銳角三角函數(shù)及相關(guān)函數(shù)計(jì)算

知識(shí)梳理

1.三角函數(shù)

如圖所示，在△ABC中,NC=90°N4的對(duì)邊

/B的鄰邊

①銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫作/A的正弦，記為sinA,即sinX==

c

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫作NA的余弦，記為cosA,即cosX=&的色次他=2

公量或c

的對(duì)邊

③銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫作/A的正切，記為tanA,即一/A的鄰邊

.NA的鄰邊b

④銳角A的鄰邊與對(duì)邊的比叫作/A的余切，記為cotA,即ZA的對(duì)邊a

2.銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫作NA的銳角三角函數(shù)

3.一些特殊角的三角函數(shù)值

三角函

0°30°45°60°90°

數(shù)

sina

cosa

tana

cota

4.各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

(1)互余關(guān)系

sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—/)

tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—Z)

(2)平方關(guān)系

sir^A+cos2A=1

⑶倒數(shù)關(guān)系

tanA,tan(90°—Z)=1

(4)弦切關(guān)系

5.銳角三角函數(shù)的增減性

當(dāng)角度在0。~90。之間變化時(shí)，有

⑴正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；

⑵余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；

⑶正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；

（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）.

典型例題

例1

2

已知（gtan4-3）+|2cosB-V3|=0,試判斷△ABC的形狀.解析利用三角函數(shù)判斷△ABC的形狀.

2

因?yàn)椋ㄕ趖anA-3）+|2cosB-V3|=0,

而（V^tanA—3）>0,|2cos^—V3|>0,

所以（遮tanA-3）=0,12cosB—V3|=0,

所以tanX=V3,cosB=亨，

所以ZX=60。,NB=30°.

因?yàn)樵凇鰽BC中,/A+/B+/C=180。,所以ZC=90°,

所以△ABC為直角三角形.

例2

在RtAABC中,NC=90°,AB=10,tan4=[，則△48c的面積等于」

解析因?yàn)閠anX=j,

所以筆=《.

設(shè)BC=k,AC=3k,

2222

所以RtAABC中，BC+AC=4爐,即：k+（3k）=U得:k=g.

SABC=j/lC-BC=|x3V10XV10=15.

例3

計(jì)算：tan45°-sin45°—4sin30°-cos45°+V6tan30

解析本題主要考查特殊角的三角函數(shù)計(jì)算.

tan45°-sin45°-4sin30°-cos45°+V6tan30°

=1yx-V2--4.x—1x—y[2F,V6rrx—V3

2223

=^-V2+V2

2

=立

-2,

例4

如圖所示，在RtAABC中,〃CB=90。,點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),DE1AC,.垂足為E,若DE=2,CD=2近廁BE

的長(zhǎng)為—.

解析本題考查解三角形.

因?yàn)樵赗tAABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn),DE1AC,

所以D點(diǎn)為AB的中點(diǎn),CD=BD=DA=2?AB=4低

因?yàn)镈E1AC,/.ACB=90°,

所以DE/7BC.例4圖

又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，

所以DE=\BC,BC=4,E為AC中點(diǎn)，

所以CE=|XC=^AB2-BC2=4,

在RtAABC中,BE=yjBC2+CE2=4V2.

雙基訓(xùn)練

1.在RtAABC中，各邊的長(zhǎng)度均擴(kuò)大為原來的5倍，那么銳角B的正弦值、余弦值（）.

A.擴(kuò)大了5倍B.只有正弦值擴(kuò)大了5倍，余弦值不變

C.沒有變化D.不能確定

2.直角三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，那么cosa的值為（）.

3.如圖所示，在RtAABC中，已知AB=10,AC=6,則tanNABC=().

_44

AA.-3B.-D.-

435

第2題圖

4.如圖所示，在RtAABC中,NC=9(r,AB=2AC,貝(jcosNB=().

A.-B.—C.—D.V3

223

5.如圖所示，點(diǎn)A,B,C在。O上,/AOB=60。,則cos/ACB=().

A.iB.—C.V3D.—

223

c

第5題圖

6.如圖所示，在RtAABC中,NBAC=90。作AD±BC于D,AB=4,BC=5股NCAD=a廁tana=().

