專題22圓的相關性質（34題）

一、單選題

1.（2024?湖南?中考真題）如圖，AB,/C為。。的兩條弦，連接02,OC,若N/=45。，則Z8OC的

度數為（）

A.60°B.75°C.90°D.135°

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

是解題的關鍵.根據圓周角定理可知乙4=即可得到答案.

【詳解】根據題意，圓周角//和圓心角同對著部，

ZA=-ZBOC,

2

???4=45。，

/.NBOC=2ZA=2x45。=90°.

故選：C.

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，是。。的直徑，/E=35。，則（）

A.80°B.100°C.120°D.110°

【答案】D

【分析】本題考查圓周角定理，關鍵是由圓周角定理推出

由圓周角定理得到乙4。。=2/5=70。，由鄰補角的性質求出/5。。=180。-70。=110。.

【詳解】解：???N￡=35。，

ZAOD=2ZE=70°,

../8。￡）=180°-70°=110°.

故選：D.

3.（2024?江蘇連云港?中考真題）如圖，將一根木棒的一端固定在。點，另一端綁一重物.將此重物拉到

/點后放開，讓此重物由/點擺動到3點.則此重物移動路徑的形狀為（）

A.傾斜直線B.拋物線C.圓弧D.水平直線

【答案】C

【分析】本題考查動點的移動軌跡，根據題意，易得重物移動的路徑為一段圓弧.

【詳解】解：在移動的過程中木棒的長度始終不變，故點A的運動軌跡是以。為圓心，Q4為半徑的一段

圓弧，

故選：C.

4.（2024?四川涼山?中考真題）數學活動課上，同學們要測一個如圖所示的殘缺圓形工件的半徑，小明的

解決方案是：在工件圓弧上任取兩點48,連接作AB的垂直平分線CD交于點。，交標于點C,

測出/B=40cm,CZ）=10cm,則圓形工件的半徑為（）

A.50cmB.35cmC.25cmD.20cm

【答案】c

【分析】本題考查垂徑定理，勾股定理等知識.由垂徑定理，可得出8。的長；設圓心為O,連接在

RtZ\08D中，可用半徑08表示出OD的長，進而可根據勾股定理求出得出輪子的半徑，即可得出輪子的

直徑長.

【詳解】解：???CD是線段的垂直平分線，

直線經過圓心，設圓心為。，連接08.

根據勾股定理得：

OD2+BD2^OB2,即：

（OS-10）2+202=O#,

解得：08=25；

故輪子的半徑為25cm,

故選：C.

5.（2024?內蒙古赤峰?中考真題）如圖，是。。的直徑，是。。的弦，半徑OCJ.AB,連接CD,交

OB于點、E,ZBOC=42°,則NOED的度數是（）

A.61°B.63°C.65°D.67°

【答案】B

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理以及三角形的外角性質.先根據垂徑定理，求得

ZAOC=ZBOC=42°,利用圓周角定理求得ND==21。，再利用三角形的外角性質即可求解.

【詳解】解：：半徑OC_L43,

AC=BC>

：.ZAOC=ZBOC=42°,ZAOB=84°,

AC=AC

：.ZD=-ZAOC=21°,

2

ZOED=ZAOB-ZD=63°,

故選：B.

6.（2024?湖北?中考真題）48為半圓。的直徑，點C為半圓上一點，且/C4B=50。.①以點8為圓心，

適當長為半徑作弧，交4B,BC于D,E；②分別以OE為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點尸；③

2

作射線AP,則（）

A.40°B.25°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】本題主要考查圓周角定理以及角平分線定義，根據直徑所對的圓周角是直角可求出N43C=40。,

根據作圖可得N/2P=1N8C=20。，故可得答案

【詳解】解：???/B為半圓。的直徑，

44cB=90。，

ZCAB^5Q0,

：.ZABC=40°,

由作圖知，/P是N48C的角平分線，

ZABP=-ABC=20°,

2

故選：C

7.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，48是。。的直徑，若NCD8=60。，則//3C的度數等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等.根據直徑所對的圓周角為

直角得到4cB=90。，同弧或等弧所對的圓周角相等得到NCD8=4=60。，進一步計算即可解答.

【詳解】解：?"8是。。的直徑，

ZACB=90°,

???ZCDB=60°,

ZA=ZCDB=60°,

ZABC=900-ZA=30°,

故選：A.

