高考模擬考試卷（9）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合人={%|丁=加（1—%）},3={1|上上,,0},則A03=（）

x

A.（1,2]B.（0,2]C.[0,1）D.（0,1）

2.已知復(fù)數(shù)2=匕2，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

1-i

A.2B.-2C.2iD.-2z

3.某企業(yè)在實(shí)行的平安學(xué)問(wèn)競(jìng)答活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了30名員工，統(tǒng)計(jì)了他們的測(cè)試成果（單

位：分），并得到如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，設(shè)這30名員工的測(cè)試成果的中位數(shù)為加，眾數(shù)為"，

平均數(shù)為云，貝1（）

測(cè)成無(wú)績(jī)/分

4()5060708090KX)

A.m=n=xB.m=n<xC.n<m<xD.n<x<m

4.(1+3x)2+(1+2x)3+(1+%)4=+qx+,則%+％+%+/+%=()

A.49B.56C.59D.64

5.已知由正整數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13、25、41,下列各數(shù)肯定是該數(shù)列的項(xiàng)

的是（）

A.2024B.2024C.2024D.2024

6.已知AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c_EasinAsinB=—b-bcosA,

4

〃+c=10,AABC的面積為絲叵，則。=（）

4

A.2百B.5C.8D.272

22

7.設(shè)E，F(xiàn),是雙曲線）-斗=1（。>0,6>0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線右支上存在一點(diǎn)

ab

P,使得I可|=|而1（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且I西|=百|(zhì)麗I，則雙曲線的離心率為（）

72+1nA/3+1

A.+1B.73+1

22

8.己知/（無(wú)）是定義在尺上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/（x）,且當(dāng)尤＞0時(shí)，/'（X）?加X(jué)+工㈣＞0,

X

則不等式（爐-1）/（勸＜。的解集為（）

A.（-1,1）B.（-00,-1）5。，1）

C.（-00,-1）51，+8）D.（-1,0）51，+8）

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中。有多項(xiàng)

符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的對(duì)2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.己知函數(shù)/'（X）KOSS-G'sinsO〉。）的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）

A.G=2

B.函數(shù)/（無(wú)）的單調(diào)增區(qū)間為［氏-^|,k兀-食也必

C.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于（會(huì)777"，0）中心對(duì)稱

D.函數(shù)了（幻的圖象可由y=2cos@x圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度得到

6

10.已知AR45中，AB=2,PA=PB,C是邊鉆的中點(diǎn)，。為AR45所在平面內(nèi)一點(diǎn),

若ACPQ是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則的值可能是（）

A.3+括B.1+6C.3-73D.1-出

11.當(dāng)x>0,y>0時(shí)，下列不等式中恒成立的有（）

2xy114

AA..----,,，xyB.—I—..；----

x+yxyx+y

4尤2y2

D.+j3..；

x+y

12.在梯形ABCD中，AB=2AD=2DC=2CB,將AftDC沿8D折起，使C到C'的位置（C

與C'不重合），E,F分別為線段鉆，AC'的中點(diǎn)，H在直線。C'上，那么在翻折的過(guò)

程中（）

A.OC'與平面ABD所成角的最大值為工

6

B.尸在以E為圓心的一個(gè)定圓上

C.若平面ADC',則。"=3CH

D.當(dāng)AD_L平面時(shí)，四面體CABD的體積取得最大值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a=（1,-3）,b=（2,m+1）,若（2a+b）_L〃，貝!J機(jī)=.

14.2024年2月初，我國(guó)黑龍江省S市發(fā)覺(jué)由境外輸入病例引起的多起新冠肺炎病例.某

疾控中心派出5名（4男1女）工作人員前往疫情較嚴(yán)峻的A,B,C三個(gè)村莊進(jìn)行抗疫工

作，若要求每個(gè)村莊支配1名男工作人員，則不同的安排方法有一種.

15.設(shè)拋物線Uy?=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為45。的直線交拋物線C于

A,3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸垂線在x軸的上方與拋物線C交于點(diǎn)記直線M4,MB的斜

率分別為勺，k2,則匕+k2=.

16.函數(shù)/（x）=e*T-"司+asin;rx（xe>0）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是?

