大招垂美四邊形模型

模型介紹

13結論：對角線互相垂直的四邊形叫做"垂美"四邊形，如圖所示則有：AB2+CD2=AD2+BC2

【證明】'：AC±BD,

：.ZAOD^ZAOB^/BOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得：

AB2+CD1=Ad1+BO2+CO2+DO2,

ADr+BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,；.AB1+CD1=AD1+BC2

團方法點撥

①對角線垂直的四邊形對邊的平方和相等;

②已知三邊求一邊的四邊形，可以聯想到垂美四邊形

例題精講

【例1].如圖，在四邊形ABC。中，ACLBD,若42=5愿，AD=5?CD=12,則BC

=13.

解：設AC,BD交于點0,

；ACLBD,AB=5y/3,AD=5?,CD=12,

；Q2+OB2=75,OA2+OQ2=50,o￡>2+oc2=i44,BC2=OB2+OC2,

OA2+(9B2+OD2+(9C2-(OA2+OD2)=OB2+(9C2=169,即BC2=169,

；.8C=13.

故答案為：13.

A變式訓練

【變式1T】.如圖，在△ABC中，AD,8E分別是BC,AC邊上的中線，且垂

足為點尸，設BC=a,AC=b,AB=c,則下列關系式中成立的是()

A.cr+b2=5c1B.a2+b2=4c1C.a2+b2=3c2D.a1+b2=2c2

解：連接。E,如圖，

設EF=x,DF=y,

,：AD,BE分別是BC,AC邊上的中線,

DE為AABC的中位線，

J.DE//AB,DE=—AB,

2

.EF=DF=DE=1

"BFAFAB2"

：.AF=2DF=2y,BF=2EF=2x,

\'ADLBE,

：.ZAFB=NAFE=NBFD=90°,

在RtZkAfS中，4x2+4y2=c2,①

22

在中，?+4y=A/?,②

在RtZ\2Fr)中，4/+丫2=工/,③

4

22

②+③得5f+5y2=JL(a+b),

4

：.4x2+4y2=—(a2+b2),④

5

①-④得c2--(/+必)=0,

5

即cr+b2=5c2.

故選：A.

【變式1-2].如圖，四邊形ABC。是圓。的內接四邊形，請回答下列問題:

(1)若AB〃CD,求證：弧80=弧AC

(2)若8=4,圓。的半徑為3,求的長;

(3)在(2)的條件下求B42+p82+pc2+PZ)2的值.

(1)證明：?:ABHCD,

：.ZBAC=ZACD,

BC=AD,

BC+AB=AD+AB,

...弧30=弧AC；

(2)解：過點。作OELCO于點E,作直徑CR連接型，FD,如圖:

,?OE_LCD于點E,

為中點，CE=Z)E=~1CO』X4=2,

22

:圓。的半徑為3,

°E=Voc2-CE2=VS2-22=遙，

:。為C尸中點，E為cr＞中點，

:.DF=2OE=2娓,

是O。直徑，

：.ZCAF^9Q°,ACLAF,

'：AC±BD,

：.BD//AF.

：.ZADB=ZFAD,

.\DF=AB,

尸=2遙；

(3)解：?.,AC_LBD于點P,

：.AB2=PA2+PB2,CD1=PC2+Pb2,

PA2+PB2+PC2+PD1=AB2+CD2,

由(2)知48=2泥，CD=4,

：.AB2+CD2=(2V5)2+42=36,

...B42+PB2+PC2+P￡>2=36.

證明：過點尸作E凡LAB交AO于點凡0C于點E；過點P作GHLA。交于點G,

CB于點H.則FA=DE,FP=HB,CH=EP,HP=EC.

：.P^+PC1=F^+FP1+CH1+HP2

=DE2+HB2+EP2+HP2

=PB2+PD2,

:.PA2+PC2=PB2+PD2,

.?.22+42=32+PZ)2,

.*.PD=Vn.

故答案為J五.

