2025/1/281第三章

遠期和期貨定價

目錄預備知識遠期合約的定價遠期與期貨價格的一般結論遠期（期貨）價格與標的資產現貨價格的關系2投資性資產與消費性資產投資性資產（InvestmentAssets）此類資產的主要持有者以投資為目的可能部分持有者以消費為目的消費性資產（ConsumptionAssets）主要持有者以消費為目的3賣空（ShortSelling）出售你不擁有的資產經紀人為你向其他投資者借入該資產并賣出未來需買回歸還此期間需支付原持有者應獲得的股利等收入42025/1/285一、遠期價值、遠期價格與期貨價格交割價格（DeliveryPrice）遠期價值：遠期合約本身的價值遠期價格（ForwardPrice）：使得遠期價值為零的合理交割價格期貨價格（FuturesPrice）

第一節遠期價格與期貨價格遠期價值是指遠期合約本身的價值。關于遠期價值的討論要分遠期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。－在簽訂遠期合約時，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價格應使遠期價值在簽署合約時等于零。－在遠期合約簽訂以后，由于交割價格不再變化，多空雙方的遠期價值將隨著標的資產價格的變化而變化。62025/1/287遠期價格是指使遠期合約簽訂時價值為零的交割價格。遠期價格是理論上的交割價格。關于遠期價格的討論也要分遠期合約簽訂時和簽訂后兩種情形。－一份公平合理的遠期合約在簽訂的當天應使交割價格等于遠期價格。如果實際交割價格不等于這個理論上的遠期價格，該遠期合約價值對于多空雙方來說就都不為零，實際上隱含了套利空間。－在遠期合約簽訂以后，交割價格已經確定，遠期合約價值不一定為零，遠期價格也就不一定等于交割價格。2025/1/288類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價格（FuturesPrices）為使得期貨合約價值為零的理論交割價格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價值”這個概念。基于期貨的交易機制，投資者持有期貨合約，其價值的變動來源于實際期貨報價的變化。由于期貨每日盯市結算、每日結清浮動盈虧，因此期貨合約價值在每日收盤后都歸零。

2025/1/289二、遠期價格與期貨價格的關系當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應相等。當標的資產價格與利率呈正相關時，期貨價格高于遠期價格。

－這是因為當標的資產價格上升時，期貨價格通常也會隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進行再投資。而當標的資產價格下跌時，期貨合約的多頭將因每日結算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補充保證金。相比之下，遠期合約的多頭將不會因利率的變動而受到上述影響。在此情況下，期貨多頭比遠期多頭更具吸引力，期貨價格自然就大于遠期價格當標的資產價格與利率呈負相關時，遠期價格就會高于期貨價格。2025/1/2810

遠期價格和期貨價格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。當有效期只有幾個月時，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費用、保證金的處理方式、違約風險、流動性等方面的因素或差異都會導致遠期價格和期貨價格的差異。遠期價格與期貨價格的定價思想在本質上是相同的，其差別主要體現在交易機制和交易費用的差異上，在很多情況下常?？梢院雎?，或進行調整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠期價格與期貨價格相等，并都用F來表示。2025/1/2811（一） 基本的假設為分析簡便起見，本章的分析是建立在如下假設前提下的：1．沒有交易費用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3．遠期合約沒有違約風險。4．允許現貨賣空。5．當套利機會出現時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭和空頭地位。三、基本的假設與符號2025/1/2812（二） 符號本章將要用到的符號主要有：T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時間。S：遠期（期貨）標的資產在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。2025/1/2813（二） 符號（續）F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論遠期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續復利計算的t時刻的無風險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續復利的年利率。2025/1/2814第二節無收益資產遠期合約的定價2025/1/2815本章所用的定價方法為無套利定價法?；舅悸窞椋簶嫿▋煞N投資組合，令其終值相等，則其現值一定相等；否則就可進行套利，即賣出現值較高的投資組合，買入現值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。眾多套利者這樣做的結果，將使較高現值的投資組合價格下降，而較低現值的投資組合價格上升，直至套利機會消失，此時兩種組合的現值相等。這樣，我們就可根據兩種組合現值相等的關系求出遠期價格。

2025/1/2816例如，為了給無收益資產的遠期合約定價，我們構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為Ke-r（T－t）的現金；組合B：一單位標的資產。遠期合約現金組合A標的資產組合B一、無套利定價法2025/1/2817

在組合A中，Ke-r（T－t）的現金以無風險利率投資，投資期為（T－t）。到T時刻，其金額將達到K。這是因為：Ke-r（T－t）er（T－t）=K

在遠期合約到期時，這筆現金剛好可用來交割換來一單位標的資產。這樣，在T時刻，兩種組合都等于一單位標的資產。根據無套利原則：終值相等，則其現值一定相等，這兩種組合在t時刻的價值必須相等。

即：

f+Ke-r（T－t）=S

f=S－Ke-r（T－t）

（3.1）

該公式表明，無收益資產遠期合約多頭的價值等于標的資產現貨價格與交割價格現值的差額。或者說,一單位無收益資產遠期合約多頭等價于一單位標的資產多頭和Ke-r（T－t）單位無風險負債的資產組合。

