PAGE1專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數學變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運用它來解決中學代數和幾何的有關問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運算,具有計算量小的獨特優點,因此有著廣泛的應用。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.線段與角度的等量代換模型 1 34模型1.線段與角度的等量代換模型等量即相等的量，代換即替代、更換，等量代換的意思就是相等的量可以互換，更通俗點兒說，如果幾個量都等于某一個量，那么這幾個量彼此相等。那既然是相等的量，就限定了針對的對象必須是等式。等量代換的一般形式：如果a=b，b=c，那么a=c，利用的是等式的傳遞性?！暗攘看鷵Q”是在數學幾何中常用的一種推理證明方法，應用于角度或線段相等關系的推導。1）線段的等量代換圖1圖2條件：如圖，已知：EG=HF；結論：EH=GF.證明:如圖1，∵EG=HF，∴EG-HG=HF-HG，∴EH=GF.如圖2，∵EG=HF，∴EG+HG=HF+HG，∴EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：已知∠AOB=∠DOC=90°；結論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.條件2：已知∠AOB=∠DOC=90°；結論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.證明：如圖1，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB-∠BOD=∠DOC-∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOD+∠DOC=180°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.如圖2，∵∠AOB=∠DOC，∴∠AOB+∠BOD=∠DOC+∠BOD，∴∠AOD=∠BOC，即：∠1=∠2.∵∠AOB=∠DOC=90°，∴∠AOB+∠DOC=180°，∵∠BOD+∠AOC+∠AOB+∠DOC=360°，∴∠BOD+∠AOC=180°，即：∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導三個重要的性質：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補角相等；③對頂角相等；例1．（23-24·北京平谷·七年級統考期末）如圖，點C，D在線段上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據可得答案．【詳解】∵，∴，即．故選：B．【點睛】本題主要考查了線段的和差，掌握各線段之間的數量關系是解題的關鍵．例2．（23-24·重慶·七年級統考期末）如圖，B、C是線段上兩點，且，若，，那么大小為（

）A．3 B．7 C．10 D．13【答案】B【分析】根據線段的和差關系計算即可得到結論．【詳解】解：∵，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝BD∵，，∴BD＝7，∴AC＝7，故選：B．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段的和差是解題關鍵．例3．（23-24七年級上·山西·階段練習）如圖，A、B、C、D四點在同一直線上．(1)若．①比較線段的大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃健被颉埃肌保?；②若，且，則的長為cm；(2)若線段被點B、C分成了2：3：4三部分，且的中點M和的中點N之間的距離是18cm，求的長．【答案】(1)①＝，②20(2)27cm【分析】（1）①根據等量代換，計算線段的和，后判斷；②根據線段之間的關系，線段的和計算即可．（2）設未知數，運用一元一次方程的思想求解即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，所以，故答案為：=；②∵，且，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：20．（2）解：如圖：設，根據已知得：，∴，，∵，∴，所以，解得，∴．答：的長是．【點睛】本題考查了線段之間的數量關系，線段的中點的意義，線段的和，一元一次方程的解法，熟練掌握線段的關系，靈活解方程是解題的關鍵．例4．（23-24廣東廣州·七年級?？计谀┤鐖D，（1）若，則；（2）若，則．【答案】///【分析】（1）根據幾何圖形，結合等式的性質即可求解．（2）根據幾何圖形，結合等式的性質即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，即，故答案為：；（2）∵，∴，即，故答案為：，．【點睛】本題考查了幾何圖形中角度的計算，數形結合是解題的關鍵．例5．（23-24七年級上·江蘇·課后作業）如圖所示，，，則．【答案】68【分析】直接根據角的和差關系進行求解即可．【詳解】解：∵，，又，，∴．故答案為68．【點睛】本題主要考查互余角，關鍵是根據“同角的余角相等”可得角的等量關系，然后求解即可．例6．（23-24天津南開·七年校考期中）如圖所示，，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出的度數，然后根據，即可得出答案．【詳解】解：，，，故選：D．【點睛】本題考查了余角和補角的知識，解答本題的關鍵是仔細觀察圖形，求出的度數．例7．（2023春·北京·七年級月考）如圖，已知，，則與的關系是（

）A．大 B．大 C．相等 D．無法確定【答案】C【分析】由，，可知，進而可得答案．【詳解】解：∵，∴故選C．【點睛】本題考查了余角．解題的關鍵在于明確同角的余角相等．例8．（23-24廣東佛山·七年級?？茧A段練習）如圖所示，是一條直線，若，則，其理由是（

