壓軸熱點考點08三角形的相關概念及性質

壓軸突破—2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.平面內，將長分別為2,4,3的三根木棒按如圖方式連接成折線A-3-C-。，其中43可以繞點B任

意旋轉，保持NC=90。，將A,。兩點用繃直的皮筋連接，設皮筋長度為d,則d不可能是（）

2.如圖，ABC中，AO是/54C的平分線，BE是中線，AD與BE交于點F,于點連接CO,

且AC=C￡>,四邊形ABDC的面積是27,則V3Z>的面積與尸的面積之差為（）

A.27B.18C.9D.3

3.如圖，已知ABC內接于O,ZBAC=0（O<3<6O°）,BC=6,點、P為ABC的重心，當點A到2C

的距離最大時，線段尸O的長為（）

21

B.

tan0sin0tan0sin0

C.tang—2sineD.2tan9-sing

4.有一內角是30。的直角三角尺CDE與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點R若NCDE的平分

線。G平行于直尺的短邊AB,則NABC的度數是（）

D

C.20°D.30°

5.物理學光的反射現象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內；反射光線和入射光線分別位

于法線兩側；入射角等于反射角.這就是光的反射定律.如圖，兩平面鏡與3C的夾角為a,一條光線

經過兩次反射后，ZAEF=NGEB,ZBGE=ZCGH,仍可以使入射光線E尸與反射光線G〃平行但方向

相反，則a的度數為（）

C.90°D.100°

6.某驅逐艦在海上執行任務后剛返回到港口A,接到上級指令，發現在其北偏東30。方向上有一艘可疑船

只C,與此同時在港口A處北偏東60。方向上且距離10km處有另一艘驅逐艦8也收到了相關指令，驅逐艦

3恰好在可疑船只C的南偏東30。的方向上，則可疑船只C距離港口A的距離為（）

A

A.述kmB.坦叵kmC.迎鼠mD.10瓜m

333

AR3

7.如圖，在矩形A3CD中，E是邊8上的一動點，以AE為直徑的）0經過邊上的一點孔若

BC4

CF

使一ZME最小，則當的值為（）

8.在數學拓展課上，有兩個全等的含45。角的直角三角板ADE,A3C重疊在一起.李老師將三角板ADE

繞點A順時針旋轉（保持/班￡<90。），延長線段,與線段CB的延長線交于點/（如圖所示），隨著N54E

的增大，C尸-EF的值（）

A.一直變小B.保持不變C.先變小，后變大D.一直變大

二、填空題

9.如圖，已知ABC的面積為18,點/和點N分別為A8邊和8C邊上的中點，分別連接AN、CM相交

于點尸.

（1）PN:PA=；

（2）的面積為.

10.如圖，在..ABC中，點。在3C邊上，沿AD將，ABC折疊，使點C與BC邊上的點C'重合，展開后得

到折痕。.

BCDC

（1）折痕”是ABC的；（填“角平分線”“中線”或“高”）

（2）若NB4C'=15。，則NC比，B的度數大°.

11.如圖，已知，ABC的面積為12,結合尺規作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為

I

12.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、2、C作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的

公路相連，并且廠房。與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且BC>AC>AB.已知廠房。到每條公路

的距離相等.

（1）則點。為‘ABC三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖，設3c=a,AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現要用汽車每天接送職工上下班

后，返回廠房停放，那么最短路線長是.

13.如圖，直線a,b,c在同一平面內，直線a,c交于點。，4=75。，/2=50。.

（1）a,b相交所成的銳角為。；

（2）保持直線b,c固定不動，直線a繞點。最少旋轉。時，可使直線

14.如圖，在一ABC中，BC=10,AC=8,ZC=30°.若將，ABC沿EF折疊，點A與邊BC的點。恰

好重合，點H,G分別在8。，8上.將ABC沿E”折疊，點B與點。恰好重合.將ABC沿FG折疊，

點C與點。恰好重合，則四邊形ER汨的周長為.