A變式訓練

【變式27].對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現有如圖所示的“垂美”四

邊形ABCD,對角線AC、BD交于點、O.若AD=疵,BC=3&,則482+“)2=23.

解：'JACLBD,

：.ZBOC^ZCOD^ZDOA^ZAOB=90°,

：.OB2+OC2=BC2,OA1+OD1=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD1=CD2,

：.AB2+CD2=OB1+O^+OC1+OD2=BC2+AD2,

VAD=V5，BC=3?

：.BC2+AD2=(3&)2+(遙)2=18+5=23,

：.AB2+CD2=23,

故答案為：23.

【變式2-2].如圖，在△ABC中，AC=3,BC=4,若AC,BC邊上的中線BE,AD垂直

相交于。點，則42=_'而_.

AEC

解：'：AD.BE為AC,8C邊上的中線，

：.BD=^BC=2,AE=』AC=3,點。為△ABC的重心，

222

：.AO=2OD,0B=20E,

"JBELAD,

：.BO2+OD2=BD1=4,OE1+Ab2=AE2=^-,

4

.,.BO2+AAO2=4,1BO1+AO2=^-,

444

；.^!-BO2+—AO2^—,

444

：.BO2+AO2=5,

.,.AB=^BQ2+AQ2=75,

故答案為

1.兩個矩形，小矩形繞著公共點C任意旋轉，在旋轉到如圖所示的位置時，求BE^+DK1

的值.

解：?；NBCD=/KCE=90°,

：.ZBCK=ZDCE,

vBC6_3CK_4.53

乂?=------，-=—，

DC84CE64

.BC=CK

"CDCE'

：.4BCKS叢DCE,

:.NCBK=NCDE,

:ZCBK+ZKBD+ZBDC=90°,

:.NCDE+/KBD+/BDC=90°,

ZDOB=90°,

：.Of^+DO1=DK2,BO^+OE2=BE2,

：.BE^+DK2=Of^+EC^+DC^+BO1=BD^+KE2=AB2+AD2+KF2+KE2=36+64+36+20.25=

156.25.

2.如圖，在四邊形ABCD中，對角線分別為AC,BD,且于點O,若AO=2,BC

=6,則A#+CD2=40.

解：在RtZkAB。與RtZkCDO中，由勾股定理得,

AB2=BO2+AO1,

CD2=CO2+DO2,

：.AB1+CD2=BO1+cd1+Ad2+DO2,

在RtZ\20C與RtZWOD中，由勾股定理得，

BC2=BO2+CO2,

AD2=AO2+DO2,

：.AB2+CD2=BC2+AD2=62+22=40,

故答案為：40.

3.如圖，在RtZXABC中，/BAC=90°,M、N是BC邊上的點，BM=MN=NC,如果AM

—4,AN—3,則MN—_遍_.

B

AC

解：過M,N分別作AC的垂線MD和NE,作NOLMO,D、E、O為垂足，則MD=2NE,

AE=2AQ,如圖，

可得AM2=AD1+MD2,AN1=AE^+N伊,

解得A￡>2=4,"伊=旦，

33

■:EN為叢CDM的中位線，所以MD=2NE,

'：NO±MO,MDLED,

四邊形ODEN為平行四邊形，即OD=NE,

：.MO=NE,ON=DE,

MN=VMO2+NO2=聘隹=VB.

故答案為

B

ADEC

4.如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，點E、尸分別是邊AB,BC的中點，連接EC,FD,

點G、”分別是EC,ED的中點，連接GH,則GH的長度為亞.

—2―

解：連接C8并延長交AD于尸，連接PE,

E

G7^<J

BFC

:四邊形ABC。是正方形，

/A=90°,AD//BC,AB=AO=2C=2,

'：E,尸分別是邊AB,BC的中點，

.*.A￡=CF=AX2=1,

2

'JAD//BC,

：.NDPH=NFCH,

,：ZDHP=ZFHC,

,:DH=FH,

.".△PDH^ACFH(AAS),

：.PD=CF=1,

：.AP=AD-PD=1,

???PE=VAP2+AE2=近'

?.?點G,H分別是EC,陽的中點，

.?.G/f=』EP=亞.

