1.1等腰三角形-第4課時-等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質北師大版八年級數學下冊三角形的證明《目錄》1新課導入2新知講解新課導入《01》觀察與思考觀察下面圖片，說說它們都是由什么圖形組成的？思考：上節課我們學習了等腰三角形的判定定理，那等邊三角形又如何判定呢？一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形?

由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于60°

的等腰三角形是等邊三角形.你能證明這些結論嗎？等邊三角形的判定ABC已知：如圖，∠A=∠B=∠C.求證：AB=AC=BC.∵∠A

=∠B，∴AC=BC.∵∠B

=∠C，∴AB=AC.∴AB=AC=BC.證明：定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.定理2：有一個角是60°

的等腰三角形是等邊三角形.ABC已知：若

AB＝AC，∠A＝60°.求證：AB＝AC＝BC.證明：∵AB=AC，∠A=60°，∴∠B=∠C=

(180°－∠A)=60°.∴∠A=∠B=∠C.∴AB=AC=BC.證明完整嗎？是不是還有另一種情形呢？證明：∵AB=AC，∠B=60°(已知)，∴∠C=∠B=60°(等邊對等角).∴∠A=60°(三角形內角和定理).∴∠A=∠B=∠C=60°.

∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等

邊三角形).已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°．求證：△ABC是等邊三角形．第二種情況：有一個底角是60°.ACB60°【驗證】等腰三角形(含等邊三角形)性質判定等邊對等角等角對等邊“三線合一”，即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形等邊三角形三個內角都相等，且每個角都是60°三個角都相等的三角形是等邊三角形歸納總結

例1

如圖，在等邊三角形ABC中，DE∥BC，求證：△ADE是等邊三角形.ACBDE證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等邊三角形.想一想：本題還有其他證法嗎？典例精析變式：上題中，若將條件

DE∥BC改為

AD＝AE，

△ADE

還是等邊三角形嗎?試說明理由.ACBDE已知：如圖，在等邊三角形ABC中，AD＝AE.求證：△ADE是等邊三角形.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.∵

AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形.∴△ADE是等邊三角形.

又∵∠A＝60°.操作：用兩個含有30°角的三角板，

你能拼成一個怎樣的三角形？30°30°你能說出所拼成的三角形的形狀嗎？猜想：在直角三角形中，30°角所對的直角邊與斜邊有怎樣的大小關系？30°30°30°合作探究30°30°結論：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.含30°角的直角三角形的性質已知：如圖，在

△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°.求證：

BC=AB.A30°BC分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題轉化“線段相等”問題猜想驗證30°30°新知講解《02》∵∠ACB＝90°，(已知)∴∠ACD＝90°.(平角的定義)在△ABC與△ADC中，

BC＝DC，(作圖)∠ACB＝∠ACD，(已證)

AC＝AC，(公共邊)∴△ABC≌△ADC(SAS).

∴AD＝AB.30°ABCD證明：延長

BC至

D，使

CD＝BC，連接

AD.∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，(已知)∴∠B＝60°．∴△ABD是等邊三角形．(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)∴BC＝

BD＝

AB．(等式性質)30°ABCD定理：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．幾何語言：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．∴

BC

＝

AB．(在直角三角形中，30°角所對的直

角邊等于斜邊的一半)ABC30°拓展推論：BC∶AC∶AB＝歸納總結CBAD例2如圖，在△ABC中，已知AB＝

AC＝

2a，∠B＝∠ACB＝15°，

CD是腰

AB上的高，求

CD的長.解：∵∠B＝∠ACB＝15°，(已知)∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∵∠ADC＝90°，∴CD＝

AC＝a.(在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，

那么它所對的直角邊等于斜邊的一半)證明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴

BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°．

∴BD=∴BD=例3

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于

D．求證：BD＝DACB30°1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，則

△ABC的周長為_____cm.92.在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3，則

AC=_____，BC=______．ABC330°63.已知：如圖，AB

=

BC，∠CDE

=120°，DF∥

BA，

且

DF

平分∠CDE.求證：△ABC

是等邊三角形.證明：∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE＝120°，DF平分∠CDE，∴∠FDC＝∠ABC＝

60°.∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF＝∠FDC＝60°.又∵DF∥BA，證明：延長

BC至

D，使

CD=BC，連接

AD.∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．又∵

AC=AC．∴△ACB≌△ACD(SAS)．∴

AB=AD．∵

CD=BC，∴

BC=

BD．4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．

求證：∠BAC=30°．CBAD又∵

BC=AB，∴

AB=BD．∴

AB=AD=BD，即

△ABD是等邊三角形．∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．CBAD1.等邊三角形的判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形．有一個角是60°的等腰三