2025/1/2818由于遠期價格就是使遠期合約價值為零的交割價格，即當=0時，=。據此可令式（3.1）中的=0，則

(3.2)

這就是無收益資產的現貨-遠期平價定理（Spot-ForwardParityTheorem），或稱現貨期貨平價定理（Spot-FuturesParityTheorem）。二、現貨—遠期平價定理2025/1/2819為了證明無收益資產的現貨-遠期平價定理，我們用反證法證明等式不成立時的情形是不均衡的。若K>Ser（T－t），即交割價格大于現貨價格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風險利率r

借入S現金，期限為T－t。然后用S購買一單位標的資產，同時賣出一份該資產的遠期合約，交割價格為K。在T時刻，該套利者就可將一單位標的資產用于交割換來K現金，并歸還借款本息Ser（T－t），這就實現了

K－Ser（T－t）

的無風險利潤。

2025/1/2820

若K<Ser（T－t），即交割價值小于現貨價格的終值。套利者就可進行反向操作，即賣空標的資產，將所得收入以無風險利率進行投資，期限為T-t，同時買進一份該標的資產的遠期合約，交割價格為K。在T時刻，套利者收到投資本息Ser（T－t），并以K現金購買一單位標的資產，用于歸還賣空時借入的標的資產，從而實現Ser（T－t）-K的利潤。2025/1/2821三、遠期價格的期限結構描述的是不同期限遠期價格之間的關系。

設F為在T時刻交割的遠期價格，F*為在T*時刻交割的遠期價格,r為T時刻到期的無風險利率,r*為T*時刻到期的無風險利率。對于無收益資產而言，從無收益資產的現貨-遠期平價公式可知,

兩式消除掉S后，（3.3）2025/1/2822第三節支付已知現金收益資產遠期合約的定價仍然采用無套利定價法給支付已知現金收益資產的遠期合約定價。構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為Ke–r(T-t)的現金。組合B：一單位標的證券加上利率為無風險利率、期限為從當前時刻到現金收益派發日、本金為I的負債。2025/1/2823

組合A在T時刻的價值等于一單位標的證券。在組合B中，由于標的證券的現金收益剛好可以用來償還負債的本息，因此在T時刻，該組合的價值也等于一單位標的證券。因此，在t時刻，這兩個組合的價值應相等，即

(3.4)從組合的角度考慮，式（3.4）說明一單位支付已知現金收益資產的遠期合約多頭可由一單位標的資產和(I+Ke

–r(T-t))單位無風險負債構成。2025/1/2824根據遠期價格的定義，我們可從式中求得：（3.5）這就是支付已知現金收益資產的現貨-遠期平價公式。式（3.5）表明，支付已知現金收益資產的遠期價格等于標的證券現貨價格與已知現金收益現值差額的終值。2025/1/2825反證法來證明：

假設，即交割價格高于遠期理論價格。則套利者可以進行如下操作：以無風險利率借入現金S買入標的資產，并賣出一份交割價為K的遠期合約，將在T-t期間從標的資產獲得的現金收益以無風險利率貸出至T時刻。這樣，到T時刻，套利者將標的資產用于交割得到現金收入K，還本付息，同時得到的本利收入。最終套利者在T時刻可實現無風險利潤。

2025/1/2826如果，即交割價格低于遠期理論價格。則套利者可以進行反向操作：借入標的資產賣掉，得到現金收入S以無風險利率貸出，同時買入一份交割價為K的遠期合約。在T時刻，套利者可得到貸款本息收入，同時付出現金F換得一單位標的證券，用于歸還標的證券的原所有者，并把該標的證券在T-t期間的現金收益的終值同時歸還原所有者。這樣，該套利者在T時刻可實現無風險利潤。

2025/1/2827例：2007年8月31日，美元6個月期與1年期的無風險年利率分別為4.17%與4.11％。市場上一種十年期國債現貨價格為990美元，該證券一年期遠期合約的交割價格為1001美元，該債券在6個月和12個月后都將收到60美元的利息，且第二次付息日在遠期合約交割日之前，求該合約的價值。2025/1/2828例：假設黃金現價為每盎司733美元，其存儲成本為每年每盎司2美元，一年后支付，美元一年期無風險利率為4％。則一年期黃金期貨的理論價格為多少？2025/1/2829第四節支付已知收益率資產遠期合約的定價為了給支付已知收益率資產的遠期定價，我們可以構建如下兩個組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數額為的現金；組合B：單位證券并且所有收入都再投資于該證券，其中q為該資產按連續復利計算的已知收益率。組合A在T時刻的價值等于一單位標的證券。組合B由于獲得的紅利收入全部都再投資于該證券，擁有的證券數量隨著獲得紅利的不斷發放而增加，所以在時刻T，正好擁有一單位標的證券。2025/1/2830因此在t時刻兩個組合的價值也應相等，即：（3.6）根據遠期價格的定義，我們可根據式（3.6）算出支付已知收益率資產的遠期價格：（3.7）這就是支付已知紅利率資產的現貨-遠期平價公式。式（3.7）表明，支付已知收益率資產的遠期價格等于按無風險利率與已知收益率之差計算的現貨價格在T時刻的終值。2025/1/2831例：2007年9月20日，美元3個月期無風險年利率為3.77％，S&P500指數預期紅利收益率為1.66％。當S&P500指數為1518.75點時，2007年12月到期的S&P500指數期貨SPZ7相應的理論價格應為多少？2025/1/2832第五節遠期和期貨價格的一般結論2025/1/2833注意，這里所謂的完美市場，就是我們在本章第一節中所討論的基本假設成立的市場。從直覺上理解，假設標的資產無收益，投資者A計劃出售一單位標的資產，以下兩種方法應該是等價的：1.在當前t時刻賣出一份遠期價格為F的遠期合約[1]，合約到期T時刻交割必定能獲得F；2.在當前t時刻立刻出售獲得S，并以無風險利率r貸出，這樣在T時刻可以獲得確定性收入。由于t時刻兩種投資的價值都為S，T時刻的兩種確定性收入應相等：如果實際價格高于或低于上述理論價格F，市場上就存在著套利機會。