22

5.如圖1,對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形A8C。中，AB=AD,CB=CD,問四邊形ABC。是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質探究：如圖1,垂美四邊形ABC。的對角線AC,BD交于點0.猜想：AB2+CD2

與AO2+8C2有什么關系？并證明你的猜想.

(3)解決問題:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形連結CE,BG,GE.已知AC=4,AB=5,求GE的長.

解：(1)四邊形ABC。是垂美四邊形.

理由如下：如圖2,連接AC、BD,

圖2

'：AB^AD,

...點A在線段BD的垂直平分線上，

"：CB=CD,

...點C在線段8。的垂直平分線上，

直線AC是線段BD的垂直平分線，

J.ACLBD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;

(2)AB2+CD1=AD1+BC2,

理由如下：

如圖1中，

AZAOD^ZAOB=ZBOC^ZCOD^90°,

由勾股定理得，AD^BC2^AC^+DC^+BC^+CO1,

AB2+CD1^ACP+BCP+CCP+DO1,

:.AD1+BC2=AB2+CD2；

圖3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG^ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△口!￡■中,

，AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

：.^GAB^/\CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

ZAME=ZBMN,

：.ZABG+ZBMN^9Q°,

即CELBG,

，四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2,

'：AC=4,AB=5,

BC=VAB2-AC2=VB2-42=3,

CG=VAC2+AG2=V42+42=4我'BE=VAB2+AE2=A/52+52=5近’

.?.G￡2=CG2+B￡2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

--.GE=V73.

6.如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美四邊形”.

(1)性質探究：如圖1.已知四邊形ABC。中，ACXBD.垂足為。，求證：AB2+CD2

^AD^+BC2.

(2)解決問題：已知A8=5祀.BC=4叵,分別以△ABC的邊8c和AB向外作等腰

RtABCE和等腰RtAABZ)；

①如圖2,當/ACB=90°,連接。E,求。E的長；

②如圖3.當NACBW90°,點G、”分別是A。、AC中點，連接GH.若GH=2星),

解：(1)如圖1,:四邊形ABC。中，ACLBD,

：.ZAOB^ZCOD=ZBOC^ZA0D^9Q°,

：.AB1=O^+OB1,CD1=OC1+OD1,BC2=OB2+OC2,AD1=OA2+OD1,

：.AB1+CD2^OA1+OB2+OC2+Ob1,B^+AD1=(?B2+OC2+OA2+O￡)2,

：.AB1+CD2=AD1+BC2；

(2)如圖2,延長CB交。E于M,過點。作。NJ_CB于M

又?.?等腰RtzYBCE和等腰RtZ\AB。，AB=5近,BC=4近,NACB=90°,

:.NACB=NBND=/CBE=/ABD=NEBN=90°,AB=BD=5?BC=BE=4?

