專題2-7雙曲線離心率取值范圍專題十六大題型匯總題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率的取值范圍 1題型2焦半徑范圍的應(yīng)用 4題型3根據(jù)直線與雙曲線的關(guān)系求取值范圍 9◆類型1利用漸近線的斜率 10◆類型2聯(lián)立法 15題型4雙曲線的有界性 18題型5和差最值相關(guān) 23題型6點(diǎn)差法的運(yùn)用 28題型7焦點(diǎn)三角形的運(yùn)用 33題型8雙曲線對(duì)稱性的運(yùn)用 38題型9通徑相關(guān) 42題型10由題目條件確定離心率取值范圍 48題型11聯(lián)立求點(diǎn)坐標(biāo)型 54題型12向量相關(guān) 60題型13雙曲線與圓相關(guān) 65題型14雙曲線與內(nèi)切圓相關(guān) 72題型15雙曲線與角平分線相關(guān) 77題型16橢圓與雙曲線結(jié)合 85知識(shí)點(diǎn).求解雙曲線離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組或不等式組，求得a、c的值或不等式，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值或取值范圍；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值構(gòu)建方程或不等式，求得離心率的值或取值范圍.題型1根據(jù)a,b,c的不等關(guān)系求離心率的取值范圍【例題1】（22·23·順義·期末）若雙曲線C:x2a2?y2bA．(1,2) B．(2,+∞) C．【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線離心率的知識(shí)求得正確答案.【詳解】e=c由于a>b>0，所以0<ba所以e=1+故選：C【變式1-1】1.（22·23下·三模）已知雙曲線C:x2m?y2m+1A．1,2 B．2,+∞ C．1,2【答案】A【分析】先將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)離心率的定義，用m表示出離心率，進(jìn)而可得其取值范圍.【詳解】由雙曲線C:x2m得y2則雙曲線C離心率e=?λ因?yàn)閙>0，所以m+1>1，則0<1所以1<2?1所以1<e<2，即雙曲線C離心率的取值范圍為1,故選：A.【變式1-1】2.（17·18·單元測(cè)試）已知二次曲線x24+【答案】5【分析】當(dāng)m∈[?2,?1]時(shí)，曲線為雙曲線，得到a,b,c，再根據(jù)離心率公式可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng)m∈[?2,?1]時(shí)，∴曲線方程化為x2所以a2=4，b2所以e=ca=4?m2故答案為：52【變式1-1】3.（22·23·柳州·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線y2m2【答案】22【分析】由已知求得a2=m2，c2=2m【詳解】由題意可知，a2=m所以c2所以e2=c因?yàn)閙≥4，所以0<1所以118≤e故答案為：224【變式1-1】4.已知雙曲線C:x2m2A．1,2 B．1,3C．1,43 【答案】A【分析】由題知m2【詳解】解：因?yàn)殡p曲線C:x2m2?9+因?yàn)閑2=c故選：A題型2焦半徑范圍的應(yīng)用【方法總結(jié)】利用PF1或F為雙曲線x2a2【例題2】（19·20下·撫順·一模）設(shè)雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1A．1,32 B．1,53 C．【答案】B【分析】由雙曲線的定義可得PF1?PF【詳解】解：由雙曲線的定義可得PF又PF∴PF1=∵點(diǎn)P在雙曲線的右支上，∴PF2≥c?a∴離心率e=c又雙曲線的離心率e>1，∴1<e≤5故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．【變式2-1】1.（23·24上·課時(shí)練習(xí)）雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0【答案】1<e≤3【分析】首先結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求得PF【詳解】由題意知在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得PF

又∵P∴即在雙曲線右支上恒存在點(diǎn)P使得PF即AF∴OF2又∵c>a，∴a<c≤3a，∴1<ca≤3所以雙曲線離心率的取值范圍為1<e≤3.【變式2-1】2.（23·24上·期中）已知雙曲線x2a2?y2b2=1【答案】1,【分析】根據(jù)|PF1|=2|OM|=25【詳解】因?yàn)镺,M分別為F1F2又雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為c?a，所以25c≥c?a>0，解得因此雙曲線的離心率e的取值范圍是1,5故答案為：1,5【變式2-1】3.（22·23上·南昌·期末）已知雙曲線x2a2?y2b【答案】1,【分析】在△PF1F2中，由正弦定理可得PF1sin∠PF【詳解】由題意可得點(diǎn)P不是雙曲線的頂點(diǎn)，否則asin在△PF1F因?yàn)閍sin∠PF1F因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線右支上，所以PF所以caPF由雙曲線的性質(zhì)可得PF所以2a2c?a所以e2?2e?1<0，解得因?yàn)閑>1，所以1<e<2即雙曲線離心率的取值范圍為1,2故答案為：1,2【變式2-1】4.（22·23上·惠州·期末）已知F1,F2分別是雙曲線【答案】1<e<2【分析】在△PF1F【詳解】在△PF1F2中，PF1=3所以PF1=3a,PF得3a+a>2c，即2a>c，所以e=ca<2，又e>1故答案為：1<e<2【變式2-1】5.（22·23上·深圳·期末）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2A．2,+∞ B．3,+∞ C．【答案】A【分析】由題意，設(shè)PF1=m,PF2=n,∠F1PF2=θ，先由雙曲線的定義m?n=2a，再利用余弦定理【詳解】由題，取點(diǎn)P為右支上的點(diǎn)，設(shè)PF根據(jù)雙曲線的定義知：m?n=2a，在三角形F1PF中，由余弦定理可得：又因?yàn)镻F1?PF2又因?yàn)閙≥a+c,n≥c?a，所以(c+a)2即e2≥2，故選：A.【變式2-1】6.（21·22·專題練習(xí)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1a>0,b>0的上、下焦點(diǎn)分別是FA．1,2 B．1,5 C．2,+∞ 【答案】D【分析】設(shè)|PF1|=【詳解】設(shè)|PF因?yàn)镻F所以r1所以由余弦定理得r1所以r1因?yàn)橛呻p曲線定義得|r所以r1因?yàn)閞1+r所以由②③得r1代入①得4c2?8所以e≥5故選：D題型3根據(jù)直線與雙曲線的關(guān)系求取值范圍【方法總結(jié)】方法：與漸近線的斜率比較，則（1）當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率為（2）當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率滿足（3）當(dāng)直線與雙曲線的單支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該直線的斜率滿足k?(?∞,?b◆類型1利用漸近線的斜率【例題3-1】（23·24上·南京·階段練習(xí)）已知雙曲線E：y2a2?x2b2=1【答案】1,【分析】確定雙曲線的漸近線方程，由題意可得關(guān)于a,b的不等關(guān)系，即可求得離心率范圍.【詳解】因?yàn)殡p曲線E:y2a2?x因?yàn)椋怪本€y=±2x與E無公共點(diǎn)，則ab所以，0<ba所以滿足條件的離心率的范圍是1,5故答案為：1,【變式3-1】1.（22·23·昆明·模擬預(yù)測(cè)）經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為2的直線l與雙曲線C：y2【答案】(【分析】直線l與雙曲線C：y2a2【詳解】雙曲線C：y2a2漸近線方程是y=±a結(jié)合該雙曲線的圖象，由直線l與雙曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得出：2>ab所以離心率e=c即離心率e的取值范圍是(6故答案為：(6【變式3-1】2.