廣西壯族自治區(qū)梧州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末抽樣檢測數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚．3.考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5豪米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效．4.本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.雙曲線的焦距為A. B.3 C. D.62.5名畢業(yè)生分別從4家公司中選擇一家實(shí)習(xí)，不同選法的種數(shù)為A. B. C. D.3.過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程是A. B. C.或 D.或4.已知向量，則向量在向量上的投影向量為A. B. C. D.5.北京時間2024年6月2日，嫦娥六號成功著陸月球背面，開啟人類探測器首次在月球背面實(shí)施的樣品采集任務(wù).某天文興趣小組在此基礎(chǔ)上開展了月球知識宣傳活動，活動結(jié)束后該天文興趣小組的4名男生和4名女生站成一排拍照留念，則4名女生相鄰的站法種數(shù)為A.2880 B.1440 C.720 D.5766.已知圓及圓，則與圓都相切的直線的條數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.47.現(xiàn)有10名學(xué)生參加某項(xiàng)測試，可能有學(xué)生不合格，從中抽取3名學(xué)生成績查看，記這3名學(xué)生中不合格人數(shù)為，已知，則本次測試的不合格率為A. B. C. D.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)使得的內(nèi)切圓半徑為，則橢圓的離心率的取值范圍是A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，若，則A. B. C. D.10.已知隨機(jī)事件A，B的對立事件分別為，若，則A. B.C.若A，B獨(dú)立，則 D.若A，B互斥，則11.如圖，正方體的棱長為3，E，F(xiàn)分別為棱上的點(diǎn)，且，平面AEF與棱交于點(diǎn)，若點(diǎn)為正方體內(nèi)部（含邊界）的點(diǎn)，滿足，則A.點(diǎn)的軌跡為四邊形AEGF及其內(nèi)部B.當(dāng)時，點(diǎn)的軌跡長度為C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.由數(shù)據(jù)可得關(guān)于的線性回歸方程為，若7，則______.13.已知隨機(jī)變量，若，則______.14.已知拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線的斜率是______.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（本小題滿分13分）已知關(guān)于x，y的方程.（1）當(dāng)為何值時，方程表示圓；（2）若圓與直線相交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值.16.（本小題滿分15分）某超市為調(diào)查顧客單次消費(fèi)金額與性別是否有關(guān)，隨機(jī)抽取70位當(dāng)日來店消費(fèi)的顧客，其中女性顧客有40人，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，單次消費(fèi)超過100元的占抽取總?cè)藬?shù)的，男性顧客單次消費(fèi)不超過100元的占抽取總?cè)藬?shù)的.單次消費(fèi)超過100元單次消費(fèi)不超過100元合計(jì)女性男性合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，是否有的把握認(rèn)為顧客單次消費(fèi)是否超過100元與性別有關(guān)聯(lián)？（2）在“單次消費(fèi)超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人，再從這7人中任選3人參與問卷調(diào)查，記3人中女性人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：（其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0250.013.8415.0246.63517.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，是PA的中點(diǎn).（1）求證：平面平面MCD；（2）若，求平面PBC與平面MCD夾角的余弦值.18.（本小題滿分17分）學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了如下試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，有完全相同的甲、乙兩個袋子，袋子里有形狀和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2個紅球和8個白球，乙袋中有6個紅球和4個白球．從這兩個袋子中選擇1個袋子，再從該袋子中隨機(jī)摸出1個球，稱為一次摸球．多次摸球直到摸出白球時試驗(yàn)結(jié)束.假設(shè)首次摸球選到甲袋或乙袋的概率均為.（1）求首次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率；（2）在首次摸球摸出紅球的條件下.①求選到的袋子為乙袋的概率；②將首次摸球摸出的紅球放回原來袋子，繼續(xù)進(jìn)行第二次摸球時有如下兩種方案：方案一，從原來袋子中摸球；方案二，從另外一個袋子中摸球.請通過計(jì)算，說明選擇哪個方案使得第二次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.19.（本小題滿分17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，左、右頂點(diǎn)分別為，，且.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)為直線上的一點(diǎn)，直線PA交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)）.