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.已知函數(shù)/0）=/$出（。尤+*）（聞>0,（o>0,一］<°<1）的部分圖象如圖所示.

（1）求/'（X）的解析式；

（2）在AABC中角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若加=收，求/（B）的取值范

18.已知數(shù)列｛七｝的前〃項(xiàng)和為S“,且6,2Sn,%成等差數(shù)列.

⑴求知;

（2）是否存在meN*,使得％a?+a2a3+...+anan+1>6q,對(duì)隨意HWN*成立？若存在，求

的全部取值；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.如圖，在四棱錐S-ABCD中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，NABC=60。，

ZASD=90°,AS=SDS.SC=2.

（1）證明：平面5AD_L平面ABCD；

（2）當(dāng)四棱錐S-ABCD的體積最大時(shí)，求二面角3-SC-。的余弦值.

20.在某學(xué)校某次射箭競(jìng)賽中，隨機(jī)抽取了100名學(xué)員的成果（單位：環(huán)），并把所得數(shù)據(jù)

制成了如下所示的頻數(shù)分布表：

成果分組[4，5)[5,6)[6.7)[7，8)[8，9)[9,10]

頻數(shù)5182826176

（1）求抽取的樣本平均數(shù)元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）;

（2）已知這次競(jìng)賽共有2000名學(xué)員參與，假如近似地認(rèn)為這次成果Z聽從正態(tài)分布

（其中〃近似為樣本平均數(shù)元，/近似為樣本方差S?=1.61）,且規(guī)定8.27環(huán)是合

格線，那么在這2000名學(xué)員中，合格的有多少人？

（3）已知樣本中成果在［9,10］的6名學(xué)員中，有4名男生和2名女生，現(xiàn)從中任選3人

代表學(xué)校參與全國(guó)競(jìng)賽，記選出的男生人數(shù)為求4的分布列與期望

［附：若Z~N（〃Q2）,貝I］P（〃一b<Z<〃+b）=0.6827,-2。<Z<〃+2。）=0.9545,

71?61?1.27,結(jié)果取整數(shù)部分］

21.已知函數(shù)/(x)=ex+m(2x2-3x).

(1)若曲線,=/(兀)在點(diǎn)尸(1,%)處的切線為/:(e+l)x-y+〃=O,求機(jī)，n；

(2)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，若關(guān)于x的不等式/(%)…+(々一3)%+1在口，+oo)上恒成立，試求實(shí)數(shù)

。的取值范圍.

22

22.已知兄，B分別是橢圓C:二+谷=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，△

A耳耳是面積為4的直角三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)圓0:尤?+上隨意一點(diǎn)P處的切線/交橢圓C于點(diǎn)M,N,問(wèn)：PM?PN是否

3

為定值？若是，求出此定值；若不是，說(shuō)明理由.

高考模擬考試卷(9)答案

1.解：由A中的不等式變形得：1—x>0,解得x<l,即A=(-oo,l),

X—2

B={x\x\---?0}=(0,2],

x

則父5=(0,1),

故選：D.

2解復(fù)數(shù)z=U=(lf)(l+i)=3一27,

1-Z(1-0(1+0

故復(fù)數(shù)Z的虛部為-2.

故選：B.

3.解:依據(jù)題中給出的統(tǒng)計(jì)圖可知，

中位數(shù)為加=(80+90)+2=85,

眾數(shù)〃=80,

平均數(shù)元=*x(40+50+60+70x2+80x10+90x9+100x6)。80.3,

所以“〈于<.

故選：D.

234234

4.解：(1+3x)+(1+2x)+(1+x)=aQ+axx+a2x+a3x+a4x,

令x=1可得:4+4+a2+4+/=4~+3-+24=59.

故選：C.

5.解：由正整數(shù)組成的無(wú)窮等差數(shù)列中有三項(xiàng)是13、25、41,

可得：25—13=12=3x4,41-25=16=4x4,

可得公差d=4,

不妨取q=13,

則通項(xiàng)公式a“=13+(〃-l)x4=4〃+9,

可知：。“為奇數(shù)，解除BD.

令4〃+9=2019,解得九=502+',舍去.