（21·22·專題練習(xí)）已知圓x?12+y2=34A．1,3 B．4,+∞ C．3,+【答案】D【分析】由圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得切線斜率k，由此可得切線方程；根據(jù)直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得ba>3【詳解】錯(cuò)解：選B，圓心1,0到切線的距離d=k1+k∴切線方程為y=±3∵y=±3x與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b錯(cuò)因：求離心率時(shí)忘記開方，注意雙曲線中e=1+正解：由圓的方程知：圓心1,0，半徑r=3則圓心1,0到切線的距離d=k1+k∴切線方程為y=±3∵y=±3x與雙曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b即雙曲線C的離心率的取值范圍為2,+∞故選：D.【變式3-1】3.（22·23上·蘭州·期中）過雙曲線x2【答案】(【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解，【詳解】雙曲線的漸近線為y=±bax則e=c故答案為：(【變式3-1】4.（22·23·攀枝花·三模）已知雙曲線C:x2aA．2,3 B．2,+∞ C．【答案】B【分析】先根據(jù)題意求得直線l的斜率，再根據(jù)直線l與C存在公共點(diǎn)，只需直線l的斜率大于漸近線的斜率?b【詳解】依題意，可得A?a,0,B0,b又因?yàn)橹本€l垂直平分線段AB，所以kl因?yàn)橹本€l與C存在公共點(diǎn)，所以?ab>?則a2<c2?所以雙曲線C的離心率的取值范圍是2,+故選：B【變式3-1】5.（22·23上·階段練習(xí)）若雙曲線x2a2?y2b2=1的右支上存在兩點(diǎn)A【答案】1,【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及雙曲線圖像的對(duì)稱性，可得33【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為y＝±ba要使該雙曲線右支上存在兩點(diǎn)A，B，使△ABM為正三角形，則需過右頂點(diǎn)M，且斜率為33也只需其斜率大于漸近線y=b∴33>b即b2∴c2即c<233所以1<e<2故答案為：1,2【變式3-1】6.（22·23下·黔東南·階段練習(xí)）已知雙曲線x2a2【答案】(1,【分析】根據(jù)題意可知雙曲線的漸近線方程y=bax的斜率需小于直線的斜率，得b<【詳解】由題意知，雙曲線的漸近線方程為y=±b要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，需使雙曲線的漸近線方程y=b即ba<tan30°得c2?a2<因?yàn)殡p曲線中e>1，所以雙曲線的離心率的范圍是(1,2故答案為：(1,2【變式3-1】7.（21·22·專題練習(xí)）已知雙曲線x2a2【答案】(2，+∞)【分析】由一三象限的漸近線的斜率大于3可得離心率的范圍．【詳解】依題意，斜率為3的直線l過雙曲線x2的右焦點(diǎn)為F且與雙曲線的左右兩支分別相交，雙曲線的一條漸近線的斜率ba必大于3即ba>3故答案為：(2，+∞)．【變式3-1】8.（2019下·臨汾·期末）已知點(diǎn)O為雙曲線C的對(duì)稱中心，過點(diǎn)O的兩條直線l1與l2的夾角為60°，直線l1與雙曲線C相交于點(diǎn)A1,B1，直線l2與雙曲線C相交于點(diǎn)A2A．233,2 B．233,2【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線漸近線以及夾角關(guān)系列不等式，解得結(jié)果【詳解】不妨設(shè)雙曲線方程為x2a因?yàn)槭笰1B1=A所以k=從而離心率e=c【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率取值范圍，考查綜合分析求解能力，屬較難題.◆類型2聯(lián)立法【方法總結(jié)】方法：聯(lián)立法：(1)當(dāng)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有k=±ba(2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有Δ(3)當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點(diǎn)時(shí)，有x(4)當(dāng)直線與雙曲線的左支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有(5)當(dāng)直線與雙曲線的右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，有【例題3-2】（22·23下·安慶·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2aA．62,2C．62,+∞【答案】D【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立直線與雙曲線方程，即可得到a2【詳解】由x2a2?y即1?a2≠0Δ=4則1+1a2故選：D【變式3-2】1.（23·24上·南通·階段練習(xí)）過點(diǎn)2,2能作雙曲線x2?y【答案】1,【分析】分析可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y?2=kx?2，將切線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，由Δ=0可得出關(guān)于k的方程，可知方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求出【詳解】當(dāng)過點(diǎn)2,2的直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=2，由x=2x2?y2a2當(dāng)過點(diǎn)2,2的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y?2=kx?2，即y=kx+聯(lián)立y=kx+2?2kax因?yàn)檫^點(diǎn)2,2能作雙曲線x2則k2?a由題意可知，關(guān)于k的二次方程3k所以，Δ'=64?124+又因?yàn)閗2≠a2，即k≠±a，因此，關(guān)于k的方程所以，4a2?8a+4≠0且4a2當(dāng)0<a2<1當(dāng)1<a2<綜上所述，該雙曲線的離心率的取值范圍是1,2故答案為：1,2【變式3-2】2.（21·22上·貴陽·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線C:x24A．(2,+∞) B．62,2∪(【答案】B【分析】聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元，利用Δ>0求出a2【詳解】x24a所以1?4a2?e=1+故選：B【變式3-2】3.（22·23上·九龍坡·階段練習(xí)）已知直線2x?y+1=0與雙曲線x2a2【答案】{e∣e>2且e≠【分析】利用焦點(diǎn)到漸近線距離求出b，聯(lián)立直線與雙曲線，利用判別式得到離心率的范圍，注意直線不可與漸近線平行，據(jù)此計(jì)算，可得答案.【詳解】雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)故b=3，所以，雙曲線變?yōu)閤2a2?y23=1e2=c2a2=1+b2a2=1+3a2故答案為：{e∣e>2且e≠題型4雙曲線的有界性【方法總結(jié)】標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)【例題4】（23·24上·課時(shí)練習(xí)）如果雙曲線x2【答案】(2,+【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性即可得xA【詳解】如圖，因?yàn)镺A=AF，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為所以xA所以c2>a，所以故答案為：(2,+【變式4-1】1.（22·23下·河南·階段練習(xí)）已知F1?c,0，F(xiàn)2c,0分別為雙曲線C:x2a2?y2b2A．1,1+32C．1,1+52【答案】D【分析】根據(jù)F1F2=QP確定P【詳解】設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，∵F1F2由題可知2c?c2+a2故選：D.