PAGE1-第五章三角函數考試時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4,3)，則tan(α－β)等于(D)A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D．eq\f(1,3)[解析]tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq\f(1,3).2．cos275°＋cos215°＋cos75°·cos15°的值是(A)A．eq\f(5,4) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(3,2) D．1＋eq\f(\r(2),3)[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(5,4).3．設α是第三象限角，且|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)，則eq\f(α,2)的終邊所在的象限是(B)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]因為α是第三象限角，所以π＋2kπ<α<eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，所以eq\f(π,2)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，所以eq\f(α,2)的終邊在其次象限或第四象限．又|coseq\f(α,2)|＝－coseq\f(α,2)，所以coseq\f(α,2)<0，所以eq\f(α,2)的終邊所在的象限是其次象限．4．設α是其次象限角，P(x,4)為其終邊上的一點，且cosα＝eq\f(1,5)x，則tanα＝(D)A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(4,3)[解析]x<0，r＝eq\r(x2＋16)，∴cosα＝eq\f(x,\r(x2＋16))＝eq\f(1,5)x，∴x2＝9，∴x＝－3，∴tanα＝－eq\f(4,3).5．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，則logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2等于(C)A．2 B．3C．4 D．5[解析]由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＋cosαsinβ＝\f(1,2),sinαcosβ－cosαsinβ＝\f(1,3)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinαcosβ＝\f(5,12),cosαsinβ＝\f(1,12)))，∴eq\f(tanα,tanβ)＝5，∴logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2＝logeq\r(5)52＝4.6．已知a是實數，則函數f(x)＝1＋asinax的圖象不行能是(D)[解析]本題用解除法，對于D選項，由振幅|a|>1，而周期T＝eq\f(2π,|a|)應小于2π，與圖中T>2π沖突．7．y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x的一個單調遞增區間是(B)A．[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)] B．[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]C．[eq\f(5π,12)，eq\f(13π,12)] D．[eq\f(π,3)，eq\f(5π,6)][解析]y＝sin(2x－eq\f(π,3))－sin2x＝sin2xcoseq\f(π,3)－cos2xsineq\f(π,3)－sin2x＝－(sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3))＝－sin(2x＋eq\f(π,3))，其增區間是函數y＝sin(2x＋eq\f(π,3))的減區間，即2kπ＋eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，∴kπ＋eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(7π,12)，當k＝0時，x∈[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]．8．函數f(x)＝(eq\f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq\f(5π,4)]上零點的個數為(C)A．2 B．4C．5 D．6[解析]分別作出函數y＝(eq\f(1,3))x和y＝|sin2x|的圖象，如圖所示．由圖可知，這兩個函數圖象在[0，eq\f(5,4)π]上共有5個不同的交點，所以函數f(x)＝(eq\f(1,3))x－|sin2x|在[0，eq\f(5,4)π]上的零點個數為5.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是(CD)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．－eq\f(10π,3)[解析]與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是2kπ＋(－eq\f(4π,3))，k∈Z.令k＝1，可得與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是eq\f(2π,3)，令k＝－1，可得與角－eq\f(4π,3)終邊相同的角是－eq\f(10π,3)，故選CD．10．已知函數f(x)＝sin4x＋cos2x，則下列說法正確的是(ABD)A．最小正周期是eq\f(π,2)B．f(x)在(－eq\f(π,4)，0)上遞增C．x＝eq\f(π,8)是f(x)圖象的一條對稱軸D．f(x)的值域是[eq\f(3,4)，1][解析]由題知f(x)＝sin4x＋1－sin2x＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2x)＋1＝1－sin2xcos2x＝1－eq\f(1,4)sin22x＝1－eq\f(1,4)×eq\f(1－cos4x,2)＝eq\f(1,8)cos4x＋eq\f(7,8).∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2)，∴A正確；由余弦函數的單調性可知B正確；∵f(eq\f(π,8))＝eq\f(7,8)≠±1，∴C錯誤；由余弦函數的有界性可知f(x)的值域為[eq\f(3,4)，1]，D正確．故選ABD．11．已知ω>0，|φ|<eq\f(π,2)，若x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(7π,6)是函數f(x)＝cos(ωx＋φ)的兩條相鄰的對稱軸，將y＝f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到函數y＝g(x)的圖象，則下列說法正確的是(BD)A．y＝g(x)是奇函數B．y＝g(x)的圖象關于點(－eq\f(π,2)，0)對稱C．y＝g(x)的圖象關于直線x＝eq\f(π,2)對稱D．y＝g(x)的周期為2π[解析]∵x＝eq\f(π,6)和x＝eq\f(7,6)π是兩條相鄰的對稱軸，∴T＝2×(eq\f(7,6)π－eq\f(π,6))＝2π，∴ω＝1.∴f(x)＝cos(x＋φ)．①若函數在x＝eq\f(π,6)處取得最大值，則f(eq\f(π,6))＝cos(eq\f(π,6)＋φ)＝1，eq\f(π,6)＋φ＝2kπ，φ＝2kπ－eq\f(π,6).當k＝0時，φ＝－eq\f(π,6)，此時f(x)＝cos(x－eq\f(π,6))，將f(x)圖象向左平移eq\f(π,6)個單位得到g(x)＝cos[(x＋eq\f(π,6)－eq\f(π,6))]＝cosx.所以B正確．②若函數在x＝eq\f(π,6)處取得最小值，則f(eq\f(π,6))＝cos(eq\f(π,6)＋φ)＝－1，eq\f(π,6)＋φ＝2kπ－π，φ＝2kπ－eq\f(7,6)π，當k＝1時，φ＝eq\f(5,6)π，∵|φ|<eq\f(π,2)，∴φ不存在．函數f(x)的最小正周期為2π，故D正確，故選BD．12．已知函數f(x)＝sinxcosx－cos2x，下列命題正確的是(BC)A．f(x)的最小正周期為2πB．f(x)在區間(0，eq\f(π,8))上為增函數C．直線x＝eq\f(3π,8)是函數f(x)圖象的一條對稱軸D．函數f(x)的圖象可由函數f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x的圖象向右平移eq\f(π,8)個單位長度得到[解析]f(x)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))－eq\f(1,2)，明顯A錯；x∈(0，eq\f(π,8))時，2x－eq\f(π,4)∈(－eq\f(π,4)，0)，函數f(x)為增函數，故B正確；令2x－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，得x＝eq\f(3,8)π＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，明顯x＝eq\f(3π,8)是函數f(x)圖象的一條對稱軸，故C正確；f(x)＝eq\f(\r(2),2)·sin2x的圖象向右平移eq\f(π,8)個單位得到y＝eq\f(\r(2),2)·sin[2(x－eq\f(π,8))]＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))的圖象，故D錯．故選BC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．)13．計算sin330°＋cos240°＋tan180°＝__－1__.[解析]原式＝－sin30°－cos60°＋0＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－1.14．已知函數f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)，若f(eq\f(π,6))＝f(eq\f(π,3))，且f(x)在區間(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))上有最小值，無最大值，則ω＝__eq\f(14,3)__.[解析]由函數f(x)＝sin(ωx＋eq\f(π,3))(ω>0)，f(eq\f(π,6))＝f(eq\f(π,3))，f(x)在區間(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))上有最小值，無最大值及三角函數的性質，可得f(x)在x＝eq\f(\f(π,6)＋\f(π,3),2)＝eq\f(π,4)處取得最小值，即ω×eq\f(π,4)＋eq\f(π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z，化簡可得ω＝8k－eq\f(10,3)，∵ω>0，∴當k＝1時，ω＝eq\f(14,3)；當k＝2時，ω＝eq\f(38,3)，此時f(x)在區間(eq\f(π,6)，eq\f(π,3))內存在最大值．故ω＝eq\f(14,3).15．函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0,2π))的部分圖象如圖所示，則f(2020)＝__－eq\f(\r(2),2)__.[解析]由題圖可知，eq\f(T,4)＝2，所以T＝8，所以ω＝eq\f(π,4).由點(1,1)在函數圖象上，可得f(1)＝sin(eq\f(π,4)＋φ)＝1，故eq\f(π,4)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以φ＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)，又φ∈[0,2π)，所以φ＝eq\f(π,4)，故f(x)＝sin(eq\f(π,4)x＋eq\f(π,4))．所以f(2020)＝sin(eq\f(2020π,4)＋eq\f(π,4))＝sin(505π＋eq\f(π,4))＝－sineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),2).16．已知A，B，C皆為銳角，且tanA＝1，tanB＝2，tanC＝3，則A＋B＋C的值為__π__.[解析]∵tanB＝2，tanC＝3，∴tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC,1－tanB·tanC)＝eq\f(2＋3,1－2×3)＝－1.