2

44^+9=2021,解得〃=503,

下列各數(shù)肯定是該數(shù)列的項(xiàng)的是2024.

故選：C.

6.解：因?yàn)閍sinAsin5—bcosA,

4

由正弦定理可得sinAsinAsinB=—sinB-sinBcosA，

4

因?yàn)镺v5V4，所以sinBwO,

所以sin2A=~~cosA,可得1-cos2A=~~cosA，

44

即(2cosA-1)?=0,解得cosA=』，所以sinA=—，

22

因?yàn)镾^ABC=glcsinA=25’,所以Z?c=25,

又6+c=10,

所以〃2=/+c?-2/?ccosA=(Z?+c)2-3bc=100-3x25=25,

所以a=5.

故選：B.

7.解：由雙曲線的定義可得IP/"—|帆|=2々，

又|尸耳|=若|桃|,

解得|P6|=|0P|=(6+l)a,

即有AOPg為底邊為c的等腰三角形,

可設(shè)，（4+2亞"一；）,

由P在雙曲線上'可得工-吐嚕

可得上-(4+2月.^―+—(—=1,

4e2-l4(e2-l)

化簡(jiǎn)可得e4—4/-12-8g=0,

解得e2=4+26,

即有e=1+.

故選：B.

8.解：令g(x)=/(%)歷x,則g")=于'(F)lnx+/(X)>0,

.?.g(x)在(0,+oo)時(shí)單調(diào)遞增,又g(1)=f(1)加1=0,

「.％￡(0,1)時(shí)，g(%)<0,%￡(1,+00)時(shí)，g(x)>0,

當(dāng)Xw(0,l)時(shí)，bvc<0,g(x)<0,f(x)>0,

了￡(l,+oo)時(shí)，lnx>0Jg(x)>0,/.f(x)>0,

/(x)>0在(0,+oo)上恒成立，

又了⑴是奇函數(shù)，/(0)=0,

/.f(x)<0在(-oo,0)上恒成立，

①當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,.\x2-l<0,即0v%vl,

②當(dāng)尤〈0時(shí)，/(%)<0,/.x2-1>0,即無(wú)v—1,

由①②得不等式的解集是(-8,-l)U(0,1),

故選：B.

9.解：/(x)=cos①x-6sincox=2cos(s+至，

由圖像得：衛(wèi)=工一(_2)=M，

43124

故7=萬(wàn)=女，故。=2,故A錯(cuò)誤；

CD

令2左〃■一通必r+22k加得:kn———k兀-巴,

336

故函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間是被乃-彎，板-/左eZ),故3錯(cuò)誤；

f(—)=0,故C錯(cuò)誤；

12

?"(X)的圖像可由y=2cos@x圖像向左平移七個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故。錯(cuò)誤;

故選：AC.

10.解：如圖，若。與3在CP的同側(cè)時(shí),

如圖，若。與3在C尸的異側(cè)時(shí)，

則AP-BQ=(AC+CPA(3C+CQ)=-l+0+AC-CQ+CP-C。

=-l+lx2xcos----F2x2xcos—=—s/3+1,

ACB

故選：BD.

11.解：因?yàn)閤>0,y>0,

所以尤+y..2^[xy,

所以(x+y)J?..2移，即2孫，，聲?,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，A正確;

山+山=2+上+±,2+2、口=4,當(dāng)且僅當(dāng)上=土?xí)r取等號(hào)，3正確;

xyxyNyxxy

因?yàn)闊o(wú)+,

2一尤+y-2歷_(五一@2112

所以—?----??0,故—I—…,—，。錯(cuò)誤;

M孫

+y3..2jdy3,x+y..2y[xy,當(dāng)且僅當(dāng)％=y時(shí)取等號(hào),

故(x3+y3)(x+y)..4%2y2,

所以爐+》."上，￡>正確.

x+y

故選：ABD.