【變式4-1】2.（22·23下·合肥·一模）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點(diǎn)分別為【答案】2【分析】根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)Px1,y1并解出Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q0,cy1【詳解】如下圖所示，根據(jù)題意可得F1設(shè)Px1,y1所以直線PF1與y軸的交點(diǎn)由AQ//PF2可得整理得a+cx1=又因?yàn)镻為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以x1當(dāng)x1=a時(shí)，AQ,PF可得x1=c2?ac解得e>2+1即雙曲線E的離心率的取值范圍為e>故答案為：2【變式4-1】3.（21·22上·駐馬店·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線E：x2a2?y2b【答案】5【分析】根據(jù)雙曲線中PO≥AO，從而可得【詳解】如圖所示，PF1+PF2又因?yàn)镻O≥AO=a，即b所以離心率e=c所以雙曲線的離心率的取值范圍為5,+故答案為:5,+【變式4-1】4.（20·21下·全國(guó)·階段練習(xí)）Fc,0是雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，直線x=c交該雙曲線于點(diǎn)M，N（M在第一象限），點(diǎn)A．2,+∞ B．1,2 C．1,3【答案】A【分析】求得M,N坐標(biāo)，設(shè)C(x0,0)，利用AN⊥CM求得x0，根據(jù)【詳解】設(shè)由條件知Mc,b2a，Nc,?∴x0=c?b4a2c?a，∵x0<?a，∴c?因此雙曲線離心率的取值范圍為2,+∞故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率的范圍，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于a,b,c的不等關(guān)系，題中有一個(gè)不等關(guān)系是C是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，因此設(shè)C(x0,0)，有x0<?a【變式4-1】5.（20·21下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F，【答案】[2,+∞)【分析】設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的定義結(jié)合|PF|?|PO|=2a，得到PO=PF1，從而得到P【詳解】設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為F1由雙曲線的定義可知PF?又|PF|?|PO|=2a，所以PO=設(shè)c2=a2+因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，顯然有c2≥a，即所以離心率e的取值范圍是[2,+∞)．故答案為：[2,+∞)題型5和差最值相關(guān)【例題5】（22·23下·洛陽·開學(xué)考試）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0)的上下焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)A．1,53 B．53,2 C．【答案】A【分析】過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E，則EF2=b，再根據(jù)雙曲線的定義得【詳解】如圖，過點(diǎn)F2作漸近線的垂線，垂足為E設(shè)|F1F2|=2c，則點(diǎn)F由雙曲線的定義可得MF1?所以MD+MF1=|MD|+因?yàn)镸D>所以|MD|+MF1所以，b>2c?2a，即b2>4c所以，3c2+5a2故選：A.

【變式5-1】1.（22·23下·開學(xué)考試）雙曲線x2?y2b2=1的左焦點(diǎn)為F，AA．1,3 B．1,5 C．3,+【答案】B【分析】雙曲線的右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)M+AM=5等價(jià)于F1【詳解】取雙曲線的右焦點(diǎn)F1，由雙曲線定義FM故存在點(diǎn)M使得FM+AM=5等價(jià)為存在點(diǎn)M使得F1M則b2+c2≤3，由b2=故選：B【變式5-1】2.（21·22下·沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：x2a2?y2=1a>0的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AA．1,52 B．1,3 C．5【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線定義可得，PF=PF1+2a，即PA+P【詳解】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F1，因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線左支上，所以有PF即PF=由已知得，存在點(diǎn)P，使得PA+PF=7，即PA+P又PA+PF1≥所以a2+c所以2a2+1≤7?2a，整理可得，a2所以0<a≤2，則0<a2≤4，則1所以e=c故選：C.【變式5-1】3.（21·22·專題練習(xí)）若雙曲線E:x2a2?y2b2【答案】1,【分析】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則PF1>PF2，設(shè)線段PF【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則PF1>PF2，設(shè)線段

則2b=P即0<b故e=c故答案為：1,2【變式5-1】4.（22·23下·襄陽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F2【答案】1,【分析】△APF的周長(zhǎng)不小于18，可得PA+PF的最小值不小于13，設(shè)F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，則PA+PF2+2a的最小值不小于13，分析可得【詳解】由右焦點(diǎn)為F26,0，點(diǎn)A坐標(biāo)為0,1因?yàn)椤鰽PF的周長(zhǎng)不小于18，所以PA+設(shè)F2為雙曲線的左焦點(diǎn)，可得PF故PA+當(dāng)A,P,F2三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PF所以5+2a≥13,即a≥4.因?yàn)閏=26,所以e=又e>1,所以e∈1,故答案為:1,6【變式5-1】5.（22·23下·商丘·期中）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=kx+【答案】1,【分析】利用定義化簡(jiǎn)條件可得AM+AF【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，對(duì)于直線y=kx+a2，令y=0，解得x=?∵A為Γ右支上的一點(diǎn)，則AF1?則AM+2AF注意到AM+AF2≥由雙曲線可知e>1，所以Γ的離心率的取值范圍為1,3故答案為：1,3【變式5-1】6.（22·23下·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為【答案】1,【分析】利用定義化簡(jiǎn)條件，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式建立不等式，化簡(jiǎn)可得a,c關(guān)系，由此可求離心率范圍.【詳解】因?yàn)镻A+2P所以PA+因?yàn)橹本€y=kx+b與y軸交于點(diǎn)A，所以A0,b，連接A易知PA+PF所以2a≥b2+所以e=ca≤所以Γ的離心率的取值范圍為1,10故答案為：1,10題型6點(diǎn)差法的運(yùn)用【方法總結(jié)】雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式：設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點(diǎn)，則有證明：設(shè)，，則有，兩式相減得：整理得：，即，因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，所以：，所以=e2?1【例題6】（22·23下·安康·二模）已知雙曲線C：x2a2?y2b【答案】5【分析】利用點(diǎn)差法求得kPA?k【詳解】設(shè)Px0,y0∴kPA=y0?