15.如圖，在AABC中，AB=4,點P為AC邊上一點，PELAB于點E,PFL8C于點孔將NA、/C分

別沿PE、尸尸折疊，使點A、C分別落在邊A3、BC上的點G、H處.

(1)當/8=50。時，則NGPH=.

(2)當四邊形BHPG為平行四邊形時，則PE+PF的值為

3

16.如圖，AABC中，ZB=90°,BC=3,AB=5,ZA=a,易知tana=-,聰明的小強想求tan2a的值,

于是他在AB上取點。，使得CZ)=A。，貝Utan2a的值為

17.如圖，城市A發生了小型地震，地震發生后，城市8的甲救援隊與城市C的乙救援隊同時接到訊息,

同時乘直升機趕往城市A.城市C在城市8的正東方向，城市A位于城市8的北偏東60。方向上，位于城

市C的北偏東29。方向上，己知城市A,8之間的距離為100km.若甲救援隊的飛行速度為90km/h,乙救

援隊的飛行速度為60km/h.問哪支救援隊先到達城市A?請說明理由.(參考數據：sin29°?0.48,

cos29°?0.87,tan29°?0.55,sin310-0.52,cos310-0.86,tan31°?0.60,石?1.73)

18.某校數學興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰RtABE和等腰

RtBCF,③和④分別是RtCDG和RtDAH,⑤是正方形EFGH.這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫

隙且對角互補的四邊形ABCD,直角頂點E,F,G,"分別在邊3尸，CG,DH,AE上.

⑴求證：ZADH=NDCG；

(2)若AH="E=2,求。G的長;

DG5.DA_

⑶若“求而的值.

GH

19.如圖,已知：ABC,M為邊AC上一動點，AM=mMC,D為邊BC上一動點、,BD=nDC,8M交AD

于點N.

(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質,

請大家探究以下問題

若心〃，則深=

=1(直接寫出結果)

BN

(2)【問題探究】若加=1,猜想與“存在怎樣的數量關系？并證明你的結論

MN

s

(3)【問題拓展】若"7=1,〃=2,則…=______(直接寫出結果)

D四邊形CDNM

20.如圖，ABC中，AB=40m,AC=20m,ABAC=150°.

(1)尺規作圖：作ASC的高CH,垂足為H；(不寫作法，保留作圖痕跡)

(2)要在空地ABC上種植草皮美化環境，已知這種草皮每平方米。元，則購買這種草皮一共需要多少元?

壓軸熱點考點08三角形的相關概念及性質

壓軸突破—2024年【中考?沖刺】數學高頻熱點考點好題精編

一、單選題

1.平面內，將長分別為2,4,3的三根木棒按如圖方式連接成折線A-3-C-O,其中可以繞點8任

意旋轉，保持NC=90。，將A,。兩點用繃直的皮筋連接，設皮筋長度為d,則，不可能是（）

【答案】D

【分析】連接50,根據勾股定理可得的長，在分兩種情況討論即可;

【詳解】連接50,則BD=432+41=5-

如圖1,當點A在線段8。上時，d=5-2=3；

如圖2,當點A在03的延長線上時，4=5+2=7,

的取值范圍為3W4V7,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用、三角形的三邊關系，解題的關鍵是構造直角三角形，利用勾股

定理求出BD.

2.如圖，ABC中，AD是NBAC的平分線，3E是中線，AD與BE交于點、F,于點連接CD,

S.AC=CD,四邊形ABDC的面積是27,則V3D尸的面積與△AEF的面積之差為（）

A

A.27B.18C.9D.3

【答案】C

【分析】延長AC,交5。的延長線于點G,證明BDA=^GDA(ASA),可得BD=G。，SABD=^S

再證明CD=CG,可得2As從而可得SABO=2SA8，由四邊形ABDC的面積是27,

可得S.=S板=18,再根據m是ABC的中線，可得S.=9,從而求得S?-Sa.=9,即可求解.