8.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知四邊形/BCD是。。的內接四邊形，E為/。延長線上一點,

ZAOC=128°,則NCDE等于（）

A.64°B.60°C.54°D.52°

【答案】A

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形的性質，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.根據同弧所

對的圓心角等于圓周角的2倍可求得ZABC的度數,再根據圓內接四邊形對角互補，可推出NCDE=ZABC,

即可得到答案.

【詳解】解：???N/2C是圓周角，與圓心角N/OC對相同的弧，且N40c=128。，

/.ZABC=-ZAOC=-xl28°=64°,

22

又「四邊形/BCD是O。的內接四邊形，

:.ZABC+ZADC=1SO°,

又???ZCDE+ZADC=180°,

ZCDE=NABC=64°,

故選：A.

9.（2024?云南?中考真題）如圖，C。是。。的直徑，點A、B在。。上.若就=前,ZAOC=36°,則/0=

AB

A.9B.18’C.36°D.45°

【答案】B

【分析】本題考查了弧弦圓心角的關系，圓周角定理，連接05,由就=而可得4OC=N4OC=36。,

進而由圓周角定理即可求解，掌握圓的有關性質是解題的關鍵.

【詳解】解：連接08,

AC=BC

：.ZBOC=ZAOC=36°,

/.ZD=-ZBOC=IS0,

2

10.（2024?黑龍江綏化?中考真題）下列敘述正確的是（）

A.順次連接平行四邊形各邊中點一定能得到一個矩形

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影

D.相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等

【答案】C

【分析】本題考查了矩形的判定，垂徑定理，中心投影，弧、弦與圓心角的關系，根據相關定理逐項分析

判斷，即可求解.

【詳解】A.順次連接平行四邊形各邊中點不一定能得到一個矩形，故該選項不正確，不符合題意；

B.平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故該選項不正確，不符合題意；

C.物體在燈泡發出的光照射下形成的影子是中心投影，故該選項正確，符合題意；

D.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等，故該選項不正

確，不符合題意；

故選：C.

11.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖,OO中，弦的長為4百，點。在上，OC1AB,ZABC=30°.QO

所在的平面內有一點尸，若。尸=5,則點P與。。的位置關系是（）

A.點尸在。。上B.點尸在內C.點尸在OO外D.無法確定

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解

題關鍵.由垂徑定理可得4。=2百，由圓周角定理可得//OC=60。，再結合特殊角的正弦值，求出。。的

半徑，即可得到答案.

【詳解】解：如圖，令0C與48的交點為。，

???OC為半徑，4B為弦,且。C_L48,

.-.AD=-AB=2^3,

2

???ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在△/DO中，ZADO=90°,ZAOD=60°,AD=26,

■：s'mZAOD=^-,

OA

AD=2#=4

.嬴而一支一，即OO的半徑為4,

T

尸=5>4,

，點尸在。。外，

故選：C.

C

12.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，四邊形48CD是。。的內接四邊形，AB是。。的直徑，若

ZBEC=20°,則N/OC的度數為（）

C.120°D.130°

【答案】B

【分析】此題考查了圓周角定理、圓內接四邊形的性質，連接NC,由是。。的直徑得到a4cs=90。,

根據圓周角定理得到NCAB=ZBEC=20°,得到ZABC=90°-NR4c=70。，再由圓內接四邊形對角互補

得到答案.

/.ZACB=90°,

,：ZBEC=20°,

：.ACAB=ZBEC=20°

ZABC=90°-ZBAC=70°

:四邊形ABCD是。。的內接四邊形,

ZADC=180°-ZABC=110°,

故選：B

13.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，四邊形48co內接于。。，ZABC=60°,ABAC=ZCAD=45°,

AB+AD=2,則。。的半徑是（）

D

A'B

V62A/2V2'

A?R±J.------L.n?

3322

【答案】A

【分析】延長45至點E,使BE=4D,連接連接CO并延長交O。于點E連接,，即可證得

^ADC^EBC（SAS）,進而可求得力。=（^45。?/￡=后，再利用圓周角定理得到乙4尸。=60。，結合三角

函數即可求解.

【詳解】解：延長43至點瓦使BE=4D,連接助，連接CO并延長交。。于點方，連接心，

???四邊形力BCD內接于。。，

???ZADC+/ABC=AABC+/CBE=180°

ZADC=ZCBE

?：ZBAC=ZCAD=45°

：.ZCBD=NCDB=45°,ZDAB=90°

???BD是OO的直徑，

ZDCB=90°

???△DCB是等腰直角三角形，

???DC=BC

?/BE=AD

；.AADC^AEBC(SAS)

：.ZACD=ZECB,AC=CE,

???AB+AD=2

：.AB+BE=AE=2

XVZDCB=90。

???ZACE=90。

???ZX/CE是等腰直角三角形

???4C=COS45°ZE=￡

,//ABC=60°

???ZAFC=60°

,：ZFAC=90°

,一口AC2V6

sin6003

：.OF=OC=-CF=—

23

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，圓周角定理，銳角三角函數、等腰三角形的性質與判定等

知識點，熟練掌握圓周角定理以及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵.