又因?yàn)辄c(diǎn)P，A都在雙曲線上，所以x02a兩式相減得：x0∴y0∴kPA∴c2?a∴52故答案為：5【變式6-1】1.（22·23上·亳州·期末）如圖為陜西博物館收藏的國(guó)寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)化紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐朝金銀細(xì)作的典范之作．該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：x2a2【答案】1,【分析】A?a,0，Ba,0，設(shè)Px0,【詳解】A?a,0，Ba,0，設(shè)kPAkPA+kPB=83kPA≠kPB，故等號(hào)不成立，故ba故答案為：1,5【變式6-1】2.（21·22·福州·模擬預(yù)測(cè)）已知C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，其離心率為52，P為C上一動(dòng)點(diǎn)（除頂點(diǎn)），過點(diǎn)P的直線l1，l2分別經(jīng)過雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，已知直線l1的斜率k1A．56,54 B．815,【答案】C【分析】由離心率可得14=b2a2,【詳解】設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b2=1a>0,b>0，Px直線l1為直線PA,直線l則k1k2=4k1，又k故選：C【變式6-1】3.（21·22上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?A．1,233 B．52,2【答案】B【分析】由題意知點(diǎn)(2a，a)必在雙曲線外部；若存在(2a，a)為中點(diǎn)的弦，根據(jù)點(diǎn)差法可得弦的斜率為2b2a2，要使弦不存在，則弦與雙曲線無交點(diǎn)，則弦的斜率大于漸近線斜率【詳解】由題意知點(diǎn)(2a，a)必在雙曲線外部，則2a2a2假設(shè)以(2a，a)為中點(diǎn)存在弦，設(shè)弦與雙曲線交于Ax則x12即kAB∵不存在該中點(diǎn)弦，∴直線AB與雙曲線無交點(diǎn)，則2b2a綜上，可得14又∵離心率e＝ca＝1＋b2a2，故選：B【變式6-1】4.（22·23·黔東南·一模）設(shè)雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，M0,3b，若直線lA．133,3C．1,133 【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)D(x0,y0)為AB的中點(diǎn)，根據(jù)F為△MAB的重心，求得D(3c2,?3b2)，由直線l與E的右支交于【詳解】由題意，雙曲線E:x2a2?設(shè)點(diǎn)D(x0,y0)為AB的中點(diǎn)，因?yàn)榧?c,?3b)=2(x0?c,y0因?yàn)橹本€l與E的右支交于A,B兩點(diǎn)，則滿足(3c整理得c2a2>13當(dāng)離心率為e=3時(shí)，即a=33c設(shè)A(x1,又由x12a即直線l的斜率為kl又因?yàn)閗MF=0?3bc?0=?綜上可得，雙曲線E的離心率的取值范圍為133故選：A.【點(diǎn)睛】知識(shí)方法：求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得a,c得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a,c的二元齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的一元二次方程或不等式，結(jié)合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據(jù)特殊點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.題型7焦點(diǎn)三角形的運(yùn)用【例題7】（24·25上·成都·一模）雙曲線H：x2a2?y2b2=1(a,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，傾斜角為π3的直線PF【答案】5【分析】設(shè)PF2=m，則PF1=2a+m，然后在【詳解】設(shè)PF2=m因?yàn)橹本€PF2的傾斜角為π3在△PF1F(2a+m)24得m=2因?yàn)镻F2得c+a2a?c≥3，所以(4c?5a)(2a?c)≥02a?c≠0所以(4e?5)(2?e)≥02?e≠0解得54即雙曲線H的離心率的取值范圍為5故答案為：5【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查求雙曲線的離心率的范圍，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意在△PF1F【變式7-1】1.（22·23上·錦州·期中）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，F(xiàn)2c,0，點(diǎn)P在雙曲線【答案】13【分析】由PF1?【詳解】因?yàn)镻F1?由雙曲線定義可得PF由勾股定理知：PF整理得，PF又PF1>2PF故PF2+a<3a解得ca直線l：2x+3y?2c=0與雙曲線C的左、右兩支各交于一點(diǎn)，則直線l的斜率?2所以e=c所以133故答案為：133【變式7-1】2.（22·23下·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1?(a>0,?b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)A．(1,3] B．(2,3] C．(5,3] 【答案】C【分析】由雙曲線的定義可得QF1=2a【詳解】由題意易得：PF1設(shè)∠F1PF2=θ，則c設(shè)點(diǎn)Px0,即m=e所以8a3c故選：C【變式7-1】3.（20·21下·南寧·開學(xué)考試）已知點(diǎn)F1?F2是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左?右焦點(diǎn)，A．52,+∞ B．102,+∞ C．【答案】C【分析】由題意可知PF1⊥PF2，根據(jù)雙曲線的定義及PF1【詳解】若點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，且滿足F1F2=2|OP|，則又因?yàn)镻F1≥3PF所以PF得2c2≤5a2所以雙曲線C離心率的取值范圍是1<e≤10故選：C.【點(diǎn)睛】求解雙曲線的離心率及離心率的取值范圍時(shí)，先要根據(jù)題目條件找出等量關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)于a，c的齊次式，然后求解ca【變式7-1】4.（20·21·全國(guó)·專題練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過FA．1,3 B．1,5 C．1,3 【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義和MN=MF1，得到NF2=2a,進(jìn)而得到N【詳解】由雙曲線的定義得：MF因?yàn)镸N=所以MN?所以NF2=2a所以NF在△NF1F2中，因?yàn)镸N=MF由余弦定理得：2c2即e2所以1<e解得1<e<5故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是由MN=MF題型8雙曲線對(duì)稱性的運(yùn)用【例題8】（22·23下·宜昌·階段練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左，右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F1且與x【答案】5【分析】由題意，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得到點(diǎn)B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，從而得到Bc,bca，再α為直線BF1的傾斜角，且α∈【詳解】解：因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)F1且與x軸垂直的直線與雙曲線的一條漸近線相交于點(diǎn)A，且A在第三象限，四邊形F所以由雙曲線的對(duì)稱性可知點(diǎn)B也在雙曲線的漸近線上，且B在第一象限，因?yàn)锳F1⊥x，所以B因?yàn)棣翞橹本€BF1的傾斜角，且所以在Rt△BF1F2則1<b2a<3，即即5<e2<13所以該雙曲線離心率的取值范圍是5,故答案為：5【變式8-1】1.