反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題復(fù)習(xí)講義

一次函數(shù)和反比例函數(shù)是刻畫實際生活中數(shù)量關(guān)系的兩個有效模型，在實際生活中有著廣泛運用.一次函數(shù)與

反比例函數(shù)的綜合題是中考的熱點問題，常考查的題型有用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式、交點

問題、線段的數(shù)量關(guān)系問題、三角形的面積問題、求不等式的解集問題等，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)的知識，

通過畫圖分析，應(yīng)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想思考并解答問題.

1.1與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的題型

解題策略

解答線段的數(shù)量關(guān)系問題通常采用以下策略：

1.線段相等時，可以通過作X軸或y軸的垂線，通過直角三角形全等推導(dǎo)點的坐標(biāo)來解答，也可以通過兩點間

距離公式來解答.

2.線段不等時，也可以通過作x軸或y軸的垂線，通過直角三角形相似推導(dǎo)點的坐標(biāo)來解答，也可以通過兩點

間距離公式來解答，此時利用兩點間距離公式來計算的話，計算量相對較大.

3.等腰三角形問題也可以看作是線段相等問題，此時要分類討論，必要時可以借助圓規(guī)和線段的垂直平分線

（兩圓一直線）來確定答案的個數(shù)，然后利用兩點間距離公式進(jìn)行解答.

模型兩點間距離公式（黃金法則哦！）

場景：如圖，A,B是平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點，點A的坐標(biāo)為（（XTXJ,,點B的坐標(biāo)為（（功，VB）.

作輔助線方法：8C||y軸,軸，相交于點C.

結(jié)論：AB=dg—%B）2+（yA~犯下,特別地，當(dāng)AB||無軸時，AB=\xA-比BI；當(dāng)力軸時，AB=\yA-

yB\-

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù).yi-kx+b（k豐0）的圖象與反比例函數(shù)=?（小力0）的圖象

相交于第一、三象限內(nèi)的A（3,5）,B（a,-3）兩點，與x軸交于點C.

⑴求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）在y軸上找一點P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及點P的坐標(biāo).

解析

⑴初中階段求函數(shù)的解析式都是采用待定系數(shù)法，故將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出m,即可得

到反比例函數(shù)的解析式；把丫=-3代入反比例函數(shù)的解析式求出a的值，得到點B的坐標(biāo)，再將A,B的坐標(biāo)代入

一次函數(shù)解析式求出k,b,即可求出一次函數(shù)的解析式；

(2)求出點C的坐標(biāo)，由“兩點間距離最短”和三角形三邊關(guān)系可得PB-PC<BC，當(dāng)P,B,C三點共線時,PB-P

C=BC,即PB-PCWBC,從而得至!]PB-PC的最大值為BC,此時P.B.C三點共線，即可求出點P.

解⑴已知點A的坐標(biāo)為(3,5)代入先=§導(dǎo)，5=?

m=15.

反比例函數(shù)是為=*

當(dāng)段=一3時,—3=p

x=-5.

點B的坐標(biāo)為(-5,-3).

將A(3,5),B(-5,-3)代入yi=kx+b,得｛_；然：工解得｛:二2

???一次函數(shù)的解析式為%=x+2;

(2)令以=0,,貝!]x+2=0,x=-2.

.?.點C的坐標(biāo)為(-2,0).

設(shè)直線與y軸的交點為D,令x=0,則.%=2.

???點D的坐標(biāo)為(0,2).

如圖，連接PB,PC.

當(dāng)點B,C和P不共線時住三角形三邊關(guān)系得PB-PC<BC;

當(dāng)點B,C和P共線時,PB-PC=BC.

/.PB-PC<BC.

由勾股定理可知，BC=J(—5+2股+(—3—0)2=3V2.

當(dāng)點P與點D重合，即點P的坐標(biāo)為(0,2)時,PB-PC取最大值，最大值為3企.

例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b(k/))與反比例函數(shù)y=?(血知)的圖象交于第二、四象限

的A,B兩點，過點A作ADLx軸于點D,AD=4,sin/AOD=芻且點B的坐標(biāo)為(n,-2).