12.解：如圖，在梯形ABCD中，因?yàn)锳B//CD,AB=2AD=2DC=2CB,

TT-TT

所以得到AD_LQ3,ADAB=-,NBDC=NDBC=—,

36

在將AftDC沿33翻折至ABDC的過(guò)程中，ZBDC馬4>BC的大小保持不變，

由線面角的定義可知，DC'與平面W所成角的最大值為工，故選項(xiàng)A正確；

6

因?yàn)镹DBC大小不變，所以在翻折的過(guò)程中，C'的軌跡在以BD為軸的一個(gè)圓錐的底面圓

周上，

而EF使AABC'的中位線，所以點(diǎn)F的軌跡在一個(gè)圓錐的底面圓周上，

但此圓的圓心不是點(diǎn)E,故選項(xiàng)3不正確；

jr

當(dāng)9_L平面ADC'時(shí)，BHYDH,因?yàn)?

3

所以r>C'=3C'=2C7/,所以DH=3C'H,故選項(xiàng)C正確；

在翻折的過(guò)程中，△3C3的面積不變，故

當(dāng)AD_L平面即C'時(shí)，四面體C'ABD的體積取得最大值，故選項(xiàng)。正確.

故選：ACD.

一一H

13.解：向量4=(1,-3),b=(2,m+l),若(2a+6)_L6,

則(2a+6)?6=2a-b+b2=2(2-3m-3)+(4+m2+2m+1)=0,

.\m=l或m=3,

故答案為：1或3.

14.解：由題意可得A,B,C有一個(gè)村莊需支配5名男工作人員,

則先支配男工作人員到A,B,C村莊，共有C；制=36種，

1名女工作人員到A,B,C村莊共有3種狀況,

所以共有36x3=108種,

故答案為：108.

15.解：拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F為g,0),可得直線AB的方程為x=y+g

P

由X=y1+2,消去x可得9—2py_p2=0,

J?=2Px

，X+%=2p,%%=一/，

「點(diǎn)M的坐標(biāo)為("，p),

2

?.?/kv.—.yi-p—y^-p9

x_PX

12

同理履=上"，

%

.4+八皿+W=2-pd+&=2±211=2-運(yùn)=4,

M%MPi%%-P

故答案為：4.

16.解：函數(shù)/(尤)=e"T-6一"+1+〃sin;rx(x￡R,Q>0)存在唯一的零點(diǎn)，

等價(jià)于函數(shù)=asin%%與函數(shù)g(x)=e}~x-ex~l只有唯一一個(gè)交點(diǎn)，

(P(1)=0,g(1)=0,

/.函數(shù)0a)=〃sinG與函數(shù)g(%)=eiT-/T唯一交點(diǎn)為(1,0),

lx

又-g\x)=-e--e'T,且ej>0,然一]>0，

：.g\x)=-el-x-ex-l在R上恒小于零，即g(x)=el-x-ex-l在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，

又?0(x)=asin兀x(a>0)是最小正周期為2,最大值為。的正弦函數(shù)，

可得函數(shù)夕⑴=asin4x與函數(shù)g(x)=el~x-ex~l的大致圖象如圖：

.?.要使函數(shù)9(%)=asin?%與函數(shù)g(尤)=/一"-"T只有唯---個(gè)交點(diǎn)，則9，(1)(1),

@(1)=7iacos7r=-7ia,gr(1)=—e1-1—^1-1=—2,

/2

—jvci,,-29解得a,一，

71

又ia>0,，實(shí)數(shù)。的范圍為(0,-].

17.解：(1)由圖象知M=2,T=2(--------)=萬(wàn)，:.CD=2,

1212

「"(%)=2sin(2x+(p)

「圖象過(guò)(紅，2),將點(diǎn)(生，2)代入，得sin(包+勿)=1,

12126

57r7i兀

-----(p——F2左TT,kQZ,:.cp=-------F2kji，kJZ,

623

,,7171

—??0=一§

兀

/(x)=2sin(2A：-—).

77

(2)f(B)=2sin(2B-y).

由Z?2=,a2+也..2ac，

依據(jù)余弦定理，^cosB==a-+c--aca^=]_

2aclaclac2

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)，「.cosB.!,

2

3339

71

sin(2B--)e

:.f(B)e(-73,回

18.解：（1）數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和為S“，且6,2Sn,a“成等差數(shù)列.

