第1章三角形的證明章末重難點突破訓練卷總結參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2020秋?無錫期末）在等腰三角形中，有一個角是50°，它的一條腰上的高與底邊的夾角是（）A．25° B．25°或40° C．25°或35° D．40°【分析】根據題意先畫出圖形，再分兩種情況：50°為底角和50°為頂角求出答案．【解答】解：當50°為底角時，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；當50°為頂角時，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質以及三角形的內角和定理，是基礎知識要熟練掌握．注意分類討論思想的應用．2．（3分）（2020秋?蕭山區期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據直角三角形的判定對各個條件進行分析，即可得到答案．【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，設∠A＝5x，則∠B＝3x，∠C＝2x，∴5x+2x+3x＝180，解得：x＝18°，∴∠5＝18°×5＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，∴∠C＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形；④∵3∠C＝2∠B＝∠A，∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠∴∠A＝（108011∴△ABC為鈍角三角形．∴能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了直角三角形的判定，三角形內角和定理，掌握有一個內角為90°的三角形是直角三角形是解決問題的關鍵．3．（3分）（2020秋?越城區期中）用反證法證明命題“一個三角形中至多有一個角是直角”，應先假設這個三角形中（）A．至少有兩個角是直角 B．沒有直角 C．至少有一個角是直角 D．有一個角是鈍角，一個角是直角【分析】熟記反證法的步驟，然后進行判斷．【解答】解：用反證法證明“一個三角形中不能有兩個角是直角”，應先假設這個三角形中有兩個角是直角．故選：A．【點睛】此題考查反證法，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設結論不成立；（2）從假設出發推出矛盾；（3）假設不成立，則結論成立．在假設結論不成立時要注意考慮結論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．4．（3分）（2020春?錦江區期末）如圖是5×5的正方形方格圖，點A，B在小方格的頂點上，要在小方格的頂點確定一點C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，則方格圖中滿足條件的點C的個數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據等腰三角形的判定找出符合的所有點即可．【解答】解：如圖所示：C在C1，C2，C3，C4位置上時，AC＝BC；C在C5，C6位置上時，AB＝BC；即滿足點C的個數是6，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，能找出符合的所有點是解此題的關鍵，注意：有兩邊相等的三角形是等腰三角形．5．（3分）（2020秋?無錫期末）下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等 C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【分析】根據全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對4個選項逐個分析，然后即可得出答案．【解答】解：A、兩邊分別相等，但是不一定是對應邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；B、一條邊和一銳角對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對應相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關鍵．6．（3分）（2020秋?盤龍區期末）如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于12AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．已知△CDE的面積比△CDB的面積小5，則△ADEA．5 B．4 C．3 D．2【分析】根據題意得到MN是線段AB的垂直平分線，進而得到點D是AB的中點，根據三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：由尺規作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，∴點D是AB的中點，∴S△ADC＝S△BDC，∵S△BDC﹣S△CDE＝5，∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面積為5，故選：A．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．7．（3分）（2020秋?肇州縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC邊上的點，DA＝DE，DB＝BE＝EC．若∠ABC＝130°，則∠C的度數為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】可設∠C＝x，根據等腰三角形的性質可得∠EBC＝x，則∠DBE＝130°﹣x，根據等腰三角形的性質可得∠EDB＝25°+12x，再根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質可得∠A＝12.5°+【解答】解：設∠C＝x，根據等腰三角形的性質得∠EBC＝x，則∠DBE＝130°﹣x，根據等腰三角形的性質得∠EDB＝25°+12x，根據三角形外角的性質和等腰三角形的性質得∠A＝12.5°+依題意有12.5°+14x+解得x＝30°．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，得到方程是解本題的關鍵．8．（3分）如圖，△ABC的外角的平分線BD與CE相交于點P，若點P到AC的距離為3，則點P到AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】過點P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PF＝PG＝PH，從而得解．【解答】解：如圖，過點P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分線BD與∠ACB的外角平分線CE相交于點P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故選：C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質是解題的關鍵．9．（3分）（2020春?蘭州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是∠BAD的角平分線，DF∥AB交AE的延長線于點F，則DF的長是（）A．2 B．4 C．5 D．5【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，求出∠DAE＝∠EAB＝30°，根據平行線的性質求出∠F＝∠BAE＝30°，從而得到∠DAE＝∠F，根據等角對等邊求出AD＝DF，求出∠B＝30°，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答．【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD=12∠BAC∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE＝∠EAB=12∠BAD∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°，∴∠DAE＝∠F＝30°，∴AD＝DF，∵∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AD=12AB∴DF＝5，故選：C．