二、填空題

14.（2024?四川南充?中考真題）如圖，43是。。的直徑，位于NB兩側的點C,。均在。。上，NBOC=30。,

則度.

【分析】本題考查圓周角定理，補角求出/49C,根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即

可.

【詳解】解：；N2是。。的直徑，位于兩側的點C,。均在上，Z50C=30°,

ZAOC=180°-ZBOC=150°,

ZADC=-ZAOC=15°-

2

故答案為：75.

15.（2024?北京?中考真題）如圖，OO的直徑AB平分弦CD（不是直徑）.若=35°,則ZC=

【答案】55

【分析】本題考查了垂徑定理的推論，圓周角定理，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先由垂徑定理得到48LCD,由前=前得到//=N2=35。，故NC=9（F-35o=55。.

【詳解】解：??,直徑平分弦CO,

ABVCD,

??-~~-

-BC=BC，

N4=Z.D—35°,

???NC=90。-35。=55。，

故答案為：55.

16.（2024?江蘇蘇州?中考真題）如圖，“BC是。。的內接三角形，若/OBC=28。，則44=.

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接OC,利用等腰三角形的

性質，三角形內角和定理求出/3OC的度數，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：連接OC,

VOB=OC,AOBC=28°,

ZOCB=ZOBC=2S°,

：.ZBOC=180°-NOCB-NOBC=124。，

：.ZA^-ZBOC^62°,

2

故答案為：62°.

17.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，08c內接于OO,4。是直徑，若NB=25°,則/

【答案】65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接C。，根據直徑所對的圓周角是直角

得出//CD=90。，根據同弧所對的圓周角相等得出=48=25。，進而根據直角三角形的兩個銳角互余,

即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接C。，

???力8。內接于。。，是直徑，

ZACD=90°,

4c=4C，NB=25。,

：.ND=NB=25°

ZCAD=90°-2.5°=65°,

故答案為：65.

18.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，AASC內接于。。，點。在N8上，平分/瓦1C交。。于D,

連接AD.若48=10,BD=2&,則8C的長為.

【答案】8

【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質，勾股定理，相似三角形的判

定和性質，延長/C,BD交于E,由圓周角定理可得N/D8=N/DE=90。，NACB=NBCE=90°,進而

可證明"四也"ED(ASA),得至1]8。=。￡=2右，即得3E=4石，利用勾股定理得=4出，再證明

AABDSABCE,得到f=據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵.

ABAD

【詳解】解：延長/C,BD交于E,

4B是。。的直徑，

AADB=ZADE=90°,ZACB=ZBCE=90°,

...AD平分/8/C,

ZBAD=ZDAE,

又；4D=4D,

：.△ABD注△AED(ASA),

BD=DE=275,

BE=4A/5,

^5=10,BD=2V5,

AD=^102-(2代『=46,

???ADAC=ZCBD,

又：NBAD=ZDAE,

：.ZBAD=ZCBD,

■：NADB=ZBCE=90°,

:AABDS^BEC,

.BE_BC

,?瓦一茄‘

,475BC

10一46’

BC=8,

故答案為：8.

19.（2024?陜西?中考真題）如圖，3c是OO的弦，連接03,OC,是R所對的圓周角，則//與/08C

【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握圓周角定理是解題的

關鍵.根據圓周角定理可得結合三角形內角和定理，可證明2乙4+/。5。+/。。3=180。，

再根據等腰三角形的性質可知=,由此即得答案.

【詳解】?.?44是前所對的圓周角，/5OC是前所對的圓心角，

:"B0C=2ZA,

?/ZBOC+ZOBC+ZOCB=180°,

/.2ZA+ZOBC+ZOCB=180。，

?;OB=OC,

/./OBC=/OCB,

2ZA+ZOBC+ZOBC=180°,

/.2ZA+2ZOBC=180°f

ZA+NOBC=90°.

故答案為：90°.

20.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在。。中，直徑/8LCD于點E,CO=6,8E=1,則弦/C的

長為.