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

(2)若E是y軸上一點，且^AOE是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點E的坐標(biāo).

解析

⑴由AD=4,sin乙4。。=*可求出點A的坐標(biāo)，即可求出反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出點B的坐標(biāo)，從

而求出一次函數(shù)的解析式；

(2)分OA為底和OA為腰兩種情況進(jìn)行討論，同時注意點E在y軸上.OA為腰時分別以A,O為圓心、OA長

為半徑作圓，與y軸的交點即為所求；OA為底時，OA的垂直平分線(連接兩圓交點即可)，與y軸的交點即為所

求.

解⑴???一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=三圖象交于點A和點B,且401xffl,Z.AD0=90°.

在RtAADO中,.AD=4,sinZ.AOD=:

嚏=芻即AO=5.

根據(jù)勾股定理，得。。=府中=3.

.?.點A的坐標(biāo)為(-3,4).

將A(-3,4)代入反比例函數(shù)的解析式，得m=-12,即y=-p

把點B的坐標(biāo)代入得n=6,即點B的坐標(biāo)為(6,-2).

將B(6,-2)代入一次函數(shù)解析式，得

層匕土擲叱二

2,?

■■-y=~-x+2；

（2）當(dāng)（0A=C&=5時,得到0El=2AD=8,即E［（0,8）.

當(dāng)OE3=0E2=A0=5時，即&（0,一5）,F3（0-5）.

當(dāng)AEr=。入時，設(shè)坐標(biāo)為(0,a),

則a2=[0—(-3)]2+(a—4產(chǎn)解得a=

即見(0嚕).

綜上所述，當(dāng)點E為(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0，葛)時，4AOE是等腰三角形.

反思求點Ei的坐標(biāo)也可以用如下方法求解：記AD的中點為H,在Rt△HOE&中,HO=Icos4"。%=

精選練習(xí)

1.已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=?的圖象交于點A,與x軸交于點B(5,0).若OB=AB,且

SoiB=V

⑴求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

⑵若點P為x軸上一點,△ABP是等腰三角形，求點P的坐標(biāo).

2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，平行四邊形OABC的邊OC在x軸上，對角線AC,OB交于點M,函數(shù)y

=1("0)的圖象經(jīng)過點A(3,4)和點M.

⑴求k的值和點M的坐標(biāo)；

(2)求平行四邊形OABC的周長.

1.2與面積有關(guān)的題型

解題策略

涉及與面積有關(guān)的問題時，要善于用點的橫、縱坐標(biāo)表示出圖形邊長的長度，對于所求圖形的邊均不在x

軸、y軸或不與坐標(biāo)軸平行的，不便直接求解時，可將圖形分割(或割補(bǔ))為易求的規(guī)則圖形，然后利用幾部分圖形

的面積做和差進(jìn)行相關(guān)的轉(zhuǎn)化.通常情況下，作x軸或y軸的垂線，轉(zhuǎn)化為求底邊在坐標(biāo)軸上(或平行于坐標(biāo)軸)的

三角形或梯形的面積，然后利用割補(bǔ)法進(jìn)行求解.

精選例題

例1.如圖，直線y=x與雙曲線y=式"0)相交于點A,且。力=VX將直線向左平移一個單位長度后與雙曲線相

交于點B,與x軸、y軸分別交于C,D兩點.

(1)求直線BC的解析式及k的值；

⑵連接OB,AB,求A。力B的面積.

解析

⑴根據(jù)平移的性質(zhì)即可求得直線BC的解析式，由直線.y=x和0A=&即可求得點A的坐標(biāo)，然后代入雙

曲線y=§(?0),求得k的值；

(2)方法一：利用割補(bǔ)法和等積轉(zhuǎn)化法，結(jié)合反比例函數(shù)因的幾何意義，作4E，x軸于點E,BF，x軸于點F,根

據(jù)Saob=$梯形刖+SBOF-SAOE=5薪.EFB'即可求得.