【詳解】解：延長AC,交3。的延長線于點G,如圖所示，

???AD是/BAC的角平分線，

：.ZBAD=ZGADf

9：BD±AD,

：.NBDA=NGDA,

在△B/M和△G/M中，

/BAD=NGAD

<AD=AD,

ZBDA=ZGDA

：.,BDA=GDA(ASA),

:.BD=GD,

?,SABD=5SABG，

,:AC=CD,

：.ZCAD=ZCDA,

ZADG=9Q0,

：.ZCAD+ZAGD=90°,

??.NCDG=ZAGD,

:?CD=CG,

,:AC=CG,

,,SACD=萬$,ADG=WSABG，SABC=]ABG=gABD，

??0ABD-ZPACD，

,/四邊形ABAC的面積是27,

SABD=SABC=18,

；BE是A6C的中線,

???0VABE—=9>'

??-5^-5^=18-9=9,

NBDF的面積與△AEF的面積之差為9,

故選：C.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形中線的性質、角平分線的定義，添加合適的輔助線

構造全等三角形是解題的關鍵.

3.如圖，已知ASC內接于O,ZBAC=3(0<0<60°),3C=6,點尸為ABC的重心，當點A到BC

的距離最大時，線段PO的長為（

2]

B.

tan0sin0

C.tang—2sin￡D.2tan9-sing

【答案】B

【分析】根據題意作出對應的圖形，連接OC,B0,得AHLBC,由垂徑定理得BH=g8C=3,再由

翁*京，si"=黑，2。=亮,半徑相等，爪看再由點尸為g重心,

222

可知AP=7AH,得AP=--+——,最后列式OP=AP—49即可.

3tanusin6

【詳解】解：如圖所示，連接A0,過點。作0"，3c于"，連接0C,B0,如圖所示，設點A到BC的

距離為h：

9：h<OA+OH,

???當點A到的距離最大時，AO,H三點共線,

：.AH±BC,BH=LBC=3,

2

???NBAC=，(0v，v60。),

AZBOC=20,ZBOH=0,BH=-BC=3,

2

八BHsin八也

;在RtBOH,tan6=-----,

OHOB

33

??.OH=------,BO=——，

tan。sin。

;AO=BO,

333

AAO=——,AH=AO+OH=------+——

sin0tan0sin0

??,點尸為，ABC的重心，

AP=-AH=-(AO+OH)=-x(^—+^—]=-^—+^—

33'3<tansin0)tansin0

22321

.?.OP=AP-AO=----+------；—=-------；—,

tan0sin0sin0tan0sin0

故選：B.

【點睛】本題主要考查的是解直角三角形以及三角形的重心，正確掌握三角形的重心是三條中線的交點是

解題的關鍵.

4.有一內角是30。的直角三角尺CDE與直尺如圖放置，三角尺的斜邊與直尺交于點尸.若NCDE的平分

線。G平行于直尺的短邊則NAFC的度數是（）

D

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵.

設。G與■交于點根據角平分線的定義和外角的性質求得NDGE="CE+/CDG=75。，然后利用

直角三角形兩銳角互余計算求解.

【詳解】解：設DG與AF交于點如圖，

NCDG=-ZCDE=45°,

2

NDCE=30。,

：.ZDGE=ZDCE+ZCDG=75°,

DG//AB,ABYAF,

：.DG±AF,即/GMF=90°,

/.ZAFC=90°-ZDGE=15。，

故選：B.

5.物理學光的反射現象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內；反射光線和入射光線分別位

于法線兩側；入射角等于反射角.這就是光的反射定律.如圖，兩平面鏡與3C的夾角為a,一條光線

經過兩次反射后，ZAEF=ZGEB,NBGE=NCGH,仍可以使入射光線E尸與反射光線GH平行但方向

相反，則a的度數為（）

A

A.60°B.80°C.90°D.100°

【答案】C

【分析】分別過點E、G作即，AB,DGA.BC,垂線相交于點由入射角等于反射角，可得

NGED=g/GEF,NEGD=；NEGH,再根據平行線的性質可得NGEb+NEG”=18O。，即

NEGD+NGED=90。，再由43EG+NGEZ)=9O。，NBGE+NEGD=90。,可得ZfiEG+/BGE=90。，再

利用三角形內角和定理即可求解.