（22·23·合肥·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)F為雙曲線C:x2m+1?y【答案】3【分析】先根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得四邊形AFBF2為平行四邊形，再結(jié)合OP⊥OQ得△BFF2為直角三角形，設(shè)直線AB傾斜角為【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，根據(jù)雙曲線方程知，c2=(m+1)+(3?m)=4因?yàn)橹本€過原點(diǎn)，由對(duì)稱性，原點(diǎn)O平分線段AB，又原點(diǎn)O平分線段F2，所以四邊形AFB在△ABF和△ABF2中，分別有中位線，OP∥BF，因?yàn)镺P⊥OQ，所以AF⊥BF，所以四邊形AFBF2為矩形，不妨設(shè)B在第一象限，設(shè)直線AB傾斜角為2θ，則2θ∈π3,在Rt△BFF2中可得：所以e=c因?yàn)?θ∈π3,又fθ=1所以e=1故答案為：3

【變式8-1】2.（22·23下·通化·一模）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0【答案】(【分析】PF1與y軸交點(diǎn)Q，連接QF2，由雙曲線的定義和對(duì)稱性，結(jié)合已知條件得QF【詳解】設(shè)PF1與y軸交點(diǎn)Q，連接QF又∵∠PF2F1=3∠P又∵PF1?在Rt△QOF1中，QF1由∠PF2F1=3∠P∴cos∠PF1F綜上，e∈(2故答案為：(2【變式8-1】3.（22·23上·期末）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2A．1,102 C．1,5 D．【答案】B【分析】方法一：設(shè)PF1=m，PF2=n，易知四邊形PF1Q方法二：易知四邊形PF1QF2為矩形，結(jié)合已知不等式可求得2≤PF1PF2≤3，設(shè)∠PF2F1=θ【詳解】方法一：設(shè)PF1=m由題意知：OP=OQ=OF2=由2QF1≤PF1由雙曲線定義知：m?n=2a…①；由勾股定理可得：m2①式平方與②式相減得：?2mn=4a2?4由②③得：4c22令x=mn∈∵y=x+1x在2,3上單調(diào)遞增，∴y∈5解得：52≤e2≤5即雙曲線C離心率的取值范圍為102方法二：如圖所示，由對(duì)稱性可知：四邊形PF∵OP=OF2=1∵QF1=PF2∴2≤P設(shè)∠PF2F∵PF1∴PF1∵2≤tanθ≤3，∴π∴y=2sinθ?π4∴當(dāng)tanθ=2時(shí)，sinθ=255當(dāng)tanθ=3時(shí)，sinθ=31010∴雙曲線C的離心率的取值范圍為102故選：B.題型9通徑相關(guān)【方法總結(jié)】雙曲線的通徑為2【例題9】（23·24上·咸陽·階段練習(xí)）過雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A．1,2 B．2,2+2 C．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求出A,B,D的坐標(biāo)，寫出向量DA,DB，根據(jù)【詳解】設(shè)雙曲線x2a2令x=?c，得y=±b可設(shè)A由對(duì)稱性，不妨設(shè)D(0,b)，可得DA=?c,b由題意知A,D,B三點(diǎn)不共線，所以∠ADB為鈍角?DA即為c2將b2=c由e=ca，可得又e>1，解得e2>2+2綜上，離心率的取值范圍為(2+故選：D.【變式9-1】1.（22·23上·期末）雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左右焦點(diǎn)分別為FA．1,2 B．1,2+1 C．2【答案】B【分析】當(dāng)PF2⊥F1F2時(shí)，PF2=b【詳解】當(dāng)PF2⊥因?yàn)椤鱌F1F2為鈍角等腰三角形，則PF即2ac>b2=c2?a故選：B.【變式9-1】2.（21·22上·恩施·開學(xué)考試）雙曲線C:x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)A的直線交雙曲線A．1<e<2 B．1<e<32 C．32【答案】B【分析】設(shè)雙曲線半焦距c，再根據(jù)給定條件求出|BF|長(zhǎng)，列出不等式即可得解.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，因BF⊥AF，則由x=cx2a2?于是得a+c>2?b2a，即a+c>2?c2?a所以雙曲線離心率e的取值范圍是1<e<3故選：B【變式9-1】3.（22·23上·張掖·階段練習(xí)）過雙曲線x2a2【答案】1,【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形,分兩種情況討論:直線l與雙曲線兩支或者左支交于A,B兩點(diǎn),分別分析弦長(zhǎng)與2a和通徑的大小關(guān)系,列出不等式,再將b2代為c【詳解】解:由題知過F1做x軸垂線交雙曲線于G,H將x=?c代入x2G?c,∴GH由圖可知GH是直線與雙曲線左支相交時(shí)最短的弦長(zhǎng),當(dāng)過左焦點(diǎn)的直線繞左焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至與雙曲線兩支交于A,B兩點(diǎn)時(shí),如圖所示若滿足直線有且僅有兩條,只需AB小于GH,且AB大于2a即可,即AB=4b>2a即2b>a2a<b兩邊同時(shí)平方,將c2?a即可得e>5故e>5將過左焦點(diǎn)的直線繼續(xù)繞左焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至與雙曲線左支交于A,B兩點(diǎn)時(shí)如圖所示,此時(shí)只需AB大于GH,且AB小于2a即可,即AB=4b<2a即2b<a2a>b兩邊同時(shí)平方,將c2?a即可得e<5∵e>1,故1<e<5綜上,1<e<52或故答案為:1,【變式9-1】4.（22·23上·鎮(zhèn)江·期末）過雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)F【答案】(1,【分析】求出直線l垂直于x軸時(shí)線段AB長(zhǎng)，再根據(jù)這樣的直線有且僅有兩條列出不等式，求出ba【詳解】令雙曲線半焦距為c，則F(?c,0)，由x=?cx2a2?y2由于過左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交A,B兩點(diǎn)，使得AB=3b則當(dāng)直線l與雙曲線兩支相交時(shí)，3b>2a2b2a>3b當(dāng)直線l與雙曲線左支相交于兩點(diǎn)時(shí)，3b>2b2a2a>3b所以離心率e的取值范圍是(1,13故答案為：(1,【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合c2題型10由題目條件確定離心率取值范圍【例題10】（22·23·合肥·模擬預(yù)測(cè)）雙曲線x2a2?y2b2=1（a>2，b>0）的焦距為2cc>0，已知點(diǎn)Aa,0，B0,b，點(diǎn)2,0到直線A．22,2 B．52,5【答案】B【分析】首先表示出直線AB的方程，利用距離公式表示出d1，d2，依題意可得2abc≥45c，再根據(jù)a【詳解】依題意直線AB：xa+yb=1所以d1=2b?ab所以d1+d即25c2?a2又e>1，所以e∈5故選：B【變式10-1】1.（22·23下·溫州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線與雙曲線C：x2a2?y2bA．(1,7) B．(2,7) C．