【答案】3V10

【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

由垂徑定理得CE=EO=』CD=3,設O。的半徑為廠，則O￡=O3-E8=廠-1,在RMOED中，由勾股定

2

理得出方程，求出r=5,即可得出/E=9,在放A/EC中，由勾股定理即可求解.

【詳解】解：,?,/3，CD,CD=6,

:.CE=ED=-CD=3,

2

設。。的半徑為r,則OE=O5-E3=―1,

在比AOED中，由勾股定理得：。爐+。1=。。2,即&-ip+32=/,

解得：，=5,

/.0A=5QE=4,

AE=OA+OE=9,

在MA/￡C中，由勾股定理得：AC=SJCE2+AE2=V32+92=3710.

故答案為：3屈.

21.（2024?江西?中考真題）如圖，是。。的直徑，48=2,點。在線段上運動，過點C的弦DE1,

將砒沿DE翻折交直線于點尸，當的長為正整數時，線段網的長為.

【答案】2-6或2+G或2

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，折疊的性質，根據OEW/B,可得。￡=1或2,利用勾股定理

進行解答即可，進行分類討論是解題的關鍵.

【詳解】解：:AB為直徑，DE為弦,

DE<AB,

當。E的長為正整數時，。￡=1或2,

當DE=2時，即。E為直徑，

DE±AB

???將DBE沿DE翻折交直線AB于點F,止匕時尸與點A重合，

故F2=2；

當。￡=1時，且在點C在線段。8之間,

如圖，連接OD,

此;時。。=[48=1,

2

:.BF=2BC=2-。;

當DE=1時，且點C在線段Q4之間，連接OD,

BF=2BC=2+y/3,

綜上，可得線段用的長為2-6或2+百或2,

故答案為：2-6或2+百或2.

22.（2024?河南?中考真題）如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,CA=CB=3,線段CO繞點。在平面內

旋轉，過點B作AD的垂線，交射線AD于點￡.若CD=1,則AE的最大值為,最小值為.

【答案】2&+1/1+2血2V2-1/-1+2V2

【分析】根據題意得出點。在以點C為圓心，1為半徑的圓上，點￡在以為直徑的圓上，根據

AE=AB-cosZBAE,得出當cos/BAE最大時，AE最大,cos/&4E最小時，/E最小，根據當NE與OC

相切于點。，且點。在內部時，NB4E最小,AE最大,當/E與OC相切于點。，且點。在“8C

外部時，/BAE最大,NE最小，分別畫出圖形，求出結果即可.

【詳解】解：；N4c8=90。，CA=CB=3,

：.ABAC=NABC」x90。=45°,

2

:線段CD繞點。在平面內旋轉，CD=\,

...點。在以點。為圓心，1為半徑的圓上，

BELAE,

：.NAEB=90°,

點E在以48為直徑的圓上，

在RtLABE中，AE=AB-cosNBAE,

1/43為定值,

.,.當cos/S/E最大時，AE最大,cos/B/E最小時，4E1最小,

...當/E與OC相切于點。，且點。在AASC內部時，/B4E最小,NE最大，連接CD,CE,如圖所示:

則CDLAE,

：.ZADC=ZCDE=90°,

AD=^AC2-CD2=732-12=2A/2，

AC=AC'

：.ZCED=/ABC=45°,

,：ZCDE=90°,

ACAE為等腰直角三角形,

DE=CD=1,

：?AE=AD+DE=26+1，

即/￡的最大值為2a+1;

當/E與OC相切于點。，且點。在。外部時，/B4E最大,/E最小，連接CO,CE,如圖所示:

則CDLAE,

，ZCDE=90°,

AD=yjAC2-CD2=V32-l2=2V2，

:四邊形/BCE為圓內接四邊形，

/.ZCEA=180°-ZABC=135°,

ZCED=180。-/CE4=45°,

"?ZCDE=90°,

ACDE為等腰直角三角形，

DE=CD=1,

AE=AD-DE=26-1'

即AE的最小值為2血-1;

故答案為：2/+1;20-1.

【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，圓內接四邊形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質,

解直角三角形的相關計算，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握相關的性質，找出/E取最大值和最小值

時，點。的位置.

三、解答題

23.（2024?四川甘孜?中考真題）如圖，45為。。的弦，C為益的中點，過點C作。。〃48,交08的

延長線于點D.連接04OC.

(1)求證：CD是。O的切線；

(2)若。1=3,BD=2,求AOCD的面積.

【答案】(1)見解析

(2)6

【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵.