：.ZABC+ZBAC=90°,/ABC+NDBN=9Q°,AC=^/Ag2_BC2=372，

：.ZBAC=ZDBN,

在△ACB和△8N￡)中，

,ZACB=ZBND

<ZBAC=ZDBN,

AB=BD

:.△ACB9ABND(AAS),

:.BC=DN=BE=4?,AC=BN=3近,

在和LEBM中,

，ZDMN=ZEMB

，ZDNM=ZEBM,

DN=EB

:.△DNMQ2EBM(AAS),

:.MN—MB-1BN-1X3&-,MD=ME=LDE,

2222

在RtaEWM中，/MND=90°,

M￡)=VMN2+DN2=(-^-^-)2+(4V2)2=-yVl46-

:.DE=2MD=3146；

(3)如圖3,ZACB^90°,分別過點A、D作4M_LCB于點Af,DNLCB于點、N,連

接DC,

又：等腰RtZVBCE和等腰RtZkABD,AB=5五,BC=4&,

:.NAMB=/BND=NCBE=NABD=90°,AB=BD=5?,BC=BE=4近,

：.ZABC+ZBAM=90°,ZABC+ZDBN=90°,

：.ZBAM=ZDBN,

在△AMB和△BN￡>中，

'NAMB=/BND=90°

-ZBAH=ZDBN,

AB=BD

:.△AMB/ABND(A4S),

：.BM=DN,AM=BN,

設AM=BN=尤，則CN=BC+BN=4我+x,

■:點、G、H分別是A。、AC中點，連接GH、DC,GH=2遍,

:.DC=2GH=4瓜,

在Rt/\DNC和Rt^DNB中，由勾股定理得：

DN2=DB2-BN2,DN2=DC2-CN2,

：.DB2-BN2=DN2=DC1-CN1,即(5A/2)2-^=(4加)2(4-72+-r)2

解得：尤=22巨，即AM=BN=X=&0,

88

/.SAABC=—BC?AAf=Ax4V2X^^-=—.

2282

圖1

7.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）概念理解：我們已經學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形，在這四種圖形中是

垂美四邊形的是菱形，正方形.

（2）性質探究：如圖2,已知四邊形ABC。是垂美四邊形，試探究其兩組對邊AB,CD

與BC,之間的數量關系，并寫出證明過程.

（3）問題解決:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形48OE,連接CE,BG,GE,CE交AB于點M,已知AC=4,AB=5,求GE

的長.

解：（1）:?菱形、正方形的對角線垂直,

菱形、正方形都是垂美四邊形，

故答案為：菱形，正方形；

（2）猜想：AL^+B^A^+CD2.

理由如下：連接AC,8。交于點0,

圖2

V四邊形ABCD是垂美四邊形，

：.AC.LBD,

：.ZA0D=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，得

AB1+Cb1=Ad1+BO1+Cd1+Dd1,

2222

.*.Ar>+BC=AB+CD;

(3)連接CG,BE,

BD

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

在△GAB和△CAE中，AG=AC,ZGAB=ZCAE,AB=AE,

:.4GAB沿4CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

又；NA￡C+/AME=90°,

AZABG+ZAME=9Q°,

又；NBMC=NAME,

：.ZABG+ZBMC=90°,

J.CELBG.

/.四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)可知CG2+BE1=CB2+GE1,

'：AC=4,AB=5,

由勾股定理，得CB?=9,CG2=32,BE2=50,

G￡2=CG2+BE2-CB2=73,

.?.GE=V7§.

8.定義：對角線互相垂直且相等的四邊形叫做垂等四邊形.

(1)下面四邊形是垂等四邊形的是④；(填序號)

①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形

(2)圖形判定：如圖1,在四邊形ABC。中，AD//BC,AC±BD,過點。作2。垂線交

8c的延長線于點E,且NQ8C=45°,證明：四邊形ABC。是垂等四邊形.

(3)由菱形面積公式易知性質：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應用：

在圖2中，面積為24的垂等四邊形A8C。內接于。。中，/BCD=60°.求。。的半徑.

解：(1)①平行四邊形的對角線互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四邊形;

②矩形對角線相等但不一定垂直，故不是垂等四邊形；

③菱形的對角線互相垂直但不一定相等，故不是垂等四邊形；

④正方形的對角線互相垂直且相等，故正方形是垂等四邊形；

故選：④；

(2)'：AC±BD,EDLBD,

：.AC//DE,

又?：

四邊形ADEC是平行四邊形，

：.AC=DE,

又8c=45°,

ABDE是等腰直角三角形，

：.BD=DE,

C.BD^AC,

又

四邊形ABCD是垂等四邊形；

(3)如圖，過點。作OE_L8O,連接?！?gt;,

?；四邊形ABCD是垂等四邊形,

：.AC=BD,

又???垂等四邊形的面積是24,

：.^AC'BD=24,

2

解得，AC=BD=4-/3,

又：NBCD=60°,

ZD0E=6Q°,

設半徑為r,根據垂徑定理可得：

在△ODE中，OD=r,DE=2^，

?lDE—第

sin60°M

二。。的半徑為4.