(2,7)【答案】D【分析】首先得出直線AB的方程，與雙曲線方程聯(lián)立得出點(diǎn)A和B的坐標(biāo)，并得出不等式關(guān)系b2>3a2，再表示出S△ABF【詳解】不妨設(shè)F是雙曲線C的左焦點(diǎn)，由題可知，直線AB的方程為y=3由y=3xx2a所以yA=?3因?yàn)镾△ABF=12×所以3abc所以bb2?3又因?yàn)閎2>3a所以2<c故選：D．【變式10-1】2.（22·23下·開封·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的實(shí)軸為A1A2A．1,5 B．52,+∞ C．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到a,b的關(guān)系式，然后由雙曲線離心率的公式以及范圍即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，A1當(dāng)P在y軸左側(cè)，則在A1A2上任一點(diǎn)Q當(dāng)P在y軸右側(cè)，則在A1A2上任一點(diǎn)Q當(dāng)P在y軸上，則在A1A2上任一點(diǎn)Q因?yàn)閷?duì)A1A2上任意一點(diǎn)P，在A所以12A1A2所以1<e=c即e∈1,故選；C.【變式10-1】3.（22·23下·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為A．1,5+12 B．5+12,+【答案】A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合一元二次不等式的性質(zhì)、雙曲線離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)Px,y，PB由x2a2化簡(jiǎn)，得c2則有Δ=4解得1?52≤e≤1+故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：一般求雙曲線的離心率的方法是：根據(jù)已知的等式或不等式，構(gòu)造關(guān)于a,b,c中任意兩個(gè)量的雙齊次方程或不等式，再結(jié)合雙曲線的離心率大于1進(jìn)行求解即可.【變式10-1】4.（22·23上·濟(jì)南·階段練習(xí)）已知雙曲線E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作圓O：xA．2,+∞ C．2,6 【答案】D【分析】連接OT，PF1，推出TF2=b，cos∠OF2T=bc，P【詳解】解：連接OT，PF設(shè)F2c,0(c為雙曲線在直角三角形TOF2中，OT=a則TF2=OF所以PF在△PF1F所以PF所以PF所以b>a，又PF所以b2所以a<b<3a，所以a2所以a2所以2<c故選：D．【變式10-1】5.（22·23上·南京·階段練習(xí)）已知F為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)，直線lA．1,2 B．1,2 C．1,2 D．【答案】D【分析】分別討論經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上和直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上這兩種情況,列出不等式,計(jì)算即可得到范圍．【詳解】①當(dāng)經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的交點(diǎn)在同一支上,可得雙曲線的通徑最小,設(shè)雙曲線x2a2?y2b當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=?c,可得y=±bcAB=當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k聯(lián)立y=kx+cx2a2x1由Δ=2a2c所以AB=2a所以當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，AB的長(zhǎng)最小，即最小值為2②當(dāng)直線與雙曲線的交點(diǎn)在兩支上,可得當(dāng)直線的斜率為0時(shí),AB最小為2a由①②及題意可得2a≥2b2a,即為a2故選:D.【變式10-1】6.（22·23下·閔行·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?【答案】1,【分析】設(shè)P(x,y)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式結(jié)合x2a2?y2b2=1【詳解】設(shè)P(x,y),|PB|≥b?x由x2整理得c2b2y2則Δ=4解得1?52≤e≤1+5則C的離心率取值范圍是1,5故答案為：1,5題型11聯(lián)立求點(diǎn)坐標(biāo)型【例題11】（22·23上·揚(yáng)州·期中）過雙曲線Γ：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左焦點(diǎn)F1的動(dòng)直線l與Γ【答案】5【分析】由題可設(shè)l為x=my?c，Ax1,y1，Bx2,y2，聯(lián)立l與雙曲線的方程可得y1y2【詳解】依題意知直線l的斜率不為0，設(shè)l的方程為x=my?c，聯(lián)立x=my?cx2a2?設(shè)Ax1,y1，Bx2由AF2⊥B故x1?cx整理得m2將y1y2、y則m2+1b4=4∴c4+a4?6a2又∵e>1，∴1<e2≤又A、B在左支且l過F1，∴y1y2<0∴m2+1=4即4a2<b2=c綜上：5<e≤1+2，即故答案為：5,1+【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于根據(jù)直線l方程x=my?c里面m的范圍，得到關(guān)于a、b、c的不等式，從而求得離心率的范圍．【變式11-1】1.（22·23上·舟山·期末）已知曲線C1方程：x2+ky2=1（2≤k≤3），曲線C2方程：tx【答案】2【分析】根據(jù)題意分析可得C1與C2的交點(diǎn)均在y=±t?1k?1x【詳解】聯(lián)立C1,C2的方程∵2≤k≤3,3≤t≤4，則k?1∈1,2∴y=±t?1k?1x又∵曲線C3為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，設(shè)雙曲線的漸近線為y=±bax故雙曲線的離心率e=c∵k?1∈1,2,t?1∈2,3，則1∴e=1+故答案為：2,2【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法：雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求ca【變式11-1】2.（20·21下·玉林·模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線C：x2A．(2，+∞) B．(3，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)【答案】A【分析】依題意求出雙曲線的漸近線方程與右焦點(diǎn)坐標(biāo)，不妨設(shè)過右焦點(diǎn)F(c,0)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為y=?ab(x?c)，與另一焦點(diǎn)聯(lián)立求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)交點(diǎn)在第二象限，即可得到a【詳解】解：由題意雙曲線C：x2a2?y不妨設(shè)過右焦點(diǎn)F(c,0)與雙曲線的一條漸近線垂直的直線方程為y=?與y=?bax聯(lián)立得?bax=?ab(x?c)，所以x=a2ca2?b2，y=?abca2?b2，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A【變式11-1】3.（20·21下·吳忠·模擬預(yù)測(cè)）已知l1，l2是雙曲線T:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線，直線l經(jīng)過T的右焦點(diǎn)F，且l//l1，lA．[2,3] B．[2,3] C．【答案】B【分析】首先根據(jù)直線平行，可設(shè)直線l的方程，通過聯(lián)立得點(diǎn)M，Q的橫坐標(biāo)，求出|FM||FQ|的表達(dá)式，從而可解不等式組得到e【詳解】由題意可知，F(xiàn)(c,0)，不妨記l1:y=b由l//l1且l經(jīng)過T的右焦點(diǎn)F可得l與l2的方程聯(lián)立可解得x與T:x2a所以|FM||FQ|解得e2∈[2,3]，故選：B.【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范圍）.