宜川中學2024學年第一學期高二年級數學期末2025.1一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1．雙曲線的漸近線方程為．

2．已知函數，則．

3．已知等差數列滿足，則的值為．

4．圓與圓的相交弦所在直線方程為．

5．已知的直觀圖恰好是直角邊長為1的等腰直角三角形，那么的面積為．

6．在正方體中，與直線所成角的大小為的面對角線共有條.

7．一個圓柱被與其底面所成角是的平面所截，截面是一個橢圓，則該橢圓的離心率等于．

8．如圖，已知一個半徑為2的半圓面剪去了一個等腰三角形，將剩余陰影部分繞著直徑所在直線旋轉一周得到一個幾何體，則該幾何體的體積為．9．若是三個不共面的非零向量，，，若向量共面，則．

10．已知函數有三個單調區間，則實數的取值范圍．

11．已知數列為等差數列，且，設，，當的前項和最小時，的值組成的集合為．

12．已知正三棱錐，側棱長為5，底面邊長為8，若空間中的一個動點滿足，則的取值范圍是．二、選擇題（本大題滿分18分，第13，14題每題4分，第題每題5分）

13．已知點是平行六面體的面對角線上的動點，則下列直線中與恒為異面直線的是（）.

A．B．C．D．

14．已知是平面的一條斜線，直線，則（）.

A．存在唯一一條直線，使得；B．存在無數多條直線，使得；

C．存在唯一一條直線，使得；D．存在無數多條直線，使得

15．已知數列為無窮等比數列，若，則的取值范圍為（）.

A．B．C．D．

16．在直角坐標系中，一個矩形的四個頂點都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側面積為（）.

A．B．C．D．三、解答題（本大題滿分78分，第17，18，19題每題14分，第20，21題每題18分）

17．在等差數列中，，且構成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）令，記為數列的前項和，若，求正整數的最小值．

18．如圖所示，正三棱錐的側面是邊長為2的正三角形，分別是線段的中點，若平面交于點.

（1）求多面體的體積；

（2）求證：四邊形是正方形．19．如圖，在長方體中，點在棱上移動．

（1）當點在棱的中點時，證明：平面平面；

（2）當為何值時，平面與平面所成的銳二面角為．20．已知曲線由拋物線及拋物線組成，若是曲線上關于軸對稱的兩點，四點不共線，其中點在第一象限．

（1）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）求四邊形周長的最小值；

（3）若點橫坐標小于4，求四邊形面積的最大值．21．函數滿足：對任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數在上的支撐線．

（1）指出下列哪些函數在定義域上存在支撐線：①；②；

（2）動點在函數圖像上，直線是在定義域上的支撐線，求點到直線的距離最小值；

（3）直線是函數在上的支撐線，求實數的取值范圍．

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.二、選擇題13.C14.B15.B16.A三．解答題17．在等差數列中，，且構成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）令，記為數列的前項和，若，求正整數的最小值．【答案】（1）（2）7【解析】（1）在等差數列中，，設公差為，由構成等比數列，可得，即有，得

因為當時，，不滿足題意，舍去，所以．

（2）由（1）得，則遞增，

由可得時，正整數的最小值為7.18．如圖所示，正三棱錐的側面是邊長為2的正三角形，分別是線段的中點，若平面交于點.

（1）求多面體的體積；

（2）求證：四邊形是正方形．【答案】（1）（2）見解析【解析】（1）由正三棱錐的側面是邊長為2的正三角形，得正三棱錐為正四面體，取中點，連接，取的中點，底面中心為，，則，

所以多面體的體積

（2）先證明四邊形是平行四邊形，又，于是為菱形，取的中點，而，平面，則平面，又平面，因此，于是，所以四邊形是正方形．

19．如圖，在長方體中，點在棱上移動．

（1）當點在棱的中點時，證明：平面平面；

（2）當為何值時，平面與平面所成的銳二面角為．【答案】（1）見解析（2）【解析】（1）證明平面，再證明平面平面；

（2）如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，設時，平面與平面所成角為，則，由圖知，平面法向量為，

設平面的法向量為，則，令，則，因為平面與平面所成角為，所以，解得或（舍）．

所以當為時，平面與平面所成角為．

20．已知曲線由拋物線及拋物線組成，若是曲線上關于軸對稱的兩點，四點不共線，其中點在第一象限．

（1）寫出拋物線的焦點坐標和準線方程；

（2）求四邊形周長的最小值；

（3）若點橫坐標小于4，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）焦點，準線方程為（2）（3）8【解析】（1）拋物線，即，可知，即，且焦點在軸正半軸上，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為．

（2）由（1）可知：拋物線的焦點坐標為，設，則，

由題意可知：四邊形為等腰梯形，則四邊形周長

當且僅當三點共線時，等號成立，所以四邊形周長的最小值為．

（3）由題意可知：，且，則，梯形的高為，

可得四邊形的面積為，且，構建，則，

令，解得；令，解得或；

可知在內單調遞增，在內單調遞減，且，可知的最大值為，所以四邊形的面積的最大值為8．21．函數滿足：對任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數在上的支撐線．

（1）指出下列哪些函數在定義域上存在支撐線：①；②；

（2）動點在函數圖像上，直線是在定義域上的支撐線，求點到直線的距離最小值；

（3）直線是函數在上的支撐線，求實數的取值范圍．【答案】（1）無支撐線；是的一條支撐線；（2）（3）【解析】（1）因為或在不能恒成立，所以無支撐線；設函數恒成立．即是的一條支撐線；

（2）直線是在定義域上的支撐線

若，則時，時，，不合題意．

所以，因為直線是在定義域上的支撐線，所以恒成立．令所以.由；由．所以在上遞增，在上遞減.

所以的最大值為．

又易證在上遞減，在上遞增．且，所以.

設，所以在處的切線斜率為，

所