5．4．3正切函數的性質與圖象目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：正切函數的定義域問題 4題型二：正切函數的對稱性問題 6題型三：正切函數的周期性問題 8題型四：正切函數的單調性問題 10題型五：正切函數的最值與值域問題 13題型六：正切函數的奇偶性問題 15題型七：正切函數的圖像問題 17題型八：解不等式問題 21題型九：比較大小問題 23題型十：正切函數的綜合問題 26題型十一：根據正切函數單調性求參數的范圍問題 30

【題型歸納目錄】【思維導圖】【知識點梳理】知識點一：正切函數的圖象1、正切函數，且，圖象：知識點二：正切函數的性質1、定義域：2、值域：由正切函數的圖象可知，當且無限接近于時，無限增大，記作（趨向于正無窮大）；當，無限減小，記作（趨向于負無窮大）．也可以從單位圓上的正切線來考慮．因此可以取任何實數值，但沒有最大值和最小值．稱直線，為正切函數的漸進線．3、周期性：周期函數，最小正周期是4、奇偶性：奇函數，即．5、單調性：在開區間，內，函數單調遞增知識點詮釋：1、觀察正切函數的圖象還可得到：點是函數，，且的對稱中心，正切函數圖象沒有對稱軸2、正切函數在開區間，內單調遞增，不能說正切函數在整個定義域上是增函數．知識點三、正切函數型的性質1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調區間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數單調性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：【典型例題】題型一：正切函數的定義域問題【典例1-1】（2024·高一·陜西寶雞·期末）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由正切函數的定義域，令，即，所以函數的定義域為.故選：C.【典例1-2】（2024·高一·湖南株洲·階段練習）函數的定義域為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據正切函數的性質，可得函數有意義，則滿足，所以函數的定義域為.故選：C.【方法技巧與總結】求三角函數定義域時，常常歸納為解三角不等式組，這時可利用基本三角函數的圖象求得解集．【變式1-1】（2024·高一·全國·專題練習）函數的定義域是()A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得，即，所以，，所以，，故B項正確.故選:B.【變式1-2】（2024·高一·遼寧沈陽·階段練習）函數的定義域是（

）A． B．C． D．或且【答案】C【解析】由已知可得且，解得且，所以函數的定義域是.故選：C.【變式1-3】（2024·高一·內蒙古包頭·期末）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得：，解得，函數的定義域為.故選：A.題型二：正切函數的對稱性問題【典例2-1】（2024·高一·山東濰坊·期末）函數的圖象關于點中心對稱，則常數的一個取值為.【答案】（答案不唯一，滿足即可）【解析】因為的圖象關于點中心對稱，所以，解得，故答案為：（答案不唯一，滿足即可）【典例2-2】（2024·高一·山東威海·階段練習）已知函數，的圖象的對稱中心是．【答案】【解析】由函數可得，，解得：，即的圖象的對稱中心是.故答案為：.【方法技巧與總結】正切曲線與軸的交點及其漸近線與軸的交點都是正切曲線的對稱中心，正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半個周期．【變式2-1】（2024·高一·陜西·階段練習）已知函數圖象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則．【答案】2【解析】由題意可得，即，則.故答案為：2.【變式2-2】（2024·高一·全國·專題練習）已知函數圖象的一個對稱中心為，則的值為．【答案】或【解析】由，得．又，則或．故答案為：或．【變式2-3】（2024·高一·廣東茂名·期末）已知函數，其最小正周期為，則的一個對稱中心的坐標為．【答案】，（答案不唯一，橫坐標只需符合）【解析】根據，得，則，令，即，所以．故答案為：（答案不唯一，橫坐標只需符合）【變式2-4】（2024·高一·全國·課后作業）已知，若函數為奇函數，則最小正數m的值為.【答案】【解析】因為，若函數為奇函數，且正數m取到最小值，即把位于y軸右側的第一個對稱中心平移至坐標原點，令，解得，當時，則，即位于y軸右側的第一個對稱中心為，所以正數m取到最小值.故答案為：.題型三：正切函數的周期性問題【典例3-1】（2024·高一·全國·課后作業）函數的最小正周期為.【答案】【解析】依題意可知，故函數的最小正周期.