【變式11-1】4.（22·23上·成都·期中）如圖，已知梯形ABCD中，AB=2|CD|，點(diǎn)E在線段AC上且AE=λEC，雙曲線過C,D,E三點(diǎn)，且以A,B為焦點(diǎn)．當(dāng)2【答案】[【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C,E滿足雙曲線方程，建立雙曲線離心率與參數(shù)λ之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求其值域即可.【詳解】以AB所在直線為x軸、線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下所示：設(shè)過點(diǎn)C,D,E三點(diǎn)的雙曲線方程為：x2根據(jù)題意可得：A?c,0,Bc,0，設(shè)C,E則AE=由AE=λEC可得：m+c=λc因?yàn)辄c(diǎn)C,E的坐標(biāo)都滿足雙曲線方程，故可得：c24a2?整理化簡(jiǎn)可得：λ?22c2整理得：e2=2λ+1故可得e2∈[7,10故答案為：[7【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查雙曲線離心率的求解，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，建立離心率與參數(shù)λ之間的關(guān)系，同時(shí)要注意計(jì)算的準(zhǔn)確度，屬中檔題.【變式11-1】5．（20·21下·蘇州·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x24?y2b2=1(b>0)，若在直線l:x+y+2=0【答案】(1,6【分析】由題意，設(shè)切線方程，然后與雙曲線方程聯(lián)立，得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)Δ=0，化簡(jiǎn)得關(guān)于k的一元二次方程，由韋達(dá)定理得k1k2=?1，化簡(jiǎn)以后得關(guān)于m的方程，利用【詳解】設(shè)過點(diǎn)P(m,n)且與雙曲線相切的直線方程為y=k(x?m)+n,n=?m?2，由y=k(x?m)+nb2x即為(bΔ=64(化簡(jiǎn)可得(b即(m2?4)k2即為(m+2)2+b2=4?m2，即為m2+4m+4+所以雙曲線的離心率e=1+b2故答案為：(1,6【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2=c2?a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式（不等式）兩邊分別除以a或a題型12向量相關(guān)【例題12】（22·23上·階段練習(xí)）已知F是雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，直線【答案】3【分析】先聯(lián)立方程根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得e>324【詳解】聯(lián)立方程x2a所以8b2?a2設(shè)AxA,取雙曲線的左焦點(diǎn)為F'，連結(jié)AF'由F'?c,0,F∵∠AFB≥90°，則∴F'A即9a2c2?綜上可得：32故雙曲線C的離心率的取值范圍是32故答案為：32【變式12-1】1.（22·23上·湖州·期中）過雙曲線x2a2?y2b【答案】(1,【分析】設(shè)點(diǎn)P(x0,【詳解】因?yàn)殡p曲線x2a2即y=±bax，設(shè)點(diǎn)P(聯(lián)立方程組y?y0=?同理可得：N(b所以O(shè)M·因?yàn)閤02a所以O(shè)M·ON=所以b2a2≤1所以雙曲線離心率的取值范圍為(1,6故答案為：(1,6【變式12-1】2.（18·19·二模）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A，拋物線C:yA．1,2 B．1,233 C．2,+【答案】B【分析】求出雙曲線的右頂點(diǎn)和漸近線方程，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)Pm,bam，根據(jù)向量的數(shù)量積為【詳解】雙曲線E:x2a2?拋物線C:y2=12ax設(shè)Pm,bam，則由PA?PF=0整理可得：1+b∴Δ∴a∴3c則：e=c由e>1可得：e∈1,故選：B.【變式12-1】3.（22·23下·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作漸近線的垂線A．3,+∞ C．2,3 【答案】C【分析】設(shè)∠MOF=θ，根據(jù)NM=λMFλ≥2列式，根據(jù)λ【詳解】依題意可知M在第一象限，N在第二象限，F(xiàn)c,0到漸近線bx?ay=0的距離為bc即MF=b，設(shè)∠MOF=θ，則tanθ=b由NM=λMFλ≥2故2abb2?∴1<b故選:C【變式12-1】4.（21·22·專題練習(xí)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2A．1,3 B．1,3 C．3,+∞【答案】B【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)Px利用向量加法法則知PF1即4PO故4x設(shè)F1則PFx0由①②得4c2?4又b2=c2?a2而雙曲線離心率的值大于1，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用平面向量加法的幾何意義是解題的關(guān)鍵【變式12-1】5.（22·23上·涼山·期末）已知橢圓C1和雙曲線C2有相同的焦點(diǎn)F1和F2，設(shè)C1和C2的離心率分別為e1，e2，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且【答案】(【分析】根據(jù)向量的減法運(yùn)算得出PO=c，從而得出∠F1PF2=90°，利用橢圓、雙曲線的定義以及離心率的公式，求得e【詳解】設(shè)橢圓C1：x2a12F1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)為C1與C由PF1?PF2=2所以O(shè)F1=P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)|PF1|=m則m2+n2=4②2+③2得，2m2+2所以2c2=又因?yàn)閑1=ca1，e所以④化為1e12因?yàn)閑2∈2,5又因?yàn)?e所以15<2?1所以59<e12<2故答案為：(題型13雙曲線與圓相關(guān)【例題13】（23·24上·太原·期末）已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過F2【答案】(【分析】由題知OT=a，OF2=c，TF2=b，cos∠OF【詳解】解：如圖，因?yàn)檫^F2作圓O:x2所以O(shè)T⊥TF2，所以，在Rt△OTF2中，OT=a，OF因?yàn)椋娱L(zhǎng)F2T交雙曲線E的左支于點(diǎn)所以PF2?所以，在△PF1F2中，所以b>a，即ba>1因?yàn)镻F2>32T所以e=1+綜上，雙曲線E離心率的取值范圍是(故答案為：(【變式13-1】1.（22·23上·成都·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，a為半徑作圓F，圓F與雙曲線【答案】1,【分析】畫出圖象，根據(jù)180°>∠MFN≥60°列不等式，化簡(jiǎn)后求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)D是線段MN的中點(diǎn)，則FD⊥MN，右焦點(diǎn)Fc,0到漸近線bx?ay=0的距離是FDFM=FN=a，由于180°>∠MFN≥60°所以0<cos∠MFD≤32所以e=c故答案為：1,【變式13-1】2.（23·24上·沙坪壩·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0，A．1,2 B．1,2 C．2,+∞ 【答案】A【分析】由題意可得雙曲線的一條漸近線與直線bx?ay+4a=0，利用平行線間的距離公式求出它們之間的距離d，則由題意可得d≥22【詳解】雙曲線C:x2a2?則直線bx?ay+4a=0與直線bx?ay=0的距離為d=4a因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,且圓(x?x0)所以d≥22，即4ac≥2因?yàn)閑>1，所以雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2故選：A.【變式13-1】3.（22·23·福州·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),F為左焦點(diǎn)，A1,A2分別為左?左頂點(diǎn)，A．1,3 B．3,+∞ C．5【答案】D【分析】由題意可推出∠FPF1=90°，設(shè)|OB|=t，由勾股定理可得2t2+2at+a【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F1，則OP則∠FPF