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，掌握直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質是解題的關鍵．10．（3分）（2020春?牡丹區期末）如圖，已知∠MON＝30°，點A1，A2，A3，…在射線ON上，點B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均為等邊三角形．若OB1＝1，則△A8B8B9的邊長為（）A．64 B．128 C．132 D．256【分析】根據等腰三角形的性質以及平行線的性質得出B1A1∥A2B2∥A3B3，以及a2＝2a1，得出a3＝4a1＝4，a4＝8a1＝8，a5＝16a1…進而得出答案．【解答】解：∵△A1B1B2是等邊三角形，∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，∵∠O＝30°，∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，∴∠O＝∠OA1B1＝30°，∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°∴A2B2＝2A1B2＝2，同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，∴△A8B8B9的邊長＝27＝128，故選：B．【點睛】本題考查等邊三角形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會探究規律的方法，屬于中考?？碱}型．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2020秋?順義區期末）命題“到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”，它的逆命題是線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等．【分析】將命題的條件和結論相互轉換，可得到互逆命題．【解答】解：逆命題是：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等，故答案為線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等．【點睛】本題考查命題與證明，對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題．12．（3分）（2019春?羅湖區期中）下列語句：①有一邊對應相等的兩個直角三角形全等；②一般三角形具有的性質，直角三角形都具有；③有兩邊相等的兩直角三角形全等；④兩直角三角形的斜邊為5cm，一條直角邊都為3cm，則這兩個直角三角形必全等．其中正確的有2個．【分析】根據直角三角形的性質以及全等三角形的判定定理HL、SSS、SAS、ASA、AAS等作出判定即可．【解答】解：①直角三角形兩直角對應相等，有一邊對應相等的兩個直角三角形只具備一邊與一角對應相等，所以有一邊對應相等的兩個直角三角形不一定全等；②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性質，直角三角形都具有；③如果一個直角三角形的兩直角邊與另一個直角三角形的一條直角邊與斜邊分別相等，那么這兩個直角三角形不全等，所以有兩邊相等的兩直角三角形不一定全等；④兩直角三角形的斜邊為5cm，一條直角邊都為3cm，根據HL可得這兩個直角三角形必全等．所以正確的結論是②④．故答案為2．【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．13．（3分）（2020秋?南關區校級期末）如圖，△PBC的面積為4cm2，AP垂直∠B的平分線BP于點P，則△ABC的面積為8cm2．【分析】延長AP交BC于點Q，則由條件可知S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，則陰影部分面積為△ABC的一半，可得出答案．【解答】解：如圖，延長AP交BC于點Q，∵AP垂直∠ABC的平分線BP于P，∴AP＝QP，∴S△ABP＝S△BQP，S△APC＝S△PQC，∴S△ABC＝2S陰影＝8（cm2），故答案為：8．【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，垂直平分線的定義及三角形的面積，由條件得出陰影部分面積為△ABC的一半是解題的關鍵．14．（3分）（2020春?浦東新區期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，MN經過點O，且MN∥BC，MN分別交AB、AC于點M、N，則△AMN的周長是15．【分析】由在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點O，過點O作MN∥BC，易證得△BOM與△CON是等腰三角形，繼而可得△AMN的周長等于AB+AC．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周長是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案為：15．【點睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質，角平分線的性質，平行線的判定，三角形周長的求法，等量代換等知識點．15．（3分）（2020秋?沙河口區期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于點H，∠CAD＝30°，若AC＝4，則點H到BC的距離是2．【分析】根據含0°角的直角三角形的性質可求解CD的長，再利用AAS證明△BDH≌△ADC，可得HD＝CD，進而求解．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD=12∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，∠BHD=∠C∠BDH=∠ADC∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故點H到BC的距離是2．故答案為2．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，含30°角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，證明△BDH≌△ADC是解題的關鍵．16．（3分）（2019春?平陰縣期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正確結論有①②③⑤（填序號）．【分析】①由于△ABC和△CDE是等邊三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，從而證出△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，由∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據∠PCQ＝60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根據內錯角相等，兩直線平行，可知②正確；③根據②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正確；④根據∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④錯誤；⑤由BC∥DE，得到∠CBE＝∠BED，由∠CBE＝∠DAE，得到∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，進而得出∠DOE＝60°，故⑤正確．