故答案為：【典例3-2】（2024·高一·全國·單元測試）已知函數的圖象的相鄰兩支截直線所得線段長為，則，．【答案】40【解析】的圖象的相鄰兩支截直線所得線段的長度即為的一個周期，∴，，，∴．故答案為：4；0.【方法技巧與總結】一般地，函數的最小正周期為，常常利用此公式來求周期．【變式3-1】（2024·高一·上海·隨堂練習）函數的最小正周期為．【答案】【解析】函數的最小正周期為：故答案為：.【變式3-2】（2024·高一·江西吉安·期末）函數的最小正周期為．【答案】4【解析】設的最小正周期為，而.故答案為：4【變式3-3】（2024·高一·遼寧大連·期中）函數的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則函數y=fx的解析式為.【答案】【解析】如圖所示.區域①和區域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設函數的最小正周期為，則，由題意可得，解得，故，可得，即，又的圖象過點，即，因為，所以，解得.故.故答案為：.【變式3-4】（2024·高一·河南許昌·階段練習）已知函數，y=fx的部分圖象如圖，則.【答案】【解析】由題意可知：的最小正周期，且，可得，又因為，且，則，可得，即，且，即，可得，所以．故答案為：．題型四：正切函數的單調性問題【典例4-1】（2024·高一·全國·課后作業）函數的單調減區間為．【答案】【解析】先求出函數的定義域，然后利用復合函數求單調區間的方法求解即可由，得，令，則，因為在(0,+∞)上為減函數，而在上為增函數，所以的單調減區間為，故答案為：．【典例4-2】（2024·高一·全國·課后作業）函數的單調遞增區間是．【答案】【解析】根據正切函數的單調區間可得，.故答案為：【方法技巧與總結】求函數（，，都是常數）的單調區間的方法若，由于在每一個單調區間上遞增，故可用“整體代換”的思想，令，，解得的范圍即可．若，可利用誘導公式先把的系數化為正值，再利用“整體代換”的思想，求得的范圍即可．【變式4-1】（2024·高一·上海·專題練習）函數的單調遞減區間是．【答案】．【解析】令，，解得，故函數的單調遞減區間是:．故答案為:．【變式4-2】（2024·高一·上海·期中）函數包含的一個嚴格增區間是．【答案】【解析】令，解得，可知函數嚴格增區間是，又因為包含，可知，所以函數包含的一個嚴格增區間是.故答案為：.【變式4-3】（2024·高一·全國·課堂例題）函數的單調遞減區間為．【答案】【解析】．由，故函數的單調遞減區間為故答案為：【變式4-4】（2024·高一·江西南昌·階段練習）函數的單調遞減區間為.【答案】【解析】,解得，,當時，是增函數，是減函數，即的單調遞減區間為，故答案為：題型五：正切函數的最值與值域問題【典例5-1】（2024·高一·全國·課后作業）函數的最小值為.【答案】2【解析】因為，由于，所以當時，函數取最小值2.故答案為：2【典例5-2】（2024·高一·上海·期中）函數，的最大值為.【答案】【解析】當時，所以在上單調遞增，所以當時取得最大值，即.故答案為：【方法技巧與總結】一般函數的值域求法有：觀察法、配方法、判別式法、反比例函數法等，而三角函數是函數的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結合三角函數本身的性質．【變式5-1】（2024·高一·上海浦東新·期中）函數，的最大值與最小值之和為.【答案】【解析】令，，，則，因為對稱軸為，所以，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當時，，當時，，函數的最大值與最小值之和為.故答案為：.【變式5-2】（2024·高一·黑龍江哈爾濱·期末）函數在上的最大值為4，則實數的值為.【答案】【解析】函數在上單調遞增，則當時，，因此，解得，所以實數為.故答案為：.【變式5-3】（2024·高一·上海·課堂例題）求函數的最大值、最小值，并求函數取得最大值或最小值時自變量x的集合.【解析】令（，），則.當時，；當時，，當且僅當，即時，取等號，所以，所以，時取到等號；當時，所以，，當且僅當，即時，所以，所以，時取到等號.所以，y的最小值為，此時，；y的最大值為3，此時，.所以當時，函數為常數函數；當時，函數取得最小值，自變量的集合為，當時，函數取得最大值，自變量的集合為.【變式5-4】（2024·高一·上海·專題練習）求函數的最大值，并求當函數取得最大值時，自變量的集合.【解析】因為，令，則，，因為，所以，即時，即，，即當時函數取得最大值題型六：正切函數的奇偶性問題【典例6-1】（2024·高一·甘肅蘭州·階段練習）函數是（