9.定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點稱為和美四邊形的

中心.

（1）寫出一種你學過的和美四邊形正方形；

（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是A.

A.矩形B.菱形C.正方形D.無法確定

（3）如圖1,點。是和美四邊形ABC。的中心，E、F、G、X分別是邊A3、BC、CD、

D4的中點，連接OE、OF、OG、OH,記四邊形AEOH、BEOF.CGOF、O”OG的面積

為Si、52、S3、S4,用等式表示Si、S2、S3、S4的數量關系（無需說明理由）

（4）如圖2,四邊形A8CZ）是和美四邊形，若48=3,BC=2,CO=4,求的長.

解：（1）正方形是學過的和美四邊形，

故答案為：正方形；

（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是矩形，

故選：A.

（3）由和美四邊形的定義可知，ACL8D,

則/AO8=N8OC=NCOD=NDOA=9（r,又E、F、G、“分別是邊AB、BC、CD、

DA的中點，

.?.△AOE的面積=/\20￡的面積，△BO/的面積=/\。0尸的面積，△COG的面積=△

DOG的面積，△￡>OH的面積的面積，

：.S\+Si=/\AOE的面積+ZXCO尸的面積+ZkCOG的面積+Z\A。”的面積=62+84；

（4）如圖2,連接AC、8。交于點0,則ACLBD,

?.,在RtZ\AOB中，AO1=AB1-BO1,RtZiDOC中，DO2=DC2-CO2,A8=3,BC=2,

CD=4,

AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=AB1+DC2-8c2=32+42-22=21,

即可得AO=ai.

10.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）寫出2個所學的特殊四邊形是垂美四邊形：菱形，正方形.

（2）性質探究：

已知：如圖1,四邊形ABC。是垂美四邊形，對角線AC、2。相交于點O.猜想：AB2+Cr>2

與AU+BC2有什么關系？并證明你的猜想.

（3）問題解決：

如圖2,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作等腰RtAACG（NGAC=

90°）和等腰RtZkABE（NA4E=90°）,連接GE,GB,CE,已知AC=2,AB=5.求

GE的長.

解：（1）:菱形和正方形的對角線互相垂直,

菱形和正方形都是垂美四邊形，

故答案為：菱形，正方形；

(2)AB2+CD2=AD2+BC2,理由如下：

?/四邊形ABCD是垂美四邊形，

C.ACLBD,

。屋+0^2=人小，?！?2+0。2=CD2,

AOA2+OB2+OD1+OC2=Cb2+AB2,

：.AIJ^+BC1=CD2+AB2；

(3)'：ZGAC=ZBAE,

：.ZGAB=ZCAE,

：AC=AG,AB^AE,

」.△GA跆△CAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

設CE與BG交于H點，CE與42交于。點,

：.ZBHC=ZOAE=90°,

J.BGLCE,

四邊形BCGE是垂美四邊形，

z.CG2+BE1=BC1+EG2,

\'AC=2,AB=5.

由勾股定理得，CG2=8,BE2=50,8c2=21,

.*.EG2=8+50-21=37,

■:EG>3

：.EG=y/37.

11.如圖1，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用Si、S2、

S3表示，則不難證明S1=S2+S3.

(1)如圖2,分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用Si、

S2、S3表示，那么Si、S2、S3之間有什么關系？(不必證明)

(2)如圖3,分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用Si、

S2、S3表示，請你確定Si、8、S3之間的關系并加以證明.

(3)四邊形A3。的對角線互相垂直，現以四邊形的邊長為邊長向外作四個正方形，面

積分別為Si、S2、S3、S4.則S1、52、S3和S4之間的關系是S1+S3=S2+S4.