【詳解】解：分別過點E、G作田，AB,DGLBC,垂線相交于點Z),

???入射角等于反射角，

AGED=-NGEF,ZEGD=-ZEGH,

22

:EF//GH,

：.ZGEF+ZEGH=180°,即2NGED+2NEGD=180°,

ZGED+ZGED=90°,

又ZBEG+ZGED=90°,ZBGE+NEGD=90°,

/.ZBEG+NBGE=90。,

Za=180°-(ZBEG+ZBGE)=180°-90°=90°,

故選：C

【點睛】本題考查平行線的性質、三角形內角和定理，理解題意，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

6.某驅逐艦在海上執行任務后剛返回到港口A,接到上級指令，發現在其北偏東30。方向上有一艘可疑船

只C,與此同時在港口A處北偏東60。方向上且距離10km處有另一艘驅逐艦8也收到了相關指令，驅逐艦

3恰好在可疑船只C的南偏東30。的方向上，則可疑船只C距離港口A的距離為（）

,'C

1

1

A.施kmB.C.20,小D.106km

33

【答案】c

【分析】由題目條件NC4B=30。，ZACB=6O°,得到是直角三角形，由/ACB的正弦定義即可求

解.

【詳解】解：船只C在港口A北偏東30。方向，3在港口A處北偏東60。方向，

.?.ZG4B=60°-30o=30°,

.驅逐艦B在可疑船只C的南偏東30。的方向上，

,-.ZACB=30°+30°=60°,

ZABC=180°-30°-60°=90°,

AB

sinZACB=-----,AB=10km,

AC

.-.AC=AB=

sinZACBsin6003

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形-方位角的應用,.三角形內角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數值是解

題的關鍵.

7.如圖，在矩形ABCD中，—7,￡是邊。上的一動點，以AE為直徑的O經過BC邊上的一點尺若

BC4

CF

使1D4E最小，則修的值為（）

DE

Q

4

A.1B.一C.-D.-

543

【答案】B

【分析】根據NZME最小得到以AE為直徑的與8C相切于點F,設」。與AB交于點G,連接EG,OF,

EG與OF交于點H,設筋=3尢，則BC=43設BG=EC=x,貝=-x,OF=^(3k+x),

AE^2OF^3k+x,利用矩形的性質，圓的切線的性質，圓周角定理和勾股定理求得x值，即可得到答案;

【詳解】解：最小，

；.AE為直徑的O與2C相切于點K如圖所示，

設(。與43交于點G,連接EG,OF,EG與OF交于點H,

?..四邊形ABCD是矩形，

.?.々="=90。，AD=BC,AB=CD,

；AE為直徑，

/AGE=90。，

NBGE=90。,

，四邊形5CEG是矩形，

BG=EC,

,/BC為二。的切線，

/.OF±BC,

：.OF//AB//CD,

：.OF為梯形ABCE的中位線，

/.OF=1(AB+CE),

??絲=3

BC4'

：.T^AB=3k,則5c=4左，設BG=EC=x,貝ij￡)E=3Z—尤,

O斤=；(3人+尤)，

/.AE-2OF—3k+x,

在Rt^ADE中，

AD2+DE2=AE2,

：.(4左了+(3左一尤y=(3%+x)2,

4

解得：x=—k,

4

EC=-k,

3

DE=CD-CE=-k,

3

?3__4

DE55

—k

3

故選：B；

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，圓的有關性質，圓周角定理，切線的性質定理，梯形的中位線定理，

勾股定理，利用已知條件確定出符合條件的圖形是解題的關鍵.

8.在數學拓展課上，有兩個全等的含45。角的直角三角板ADE,A3C重疊在一起.李老師將三角板ADE

繞點A順時針旋轉（保持NBAE<90。），延長線段DE,與線段CB的延長線交于點尸（如圖所示），隨著NBAE

的增大，CF-EF的值（）

A.一直變小B.保持不變C.先變小，后變大D.一直變大

【答案】B

【分析】利用證明RtABF^RtADF,得BF=DF,從而CF-EF=2BC,則可得出結論.