方法二：利用“寬高公式”求面積，此處不做詳解，有興趣的同學(xué)可以嘗試解答.

解⑴根據(jù)平移的性質(zhì)，將直線.y=久向左平移一個單位長度后得到y(tǒng)=%+1,

，直線BC的解析式為y=x+1.

:直線.y=久與雙曲線y=|(久)0)相交于點A,

.?.點A的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等.

0A=???點A的坐標(biāo)為(1,1),fc=1X1=1;

⑵如圖作AE1久軸于點E?BF1x軸于點F.

解］

(y=%+1,

；?點B的坐標(biāo)為

SAOB=S^+SHOF-Ss

AEFBA0E梯形AEFB'

..SxOB-S梯形AEFB山+萼)。-笞H?

例2.如圖，已知反比例函數(shù)y=?(小*0)的圖象經(jīng)過點(1,4),一次函數(shù)丫=々+15的圖象經(jīng)過反比例函數(shù)圖象上

的點Q(-4,n).

⑴求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

⑵一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于A,B兩點，與反比例函數(shù)圖象的另一個交點為點P,連接OP,OQ,求

△OPQ的面積.

解析

0x

Q

待定系數(shù)法求解即可；

(1)B

⑵同例1類似，可用割補(bǔ)法求解，△OPQ的面積等于△APO的面積減去△AQO的面積.還可采'寬高公式”

法，這里不作講解.

解⑴反比例函數(shù)曠=?(小*0)的圖象經(jīng)過點(1,4),

4=:，解得m=4,故反比例函數(shù)的解析式為y=p

一次函數(shù)丫=二+1)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點Q(-4,n),

.J"=工’解得匕=—：???一次函數(shù)的解析式為y=-x-5；

In=_(-4)+b,5=f

4

，=7解得匕：u或qz點p的坐標(biāo)為(-1,-4).

(y=-x-s,(y-T(丫--生

在一次函數(shù)y=-x-5中，令y=0彳導(dǎo)-x-5=0,解得x=-5.故點A的坐標(biāo)為(-5,0).

SOPQ=S0PA—SaUQ=-x5x4--x5xl=—.

精選練習(xí)

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A,B在函數(shù)y=：(x>0)的圖象上(點B的橫坐標(biāo)大于點A

的橫坐標(biāo))，點A的坐標(biāo)為(2,4),過點A作ADLx軸于點D,過點B作BCLx軸于點C,連接OA.AB.

(1)求k的值;

⑵若D為OC的中點，求四邊形OABC的面積.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(0,-4),B(2,0),交反比例函數(shù)y=?(x>0)的圖象

于點C(3,a),點P在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為n(0<n<3),PQ〃y軸交直線AB于點Q,D是y軸上任意一點,

連接PD,QD.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵求仆DPQ面積的最大值.

1.3其他題型

解題策略

關(guān)于中考中其他的反比例函數(shù)與一次函數(shù)常考的熱點還有以下幾種情況：

1.交點問題.

函數(shù)的交點問題有以下兩種常考方式：

⑴函數(shù)的交點的個數(shù)的判定.

①兩個一次函數(shù)交點的情況：一次項系數(shù)相等，則兩條直線平行，此時無交點；一次項系數(shù)不相等，兩直線

必有一個交點，聯(lián)立兩個一次函數(shù)組成一個二元一次方程，其解就是交點坐標(biāo).

②如果是一次函數(shù)與反比例函數(shù)、一次函數(shù)與二次函數(shù)相交，聯(lián)立兩個函數(shù)組成方程組，化簡成一個一元二

次方程，利用根的判別式來判斷交點的個數(shù).

(2)求交點坐標(biāo).聯(lián)立兩個函數(shù)組成方程組，解這個方程組，其解就是交點坐標(biāo)，無解則說明兩個函數(shù)沒有交點.

2.與不等式解集相關(guān)的問題.

解答該類問題時，

(1)首先確定該不等式中隱含的與已知函數(shù)所描述的函數(shù)圖象及其交點；

(2)觀察不同的交點左右兩個函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系；

(3)在x軸上找出被交點橫坐標(biāo)所劃分的不等式的解集.

