生禮堂的平面示意為矩形ABCD,其寬AB=20米，長3。=24米，為了能夠監控到

禮堂內部情況，現需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺攝像頭M進行觀測，并且要求能觀測到禮堂前端

墻面區域，同時為了觀測效果達到最佳，還需要從點〃出發的觀測角NAMB=45。，請你通過所學知識

進行分析，在墻面CD區域上是否存在點M滿足要求？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.

圖①圖②圖③

2.（2023?浦橋區校級模擬）問題提出：（1）如圖①，AABC為等腰三角形，ZC=120°,AC=3C=8,D

是AB上一點，且CD平分AABC的面積，則線段CD的長度為

B

圖①圖②圖③

問題探究：（2）如圖②，AABC中，ZC=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值,

若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

問題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國際電影開幕式在西安曲江競技中心舉行，主辦方要在會

場旁規劃一個四邊形花圃ABCD,滿足3c=600米，CD=300米，ZC=60°,NA=60。，主辦方打算過3C

的中點M點（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計）其中點E（出口）為四邊形ABCD邊上一

點，通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規劃成不同品種的花圃以供影迷

休閑觀賞.問是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請求出點A距出口的距離短的長；若不存在,

請說明理由.

3.(2023?柯城區校級一模)如圖，點A與點3的坐標分別是(1,0),(5,0),點P是該直角坐標系內的一個

動點.

(1)使NA/Z=30。的點。有個;

(2)若點P在y軸上，且NAPB=30。，求滿足條件的點P的坐標;

(3)當點尸在y軸上移動時，Z4PB是否有最大值？若有，求點尸的坐標，并說明此時Z4PB最大的理由;

若沒有，也請說明理由.

5-

4-

3-

2-

1-

iiiiB

-4-3-2-1012345

類型3：四點共圓

1.（2022?中原區校級模擬）閱讀下列材料，并完成相應的任務.

西姆松定理是一個平面幾何定理，其表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點

作三邊或其延長線的垂線，則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數學興趣小組的同學們嘗試證明該定理.

如圖（1）,已知AABC內接于O,點P在。上（不與點A,B,C重合），過點P分別作

AB,BC,AC的垂線，垂足分別為點。，E,F.求證：點。，E,P在同一條直線上.

如下是他們的證明過程（不完整）：

如圖（1）,連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點Q,連接QE.QF,

貝====（依據1）

;點、E,F,P,C四點共圓，

:.ZFCP+ZFEP=18O°.（依據2）

又?ZACP+ZABP=180°,

:.ZFEP^ZABP.

同上可得點3,D,P,E四點共圓，

任務：

（1）填空：

①依據1指的是中點的定義及—；

②依據2指的是—.

（2）請將證明過程補充完整.

（3）善于思考的小虎發現當點P是3c的中點時，BD=CF,請你利用圖（2）證明該結論的正確性.

PP

圖⑴圖⑵

2.(2021?哈爾濱模擬)(1)【學習心得】

于彤同學在學習完“圓”這一章內容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以

使問題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,。是AABC外一點，S.AD=AC,求"DC的度數.若

以點A為圓心，為半徑作輔助：4,則點C、。必在4上，ZBAC是.A的圓心角，而N3DC是圓周

角，從而可容易得到ZBDC=°.

(2)【問題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,NBDC=25。,求NBAC的度數.

(3)【問題拓展】

如圖3,如