(1)由垂徑定理的推論可知OCL/B,據此即可求證；

(2)利用勾股定理求出CO即可求解；

【詳解】(1)證明：為。。的弦，C為功的中點，

由垂徑定理的推論可知：OCJ./3,

,?CD//AB,

：.OCLCD,

?：OC為。。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：VOB=OA=OC=3,BD=2,

：.OD=OB+BD=5,

CD=y/OD2-OC2=4，

Sv0CD=gxOCxCD=6.

24.(2024?內蒙古包頭?中考真題)如圖，45是O。的直徑，3C,8。是。。的兩條弦，點C與點。在43的

兩側，E是OB上一點、QOE>BE),連接OC,CE,且NBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=45,求OO的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：5D〃OC.(請用兩種證法解答)

【答案】⑴3

(2)見解析

【分析】(1)利用等邊對等角、三角形內角和定理求出/。8。=/。。8=；(180。-/8。6,結合

ZBOC=2ZBCE,可得出/OBC+/BCE=90。，在RdOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：過。作。尸，3。于R利用垂徑定理等可得出8尸=；8。=。￡,然后利用HL定理證明

-CEO父及AOFB,得出NCOE=NO瓦"然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AD,證明ACEOSA4DB,得出/CO￡=ZABZ),然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解：-：OC=OB,

：.ZOBC=ZOCB=1(180°-ZSOC),

ZBOC=2ZBCE,

：.ZOBC=1(180°-2/BCE)=90°-ZBCE,即ZOBC+NBCE=90°,

ZOEC=90°,

OC1=OE'+CE2,

OC2=(oc-iy+網1

解得OC=3,

即。。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。尸，8。于尸，

D

：.BF=-BD,

2

BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,ZOEC=ZBFO=90°,

：.RtAC^O^RtA(9F5(HL),

???NCOE=AOBF,

???BD//OC；

法二：連接4。,

D

■:AB是直徑,

???ZADB=90。,

JAD=ylAB2-BD2=^（2OC）2-（2O^）2=2^OC2-OE2=2CE,

.PCCEOE

AB~AD~BD~

：?KEOS"DB,

???/COE=ZABD,

：.BD//OC.

【點睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，全

等三角形的判定與性質等知識，明確題意，靈活運用所學知識解題是解題的關鍵.

25.（2024?安徽?中考真題）如圖，是的外接圓，。是直徑45上一點，N4C。的平分線交45于

點、E,交。。于另一點RFA=FE.

F

⑴求證：CDLAB

（2）設刃8,垂足為〃，若OM=OE=\,求ZC的長.

【答案】⑴見詳解

⑵4立.

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質，圓周角定理，勾股定理等知識，掌握這些性質以及定理是解

題的關鍵.

(1)由等邊對等角得出=由同弧所對的圓周角相等得出=由對頂角相等得

出ZAEF=NCEB,等量代換得出NCEB=NBCE,由角平分線的定義可得出44c￡=/DCE,由直徑所對

的圓周角等于90。可得出N/C8=90。，即可得出NCE3+NOC￡=N8CE+44cE=/NC8=90。，即

ZCDE=90°.

(2)由(1)知，/CEB=/8CE,根據等邊對等角得出BE=3。，根據等腰三角形三線合一的性質可得

出M4,NE的值，進一步求出。4,BE,再利用勾股定理即可求出NC.

【詳解】(1)證明：：月4=尸￡,

ZFAE=ZAEF,

又NE4E與4CE都是前所對的圓周角，

ZFAE=NBCE,

,?ZAEF=ZCEB,

ZCEB=NBCE,

■：CE平分乙4CD,

：.AACE=NDCE,

AB是直徑，

乙4cB=90。，

/.NCEB+NDCE=NBCE+ZACE=NACB=90°,

故/COE=90°,

即CDVAB.

(2)由(1)知，NCEB=NBCE,

：.BE=BC,

又FA=FE,FMLAB,

：.MA=ME=MO+OE=2,AE=4,

.,?圓的半徑GM=O5=/E-OE=3,

BE=BC=OB-OE=2,

在AABC中.

AB—2OA—6,BC=2

AC=^AB'-BC1=A/62-22=4亞

即/C的長為40.

26.(2024?四川眉山?中考真題)如圖，3E是。O的直徑，點A在。。上，點。在3E的延長線上,

NEAC=NABC,4D平分NA4E交。。于點。，連結DE.

⑴求證：C4是。。的切線；

(2)當ZC=8,CE=4時，求DE的長.

