2024-2025學年吉林省吉林市高一上學期期中考試數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若全集，則（

）A． B． C． D．2．下列各命題中，真命題是（

）A． B．C． D．3．“”是“函數在上單調遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園（陰影部分），則其邊長x應為（

）A．10m B．15m C．20m D．25m5．已知奇函數，當時，（m為常數），則（

）A．1 B．2 C． D．6．向高為H的水瓶內注水，一直到注滿為止，如果注水量V與水深h的函數圖象如圖所示，那么水瓶的形狀大致是（

）A． B． C． D．7．已知實數a，b，滿足恒成立，則的最小值為（

）A．2 B．0 C．1 D．48．設函數的定義域為，滿足，且當時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知，下列說法正確的是（

）A． B． C． D．10．已知函數圖象經過點，則下列結論正確的有（

）A．為偶函數B．為單調遞增函數C．若，則D．若，則11．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號．設，用表示不超過的最大整數，也被稱為“高斯函數”，例如：．已知函數，下列說法中正確的是（

）A．是偶函數B．在上的值域是C．在上是增函數D．三、填空題（本大題共3小題）12．計算：.13．已知函數（且）的圖象恒過定點，則.14．已知函數的值域為，則實數的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知冪函數，且的圖像關于原點對稱．(1)求的解析式；(2)若，求實數的取值范圍．16．已知集合是函數的定義域，集合是不等式（）的解集，：，.(1)求集合，集合；(2)若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.17．一片森林原來面積為2021萬畝，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐的面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態環境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.（1）求每年砍伐面積的百分比；（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？（3）今后最多還能砍伐多少年？18．已知函數(且)是定義在上的奇函數.(1)求實數的值；(2)若且關于的不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍19．“函數的圖像關于點對稱”的充要條件是“對于函數定義域內的任意x，都有”．若函數的圖像關于點對稱，且當時，．(1)求的值；(2)設函數．（ⅰ）證明：函數的圖像關于點對稱；（ⅱ）若對任意，總存在，使得成立，求實數a的取值范圍．

答案1．【正確答案】C【詳解】由，得，而，所以.故選：C2．【正確答案】C【詳解】對于選項A,,即或,故A不正確；對于選項B,當時,,故B不正確；對于選項D,為無理數,故D不正確；對于選項C,當時,,故C為真命題,故選C3．【正確答案】A【詳解】因為函數的圖象開口向上，對稱軸為，若函數在上單調遞減，等價于，顯然是的真子集，所以“”是“函數在上單調遞減”的充分不必要條件.故選：A.4．【正確答案】C【詳解】設矩形花園的寬為ym，則，即，矩形花園的面積，其中，故當m時，面積最大.故選：C5．【正確答案】C【詳解】依題意是奇函數，由于時，，所以，所以時，，所以.故選：C6．【正確答案】B【詳解】解：當容器是圓柱時，容積V=πr2h，r不變，V是h的正比例函數，其圖象是過原點的直線，∴選項D不滿足條件；由函數圖象可以看出，隨著高度h的增加V也增加，但隨h變大，每單位高度的增加，體積V的增加量變小，圖象上升趨勢變緩，∴容器平行于底面的截面半徑由下到上逐漸變小，∴A、C不滿足條件，而B滿足條件.故選：B．7．【正確答案】A【詳解】，所以，因為函數單調遞增，所以，即.故選：A．8．【正確答案】C【詳解】因為函數的定義域為，滿足，且當時，，當，時，，則，當，時，，則，當，時，，則，作出函數的大致圖象，對任意，都有，設的最大值為，則，所以，解得或，結合圖象知m的最大值為，即的取值范圍是.故選：C.9．【正確答案】ABD【詳解】A選項，因為，所以，A正確；B選項，因為在R上單調遞增，故，B正確；C選項，，不等式兩邊同時乘以得，，C錯誤；D選項，因為，所以，不等式兩邊同除以得，，D正確.故選：ABD10．【正確答案】BCD【分析】根據函數圖象經過點，得到，定義域為，然后逐項判斷.【詳解】解：因為函數圖象經過點，所以，解得，則，定義域為，定義域不關于原點對稱，所以不是偶函數，易知為單調遞增函數，所以當時，，作出函數的圖象，如圖所示：

由圖象知：，所以當時，，故選BCD.11．【正確答案】ABD【詳解】對于A，的定義域為R，又，所以是偶函數，故A選項正確；對于B，，當時，，此時，，所以在的值域是，故B選項正確；對于C，因為，所以在上不是增函數，故C選項不正確；對于D，因為恒成立，所以，故D選項正確．故選：ABD12．【正確答案】【詳解】解：.故13．【正確答案】3【詳解】根據指數函數過定點的知識可知，解得，所以.14．【正確答案】【詳解】解：對于函數，則，當且僅當時取等號，且函數在上單調遞減，在上單調遞增，對于函數，令，則，且函數在定義域上單調遞減，令，解得或，所以與的兩個交點分別為、，則函數與的圖象如下所示：當時，當時，當時，顯然，此時函數的值域不為，不符合題意；當時，當時，當時，此時，即，此時函數的值域不為，不符合題意；當時，在時，即，此時的值域為，符合題意，當時，當時，當時，此時，即，此時函數的值域為，符合題意；綜上可得.故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）函數為冪函數，，解得或，當時，是偶函數，關于軸對稱，舍去；當時，是奇函數，關于原點對稱，；（2）明顯在上單調遞增，對于，有，解得或16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，∴，即，解得，∴，∵（），∴，解得或，∴.（2）∵是的充分不必要條件，∴，，令，則，∴且等號不同時成立，解得，∴實數的取值范圍是.17．【正確答案】（1）每年砍伐面積的百分比為；（2）到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）今后最多還能砍伐15年．【詳解】（1）設每年砍伐面積的百分比為，則，解得，所以每年砍伐面積的百分比為；（2）設到今年為止，該森林已砍伐了年，則，又，則，，,所以到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）設今后最多還能砍伐年，則，，，．所以今后最多還能砍伐15年.答：（1）每年砍伐面積的百分比為；（2）到今年為止，該森林已砍伐了5年；（3）今后最多還能砍伐15年．18．【正確答案】(1)2；(2).【詳解】（1）由是上的奇函數，得，解得，此時，顯然，即是奇函數，所以.（2）由（1）知，，由，得，而且，解得，函數都是上的增函數，因此在上單調遞增，不等式，依題意，，，函數在上單調遞增，則當時，，因此，解得，所以實數的取值范圍是.19．【正確答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）．【詳解】（1）因為函數的圖像關于點對稱，則，令，可得．（2）（ⅰ）證明：由，得，所以函數的圖像關于對稱．（ⅱ），則在上單調遞增，所以的值域為，設在上的值域為A，對任意，總存在，使得成立，則，當時，，函數圖象開口向上，對稱軸為，且，當，即，函數在上單調遞增，由對稱性可知，在上單調遞增，所以在上單調遞增，因為，，所以，所以