【詳解】解：如圖，在FC上截取FG=FE,連接AG,AF,

由題意得：ZABF^ZADF^90°,AB=AD,DE=BC,

在RtAB尸和Rt4加中，

AF=AF

AB=AD

.'.RtABF=RtADF(HL),

:.BF=DF,

:.CF-EF=BC+BF-EF=BC+DE+EF-EF=BC+DE=2BC,

.?.CF-EF的值保持不變.

故選：B.

【點睛】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，熟記旋轉的性質是解題的關鍵.

二、填空題

9.如圖，已知ABC的面積為18,點M和點N分別為A8邊和3C邊上的中點，分別連接AN、CM相交

于點P.

(1)PN:PA=；

(2)的面積為.

【答案】1:26

【分析】(1)利用中位線的性質，證明△PMNs/\pc4,即可解答;

(2)根據同高的兩個三角形之比等于底邊之比即可解答.

【詳解】解：(1)點M和點N分別為AB邊和BC邊上的中點，

.?.山〃4(7且加=以。，

2

ZPMN=ZPCA,ZPNM=ZPAC,

:.APMNSAPCA,

:.PN:PA=MN:AC=1:2-,

(2)QPN:PA=1:2,

.u△APC_2

'△PCN

221

S/\PAC~]S^ANC^AABC=6.

故答案為：1:2；6.

【點睛】本題考查了中位線的判定及性質，中線的性質，利用等高的三角形的面積之比為底邊之比是解題

的關鍵.

10.如圖，在二ABC中，點。在BC邊上，沿AD將.ASC折疊，使點C與BC邊上的點C'重合，展開后得

到折痕。.

(1)折痕。是ASC的；(填“角平分線”“中線”或“高”)

(2)若/BAC'=15。，則NC比N3的度數大

【答案】高15

【分析】(1)由折疊的性質結合三角形角平分線，中線，高的定義即可判斷；

(2)由折疊的性質結合三角形外角的性質即可求解.

【詳解】(1)由折疊的性質可知ADJ.BC,ACAD=ACAD,CD=ZC'D,

二折痕。是ABC的高.

故答案為：高；

(2):由折疊的性質可知NC=NACZ>,ZAC'D=ZB+ZBAC,

：.ZC-ZB=ZAC'D-ZB=ABAC=15°.

故答案為：15.

【點睛】本題考查折疊的性質，三角形角平分線，中線，高的定義，三角形外角的性質.熟練掌握上述知

識點是解題關鍵.

11.如圖，已知ABC的面積為12,結合尺規作圖痕跡所提供的條件可知，的面積為.

I

【答案】4

【分析】由作圖知M,N分別為他的中點，利用中位線定理得出MN再利用等底

同高三角形面積相等得SACM=12,最后利用相似比得出面積比，即可得解;

【詳解】連MN,由作圖知N分別為AB,8c的中點，

MNAC,MN=-AC,

2

由等底同高三角形面積相等得sACM=SBCM=：xSABC=：x12=6

?22

又?.,4W〃AC

ZPAC=ZPNM,ZPCA=NPMN,

：.-ACPNMP

.MPMN_1

**PC-^4C-2

?PC_2_2

**CM-l+2-3

,22

S--=-x6=4

APC3ACM3

故答案為：4

【點睛】本題考查了尺規作圖，三角形的中位線，相似三角形的判定和性質，三角形中線的性質等知識點，,

熟練掌握其性質是解決此題的關鍵.

12.如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓A、B,。作為職工宿舍，每幢宿舍樓之間均有筆直的

公路相連，并且廠房。與每幢宿舍樓之間也有筆直公路相連，且已知廠房。到每條公路

的距離相等.

（1）則點。為二.ABC三條的交點（填寫：角平分線或中線或高線）；

（2）如圖，設3。=。，AC=b,AB=c,OA=x,OB=y,OC=z,現要用汽車每天接送職工上下班

后，返回廠房停放，那么最短路線長是.

