整式的加減

【知識梳理】

1、同類項：

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項是同類項。常數項都是同類項。

合并同類項法則：系數相加，字母與字母的指數不變。

2、去（添）括號法則：

去（添）括號時，若括號前邊是“+”號，去掉括號和“+”號，括號里的各項都不變號；若括號前邊

是號，去掉括號和號，括號里的各項都要變號。

3、整式的加減：

整式的加減，實際上是在去括號的基礎上，把多項式的同類項合并。

【課堂練習】

一、選擇題

1.下列每組中的兩個代數式，不屬于同類項的是()

3

222

A.—7和兀B.—2yxC.xyz^xyD.3ni?和一3nl2

2.下列計算正確的是()

A.-2(a-b)=-2a+bB.2c2-c2=2

C.x2y—4yx2=-3x2yD.3a+2b-5ab

3.如果單項式2與的和仍然是一個單項式，則^^,n的值是（）

A.m=2,n=2B.m=-2,n=2

C.m=-1,n=2D.m=1,n=—1

4.下列去括號正確的是().

A.—(Q+b—c)=—a+b—cB.-2(Q+b—3c)——2a—2b+6c

C.一(—a—b—c)=—a+b+cD.—(a—b—c)=—a+b—c

5.當％=-2,y=2時代數式%-(%+y)+(%+2y)-(x+3y)+……-(%+99y)的值是()

A.48B.-50C.-100D.100

6.老師布置了下面這道題.先化簡再求值：（2/—3x+l）-（a/+bx-5）,其中x=—2.一位同學將

“x=-2”抄成“x=2”，其余運算正確，結果卻是對的.下列關于a和b的值的敘述正確的是（）.

A.a一定是2,b一定是一3B.a不一定是2,b一定是-3

C.a一定是2,b不一定是-3D.a不一定是2,b不一定是一3

7.三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別放置于相同的長方形中，它們既不重疊也無空

隙，記圖1陰影部分周長之和為小，圖2陰影部分周長為n,要求6與n的差，只需知道一個圖形的周長,

這個圖形是()

A.整個長方形B.圖①正方形C.圖②正方形D.圖③正方形

8.在多項式為-'-2-瓶-71中任意加括號0，第2,犯九均不為零)，加括號后仍只有減法運算，然后按給出

的運算順序重新運算，稱此為"加算操作".例如：(x-y)-(z-m-n')-x-y-z+m+n,

x—y—(<z—m')—n—x—y—z+m—n,....

下列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運算結果與原多項式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結果.

其中正確的個數是()

A.0B.1C.2D.3

二、填空題

9.把(a+b)當成一個整體，合并如下整式中的“同類項”：

(CL+b)?-4(a+b)+2023—5(a+b)?+8(a+匕)—2024,=?

10.若別對+4與一3之一是同類項，那么m+兀的值為.

11.定義一種運算：C=ad-bc,計算匕=；2(=?

12.某同學做了一道數學題：已知兩個多項式4,B,計算24+B,他誤將“24+B”看成“4+2B”，

求得的結果是9——2x+7.若B=x2+3久一2，則24+B的正確結果是.

13.“幻方”最早記載于春秋時期的《大戴禮》中，現將1,2,3,4,5,7,8,9這八個數字填入如

圖1所示的“幻方”中，使得每個三角形的三個頂點上的數字之和都與中間正方形四個頂點上的數字

之和相等.若按同樣的要求重新填數如圖2所示，則x-y的值是,m-n的值是.

圖1圖2

三、計算題

14.化簡

333⑵3/_5X--X-32

(l)(4afe-10h)+(一3a2b2+io6)；+2x

四、解答題

15.已知|a-引與|a+2bl互為相反數,求代數式10(a-b)3—8(a—b)2+9(b-a)3+7(b-a)2的值.

11

16.一根鋼筋長a米，第一次用去了全長的-，第二次用去了余下的-還多2米，求剩余鋼筋的長.

32

17.下表中的字母都是按規律排列的.

序號123

XXXXXXXXX

yyyyyy

圖形XXXXXXXXX

yyyyyy

XXXXXXXXX

我們把某格中的字母的和稱為“特征多項式”，例如第1格的“特征多項式”為6x+2y,第2格的“特

征多項式”為9x+4y,回答下列問題：

(1)第3格的“特征多項式”為,第4格的“特征多項式”為,第n格的“特征多項

式“為(n為正整數)；

(2)求第6格的“特征多項式”與第5格的“特征多項式”的差.