模型一求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點、

場景：求一次函數(shù)y=kx+n與反比例函數(shù).y=9的交點./M

策略：聯(lián)立后消元，得整理得k/+nx—爪=0.fy

結(jié)論：當(dāng)4>0時,有兩個交點(如圖)；當(dāng)^=0時，有一個交點；當(dāng)4<0時，無交點.

模型二求與分式有關(guān)的不等式的解集方;

場景：一次函數(shù)y=kx+n與反比例函數(shù)y=￡有關(guān)的不等式解集.'

結(jié)論：kx+n>?表示一次函數(shù)在反比例函數(shù)上方，如圖中的紅色部分,此時的解集為治<久<0或x>xB

(x軸上紅色的兩部分)；

kx+n<?表示一次函數(shù)在反比例函數(shù)下方，如圖中的黑色部分，此時的解集為(0<x<%或x<之(x軸

上黑色的兩部分).

探究：當(dāng)k<0時，其解集又是什么情況呢？

精選例題

例1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù).y=kx+6的圖象與反比例函數(shù)y=?的圖象在第二象限交

于點B,與x軸交于點C,點A在y軸上，滿足條件CA±CB.HCA=CB,點C的坐標(biāo)為((-3-0),cos^ACO=y.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；/

(2)直接寫出當(dāng)x<0時,kx+b<”的解集./T

解析

⑴要求反比例函數(shù)的解析式，需要求得點B的坐標(biāo).作BH±x軸于點H,由點C的坐標(biāo)為(-3-0),cos乙4C。=

看得AC=3版,AO=6.由“一線三等角”全等模型易得仆BHCg/XCOA從而求出點B的坐標(biāo).

(2)參考前面的解答模型，由圖象法直接得出.

解⑴如圖作BH±x軸于點H,

貝(]/BHC=/BCA=/COA=90°.

.\ZBCH=ZCAO.

?，點C的坐標(biāo)為(-3,0),

.*.OC=3.

cosZ.ACO=

；.AC=3V5,AO=6.

在4BHC和4COA中，

'BC=AC,

乙BHC=Z.COA=90°,

、4BCH=/.CAO,

：.ABHC^ACOA.

BH=CO=3,CH=AO=6.

；.OH=9,即點B的坐標(biāo)為(-9,3).

m=-9x3=-27.

..?反比例函數(shù)的解析式為y=-p

(2)因為在第二象限中，點B右側(cè)一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，

當(dāng)x<0時,kx+b<三的解集為-9<x<0.

例2如圖，直線AB與x軸交于點A(l,0),與y軸交于點B(0,2)將線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,

反比例函數(shù)y=其卜力0，力0)的圖象經(jīng)過點C.

(1)求直線AB和反比例函數(shù)y=豐0，》0)的解析式；\lk

(2)已知點P是反比例函數(shù)y=其/c40,久〉0)圖象上的一個動點，求點P到直線AB距離最短時

的坐標(biāo).鄧

解析

(1)參考第一篇第二章中“坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)——90。旋轉(zhuǎn)”模型，利用“一線三等角”全等模型求出點C的坐標(biāo)，可

求出反比例函數(shù)的解析式；

(2)直線AB平移后的直線與反比例函數(shù)的位置有三種：無交點、有一個交點、有兩個交點.只有一交點時，該

交點就是所求的點P,此時由于直線平移，一次項系數(shù)不變，利用待定系數(shù)法設(shè)平移后的一次函數(shù)的解析式，然后

與反比例函數(shù)聯(lián)立，令判別式等于0,即可求解.

解⑴將點A(l,0),B(0,2)代入y=mx+b,得

b=2,m=-2.

y=-2x+2.

如答圖1,過點C作CDLx軸.

???線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段AC,

答圖1

AABO^ACAD(AAS).

AAD=AB=2,CD=OA=1.

???點C的坐標(biāo)為(3,1).

k=3.

