PAGE1-其次章隨機變量及其分布2.2二項分布及其應用2.2.2事務的相互獨立性A級基礎鞏固一、選擇題1．如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統．當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統正常工作的概率為()A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576解析：可知K、A1、A2三類元件正常工作相互獨立．所以當A1，A2至少有一個正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統正常工作的概率為PK·P＝0.9×0.96＝0.864.答案：B2．一件產品要經過2道獨立的加工程序，第一道工序的次品率為a，其次道工序的次品率為b，則產品的正品率為()A．1－a－b B．1－abC．(1－a)(1－b) D．1－(1－a)(1－b)解析：設A表示“第一道工序的產品為正品”，B表示“其次道工序的產品為正品”，則P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－a)(1－b)．答案：C3．同時轉動如圖所示的兩個轉盤，記轉盤甲得到的數為x，轉盤乙得到的數為y(若指針停在邊界上則重新轉)，x，y構成數對(x，y)，則全部數對(x，y)中滿意xy＝4的概率為()甲乙A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8) C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：滿意xy＝4的全部可能如下：x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.所以所求事務的概率P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16).答案：C4．在一段時間內，甲去某地的概率是eq\f(1,4)，乙去此地的概率是eq\f(1,5)，假定兩人的行動相互之間沒有影響，那么在這段時間內，至少有1人去此地的概率是()A.eq\f(3,20) B.eq\f(1,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(9,20)解析：法一考查相互獨立事務的概率公式．設“甲去某地”為事務A，“乙去某地”為事務B，則至少1人去此地的概率為P＝P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)＝eq\f(1,4)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).法二考查對立事務：P＝1－P()P()＝1－eq\f(3,4)×eq\f(4,5)＝eq\f(2,5).答案：C5．某大街在甲、乙、丙三處設有紅、綠燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則汽車在這三處因遇紅燈而停車一次的概率為()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,6) C.eq\f(1,3) D.eq\f(7,18)解析：設汽車分別在甲、乙、丙三處通行為事務A，B，C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(2,3)，停車一次即為事務BC＋AC＋AB的發生，故概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(7,18).答案：D二、填空題6．在甲盒內的200個螺桿中有160個是A型，在乙盒內的240個螺母中有180個是A型．若從甲、乙兩盒內各取一個，則能配成A型螺栓的概率為________．解析：從甲盒內取一個A型螺桿記為事務M，從乙盒內取一個A型螺母記為事務N，因事務M，N相互獨立，則能配成A型螺栓(即一個A型螺桿與一個A型螺母)的概率為P(MN)＝P(M)P(N)＝eq\f(160,200)×eq\f(180,240)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．已知A，B，C相互獨立，假如P(AB)＝eq\f(1,6)，P(C)＝eq\f(1,8)，P(AB)＝eq\f(1,8)，則P(AB)＝________．解析：依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（AB）＝\f(1,6)，,P（BC）＝\f(1,8)，,P（ABC）＝\f(1,8)，))解得P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2).所以P(B)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．在某道路A，B，C三處設有交通燈，這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為________．解析：由題意可知，每個交通燈開放綠燈的概率分別為eq\f(5,12)，eq\f(7,12)，eq\f(3,4).在這個道路上勻速行駛，則三處都不停車的概率為eq\f(5,12)×eq\f(7,12)×eq\f(3,4)＝eq\f(35,192).答案：eq\f(35,192)三、解答題9．已知電路中有4個開關，每個開關獨立工作，且閉合的概率為eq\f(1,2)，求燈亮的概率．解：因為A，B斷開且C，D至少有一個斷開時，線路才斷開，導致燈不亮，P＝P()[1－P(CD)]＝P()P()[1－P(CD)]＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\f(3,16).所以燈亮的概率為1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).10．在社會主義新農村建設中，某市確定在一個鄉鎮投資農產品加工，綠色蔬菜種植和水果種植三個項目，據預料，三個項目勝利的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(5,6)，eq\f(2,3)，且三個項目是否勝利相互獨立．(1)求恰有兩個項目勝利的概率；(2)求至少有一個項目勝利的概率．解：(1)只有農產品加工和綠色蔬菜種植兩個項目勝利的概率為eq\f(4,5)×eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(2,9)，只有農產品加工和水果種植兩個項目勝利的概率為eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\f(2,3)＝eq\f(4,45)，只有綠色蔬菜種植和水果種植兩個項目勝利的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(5,6)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)，所以恰有兩個項目勝利的概率為eq\f(2,9)＋eq\f(4,45)＋eq\f(1,9)＝eq\f(19,45).(2)三個項目全部失敗的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,6)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,90)，所以至少有一個項目勝利的概率為1－eq\f(1,90)＝eq\f(89,90).B級實力提升1．從甲袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,3)，從乙袋中摸出一個紅球的概率是eq\f(1,2)，從兩袋各摸出一個球，則eq\f(2,3)等于()A．2個球不都是紅球的概率B．2個球都是紅球的概率C．至少有1個紅球的概率D．2個球中恰有1個紅球的概率解析：分別記從甲、乙袋中摸出一個紅球為事務A、B，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，由于A、B相互獨立，所以1－P(eq\o(\s\up6(—),\s\do5(A)))P(eq\o(\s\up6(—),\s\do5(B)))＝1－eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).依據互斥事務可知C正確．答案：C2．有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍色、黑色各兩瓶，某同學從中隨機任取出兩瓶，若取出的兩瓶中有一瓶是藍色，則另一瓶是紅色或黑色的概率是________．解析：設事務A為“其中一瓶是藍色”，事務B為“另一瓶是紅色”，事務C為“另一瓶是黑色”，事務D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C，且B與C互斥，又P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,5)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,5)，P(AC)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＋eq\f(P（AC）,P（A）)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)3．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租用時間不超過兩小時免費，超過兩小時的部分每小時收費2元(不足一小時的部分按一小時計算)．有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)，超過兩小時但不超過三小時還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，兩人租車時間都不會超過四小時．(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率．(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列．解：(1)由題意，得甲、乙兩人超過三小時但不超過四小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4).記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事務A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙兩人所付租車費用相同的概率為eq\f(5,16).(2)由題意可得ξ的可能取值為0，2，4，6，8.P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,4