【答案】(1)見解析

⑵6亞

【分析】本題考查了切線的判定和性質，等腰三角形的性質，勾股定理，圓周角定理，熟練掌握切線的判

定是解題的關鍵.

(1)連接CM,根據圓周角定理得到N"E=90。，根據等腰三角形的性質得到N4BC=/B/O,求得

/CMC=90。，根據切線的判定定理得到結論；

(2)根據相似三角形的判定和性質定理得到BC=16,求得BE=BC-CE=12,連接BD,根據角平分線

的定義得到=求得麗=族，得到即=。￡,根據等腰直角三角形的性質即可得到結論.

【詳解】(1)證明：連接。4,

BE是＜30的直徑,

NBAE=90°,

ZBAO+ZOAE=90°,

VOA=OB,

ZABC=ZBAO,

???ZEAC=NABC,

/./CAE=/BAO,

ZCAE+ZOAE=90°,

ZOAC=90°f

???。力是。。的半徑，

??.C4是OO的切線；

(2)解：??,/EAC=ZABC,ZC=ZC,

/\ABCS^EAC,

ACCE

「旅一就‘

.8_4

??一，

BC8

/.BC=16,

:.BE=BC-CE=12,

連接灰),

???4D平分NBAE,

\￡BAD;DEAD,

?.BD-DE，

:.BD=DE，

?.?BE是OO的直徑，

/.ZBDE=90°,

:.DE^BD=—BE=672.

2

D

27.（2024?江蘇揚州?中考真題）如圖，已知NP40及NP邊上一點C.

（1）用無刻度直尺和圓規在射線上求作點。，使得NC。。=2/。。；（保留作圖痕跡，不寫作法）

(2)在(1)的條件下，以點。為圓心，以。4為半徑的圓交射線4。于點8,用無刻度直尺和圓規在射線CP

上求作點使點M到點C的距離與點/到射線月。的距離相等；(保留作圖痕跡，不寫作法)

⑶在(1)、(2)的條件下，若sinN=:,CAf=12,求的長.

【答案】(1)作圖見詳解

(2)作圖見詳解

(3)BM=645

【分析】(1)根據尺規作角等于已知角的方法即可求解；

(2)根據尺規作圓，作垂線的方法即可求解；

(3)根據作圖可得M沙，CM=WM=U,48是直徑，結合銳角三角函數的定義可得的值，根

據勾股定理可求出AC的值，在直角&BCM中運用勾股定理即可求解.

/.ZCOQ=2ACAQ；

點。即為所求

(2)解：如圖所示,

連接3C,以點&為圓心，以8c為半徑畫弧交于點片，以點4為圓心，以任意長為半徑畫弧交/。于

點G，2,分別以點G，，為圓心，以大于gaa為半徑畫弧，交于點耳，連接片片并延長交NP于點”，

,/48是直徑，

/.ZACB=90°,即BC_L近，

根據作圖可得用G=BRC/=DE,

：.MBXVAQ9即N〃3/=90。，是點M到力。的距離,

???BC=BB[,

：.Rt^BCM^：Rt^BBxM（HL）,

??.CM=B1M,

點“即為所求點的位置;

（3）解：如圖所示,

根據作圖可得，ZCOQ=2ZCAQ,MC=MW=n,MWLAQ,連接BC,

WM3

在Rt^AMW中，sinA------=—

AM5

.…5WM5x12”

AM=-----=--------=20,

33

JAC=AM-CM=20-12=S,

???AB是直徑,

???ZACB=90°,

.?.sm"生

AB5

設5C=3x,貝lUB=5x,

在瓦A/BC中，（5x）2=（3x）2+82,

解得，x=2（負值舍去），

BC=3x=6,

在Rt^BCM中，BM=sJCM2+BC2=7122+62=66.

【點睛】本題主要考查尺規作角等于已知角，尺規作垂線，勾股定理，銳角三角函數的定義等知識的綜合,

掌握以上知識的綜合運用是解題的關鍵.

28.（2024?河南?中考真題）如圖1,塑像48在底座8c上，點D是人眼所在的位置.當點3高于人的水

平視線。￡時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數學家研究發現：當經

過/,8兩點的圓與水平視線。E相切時(如圖2),在切點尸處感覺看到的塑像最大，此時N4P3為最大

視角.

(1)請僅就圖2的情形證明ZAPB>ZADB.