3

??y=-；

(2)如答圖2,設(shè)與AB平行的直線的解析式為y=-2x+b,則有-2%+b=

???-2x2+6%—3=0.

當(dāng)△=/-24=0時,b=±2e,此時點P到直線AB距離最短.

.,?點P的坐標(biāo)為(y-V6).答圖2

精選練習(xí)

1.如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=](x>0)的圖象交于A(m,4),B(2,n)兩點，與坐標(biāo)軸分別交于M,N

兩點.

⑴求一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)圖象直接寫出kx+b-<0中x的取值范圍；

X

⑶求△AOB的面積.

2.如圖，一次函數(shù).y=%+5的圖象與反比例函數(shù)y=5k為常數(shù)目k豐0)的圖象相交于4(-1，m),B兩點.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)將一次函數(shù)y=x+5的圖象沿y軸向下平移b個單位長度(⑹0),使平移后的圖象與反比例函數(shù)y=笑勺圖

象有且只有一個交點，求b的值.

1.1與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的題型

精選練習(xí)

1.解:⑴如圖過點A作AM，x軸于點M,則

115

SOAB=\OB-AM=^-.

:點B的坐標(biāo)為(5,0),；.OB=5,即gx5?4M=即AM=3.

V0B=AB,/.AB=5.

在RtAABM中,BM=7AB2-4M2=4,

0M=0B+BM=9,.\點A的坐標(biāo)為(9,3).

V點A在反比例函數(shù).y="的圖象上，

X

3=1，即m=27.

???反比例函數(shù)的解析式為y=*

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.

?.,點A(9,3),B(5,0)在直線上,

隹機(jī)辨之,d

???一次函數(shù)的解析式為y=：久-?；

44

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0).

VA(9,3),B(5,0),

AB2=(9-5)2+32=25,

AP2=(9-x)2+32=x2-18x+90,

BP2=(5-K￥=%2-lOx+25.

根據(jù)等腰三角形的兩邊相等，分類討論：

@AB2=AP?彳導(dǎo)25=Y-18%+90,

解之，得％1=5,由=13.

當(dāng)x=5時，點P與點B重合，故舍去,，點Pi的坐標(biāo)為(13,0).

②令A(yù)B2=BP?,得25=/-10%+25,

解之，得.%3=0,%4=10.

當(dāng)x=0時，點P與原點重合，故點P2的坐標(biāo)為(0,0),點P3的坐標(biāo)為(10,0).

③令A(yù)P2=BP?,得x2-18%+90=%2-10%+25,

解之，得“號???點P4的坐標(biāo)為(得，0).

綜上所述，使△ABP是等腰三角形的點P的坐標(biāo)為Pi(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P3噂,0).

O

2.解:⑴：函數(shù)y=§(幻0)的圖象經(jīng)過點A(3,4),

12

???/c==3X4=12.???y=—.

???DOABC的對角線交點M在反比例函數(shù)的圖象上，

???點M是AC與BD的中點.

由中點坐標(biāo)公式，得點M的縱坐標(biāo)為2.

將點M的縱坐標(biāo)2,即y=2代入y=苫中,

得x=6.

???點M的坐標(biāo)為(6,2);

(2)V在口0人8(2中,點人的坐標(biāo)為(3,4),對角線交點M的坐標(biāo)為(6,2),

/.由中點坐標(biāo)公式，可得點C的坐標(biāo)為(9,0),點B的坐標(biāo)為(12,4).

；.OC=9.

如圖，過點A作AE±OC于點E.

/.AE=4,OE=3.

在RtAAOE中，由勾股定理，得

AO=VXE2+0E2=V42+32=5.

aOABC的周長=2(AO+OC)=2X(5+9)=28.

AnOABC的周長是28.

1.2與面積有關(guān)的題型

精選練習(xí)

1.解:⑴將點A的坐標(biāo)(2,4)代入y=E(x>0),可得k=xy=2x4=8.

，k的值為8;

(2)：k的值為8,

；?函數(shù)y=子勺解析式為y=(

：D為OC的中點.OD=2,

.*.OC=4.

點B的橫坐標(biāo)為