①記的面積分別為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線PB交于另外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線MN上的一點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由.2024～2025學(xué)年高二（上）期末抽樣檢測?數(shù)學(xué)試題參考答案、提示及評分細(xì)則1.D 因?yàn)椋越咕?故選D.2.A 因?yàn)槊棵厴I(yè)生都有4種選擇，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知不同選法的種數(shù)為.故選A.3.C 當(dāng)直線過原點(diǎn)時，其方程是，符合題意；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時，其斜率為-1，所以方程是．故選C.4.B 向量在向量上的投影向量為.故選B.5.A 先將4名女生排在一起，有種方法，再將4名女生作為一個整體和4名男生排列，有種方法，故4名女生相鄰的站法種數(shù)為.故選A.6.A 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑，所以，圓內(nèi)切，所以與圓都相切的直線只有1條.故選A.7.C 設(shè)10名學(xué)生中有名不合格，從中抽取3人，其中不合格人數(shù)為，由，得，化簡得，解得，即本次測試的不合格率為.故選C.8.D 由題意可得，所以，又，所以，又，所以，化簡，得，即，解得，又，所以.故選D.9.ABD 由題意知，所以，故A正確；，令，得，所以，故B正確；令，得，令，得，所以，故C錯誤；二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，所以的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，偶數(shù)次冪的系數(shù)均為正數(shù)，即為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，令，得，所以，故D正確.故選ABD.10.ACD 因?yàn)椋蔄正確，由A知，故B錯誤；因?yàn)锳，B獨(dú)立，則，則，故C正確；因?yàn)?，互斥，，所以，所?，故D正確.故選ACD.11.ABD 對于A，取上一點(diǎn)，使得，連接EH，F(xiàn)H，HB，易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以，所以四邊形AEGF為平行四邊形，因?yàn)?，由空間向量基本定理可知，所以在四邊形AEGF內(nèi)（或邊界上），故A正確；對于B，當(dāng)1時，，所以，即在線段EG上，點(diǎn)的軌跡長度為線段EG的長，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，易得點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，得，則，則，所以不成立，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，分別取AF，EG的中點(diǎn)M，N，連接MN，P在線段MN上，，所以由，可得，平面ABCD的一個法向量為.設(shè)AP與平面ABCD所成的角為，所以，設(shè)，因?yàn)?，則，則代入上式并化簡可得，當(dāng)時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為，D正確.故選ABD.12.32 依題意，，由，得，解得，所以.13. 因?yàn)?，所以，所以，所?14. 拋物線的準(zhǔn)線為，所以，設(shè)直線的方程為，，由得，所以，即，，因?yàn)?，所以，得，所以或所?15.解：（1）由圓的一般方程性質(zhì)可知：，解得，所以當(dāng)時，方程表示圓．…………5分（2）由，得，所以該圓圓心為，半徑.…………………7分所以圓心到直線的距離，………10分根據(jù)弦長公式可知：，即，解得.…………13分16.解：（1）由題意得如下列聯(lián)表：單次消費(fèi)超過100元單次消費(fèi)不超過100元合計(jì)女性152540男性201030合計(jì)353570…………………2分由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，故有的把握認(rèn)為顧客單次消費(fèi)是否超過100元與性別有關(guān)聯(lián).…………………6分（2）在“單次消費(fèi)超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取的7人中，女性有人，…………………7分所以的可能取值為0，1，2，3，則，………9分，………11分故的分布列為0123………………13分所以．……………………15分17．（1）證明：因?yàn)槭荘A的中點(diǎn)，所以，………………1分因?yàn)槠矫鍹CD，所以平面………3分又平面PAB，所以平面平面MCD．…………4分（2）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍼AD，所以平面PAD，又平面PAD，所以.………………………5分因?yàn)?，所以，所以…………?分所以CD，AD，PD兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，.則，………………………8分設(shè)是平面PBC的法向量，則即令，得，所以.………………10分由（1）知平面MCD，所以平面MCD的一個法向量為.……11分因?yàn)椋?3分所以平面PBC與平面MCD夾角的余弦值為.……………………15分18.解：設(shè)摸球一次，“取到甲袋”為事件，“取到乙袋”為事件，“摸出白球”為事件，“摸出紅球”為事件.（1）.所以摸球一次就試驗(yàn)結(jié)束的概率為.……………………4分（2）①因?yàn)槭菍α⑹录?，……………?分所以，所以選到的袋子為乙袋的概率為.…………10分②由①，得，……………………12分所以方案一中取到白球的概率為，……………14分方案二中取到白球的概率為，…………16分因?yàn)?，所以方案二中取到白球的概率更大，即選擇方案二使得第二次摸球就試驗(yàn)結(jié)束的概率更大.…………………17分19.解：（1）由題意知……………2分解得，…………………………3分所以的方程為.………………4分（2）由題意可知，，設(shè)，因?yàn)橹本€PA交于另外一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），所以，又雙曲線的漸近線為，故，解得，所以直線，即，由得，所以，解得，……………6分所以.…………………7分①