PAGE3-1離散型隨機變量的均值[綜合訓練·實力提升]一、選擇題（每小題5分，共30分）1．已知ξ的分布列為ξ－1012Peq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,8)則ξ的均值為A．0B．－1C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,4)解析E(ξ)＝－1×eq\f(1,4)＋0×eq\f(3,8)＋1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,8)＝eq\f(1,4).答案D2．若隨機變量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值為A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64解析因為ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)×0.6×0.44＝3×0.44.答案C3．同時拋擲5枚勻稱的硬幣80次，設5枚硬幣正好出現2枚正面對上，3枚反面對上的次數為X，則X的均值是A．20B．25C．30D．40解析拋擲一次正好出現3枚反面對上，2枚正面對上的概率為eq\f(Ceq\o\al(2,5),25)＝eq\f(5,16)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80，\f(5,16))).故E(X)＝80×eq\f(5,16)＝25.答案B4．設ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,3)又設η＝2ξ＋5，則E(η)等于A.eq\f(7,6)B.eq\f(17,6)C.eq\f(17,3)D.eq\f(32,3)解析E(ξ)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,3)＝eq\f(17,6)，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×eq\f(17,6)＋5＝eq\f(32,3).答案D5．設隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，則a－b＝X0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4解析由題意得a＋b＋0.1＋0.1＝1，即a＋b＝0.8，①又0×0.1＋a＋2b＋3×0.1＝1.6，所以a＋2b＝1.3，②②－①得b＝0.5，所以a＝0.3，所以a－b＝0.3－0.5＝－0.2.答案C6．節日期間，某種鮮花進價是每束2.5元，售價是每束5元，節后賣不出的鮮花以每束1.6元處理．依據節前的銷售狀況預料，節日期間這種鮮花的需求量X(束)的分布列如下表．若進這種鮮花500束，則期望利潤是X200300400500P0.200.350.300.15A.706元B．690元C．754元D．720元解析節日期間這種鮮花需求量的數學期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，則利潤Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706.故期望利潤為706元．答案A二、填空題（每小題5分，共15分）7．甲、乙兩工人在一天生產中出現廢品數分別是兩個隨機變量ξ，η，其分布列分別為：ξ0123P0.40.30.20.1η012P0.30.50.2若甲、乙兩人的日產量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是________．解析甲、乙一天生產中出現廢品數的均值分別為E(ξ)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(η)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(ξ)>E(η)，故乙的技術較好．答案乙8．袋中裝有6個紅球，4個白球，從中任取1個球，登記顏色后再放回，連續摸取4次，設X是取得紅球的次數，則E(X)＝________．解析每一次摸得紅球的概率為eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，由X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(3,5)))，則E(X)＝4×eq\f(3,5)＝eq\f(12,5).答案eq\f(12,5)9．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的概率分布列如下表：X123P(ξ＝X)？??？請小牛同學計算ξ的數學期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數值相同．據此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________．解析設P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，則2a＋b＝1.所以E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案2三、解答題（本大題共3小題，共35分）10．（10分）某銀行規定，一張銀行卡若在一天內出現3次密碼嘗試錯誤，該銀行卡將被鎖定．小王到該銀行取錢時，發覺自己遺忘了銀行卡的密碼，但可以確認該銀行卡的正確密碼是他常用的6個密碼之一，小王確定從中不重復地隨機選擇1個進行嘗試．若密碼正確，則結束嘗試；否則接著嘗試，直至該銀行卡被鎖定．(1)求當天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(2)設當天小王用該銀行卡嘗試密碼的次數為X，求X的分布列和數學期望．解析(1)設“當天小王的該銀行卡被鎖定”為事務A，則P(A)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).(2)依題意得，X全部可能的取值是1，2，3.又P(X＝1)＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×1＝eq\f(2,3).所以X的分布列為X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)所以E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(2,3)＝eq\f(5,2).答案(1)eq\f(1,2)(2)X123Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(5,2)11．（12分）已知2件次品和3件正品混放在一起，現須要通過檢測將其區分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束．(1)求第一次檢測出的是次品且其次次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產品須要費用100元，設X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所須要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數學期望)．解析(1)記“第一次檢測出的是次品且其次次檢測出的是正品”為事務A，P(A)＝eq\f(Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3),Aeq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).(2)X的可能取值為200，300，400.P(X＝200)＝eq\f(Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝300)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(3,10)＝eq\f(6,10).故X的分布列為X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)EX＝200×eq\f(1,10)＋300×eq\f(3,10)＋400×eq\f(6,10)＝350.答案(1)eq\f(3,10)(2)X200300400Peq\f(1,10)eq\f(3,10)eq\f(6,10)35012．（13分）安排在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年．將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，并假設各年的年入流量相互獨立．(1)求將來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；(2)水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，并有如下關系：年入流量X40<X<8080≤X≤120X>120發電機最多可運行臺數123若某臺發電機運行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損800萬，欲使水電站年利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？解析(1)依題意，p1＝P(40<X<80)＝eq\f(10,50)＝0.2，p2＝P(80≤X≤120)＝eq\f(35,50)＝0.7，p3＝P(X>120)＝eq\f(5,50)＝0.1.由二項分布，在將來4年中至多有一年的年入流量超過120的概率為p＝Ceq\o\al(0,4)(1－p3)4＋Ceq\o\al(1,4)(1－p3)3p3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(4)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,10)＝0.9477.(2)記水電站年總利潤為Y，①安裝1臺發電機的情形：由于水庫年入流量總大于40，故一臺發電機運行的概率為1，對應的年利潤Y＝5000，E(Y)＝1×5000＝5000；②安裝2臺發電機的情形：依題意，當40<X<80時，一臺發電機運行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發電機運行，此時Y＝5000×2＝10000，因此P(Y＝10000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝0.8；由此得到的分布列如下Y420010000P0.20.8所以，E(Y)＝4200×0.2＋10000×0.8＝8840.③安裝3臺發電機的情形：依題意，當40<X<80時，一臺發電機運行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發電機運行，此時Y＝5000×2－80