【解答】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD與△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，①正確，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，在△CQB和△CPA中，∠CBE=∠DACAC=BC∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP＝CQ，又∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ為等邊三角形，∴∠PQC＝∠DCE＝60°，∴PQ∥AE，②正確，∵△CQB≌△CPA，∴AP＝BQ③正確，∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∵∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④錯誤；∵BC∥DE，∴∠CBE＝∠BED，∵∠CBE＝∠DAE，∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，同理可得出∠AOE＝120°，∴∠DOE＝60°，故⑤正確；∴正確結論有：①②③⑤；故答案為：①②③⑤．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．三．解答題（共6小題，滿分52分）17．（8分）（2020秋?集賢縣期中）如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE．求證：BC＝BE．【分析】根據“HL”證Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD＝EF，再根據“HL”證Rt△ABD≌Rt△ABF，∴BD＝BF，∴BD﹣CD＝BF﹣EF，即BC＝BE．【解答】證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD＝EF．∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD＝BF．∴BD﹣CD＝BF﹣EF．即BC＝BE．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的條件證明三角形全等是常見的方法，注意掌握．18．（8分）（2020秋?朝陽區校級期中）我們曾學過定理“在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，其逆命題也是正確的，即在直角三角形中，如果一直角邊等于斜邊的一半，那么該直角邊所對的角為30°．”（1）請你證明上述命題，寫出過程；已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC=12AB，求證：∠證明：（2）解決下面的問題：如圖1，A、B為格點，以A為圓心，AB長為半徑畫弧交直線l于點C，則∠CAB＝30°；（3）如圖2，D、F為格點，按要求在網格中作圖（保留作圖痕跡）．作Rt△DEF，使點E在直線上，并且∠DEF＝90°，∠EDF＝15°．【分析】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等邊三角形的判定與性質即可得出結論；（2）作CF⊥AB于F．由作圖可知：AC＝AB＝2CF，即可推出∠CAB＝30°．（3）以D為圓心，DF長為半徑畫弧交直線a于點G，連接FG交直線l于E，連接DE，△DEF即為所求．【解答】（1）證明：作Rt△ABC的斜邊上的中線CD，如圖所示：則CD=12AB＝∵AC=12∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠A＝60°∴∠B＝90°﹣∠A＝30°；（2）解：作CF⊥AB于F，如圖1所示：由作圖可知：AC＝AB＝2CF，∴∠CAB＝30°，故答案為：30；（3）解：如圖2所示，△DEF即為所求．【點睛】本題考查了命題與定理、含30°角的直角三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及作圖等知識；熟練掌握含30°角的直角三角形的判定與性質是解題的關鍵．19．（8分）（2019秋?百色期末）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的長．【分析】（1）連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據角平分線的性質，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據線段垂直平分線的性質，可得BD＝CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE＝CF；（2）首先證得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后設BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．【解答】（1）證明：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，設BE＝x，則CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．【點睛】此題考查了角平分線的性質、線段垂直平分線的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是準確作出輔助線，利用方程思想與數形結合思想求解．20．（8分）（2020春?敘州區期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E為BC邊上一點，以E為頂點作∠AEF，∠AEF的一邊交AC于點F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，則∠BAC＝100°；（2）判斷∠BAE與∠CEF的大小關系，并說明理由；（3）當△AEF為直角三角形時，求∠AEF與∠BAE的數量關系．【分析】（1）根據等腰三角形的性質解答即可；（2）根據三角形內角與外角的關系可得∠B+∠BAE＝∠AEC＝∠AEF+∠FEC，再由條件∠AEF＝∠B可得∠BAE＝∠FEC；（3）分別根據當∠AFE＝90°時，以及當∠EAF＝90°時利用外角的性質得出即可．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝40°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案為：100°．（2）∠BAE＝∠FEC；理由如下：∵∠B+∠BAE＝∠AEC，∠AEF＝∠B，∴∠BAE＝∠FEC；（3）如圖1，當∠AFE＝90°時，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠CEF，∵∠C+∠CEF＝90°，∴∠BAE+∠AEF＝90°，即∠AEF與∠BAE的數量關系是互余；如圖2，當∠EAF＝90°時，∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠1，∠B＝∠AEF＝∠C，∴∠BAE＝∠1，∵∠C+∠1+∠AEF＝90°，∴2∠AEF+∠1＝90°，即2∠AEF與∠BAE的數量關系是互余．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質以及外角的性質，此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應用．21．（10分）（2020秋?大武口區期末）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度是1厘米/秒的速度，點N的速度是2厘米/秒，當點N第一次到達B點時，M、N同時停止運動．（1）M、N同時運動幾秒后，M、N兩點重合？（2）M、N同時運動幾秒后，可得等邊三角形△AMN？（3）M、N在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰△AMN，如果存在，請求出此時M、N運動的時間？【分析】（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多10cm，列出方程求解即可；（2）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等邊三角形；（3）首先假設△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，設出運動時間，表示出CM，NB的長，列出方程，可解出未知數的值．【解答】解：（1）設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，x×1+10＝2x，解得：x＝10；（2）設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t＝10﹣2t，解得t=10∴點M、N運動103秒后，可得到等邊三角形△AMN（3）當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以