18.將連續的偶數2,4,6,8,10,排成如下的數表.

246810

1214161820

2224262830

3234363840

4244464850

(1)十字框里的五個數之和與中間的數26有什么關系？

(2)設十字框里中間的數為m,用含m的式子表示十字框里的五個數之和；

(3)十字框中的五個數之和能等于2060嗎?若能，請寫出這五個數;若不能，請說明理由.

【課后鞏固】

1.如果整式4與整式5的和為一個常數a,那么我們稱43為常數a的“和諧整式”.例如：x-6和-％+7

為數1的“和諧整式”.若關于久的整式9/_m%+6與一3（3/—x+m）為常數卜的“和諧整式”（其中m

為常數），則A的值為（）

A.3B.-3C.5D.15

2.已知P=3xy—8x+1,Q^x-2xy-2,當xHO時，3P—2Q=7恒成立，貝0的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.若a、b、c、d是正整數，且a+匕=20,a+c-24,a+d-22,設a+b+c+d的最大值為M,

最小值為N,則"—N=（）

A.28B.12C.48D.36

c1c

4.已知實數s,t,a,b滿足s?+^a=b+1/2+2b=a+4,若A=2s?+產一3，則k的值是

5.如圖，若一個表格的行數代表關于x的整式的次數，列數代表關于x的整式的項數（規定單項式的項

數為1）,那么每個關于x的整式均會對應表格中的某個小方格.若關于x的整式4是三次二項式，貝儲對

應表格中標十的小方格.已知B也是關于x的整式，下列說法正確的有.（寫出所有正確的

序號）①若B對應的小方格行數是4,則4+B對應的小方格行數一定是4；②若4+B對應的小方格

列數是5,貝伊對應的小方格列數一定是3；③若B對應的小方格行數是3,貝儲+B對應的小方格行

數不可能是4；④若B對應的小方格列數是3,且4+B對應的小方格列數是5,貝對應的小方格行

數不可能是3.

6.近年來，電商多選擇在11月11日促銷.今年的促銷期間，某電商客服在為買家包裝商品時用到長、

寬、高分別為a厘米、b厘米、c厘米的箱子，并發現有如圖所示的甲、乙兩種打包方式（每條打包帶繞

一圈，且不計接頭處的長）.回答下列問題：

（1）用含a,b,c的式子表示甲、乙兩種打包方式所用的打包帶的長度：甲需要_____厘米，乙需要一

厘米；

（2）當a>b>c時，兩種打包方式中，哪種方式節省打包帶？并用作差法證明你的結論.

(甲)(乙)

7.【方法】有一種整式處理器，能將二次多項式處理成一次多項式，處理方法是：將二次多項式的二

次項系數與一次項系數的和(和為非零數)作為一次多項式的一次項系數，將二次多項式的常數項作為

一次多項式的常數項例如：4=/+2x—3,4經過處理器得到B=(l+2)x—3=3x—3.

【應用】若關于x的二次多項式4經過處理器得到B,根據以上方法，解決下列問題：

(1)填空：若4=3--2%+5,則3=；

(2)若4=4X2-5(2X-3),求關于x的方程B=9的解；

【延伸】

(3)已知”=%_2(小一4)一+7,M是關于x的二次多項式，若N是M經過處理器得到的整式，滿足

N=3%+7,求m的值.

參考答案

【課堂練習】

L【答案】C

2.【答案】C

【解析】解：A.-2(a-b')--2a+2b,故選項A錯誤；

B.2C2-C2=c2,故選項8錯誤；

C.x2y-4yx2=-3x2y^故選項C正確；

D.3a+2b不能合并，故選項D錯誤；

3.【答案】C

【解析】解：由同類項的定義，

可知2=n,m+2=1,解得：m——l,n—2,

根據同類項的定義，單項式與的和仍然是一個單項式，意思是/y，n+2與是同類項，根

據同類項中相同字母的指數相同得出關于6、n的方程，求出m,n的值即可.

4.【答案】B

【解析】本題考查去括號的方法：去括號時，運用乘法的分配律，先把括號前的數字與括號里各項相

乘，再運用括號前是“+”，去括號后，括號里的各項都不改變符號；括號前是，去括號后，

括號里的各項都改變符號.

解：4、—(a+b—c')——a—b+c,故錯誤；

B正確；

C、—{—a—b—c)—a+b+c,故錯誤；

D、—{CL—b—c')———a+b+c,故錯誤.