）A．最小正周期為的奇函數 B．最小正周期為的奇函數C．最小正周期為的偶函數 D．最小正周期為的偶函數【答案】B【解析】函數，定義域為，，函數為奇函數，其最小正周期.故選：B.【典例6-2】（2024·全國·模擬預測）若函數為奇函數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若0在定義域內，由時，得，；若0不在定義域內，由時，無意義，得．綜上，．故選：C．【方法技巧與總結】奇函數，即．【變式6-1】（2024·高一·湖北武漢·期中）已知函數與x軸交于A，B兩點，且線段AB長度的最小值為，若將函數的圖象向左平移個單位后恰好為奇函數，則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因為函數與x軸交于A，B兩點，且線段AB長度的最小值為，可得函數的最小正周期為，所以，所以，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到，又因為為奇函數，可得，即，因為，當時，可得；當時，可得，所以的值為或.故選：D.【變式6-2】（2024·高一·全國·專題練習）把函數的圖象向右平移個單位后，得到函數的圖象，若為奇函數，則的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】函數的圖象向右平移個單位后，得因為為奇函數，所以，；因此，，結合，取得的最小值為2.故選：A.【變式6-3】（2024·浙江·模擬預測）已知，，是函數的兩個零點，且的最小值為，若將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象關于原點對稱，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知函數的最小正周期，則，得，.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，要使該圖象關于原點對稱，則，，所以，，又，所以當時，取得最大值，最大值為．故選：A【變式6-4】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】，則.故.故選：A題型七：正切函數的圖像問題【典例7-1】（2024·高一·北京昌平·期末）函數的部分圖象如圖所示，則（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【解析】由圖知，得到，又由圖知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故選：C.【典例7-2】（2024·高二·寧夏石嘴山·期末）有一個函數的圖象如圖，其對應的函數解析式可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由圖象知，函數定義域為，，對于A選項，定義域為，故A錯誤；對于B選項，，當時，，故B錯誤；對于C選項，，當時，無意義，故C錯誤；對于D，的定義域為，，且，則的圖象關于軸對稱，所以符合題意.故選：D.【方法技巧與總結】作正切型函數圖象應注意的問題作的圖象一般是先作出其在一個周期內的圖象，由于在一個周期內是單調函數，不需要使用五點法，直接利用單調性作圖即可．【變式7-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，函數的部分圖象與軸相交于兩點，與軸相交于點，且的面積為，則的值為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據題意，當時，，又的面積為，函數的周期為，可得周期，故選：B.【變式7-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）函數的圖像如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，①和②面積相等，故陰影部分的面積即為矩形的面積，可得，設函數的最小正周期為，則，由題意得，解得，故，得，即，的圖象過點，即，∵，則，∴，解得．∴∴.故選：A【變式7-3】（2024·高一·江西景德鎮·期末）函數在一個周期內的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】的周期為，排除A、C，當時，，排除D.故選：B.題型八：解不等式問題【典例8-1】（2024·高一·廣西欽州·期中）不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，得，解得，所以不等式的解集為.故選：A【典例8-2】（2024·高一·貴州遵義·期中）不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意得，，得.故選：C【方法技巧與總結】整體法，再利用圖像解決．【變式8-1】（2024·高一·四川成都·期中）已知角為斜三角形的內角，，則的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】角為斜三角形的內角，則，，即，故.故選：D.