(2)經測量，最大視角44P3為30。，在點尸處看塑像頂部點/的仰角3E為60。，點P到塑像的水平距

離PH為6m.求塑像的高(結果精確到0.1m.參考數據：6=1.73).

【答案】(1)見解析

(2)塑像NB的高約為6.9m

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形外角的性質，解直角三角形的應用等知識，解題的關鍵是：

(1)連接的，根據圓周角定理得出=,根據三角形外角的性質得出乙處心>41。3,然后

等量代換即可得證；

(2)在RM/打中，利用正切的定義求出在中，利用正切的定義求出3〃，即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，連接

貝UZAMB=AAPB.

'：ZAMB>ZADB,

NAPB>ZADB.

(2)解：在RM4/P中，乙4PH=60。，PH=6.

*.*tan/APH=-----

PH

：.AH=PH-tan60。=6xC=66

,：ZAPB=30°,

ZBPH=ZAPH-ZAPB=60°-30°=30°.

在RtABHP中，tanABPH=—,

PH

BH=PH?tm30。=6x=2立.

3

：.AB=AH-BH=-2^3=4y/3~4x1.13^6.9（m）.

答：塑像的高約為6.9m.

29.（2024?江西?中考真題）如圖，是半圓。的直徑，點。是弦/C延長線上一點，連接8D,BC,

(1)求證：是半圓。的切線;

⑵當8C=3時，求就的長.

【答案】(1)見解析

⑵2%

【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，等邊三角形的判定和性質，弧長公式，熟知相關性質和計

算公式是解題的關鍵.

(1)根據直徑所對的圓周角為直角結合已知條件，可得/C48=30。，即可得DN3O=90。，進而可證得結

論；

(2)連接OC,證明△O8C為等邊三角形，求得NNOC=120。，利用弧長公式即可解答.

【詳解】(1)證明：???/8是半圓。的直徑，

ZACB=90°,

???ND=ZABC=60°,

ZCAB=90°-ZABC=30°,

ZABD=180°-ZCAB-ZD=90°,

.?.班＞是半圓。的切線；

(2)解：如圖，連接

:.NCOB=60。,OC=CB=3,

ZAOC=180°-/COB=120°,

7120crc

I.=--x2/7x3=21.

AC360

30.(2024?廣東深圳?中考真題)如圖，在△/即中，AB=BD,。0為△48。的外接圓，8E為。。的切

線，NC為O。的直徑，連接。。并延長交3E于點E.

(1)求證：DErBE；

Q)若AB=5&,BE=5,求。。的半徑.

【答案】(1)見解析

(2)375

【分析】本題考查切線的性質，圓周角定理，中垂線的判定和性質，矩形的判定和性質：

(1)連接80并延長，交/。于點H,連接O。，易證8。垂直平分圓周角定理，切線的性質，推出

四邊形81TOE為矩形，即可得證；

(2)由(1)可知。〃=BE=5,勾股定理求出8H的長，設OO的半徑為「，在RtZUOH中，利用勾股

定理進行求解即可.

【詳解】(1)證明：連接8。并延長，交/。于點連接

?.*AB=BD,OA=OD,

：.8。垂直平分4D,

BH1AD,AH=DH,

,/BE為OO的切線，

HBLBE,

為。。的直徑，

ZADC=90°,

，四邊形Affl出為矩形，

DELBE

(2)由(1)知四邊形AHDE為矩形，BH1AD,AH=DH,

：.AH=DH=BE=5,

BH=yjAB2-AH2=56>

設。。的半徑為r,則：OA=OB=r,OH=BH-OB=545-r,

在RtA4O〃中，由勾股定理，得：/=(5『+卜近-J,

解得：r=3A/5;

即：。。的半徑為3石.

31.(2024?四川廣元?中考真題)如圖，在中，AC=BC,NACB=90°,。。經過N、C兩點，交AB

于點，co的延長線交42于點RDE〃CF交BC于點、E.

(1)求證：OE為。。的切線;

（2）若NC=4,tanZCFD=2,求O。的半徑.

【答案】（1）證明見解析；

⑵”.

【分析】（1）連接根據等腰三角形的性質可得/COD=2/08=90。，再根據。石〃CF,可得

ZEDO=180°-ZCOD=90°,問題得證；

（2）過點C作于點根據等腰直角三角形的性質有C3=4曰=2近，結合tan/CED=2,可

得要=2,即切=血，利用勾股定理可得。尸=廂.在RtkOD中，根據tan/C9=gg=2,設半

FHOF

徑為心即有扁二=2,問題得解.

【詳解】（1）證明：連接。。.