5.【答案】C

【解析】此題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.原式去括號合并后,

將X與y的值代入計算即可求出值.

解：原式=x—x+x—x+...+(2y-y)+(4y-3y)+...+(98y—97y)—99y=49y—99y=-50y,

當x=-2,y=2時，原式=-50x2=—100.

6.【答案】B

7.【答案】D

【解析】解：設正方形①的邊長為明正方形②的邊長為反正方形③的邊長為c,可得

m-2[c+(a—c)]+2[b+(a+c—b')]—2a+2(a+c)=2a+2a+2c=4a+2c,

n=2[(a+b—c)+(a+c-b')]-2(a+b—c+a+c—b')=2x2a=4a,

???m—n=4a+2c—4a=2c,

故選：D.

設正方形①的邊長為a、正方形②的邊長為仄正方形③的邊長為c,分別表示出m、幾的值，就可計

算出巾-九的值為2c,從而可得只需知道正方形③的周長即可.

8.【答案】D

【解析】本題屬于新定義問題，涉及去括號與添括號法則，掌握去括號和添括號法則是解題的關鍵.

根據“加算操作”的定義，結合添括號法則和去括號法則逐項判斷即可.

解：(％-y)-z-zn-7i=—幾，故說法①正確.

若使其運算結果與原多項式之和為0,則需出現-％,顯然無論怎樣添加括號，均無法使得》的符號為

負號，故說法②正確.

當括號中有兩個字母時，共有7種情況，分另(J是=

x—(y—z)—m—n=x—y+z—m—n；

x—y—^z—m)—n=x—y—z+m—n；

x—y—z—(m—n)=x—y—z—m+n；(x—y)—(z—Tr^—n=x—y—z+m—n；

(%—y)—z—(m—n)=x—y—z—m+n；x—(y—z)—fm—n)=x—y+z—m+n.

當括號中有三個字母時，共有3種情況，分另ij是(%-y-z)-m-n=%-y-z-7n-7i；

x—(y—z—m)—n=x—y+z+m—n；

x—y—(z—m—ri)=x—y—z+m+n.

當括號中分別有兩個字母和三個字母時，共有2種情況，分別是

(%—y)—(z—m—n)=x—y—z+m+n；(%—y—z)—(m—n)=x—y—z—m+n.

當括號中有四個字母時，共有2種情況，分另U是-7i=x-y-z-m-n；

x—(y—z—m—n)=x—y+z+m+n.

所有可能的“加算操作”共有8種不同的運算結果，故說法③正確.

故選：D.

9.【答案】—4(a+b)2+4(a+匕)一1

10.【答案】5或1

【解析】根據同類項的定義(所含字母相同，相同字母的指數相同)列出方程3n=9,|m|+4=6,求

出九，m的值，再代入計算即可.

解：因為5/肘向+4與一3%9曠6是同類項，

所以3九=9,|加+4=6,

所以九=3,m=±2,

當m=2時，原式=2+3=5；

當m=12時，原式=-2+3=1；

故答案為5或1.

11.【答案】5-x

【解析】本題考查了整式的加減，是一種新定義運算，規定運算法則為ad與兒的差，根據法則將二

階行列式轉化為整式的運算即可.

解：由匕*=ad—bc得：

Ix_]2I=(，+1)X2-3X(%-1)=5-X.

12.【答案】15x2-13x+20

【解析】由題意，得4+22=9/一2%+7.又2=/+3%-2,所以

A=9X2-2X+7-2(/+3X-2)=7x2-8x+11.則

2^4+B=2(7/-8久+11)++3x—2=15/—13%+20?

13.【答案】-3,3

【解析】本題主要考查了有理數的運算，先設中間的四個的右上的數字為p,左下的數字為q,再根據

題意列出關系式，整理可得答案.

【詳解】設中間的四個的右上的數字為p,左下的數字為q,

根據題意，得％+1+p=y+(-2)+p,m+(—2)+q=zi+l+q,

將上式變形得x-y=-3,m-n=3.

故答案為：—3,3.

14.【答案】解：(1)(4。％-10廬)+(一3a2b2+io/,3)=4a3b-10b3-3a2h2+10b3=4a3b-3a2b2；

2r/I\2i199

(2)3%-5x-^-x-3j+2%=3X-(5X--X+3+2x2)=3x-(-x+3+2x2)=3x2--x-3-2x2

29

=xL—%—3

2

15.【答案】解:???|a—4|與|a+2bl互為相反數，

a—4=0,a+2Z?=0,

解得：Q=4,b=—2,

???10(a—b)3—8(a—b)2+9(6-a)3+7(b-a)2=(a-b)3-(a-h)2=63-62=180.