解：(1)如圖(2),分別以Rt^ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用Si、S2、

S3表示，那么S1=52+53,

理由為：在RtAABC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC1,

：.—AB2=—AC2+—BC2,即Si=S2+S3;

888

(2)如圖(3),分別以三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用Si、S2、

S3表示，Si、％、S3之間的關系為S1=S2+S3,

理由為：在RtZWBC中，利用勾股定理得：AB2=AC2+BC2,

.?.返4B2=Y3_AC2+運8c2,即Si=S2+S3.

444

(3)由(2)可知：51+53=52+54

故答案為：S1+S3=S2+S4.

12.定義：若一個圓內接四邊形的兩條對角線互相垂直，則稱這個四邊形為圓美四邊形.

(1)請你寫出一個你學過的特殊四邊形中是圓美四邊形的圖形的名稱正方形；

(2)如圖1,在等腰RtZXABC中，ZBAC=90°,經過點A、8的圓交AC邊于點

交8c邊于點E,連結QE.若四邊形ABE。為圓美四邊形，求細■的值；

DE

(3)如圖2,在△A8C中，經過A、8的圓交AC邊于點。，交BC于點E,連結AE,

BD交于點F.若在四邊形AB即的內部存在一點P,使得NPBC=NAOP,連結PE交

30于點G,連結E4,若B4_LP。，PB±PE.求證：四邊形A8即為圓美四邊形.

(1)解：根據圓美四邊形的定義知，正方形是圓美四邊形,

故答案為：正方形；

(2)解：連接BD,AE,

.?.2。為。。的直徑，

；?/BED=NCED=90°,

???四邊形ABED為圓美四邊形，

：.BDA.AE,

：.ZABD+ZBAE=90°,

9：ZCAE+ZBAE=90°,

/.ZABD=ZCAE,

/.AD=DE,

：.AD=DE,

在等腰直角△<?￡>￡中，CD=?DE,

:.CD=?AD,

：.AC=（V2+1）AD,

\'AB^AC,AD=DE,

.?.黑=&+1;

DE

(3)證明："：PA±PD,PB±PE,

；.NAPD=/BPE=90°,

,/ZPBC=ZADP,

：.AAPD^AEPB,

.AP=PD

"EPPB'

.AP=EP

"PD麗，

又ZAPD+/DPE=ZBPE+ZDPE,

即NAPE=NOPB,

△APEs^DPB,

：.ZAEP=ZDBP,

又；/DBP+/PGB=90°,NPGB=NEGF,

：.ZAEP+ZEGF=9Q°,

即/BFE=90°,

J.BDLAE,

又B,E,。在同一個圓上，

四邊形ABED為圓美四邊形.

13.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形ABCQ中，AB=AD,CB=CD,問四邊形A8CD是垂

美四邊形嗎？請說明理由；

(2)性質探究：經探究發現，垂美四邊形A8CD兩組對邊AB,CD與BC,之間有

這樣的數量關系：AB2+CD2=AD2+BC2,請寫出證明過程；(先畫出圖形，寫出已知，求

證)

(3)問題解決:如圖3,分別以RtAACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG

和正方形A2DE,連接CE,BGGE.已知AC=4,A2=5,求GE長.

解：(1)解：四邊形ABC。是垂美四邊形.

理由如下：如圖2,連接AC、BD,

圖2

\'AB=AD,

點A在線段BD的垂直平分線上，

,:CB=CD,

.:點C在線段的垂直平分線上，

直線AC是線段3。的垂直平分線，

：.AC±BD,即四邊形ABC。是垂美四邊形;

(2)證明：如圖1中，設AC交8。于點0.

VACXBD,

ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理得,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

:.AD2+BC2^AB2+CD2；

圖3

正方形ACFG和正方形ABDE,

：.AG=AC,AB=AE,ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NCAE,

在△G42和△CAE中，

AG=AC

-ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.'.△GAB當ACAE(SAS),

ZABG=ZAEC,

VZAEC+ZAME=90°,

：.ZABG+ZAME=90°,

??ZAME=NBMN,

:./ABG+/BMN=90°,

即CE±BG,

四邊形CGEB是垂美四邊形，

由(2)得，CG2+BE1=CB2+GE1,

：AC=4,A2=5,

BCVAB2-AC2=VB2-42=3'

CG=VAC2+AG2=山2+42=4&'BE=q/=62+52=5加，

.*.G￡2=CG2+B￡2-CB2=(4&)2+(5A/2)2-32=73,

:.GE=4T3.