一、完美市場下的持有成本模型2025/1/2834通俗地說，由于遠期價格是A未來可獲得的現金收入，一個合理的遠期價格應使得A現在出售現貨和未來出售遠期所獲得的確定性收入相等，無風險利率r實際上反映了A現在不出售而在未來出售標的資產所承擔的確定性成本。推而廣之，I和q則反映了A現在不出售而在未來出售標的資產所能獲得的確定性收益，因此應該從其收到的遠期價格中扣減。我們可以用持有成本（Cost-of-Carry）的概念來概括遠期價格與現貨價格的關系。持有成本的基本構成如下：持有成本＝保存成本＋無風險利息成本－標的資產在合約期限內提供的收益

Copyright?Zheng,Zhenlong&Chen,Rong,201335遠期和期貨定價中的持有成本（c）概念：Copyright?Zheng,Zhenlong&Chen,Rong,2013362025/1/28371.

存在交易成本的時候，假定每一筆交易的費率為Y，那么不存在套利機會的遠期價格就不再是確定的值，而是一個區間：

2.借貸存在利差的時候，如果用rb表示借入利率，用rl表示借出利率，對非銀行的機構和個人，一般是rb>rl。這時遠期和期貨的價格區間為：

二、非完美市場條件下的遠期定價2025/1/28383.存在賣空限制的時候，因為賣空會給經紀人帶來很大風險，所以幾乎所有的經紀人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設這一比例為X，那么均衡的遠期和期貨價格區間應該是：

如果上述三種情況同時存在，遠期和期貨價格區間應該是：

完全市場可以看成是的特殊情況。2025/1/2839本書的討論焦點是金融標的資產的衍生產品，金融標的資產屬于投資性資產。所謂投資性資產是指投資者主要出于投資目的而持有的資產，如股票、債券等金融資產和黃金、白銀等資產。－由于投資性資產的投資決策不受消費等其他目的的影響，投資者所關注的是金融資產中所蘊涵的風險收益特征而非金融產品本身，因此標的資產及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價格水平不合理，投資者隨時可在這兩者之間進行轉換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價就成為一個純粹的風險收益問題，相應地無套利原則和持有成本模型就成為遠期定價的基本原理。

三、消費性資產的遠期定價2025/1/2840消費性資產則是指那些投資者主要出于消費目的而持有的資產，如石油、銅、農產品等。對于消費性資產來說，遠期定價公式不再適用，而是轉化為：原因在于消費性的標的資產具有消費價值，而遠期卻無法即時消費，消費性的標的資產與其遠期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠期相對價值偏低的時候投資者也不會輕易出售現貨，購買遠期，從而使得單純基于風險收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。2025/1/2841第六節遠期價格與標的資產現貨價格的關系2025/1/2842無套利條件下，?？梢詮娜齻€角度分析F和S之間的關系：第一，當標的資產在遠期（期貨）存續期內沒有收益、已知現金收益較小、或已知收益率小于無風險利率時，當前遠期（期貨）價格應高于標的資產的當前現貨價格；當標的資產在遠期（期貨）存續期內的已知現金收益較大或已知收益率大于無風險利率時，當前遠期（期貨）價格應小于標的資產的當前現貨價格。在遠期（期貨）到期日，遠期（期貨）價格將收斂于標的資產的現貨價格（這是套利行為決定的）。

一、同一時刻遠期（期貨）價格與標的資產現貨價格的關系2025/1/2843當標的證券沒有收益，或者已知現金收益較小、或者已知收益率小于無風險利率時，期貨價格應高于現貨價格。

現貨價格期貨價格第三章遠期和期貨的定價

2025/1/2844當標的證券的已知現金收益較大，或者已知收益率大于無風險利率時，期貨價格應小于現貨價格。現貨價格

期貨價格第三章遠期和期貨的定價

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第二，標的資產的現貨價格對同一時刻的遠期（期貨）價格起著重要的制約關系，正是這種制約關系決定了遠期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現貨市場規模不夠大，現貨價格無法形成對遠期（期貨）價格的有效制約，遠期（期貨）市場就遲早會因惡性投機而出問題。（案