P為C右支上的點(diǎn)，取PF的中點(diǎn)為B，連接OB，則OB⊥PF，設(shè)|OB|=t，則|PF1|=2t在Rt△FPF1即2t又直線PF與以線段A1A2設(shè)f(t)=2t2+2at+則需使f(a)=2a2+2即雙曲線離心率的范圍為1<e<5即C的離心率的取值范圍為1,5故選：D【變式13-1】4.（22·23·模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線C:y2a2?x2A．(1,2] B．(1,3] C．【答案】A【分析】由題可得0<∠AOB≤π2，進(jìn)而可得【詳解】雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±abx則A，B兩點(diǎn)始終位于x軸同側(cè)，則0<∠AOB≤π2，故ab≥1，即a≥b，即a2所以雙曲線離心率的取值范圍為(1,2故選：A．【變式13-1】5.（22·23·黔東南·三模）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2aA．1,2 B．1,2 C．2,+∞【答案】A【分析】求得F2到bx?ay=0的距離為d=b及OP=a，根據(jù)cos∠PO【詳解】由題意，雙曲線C:x2a則其中一條漸近線方程為y=ba可得F2到漸近線bx?ay=0的距離為d=bcb2+設(shè)PF1=tPF因?yàn)閏os∠POF1整理得3a2+解得：?2又因?yàn)閑>1，所以雙曲線C的離心率的取值范圍是1,2故選：A．【變式13-1】6.（22·23上·周口·階段練習(xí)）已知F1,F2分別是雙曲線C:x2aA．[2,+∞) B．(2,+【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得關(guān)于a,c的不等關(guān)系式，由此求得雙曲線離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線l的方程為y=b則F2(c,0)到直線l的距高設(shè)F2F2'與直線l交于點(diǎn)M，則M是線段又O是線段F1F2的中點(diǎn)，所以F因?yàn)橐訤1F2'為直徑的圓與直線l有公共點(diǎn)，故a2≥c2?故選：C【變式13-1】7.（23·24上·階段練習(xí)）已知雙曲線C：x2a2?yA．?74,2 B．2,4 C．7【答案】B【分析】由OB?OD=?2結(jié)合圓的相交弦定理得ac=2【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為c，∵OB?OD=?2由圓的相交弦定理知，ac=OA又圓M的半徑r=a+c2，∴∴94≤a2+2ac+∴5ac≤a2+c2故選:B.題型14雙曲線與內(nèi)切圓相關(guān)【例題14】（22·23上·楊浦·期末）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B兩點(diǎn)，記△AF1【答案】1,【分析】設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，推導(dǎo)出【詳解】設(shè)△AF1F2、△BF設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B由切線長(zhǎng)定理可得AM=AN，F(xiàn)1所以，A=F2N+F2G故點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)也為a，同理可知點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)為a，故故圓O1和圓O2均與x軸相切于Ga,0，圓O在△O1O2F∴∠GO1F2=∠所以，O1GO所以F2即c?a2=r1?r2，所以，c?a因此，e=c故答案為：1,3【變式14-1】1.（22·23上·溫州·期中）已知P是雙曲線x2a2?y2b2=1(a,b>0)【答案】(【分析】由雙曲線的性質(zhì)得內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再列式求解，【詳解】設(shè)P在第一象限，作圖如下，切點(diǎn)M(x由題意得PF即2a=(c+x0)?(c?x0)，所以x0由于kOI<k漸近線，即c2故答案為：(【變式14-1】2.（22·23上·云南·期末）已知點(diǎn)P為雙曲線x2a2?y2bA．1,3 B．C．1,23 D．【答案】D【分析】根據(jù)條件和面積公式得出a，c的關(guān)系，從而得出離心率的范圍.【詳解】設(shè)△PF則S△IP因?yàn)镾△IP所以PF由雙曲線的定義可知PF所以2a≥33?2c，即a≥所以雙曲線的離心率的取值范圍是1,3故選：D【變式14-1】3.（24·25上·成都·階段練習(xí)）雙曲線H:x2a2?y2b2=1(a,b>0)其左、右焦點(diǎn)分別為【答案】5【分析】設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓C與△F1PF【詳解】設(shè)△F1PF2內(nèi)切圓C與△且F1所以Rt△CMF2?Rt所以∠CF2M=60°因?yàn)镕1M由雙曲線的定義可知，PF1?即2c?r3?過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)Px則xP由雙曲線的焦半徑公式可得：PF則PF2=c2則e+11?e2≥6則雙曲線H的離心率的取值范圍為54故答案為：54【變式14-1】4.（21·22下·浙江·開學(xué)考試）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線與雙曲線的右支交于A【答案】1,3【分析】設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F2分別于點(diǎn)M、N、G，推導(dǎo)出【詳解】設(shè)△AF1F2、△BF設(shè)圓O1切AF1、AF2、F1F過F2的直線與雙曲線的右支交于A、B由切線長(zhǎng)定理可得AM=AN，F(xiàn)1所以，A=F2N+F2G故點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)也為a，同理可知點(diǎn)O2的橫坐標(biāo)為a，故故圓O1和圓O2均與x軸相切于Ga,0，圓O在△O1O2F∴∠GO1F2=∠所以，O1GO所以F2即c?a2=r1?r2，所以，c?a因此，e=c故答案為：1,3.題型15雙曲線與角平分線相關(guān)【例題15】（19·20下·安徽·期末）已知雙曲線x2a2?y2bA．(1,2] B．2,2 C．2【答案】B【分析】根據(jù)題目條件得：π4≤θ【詳解】∵π2∴，1≤tan∴1≤ba≤3，∴1≤e∴2≤e≤2故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的知識(shí)點(diǎn)，屬于常見的基礎(chǔ)題型.【變式15-1】1.（22·23下·張家界·期中）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為5，點(diǎn)A是雙曲線上的任意一點(diǎn)，滿足A【答案】35或【分析】由題可得c=5a，對(duì)點(diǎn)A的位置進(jìn)行分類討論，利用勾股定理以及雙曲線的定義可求得AF1，利用角平分線的性質(zhì)可求得【詳解】如下圖所示：因?yàn)殡p曲線C的離心率為e=ca=5，則c=5a若點(diǎn)A在右支上，且AF1⊥AF2因?yàn)椤螦F1F2的平分線與AF2相交于點(diǎn)B，由角平分線的性質(zhì)可知，點(diǎn)此時(shí)，S△B若點(diǎn)A在左支上，同理可求得AF1=6a綜上所述，S△BF1故答案為：35或4【變式15-1】2.（20·21上·武漢·期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2?y2b2=1A．1,2 B．2,32 【答案】B【分析】延長(zhǎng)F2A交PF1于點(diǎn)Q，根據(jù)