故4Sa=6+%①,

當(dāng)〃=1時(shí)，解得q=2,

當(dāng)九.2時(shí),4S”_i=6+[②,

①—②得：（常數(shù)），

??-i3

所以數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，-g為公比的等比數(shù)歹小

所以

〃避2+a2a3+??.+=4x[(——

所以|（1-J）<（-產(chǎn)對(duì)隨意的”N恒成立.

由于1一」-<1且〃f+8時(shí)，I—'——>1,

9〃9〃

所以（_；尸故機(jī)為偶數(shù)，

當(dāng)相=2時(shí)成立，

當(dāng)機(jī).4時(shí),

9

故根=2.

19.解：（1）證明：如圖，取AD的中點(diǎn)O,連接SO、CO、AC,

ZADC=ZABC=60°,S.AD=DC,

又AD=CD=2,則AACD為正三角形，.\CO±AD,CO=^3,

又-ZASD=90。，.1AASD為直角三角形，:.SO=-AD=1,

2

在AACS中，C(?2+SO2=SC2,則CO_LSO,

又A必SO=O,AD,SOu平面ADS,

;.CO_L平面ADS,

又?.COu平面ABCD,平面&W_L平面ABCD.

（2）-NASD=90。，則點(diǎn)S在以4）為直徑的圓上，且50=1,

設(shè)點(diǎn)S到平面ABCD的距離為d,匕_筋8=1?S菱形筋CD-h,

WS^ABCD=2X1X2X2Xsm6Q°=273,

.?.當(dāng)d取最大值時(shí)四棱錐S-ABCD的體積最大，

此時(shí)SO_L平面ABCD,

又由（1）可知CO_LAD,如圖建系,

則BS=(-百，2,1),SC=(60,-1),SD=(0,1,-1),

設(shè)平面SBC的法向量為〃?=(無(wú)，y,z),

?,[m-BS=-y/ix+2y+z=0宜皿r-

則<:，，取x=l,則機(jī)=(1,0,V3),

m-SC=y/3x-z=0

設(shè)平面SCD的法向量為"=(。，b,c),

則<,取a=l,得〃=(1,0,6),

n?SD=b-c=0

m-n42A/7

則cos<m,n>=

\m\-\n\2A/77

設(shè)二面角3-SC-D的平面角為。，經(jīng)視察。為鈍角,

\m'n\277

則cos0=-

\m\'\n\7

故二面角8-SC-D的余弦值為-硬.

7

20.解：(1)由所得數(shù)據(jù)列成的頻數(shù)分布表，

得樣本平均數(shù)元=4.5x0.05+5.5x0.18+6.5x0.28+7.5x0.26+8.5x0.17+9.5x0.06=7.

(2)由(1)知Z~N(7,L61),所以尸(Z..8.27)=匕箜"=0.15865,

2

所以在這2000名學(xué)員中，合格的有2000x0.15865a317人.

(3)由已知得J的可能取值為1,2,3,

g1)=若ClC2W1

C2cl3

尸G=2)=晉彳

3

23)=安cc0=]_

5

所以J的分布列為:

自123

P13￡

555

131

所以￡?=丐+2乂丁3乂《=2(A).

21.解：(1)，函數(shù)/(%)=/+皿一31)的導(dǎo)數(shù)尸(%)=d+zn(4x-3),

二.依據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得/(1)=6+根=€+1,即根=1.

則"%)=d+2/一3%,點(diǎn)P坐標(biāo)為(l,e-1)

「點(diǎn)P在直線/:(e+l)x-y+〃=0上

n=—2

故根=1,n=—2.

(2)當(dāng)相=1時(shí)，/(x)=ex+2x2-3x

?關(guān)于尤的不等式/'(x)…|/+(°_3)元+1在口，+00)上恒成立,

X

XX

0*Y1e\x-Y)11e\x-Y)+l1

設(shè)g(x)=----——，貝!Jg'(x)=--------1--=----------.

x2xx22x2尤22

由＞=/一%—1的導(dǎo)數(shù)為y'=e"—l,可得兄＞0時(shí)，/＞0,函數(shù)y=e"—x—l遞增，xvO時(shí),

函數(shù)y=e“一元一1遞減，貝U產(chǎn)一%—,BPex..x+l>0,

ex(x-l)+l1(x+l)(x-l)+l1_1_

當(dāng)X..1時(shí),---------------------