【答案】角平分線y+c+b+z

【分析】(1)根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，進行作答即可;

(2)根據題意，得到三條路線，在上截取=連接。E,證明，絲EBO(SAS),利用三角

形的三邊關系，即可得到最短路徑.

【詳解】解：(1)???廠房。到每條公路的距離相等，

二點。為ABC三條角平分線的交點；

故答案為：角平分線.

(2)如圖：

有三條路線可走：dl=x+c+a+z,d2=x+b+a+y,d3=y+c+b+z,

在3C上截取=連接0E,

:點。為ASC三條角平分線的交點，

ZABO=ZOBE,

在，450和E3O中，

AB=BE

<乙ABO=ZOBE,

BO=BO

：.tA3O烏EBO(SAS),

Z.OA=OE,AB=BE,

在(ECO中，y-x<a-b,

4-4<。，

同理&一d,<0,

二4最短，

即最短路線長為：y+c+b+z.

故答案為：y+c+b+z.

【點睛】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的三邊關系.熟練掌握相關知識點

并靈活運用，是解題的關鍵.

13.如圖，直線a,b,c在同一平面內，直線a,c交于點。，4=75。，Z2=50°.

(1)a,b相交所成的銳角為°；

(2)保持直線b,c固定不動，直線a繞點。最少旋轉。時，可使直線0，6.

【答案】2565

【分析】(1)由三角形外角的性質得到NA=N1-N2=75。-50。=25。，即可得到〃，6相交所成的銳角;

(2)過點。作03,，于點B,垂足為點B,則=90。，根據三角形內角和定理得到

Z3=180°-ZA-ZABO=65°,即可得到答案.

【詳解】解：如圖，直線。相交所成的銳角為-A,

c

：.ZA=Z1-Z2=75°-50°=25°,

即6相交所成的銳角為25。,

故答案為：25

(2)如圖，過點。作03,6于點2,垂足為點2,

則NAFO=90°,

,?ZA+Z3+ZABG>=180°,

/.Z3=180°-ZA-ZABO=180°-25°-90°=65°,

即直線。繞點。最少旋轉65。，可使直線°工人

故答案為：65

【點睛】此題考查了三角形外角的性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握三角形外角的性質、三角形

內角和定理是解題的關鍵.

14.如圖，在ABC中，BC=W,AC=8,ZC=30°.若將，ABC沿E尸折疊，點A與邊8c的點。恰

好重合，點H,G分別在BO,CD上.將ABC沿E"折疊，點B與點。恰好重合.將ABC沿FG折疊,

點C與點。恰好重合，則四邊形加的周長為.

［分析】將uABC沿EF折疊，點A與邊5c的點。恰好重合,得的是.ABC的中位線,可證明四邊形EFGH

為矩形，根據NC=30。，可得/G=2,即可解答.

【詳解】解：：將ABC沿所折疊，點A與邊BC的點。恰好重合，

；.EF是ABC的中位線，

/.EF=-BC=5,EF//BC,AF=FC=-AC=4,

22

由折疊的性質可得：EHIBC,FG工BC,

:.EFLEH,GF±EF,

：.ZEHG=ZHGF=NHEF=ZEFG=90°,

二四邊形￡7^汨為矩形，

"?ZC=30°,

FG=-FC=2,

2

二四邊形EFGH的周長為2(EF+PG)=2x7=14,

故答案為：14.

【點睛】本題考查了翻折變換，三角形中位線定理，含30。角的直角三角形，矩形的判定與性質，解決本

題的關鍵是掌握上述知識點.

15.如圖，在AABC中，43=4,點尸為AC邊上一點，PELAB于點E,PFLBC于點尸，將NA、/C分

別沿PE、尸尸折疊，使點A、C分別落在邊A3、BC上的點G、H處.

(1)當/8=50。時，則NGPH=.

(2)當四邊形BHPG為平行四邊形時，則PE+尸尸的值為.