【解析】直接利用相反數的定義以及絕對值的性質得出a,b的值，進而合并同類項得出答案.

16.【答案】剩余鋼筋的長為a—}/a一3+21米).

17.【答案】解：(1)12%+6y；15x+Qy,；3(n+l)x+2ny.

⑵由⑴可得，

第6格的“特征多項式”為3x(6+l)x+12y=21%+12y,

第5格的“特征多項式”為3x(5+l)x+10y=18%+10y,

則第6格的“特征多項式”與第5格的“特征多項式”的差為21x+12y-(18x+10y)=3x+2y.

18.【答案】解：(I)：16+24+26+28+36=130,130+26=5,

???十字框中的五個數之和是中間數26的5倍；

(2)十字框中的五個數之和為：(m-10)+(m-2)4-m+(m+2)+(m+10)=5m；

(3)假設十字框中的五個數之和能等于2060,

即57n=2060,解得m=412,

此時m在第一列，以412為中心的十字框不存在，

???十字框中的五個數之和不能等于2060.

【解析】本題考查列代數式，合并同類項，根據圖表的排列得出“同一列上下相鄰的兩數相差10,同

一行左右相鄰的兩數相差2"，從而得出十字框的五個數之和為中間數的5倍，進而完成解答.

(1)將十字框中的5個數加起來的和除以中間這個數就可以得出結論；

(2)根據同一列上下相鄰的兩數相差10,同一行左右相鄰的兩數相差2就可以表示出這5個數之和；

(3)用2060-5就可以得出中間的這個數，然后根據圖表中數字的列數進行判斷即可得出結論.

【課后鞏固】

L【答案】B

【解析】提示：因為關于刀的整式9/_皿+6與-3(3/r+m)為常數A的“和諧整式”，所以

9x2-mx+6-3(3X2-X+m)=fc,即(3-m)x+6-36=k,無論x取何值都成立，貝！］3-m=0,解得

m-3.所以k=6—3m=6—3x3=—3.

2.【答案】B

【解析】解：P-3xy-8x+1,Q-x-2xy-2,

???3P—2Q-3(3xy—8x+1)—2(x—2%y-2)=9xy—24x+3—2x+4xy+4-13xy—26%+7,

v3P—2Q-7,?1?13xy—26x+7—7,

???13xy—26x—0,x(13y—26)=0,

v%0,???13y—26=0,???y—2,

先算出3P—2Q=13盯一26%+7,根據3P—2Q=7,得到13%y—26x=0,再根據x00,列出關于y的

方程，求出y值即可.

3.【答案】D

【解析】根據題意可得b=20—a,c=24—a,d=22—a,再將其代入a+b+c+d中進行化簡即可得

出答案.

解：a+b—20,a+c-24,a+d—22,

**?b-20—a,c——24—a,d——22—a,

二a+b+c+d=a+20—a+24—a+22-a—66—2a,

va>b、c、d是正整數，且a+b=20,.1-0<a<20,

???a,b為正整數，二。的最小值為1,a的最大值為19,

???當a=1時，a+b+c+d的最大值為M=66-2=64,

當a=19時，a+b+c+d的最小值為N=66-2x19=28,

???M-N=64-28=36

4.【答案】3

【解析】本題考查了整式的加減運算.關鍵是能正確進行整式的加減運算.把k用含有a和b式子表示,

再代入4=2S2+產—3計算即可.

1

解：s2+—a=b+l,t2+2b=a+4

1

s=—~ct+b+1，—a-2b+4，

k=2s之+t^—3=2^——a+b++(a-2b+4)-3--a+2b+2+a—1b+4-3=3

5.【答案】①③④

【解析】本題主要考查整式的加減，多項式的次數與項的概念，熟練掌握整式加減是解決此題的關鍵

.根據表格得出B對應的次數，進而分析4+B的次數即可判定①；根據4+B對應的列數得出4+B的

項數，進而分析即可判定②；

根據B對應的行數得出B的次數，進而分析4+B的次數即可判定③；根據B對應的列數和A+B對應的

列數可得出B的項數和4+B的項數，進而分析判定④即可.

解：rB對應的小方格行數是4,???整式B的次數是4,

又???整式4是三次二項式，貝M+B的次數一定是4次，

???對應的小方格行數一定是4,故①正確；

???A+B對應的小方格列數是5,A+B