4534

A.-B.-C.-D.-

5443

7.在RtAABC中,NC=90o,NA=Na,BC=a,貝!]AB=().

A.atanaB.acosaC.」一D.—

cosasina

8.下列不等式不正確的是().

A.cos!20—sinl3°>0B.tan3°—tan82°>0

C.sin3°—sin120<0D.tan86°—tan76°>0

9.AABC中,a,b,c分別是/A,/B,/C的對(duì)邊，如果a2+b2=c?,那么下列正確的是().

A.csinA=aB.bcosB=cC.atanA=bD.ctanB=b

10.在RtAABC中,/ACB=9(F,BC=6,若sinX=|,貝!]cosA=_,cosB=

11.sin30。的相反數(shù)是__.

12.如圖所示，直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)P(3,4),連接OP與x軸形成的角為a,則cosa=.jp,

13.sm245o+sin2600=/

1.cos45°tan45°_/

J-*1-■Icc■I/

cos600tan2600/

15.已知a為銳角，且tana=3,則警f=.K-

3cosa+sina-------1--------------

1J3

16.-cos60°+—sin60°=.

22第12題圖

17.cos600—tan600+2sm245°=

18.|-2|+2sin30°-(-V3)+(tan45°)-1=_.

19.在RtAABC中,NC=90o,BC=a,AC=b，且2a=4b,貝!JtanNA=.

20.在RtAABC中,NC=90o,AB=2BC,現(xiàn)給出下列結(jié)論②sinA=亨；②cosB=③tanA=y；@an8=遍，其

中正確的結(jié)論是(只需填寫正確結(jié)論的序號(hào)).

能力提升

21.在AABC中,〃=90°,sinB=誓,tanA=().

AO2V10

A.3BD.-C.-Dn.—

3310

22.如果方程x2-5%+4=。的兩個(gè)根分別為RtAABC的兩條邊,AABC中最小的角為NB,則sinB=

23如圖所示，將邊長(zhǎng)為3+百的等邊小ABC折疊,折痕為DE,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,EF和DF分別交AC于M,N,D

F_LAB,垂足為D,AD=1,設(shè)小DBE的面積為S,則重疊部分的面積為(用含有S的式子表示).

/

BEC

第23題圖

24.已知方程%2-(tan?)x+：=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則銳角a的度數(shù)為一.

4

25.直角三角紙片ABC的兩直角邊AB,BC分別為3,4,現(xiàn)將小ABC沿DE折疊恰好使A與B重合，則tan/CBE

BDC

第26題圖

26.如圖所示，在△ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cos/DAC,若sinC==12廁AD=

27.1是關(guān)于x的方程x2-2x+4s譏2a=0的一個(gè)根且a為銳角，則tana=_.

28.在RtAABC中,/A=9(T,AB=AC,D是AC的中點(diǎn),tan/DBC=.

29.如圖所示,BC_LAC,設(shè)AD=a,DB=b,NA=a,NB=|3,用含有a,b,a,p式子表示AC=.

拓展資源

30.已知a=6.S((8tan450-b)2+72+b—c=。，以a,b,c為邊組成三角形是().

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

31在RtAABC中2C=90。,斜邊c=5,兩直角邊的長(zhǎng)a,b是關(guān)于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的兩

根，求RtAABC中較小銳角的正弦值.

32.如圖所示，已知AB是半圓的直徑，弦AD,BC交于P,若乙DPB=a,那么△CPD與△4PB的面積之比為

第32題圖

33.如圖所示，將矩形紙ABCD沿CE折疊，使B點(diǎn)恰好落在AD上.設(shè)此點(diǎn)為F,若AB-.BC=4:5,求siMDCF的

值.

1-5CAABB6-9CDBA

10.——11.—12.—13.—14.V2H—1

552543

15.—16.1117.--V318.119.22O.@@@

62

21.C

22.［或i乎23.S-V3/424.45025.%26.827.4/328.%29.acosa+bsinp

30.因?yàn)椋ǎ?〃n45。-b~）2>0且32+6-c>0,

所以若使得（（8tan45°-6）2+V2+-c=0,

所以（（8tcm45。—b）2=0,且-2+b-