【答案】80°273

【分析】(1)根據三角形的內角和與折疊的性質即可求解；

(2)根據四邊形8HPG為平行四邊形時得到△ABC是等邊三角形，再根據解三角形的性質即可求解.

【詳解】(1)當NB=50。時,則/A+NC=130°,

由折疊可得，ZAGP=ZA,/PHC=/C,

：.ZAGP+ZPHC=\?>00,

：.ZAPG+ZCPH=(180°-ZA-ZAGP)+(180°-ZC-ZP//C)=360°-(ZA+ZC)-CZAGP+ZPHC)=100°,

AZGPH=18O0-(NAPG+NCPH)=80°,

故答案為：80°；

(2)當四邊形為平行四邊形時，AB//PH,GP//BC,

：.ZAGP=ZB,NPHC=NB,

VZAGP=ZA,ZPHC=ZC,

：.ZA=ZB=ZC,

.,.△ABC是等邊三角形，AC=AB=4,

：.ItRt^AGPRt^PCF,PE+PF=APcos600+PCcos600=(AP+PC)cos600=ACcos60°=4x=273,

2

故答案為：2石.

【點睛】此題主要考查平行四邊形與幾何綜合，解題的關鍵是熟知平行四邊形的性質、三角形內角和定理、

折疊的性質、解直角三角形的方法.

,,3

16.如圖，△ABC中，ZB=90°,BC=3,AB=5,NA=a,易知tana=y,聰明的小強想求tan2a的值,

于是他在A3上取點。，使得CZ)=A。，則tan2a的值為.

【答案】V

O

【分析】根據等邊對等角可得NA=NACZ),再利用三角形的外角可知NCD8=2a,然后在7？公。8中利

用勾股定理先求出BD即可解答.

【詳解】解：

/.ZA^ZACD,

是△ACO的外角，

ZCDB=ZA+ZACD=2a,

在用ACDB中，設8。為x,則A0=CO=5-X,

?；BC2+BD2=CD2,

A32+x2=(5-x)2,

.*.x=1.6,

：.BD=1.6,

tan2oc——,

8

故答案為：v-

o

【點睛】本題考查等腰三角形性質，三角形外角性質，勾股定理，銳角三角函數定義，掌握等腰三角形性

質，三角形外角性質，勾股定理，銳角三角函數定義解題關鍵.

三、解答題

17.如圖，城市A發生了小型地震，地震發生后，城市8的甲救援隊與城市C的乙救援隊同時接到訊息,

同時乘直升機趕往城市A.城市C在城市5的正東方向，城市A位于城市3的北偏東60。方向上，位于城

市C的北偏東29。方向上，已知城市A,8之間的距離為100km.若甲救援隊的飛行速度為90km/h,乙救

援隊的飛行速度為60km/h.問哪支救援隊先到達城市A?請說明理由.(參考數據：sin29°?0.48,

cos29°?0.87,tan29°?0.55,sin31°?0.52,cos31°~0.86,tan31°?0.60,石?1.73)

【答案】乙救援隊先到達城市A.理由見解析

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，三角形內角和定理，含30。的直角三角形.解題的關鍵是掌握

直角三角形的有關性質和三角函數的定義及其應用，三角函數的應用題常常需要作垂線段，構造直角三角

形.

法一：如圖1,過點A作AD13C的延長線于點。.則AO=；A8=50km,甲救援隊到達城市A所用的時

間為華=粵=次h),則乙救援隊到達城市A所用的時間約為嘗然后比較時間的大小關

9090960cos290-60

系并作答即可;法二:如圖2,過點C作CD，AB,垂足為。.設CD=xkm,則3。=—=氐(km).由

三角形內角和定理可求/A=31。，則AO=Z“：x(km).由8D+AD=AB可得氐+：x=100,即可求

tanA33

^=150(373-5),乙救援隊到達城市A所用的時間約為罷=二半左，然后比較時間的大小關系并作答

\)60sinA-60

即可.