又B、C皆為銳角，∴B＋C∈(0，π)，∴B＋C＝eq\f(3,4)π，又tanA＝1，A為銳角，∴A＝eq\f(π,4)，∴A＋B＋C＝π.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)(1)已知角α的終邊經過點P(4a，－3a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值；(2)已知角α終邊上一點P與x軸的距離與y軸的距離之比為3∶4，求2sinα＋cosα的值．[解析](1)∵r＝eq\r(x2＋y2)＝5|a|，∴當a>0時，r＝5a，∴sinα＝eq\f(－3a,5a)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5)；當a<0時，r＝－5a，∴sinα＝eq\f(－3a,－5a)＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).(2)當點P在第一象限時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝2；當點P在其次象限時，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝eq\f(2,5)；當點P在第三象限時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－2；當點P在第四象限時，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，2sinα＋cosα＝－eq\f(2,5).18．(本小題滿分12分)已知函數y＝3tan(2x－eq\f(π,4))．(1)求函數的最小正周期；(2)求函數的定義域；(3)說明此函數的圖象是由y＝tanx的圖象經過怎樣的變換得到的？[解析](1)函數y＝3tan(2x－eq\f(π,4))的最小正周期T＝eq\f(π,2).(2)由2x－eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z，所以函數的定義域為{x|x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(3π,8)，k∈Z}．(3)把函數y＝tanx圖象上全部的點向右平移eq\f(π,4)個單位長度，得函數y＝tan(x－eq\f(π,4))的圖象，然后將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)倍(縱坐標不變)，最終將圖象上各點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變)，得函數y＝3tan(2x－eq\f(π,4))的圖象．19．(本小題滿分12分)已知cosα－sinα＝eq\f(3\r(2),5)，且π<α<eq\f(3π,2)，求eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)的值．[解析]因為cosα－sinα＝eq\f(3\r(2),5)，所以1－2sinαcosα＝eq\f(18,25)，所以2sinαcosα＝eq\f(7,25).又α∈(π，eq\f(3π,2))，故sinα＋cosα＝－eq\r(1＋2sinαcosα)＝－eq\f(4\r(2),5)，所以eq\f(sin2α＋2sin2α,1－tanα)＝eq\f(2sinαcosα＋2sin2αcosα,cosα－sinα)＝eq\f(2sinαcosαcosα＋sinα,cosα－sinα)＝eq\f(\f(7,25)×－\f(4\r(2),5),\f(3\r(2),5))＝－eq\f(28,75).20．(本小題滿分12分)如圖，設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上的兩點，O是坐標原點，且∠AOP＝β，β∈(0，eq\f(π,2))，∠AOQ＝α，α∈[0，π)．(1)若點Q的坐標是(m，eq\f(4,5))，其中m<0，求cos(π－α)＋sin(－α)的值；(2)設點P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，函數f(α)＝sin(α＋β)，求f(α)的值域．[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋\f(4,5)2＝1，,m<0))得m＝－eq\f(3,5)，所以cosα＝m＝－eq\f(3,5)，sinα＝eq\f(4,5).所以cos(π－α)＋sin(－α)＝－cosα－sinα＝－eq\f(1,5).(2)由已知得β＝eq\f(π,6)，因為α∈[0，π)，則α＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6))，所以－eq\f(1,2)<sin(α＋eq\f(π,6))≤1.故f(α)的值域是(－eq\f(1,2)，1]．21．(本小題滿分12分)下表是某地一年中10天測量的白晝時間統計表．(時間近似到0.1小時)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序號x15980117126172225263298356白晝時間y(小時)5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)若以日期在365天中的位置序號x為橫坐標，白晝時間y為縱坐標，試選用一個形如y＝Asin(ωx＋φ)＋t的函數來近似描述一年中白晝時間y與日期位置序號x之間的函數關系．(注：①求所用函數關系式；②一年按365天計算)(2)用(1)中的函數模型估計該地一年365天中有多少天白晝時間大于15.9小時．[解析](1)由圖表可知，函數最大值為19.4，最小值為5.4，所以ymax＝19.4，ymin＝5.4，所以由2A＝19.4－5.4得A＝7；由2t＝19.4＋5.4，得t＝12.4，又T＝365，∴ω＝eq\f(2π,365).當x＝172時，eq\f(2πx,365)＋φ＝eq\f(π,2)，∴φ＝－eq\f(323π,730)(φ等于－eq\f(32π,73)，－eq\f(323π,730)，－eq\f(161π,365)，－eq\f(65π,146)均可)所以y＝7sin(eq\f(2π,365)x－eq\f(323π,730))＋12.4.(1≤x≤365，x∈N*)(2)由y>15.9得sin(eq\f(2π,365)x－eq\f(323π,730))>eq\f(1,2)，∴eq\f(π,6)