14.如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)判斷：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的有菱形和

正方形；

(2)如圖2,垂美四邊形ABCD兩組對邊A8、CD與BC、AO之間有怎樣的數量關系？

寫出你的猜想，并給出證明；

(3)如圖3,分別以Rt^ABC的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方

形ABDE,連接CE,BG,GE,CE與8G交于點O,已知AC=3,AB=5,求△OGE的

中線08的長.

解：(1).??菱形、正方形的對角線垂直,

菱形、正方形都是垂美四邊形.

故答案為：菱形和正方形.

(2)猜想：AQ2+8C2=AB2+CO2.

理由：'JACLBD,

：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90°,

由勾股定理，A￡>2+BC2=AO2+Z)O2+BO2+CO2,

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,

AD2+BC2^AB2+CD2.

(3)連接CG、BE,設AB,CE交于點M,

圖3

'：ZCAG=ZBAE=90°,

ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即/GAB=/CAE,

;在△G42和△CAE中，

，AG=AC

<ZGAB=ZCAE,

AB=AE

.,.△G42注△CAE(SAS),

/ABG=ZAEC,

5LZAEC+ZAME=90°,

AZABG+ZAME=90°,即CE_LBG,

/.四邊形CGEB是垂美四邊形，

ACG2+BE1=CB2+GE2,

VAC=3,AB=5,

.,.BC=^AB2_AC2=4,CG=?AC=3?,BE=?AB=5?

：.GE2=CG2+BE2-*=18+50-16=52,

：.GE=2-J13,

：.OH=^GE=-/13.

2

15.數學活動：圖形的變化

問題情境：如圖(1),△ABC為等腰直角三角形，ZACB=90°,E是AC邊上的一個動

點（點E與A,C不重合），以CE為邊在△ABC外作等腰直角△￡€!）,NECD=9Q°,

連接BE,AD.猜想線段BE,AD之間的關系.

（1）獨立思考：請直接寫出線段BE,AD之間的關系；

（2）合作交流：“希望”小組受上述問題的啟發，將圖（1）中的等腰直角繞著點

C順時針方向旋轉至如圖（2）的位置，BE交AC于點H,交AO于點。（1）中的結論

是否仍然成立，請說明理由.

（3）拓展延伸：“科技”小組將（2）中的等腰直角AABC改為RtZXABC,ZACB=90°,

AC=8,BC=6,將等腰直角△ECD改為Rtz\EC￡>,NECD=90：8=4,CE=3.試

猜想瓦冒+入爐是否為定值，結合圖u）說明理由.

解：(1);△ABC和△CCE都是等腰直角三角形,

：.BC=AC,CE=CD,ZBCE=ZACD=90°,

:.△BCEQAACD,

：.BE=AD,ZCEB=ZCDA,

'：ZCBE+ZCEB=9Q°,

：.ZCBE+ZCDA^9Q°,

C.BELAD,

(2)BE=CD,BE.LAD,

理由：:△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°

：.AC=BC,

「△CDE是等腰直角三角形，ZECD=90°,

：.CD=CE,

：.ZACB+ZACE=ZECD+ZACE,

：.ZBCE=ZACD,

：./\BCE^/\ACD,

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

■:NBHC=NAHO,/CBH+NBHC=90°,

：.ZCAD+ZAHO=90°,

AZAHO=90°,

J.BELAD-,

即：BE^AD,BE±AD；

(3)是定值，

理由：VZ￡CZ)=90o,ZACB=90°,

NACB=NECD,

：.ZACB+ACE=ZECD+ZACE=90°,

NBCE=ACD,

VAC=8,BC=6,CD=4,CE=3,

.BCCE=3

""AC'CDT

：.ABCEsL