【詳解】解：乙救援隊先到達城市A,理由如下:

法一：解：如圖1,過點A作AD1BC的延長線于點。.

圖1

由題意得，/ABC=90。一60。=30。,

?/AD±BC,AS=100km,

AD=IAB=50km,甲救援隊到達城市A所用的時間為署=黑=￡(h),

,/ZCAD=29°,

ACAn57IQ

乙救援隊到達城市A所用的時間約為茄=小而。而=而3,

..10^19

920

；?乙救援隊先到達城市A.

法二：解：如圖2,過點C作CDLAB,垂足為。.

設CD=xkm,

由題意得，ZASC=90°-60°=30°,

CD

BD==^x(km).

tanZABC

ZA=180°-30°-90°-29°=31°,

CD5

???AD=——

tanA3v7

'：BD+AD=AB,

.**y/3xH—x=100,

3

解得％=150(3g-5),

ACCD150（3A/3-5）150X25（373-5）19

乙救援隊到達城市A所用的時間約為荀=嬴而=520=一百羨6—“三（可，

----xoU

..1019

920

，乙救援隊先到達城市A.

18.某校數學興趣小組模仿七巧板制作了一副如圖所示的五巧板，①和②分別是等腰RtABE和等腰

RtBCF,③和④分別是RtCDG和RtDAH,⑤是正方形EFG".這副五巧板恰好拼成互不重疊也無縫

隙且對角互補的四邊形ABCD,直角頂點E,F,G,"分別在邊3尸，CG,DH,AE上.

⑴求證：ZADH=NDCG；

⑵若AH二HE=2,求DG的長;

DG5.DA,,,,

⑶若GH"求友的假

【答案】（1）見解析

(2)a-1

（3）1

【分析】（1）根據題意利用等腰三角形性質得NABC=NABE+NCBb=90。，再利用三角形內角和性質即

可得到本題答案；

（2）根據題意利用正方形性質得〃E=EF=FG=GH,再利用相似三角形判定得△ZMHS^CDG,后利

用對應邊成比例即可得到本題答案；

(3)根據(2)中相似的結論利用相似三角形性質即可得到本題答案.

【詳解】（1）解：證明：ABE和△5C5都是等腰直角三角形,

/.ZABE=45°,ZCBF=45°,

ZABC=ZABE+ZCBF=90°

四邊形ABCD是對角互補的四邊形，

.?.ZADC+Zz4BC=180°,

/.ZADC=90°,即ZAZ）//+NCDG=90。.

CDG是直角三角形，

/.ZDCG+ZCDG=90°.

:.ZADH=ZDCG；

（2）解：四邊形￡FG”是正方形，

,\HE=EF=FG=GH.

ABE和ABCF都是等腰直角三角形，

:.AE=BE,BF=CF,

AH=HE=2,

：.AE=BE=4,BF=CF=6,CG=8,

AH4H和-CDG都是直角三角形，

/.ZAHD=ZDGC=90°,

由（1）得ZADH=/DCG,

:.△DAHsACDG.

AHDH目門2DG+2

/.=---,即——=-------,

DGCGDG8

DG=y/17-l;

（3）解：設:DG=5k,GH=4k,AH=x,則HE=EF=FG=4k,

AE=BE=4k+x,BF=CF=8左+x,CG=12左+x,

由（2）知：LDAHsMDG,

.AH_DH_AD

'~DG~~CG~~DC'

DA_3

DC-5

【點睛】本題考查等腰直角三角形性質，三角形內角和性質，正方形性質，相似的判定及性質.熟悉相關

圖形的性質，弄清圖中線段間的關系是解題的關鍵.

19.如圖，已知一ABC,M為邊AC上一動點，AM=mMC,。為邊8C上一動點，BD=nDC,BM交.AD

于點M

(1)【問題提出】三角形的三條中線會相交于一點，這一點就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性質,

請大家探究以下問題

若rn=〃=l,貝4黑BN=______(直接寫出結果)

MN

(2)【問題探究】若〃2=1,猜想B管N與“存在怎樣的數量關系？并證明你的結論