VAC=BC,ZACB=90°,

???△4C5為等腰直角三角形，

JZCAB=45°,

：.ZCOD=2ZCAB=90°,

DEIICF,

：.NCOD+ZEDO=180。，

JZEDO=180°-ZCOD=90°,

DE為。。的切線.

(2)過點C作8,/B于點〃，

???△/C8為等腰直角三角形，AC=4,

AB=4拒，

:.CH=AH=2也，

,：tanZCFD=2,

.3=2,

FH

:.FH=也，

,:CF?=CH?FH?,

CF=Vw.

在RtA^OZ）中，VtanZCFD=—=2,

OF

設半徑為”.?扁h2,

.2V10

??r=----.

3

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正切，勾股定理等知識以及等腰三角形的性質等知識，問

題難度不大，正確作出合理的輔助線，是解答本題的關鍵.

32.(2024?內蒙古呼倫貝爾?中考真題)如圖，在中，以NB為直徑的。。交3c于點。，八EL/C,

垂足為E.。。的兩條弦所，即相交于點尸,ND/￡=/3即.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若NC=30。,CD=2百，求扇形。8。的面積.

【答案】(1)見解析

【分析】(1)連接8,利用等邊對等角，圓周角定理等可得出=由垂直的定義得出

ZADE+ZDAE=90°,等量代換得出N/DE+/ODZ=90。，即。。然后根據切線的判定即可得證;

(2)先利用含30。的直角三角形的性質求出。￡=百，同時求出NEDC=60。，進而求出N80D=30。，利

用等邊對等角，三角形外角的性質等可求出40。=60。，ZBOD=12Q0,證明是等邊三角形，得

出/O=OD,ZODA=60°,進而求出乙4。￡=30。，在中，利用余弦定義可求出=2,最后

利用扇形面積公式求解即可.

【詳解】（1）證明：連接。。,

OD=OA,

：.NODA=ZOAD,

又NDAB=/BFD,ZDAE=ZBFD,

???NODA=ZDAE,

u：DEIAC,

：./ADE+NDAE=90。,

AZADE+ZODA=90°,即OD_LDE,

又。。是的半徑；

???DE是O。的切線；

(2)解：VZC=30°,CD=20DEIAC,

：.DE=-CD=^3,ZCDE=60°,

2

又OD_LDE,

：.ZBDO=180°-/ODE-ZCDE=30°,

OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=30°,

AZAOD=60°,NBOD=120。

又OD=OA,

???是等邊三角形，

AD=OD,ZODA=60°,

???/ADE=30°,

在RtAADE中，AD=----――---二--=2,

cosZADEcos30°

???扇形。助的面積為12-2=電.

3603

【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三

角形的應用，三角形外角的性質，靈活運用所學知識是解題的關鍵.

33.(2024?江蘇揚州?中考真題)在綜合實踐活動中，“特殊到一般”是一種常用方法，我們可以先研究特殊

情況，猜想結論，然后再研究一般情況，證明結論.

如圖，已知AA8C,CA=CB,。。是AASC的外接圓，點。在OO上(NO>AD),連接BD、CD.

【特殊化感知】

(1)如圖1,若ZXCB=60。，點。在NO延長線上，則AD-8。與CD的數量關系為；

【一般化探究】

(2)如圖2,若4c3=60。，點C、。在同側，判斷與CD的數量關系并說明理由；

【拓展性延伸】

(3)若AACB=a,直接寫出40、BD>C。滿足的數量關系.(用含a的式子表示)

a

【答案】(1)AD-BD=CD；(2)AD-BD=CD(3)當。在前上時，2CD-sin-=AD-BD-當。在

還上時，2CD-sin5=4D+3Z)

【分析】(1)根據題意得出是等邊三角形，則NC48=60。，進而由四邊形/COB是圓內接四邊形，

設交于點E,則BE=CE,設8。=1,則CD=M)=1,分別求得3。，即可求解；

(2)在上截取。尸=瓦)，證明A/EB峪ACDB(AAS),根據全等三角形的性質即得出結論；

(3)分兩種情況討論，①當。在部上時，在4D上截取。￡=班，證明AC/BSAOEB,\ABE^NCBD,

AT~)—RT~)ARf~y

得出5作。于點F，得出NB=2BCsin7,進而即可得出結論；②當。在初上時,

CDBC2

a

延長2。至G,使得DG=D4,連接/G,證明AC/8SA￡)/G,^CAD^^BAG,同①可得AB=2/C-sin