【變式8-2】（2024·高一·安徽阜陽·階段練習）滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C．， D．，【答案】D【解析】由，，故選：D【變式8-3】（2024·高三·北京豐臺·期末）如圖，函數的圖象為折線，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設，令，且，解得，，令，則，則hx在上單調遞增，，則，則當時，，，則滿足，即，當時，，且單調遞減，，且hx單調遞增，則x∈0,1時，，即；時，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.【變式8-4】（2024·高一·陜西渭南·期末）已知且，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為在上單調遞增，當時，則即，解得，所以，當時，則即，解得，所以，當時，此時無意義，故舍去，綜上可得.故選：B題型九：比較大小問題【典例9-1】（2024·高一·北京延慶·期中）設，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為是鈍角，所以，，，因為，在0,π上是減函數，所以，而在上是增函數，可得，所以，所以，故選：A.【典例9-2】（2024·高一·山東東營·期末）下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A，由知，故A錯誤；對于B，顯然有，故B錯誤；對于C，由有，故C錯誤；對于D，由有，故D正確.故選：D.【方法技巧與總結】比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區間內的角，再利用函數的單調性比較．【變式9-1】（2024·高一·遼寧大連·期中）設，，，則a，b，c的大小關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，由函數在上單調遞增得，由函數在上單調遞減得，所以.即.故選：D【變式9-2】（2024·高一·北京門頭溝·期中）比較、、的大小關系（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】，因為函數在上單調遞增，且，所以，即.故選：D【變式9-3】（2024·高一·河南商丘·階段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數在上單調遞增，所以，函數在上單調遞減，所以，又，且所以，故選：D.【變式9-4】（2024·高一·安徽·階段練習）已知函數，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數，因為，所以函數為偶函數，令，其在上為單調遞增函數，因為在上為單調遞減函數，所以函數在上為單調遞減函數，令在上為單調遞增函數，當時，可得且，根據對勾函數的性質，可得函數在上為單調遞增函數，所以函數在上為單調遞減函數，所以函數在上為單調遞減函數，又由，，，根據單位圓圖形易知，則，所以.故選：A.題型十：正切函數的綜合問題【典例10-1】（2024·高一·河南·階段練習）函數，已知函數的圖象與x軸相鄰兩個交點的距離為，且圖象關于點對稱．(1)求的單調區間；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由題意知，函數的最小正周期為，因為，所以，所以因為函數y=fx的圖象關于點對稱，所以，，即，，因為，所以，故．令，，得，，所以函數的單調遞增區間為，，無單調遞減區間．（2）由（1）知，．由，得，，即，

所以不等式的解集為：.【典例10-2】（2024·高一·安徽銅陵·期中）已知函數（）的最小正周期為．(1)求的單調遞增區間；(2)若，，求．【解析】（1）由題可知，解得，所以，令，，可得，，所以的單調遞增區間為，；（2），即，因為，所以，所以，所以．【變式10-1】（2024·高一·重慶銅梁·階段練習）已知函數，，其中．(1)當時，求函數的最大值和最小值；(2)求函數在區間上單調時的取值范圍．【解析】（1）當時，函數，而，則當時，，當時，，所以函數的最大值和最小值分別為和.（2）函數圖象的對稱軸為，依題意，或，解得或，又，解得或，所以的取值范圍是.【變式10-2】（2024·高一·廣東潮州·階段練習）已知函數與函數的部分圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為4.(1)求的定義域（用區間表示）；(2)若是定義在上的函數，求關于的不等式的解集.【解析】（1）根據題意可得，解得，則.由，得，即的定義域為.（2）由（1）得，其定義域為.關于的不等式即，即.當時，，則，因為，所以成立.當時，因為函數在0,2上單調遞增，函數在0,2上單調遞增，所以hx在0,2上單調遞增，因為，所以.綜上，關于的不等式的解集為.【變式10-3】（2024·高一·河南南陽·