）A．內錯角相等 B．等角的補角相等 C．同角的補角相等 D．等量代換【答案】B【分析】根據等角的補角相等判定即可.【詳解】∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4(等角的補角相等)，故選：B.【點睛】本題主要考查了補角的性質：同角或等角的補角相等.例9．（23-24七年級上·湖北·期末）如圖，兩個直角，有相同的頂點O，下列結論：①；②；③若平分，則平分；④的平分線與的平分線是同一條射線．其中正確的是．（把你認為正確結論的序號都填上）【答案】①③④【分析】根據角的和差關系和角平分線的定義，對四個結論逐一進行判斷即可．【詳解】解：①∵，∴，，∴，①正確；②∵只有當，分別為和的平分線時，，②錯誤；③∵，平分，∴，則∴平分，③正確；④∵，；∴的平分線與的平分線是同一條射線，④正確；故答案為：①③④．【點睛】此題主要考查角的和差關系，角平分線的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題．例10．（23-24河北省邢臺市七年級期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的度數；(2)如圖2，當在內部時，若，求的度數；(3)當和的位置如圖3時，求的度數．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求解，，可得答案；（2）先求解，，再證明，，結合角的和差運算可得答案；（3）設，可得，證明，，再利用角的和差關系可得答案．【詳解】（1）解：∵，，重合，平分，平分．∴，，∴；（2）∵在內部，，，∴，，∵平分，平分．∴，，∴．（3）設，，∴，∵平分，平分．，∴，，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運算進行計算是解本題關鍵．例11．（23-24七年級上·河南南陽·期末）已知一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，結合圖形，試探索這兩個角之間的數量關系(1)如圖1，AB⊥DE，BC⊥EF．∠1與∠2的數量關系是：．(2)如圖2，AB⊥DE，BC⊥EF．根據小學學習過的四邊形內角和為360°可得∠1與∠2的數量關系是：．(3)由（1）（2）你得出的結論是：如果，那么．(4)若兩個角的兩邊互相垂直，且一個角比另一個角的3倍少40°，求這兩個角度數．【答案】(1)相等(2)互補(3)一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直；這兩個角相等或互補(4)20°，20°或55°，125°【分析】（1）根據直角三角形的兩銳角互余即可得解；（2）根據四邊形內角和即可求解；（3）由（1）（2）總結歸納，即可得出的結論；（4）設一個角的度數為α，則另一個角的度數為3α-40°，根據這兩角相等或互補即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，故答案為：相等；（2）解：∵AB⊥DE，BC⊥EF，∴∠1+∠2+90°+90°=360°，∴∠1+∠2=360°-90°-90°=180°，故答案為：∠1+∠2=180°；（3）解：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補，故答案為：一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別垂直；這兩個角相等或互補；（4）解：設一個角的度數為α，則另一個角的度數為3α－40°，根據題意可得，α＝3α－40°或α+3α－40°＝180°，解得α＝20°或55°，當α＝20°時，3α－40°＝20°，當α＝55°時，3α－40°＝125°，∴這兩個角的度數為20°，20°或55°，125°．【點睛】此題考查了多邊形的內角，余角的定義和垂直的定義，熟記多邊形的內角和公式是解題的關鍵，在解題的過程中，要注意分類討論．例12．（2023秋·河南鶴壁·七年級統考期末）如圖，直線，相交于點，．(1)若，，求的度數；(2)如果，那么與互相垂直嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）利用余角、對頂角的定義計算即可；（2）利用余角的定義，求得兩個角的和為即為垂直．【詳解】（1）解：，，，，，；（2），證明：，，，即，．【點睛】本題考查的是余角、垂直的定義，解題的關鍵是熟練掌握余角、垂直以及對頂角的定義，會識別余角、垂直、對頂角．1．（2023·重慶七年級課時練習）如圖，點C,D在線段AB上，若AC=DB,則（

）A．AC=CDB．CD=DBC．AD=2DBD．AD=CB【答案】D【詳解】根據題意，由AC=DB，可知AC+CD=DB+CD，即AD=BC，而其余選項均無法判斷.故選D.【點睛】注意根據等式的性質進行變形，讀懂題意是解題的關鍵．2．（2023·廣東深圳·七年級統考期末）如圖，，點、分別是線段上兩點（，），用圓規在線段上分別截取，，若點與點恰好重合，則的長度為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由作圖可得點和點分別是、的中點，再根據線段中點的定義可得答案．【詳解】解：，，點與點恰好重合，點和點分別是、的中點，，，．故選：C．【點睛】本題主要考查兩點間的距離，解題的關鍵是熟練掌握線段中點的定義．3．（2023·山東聊城·七年級統考期中）如圖，AC>BD，比較線段AB與線段CD的大小（

）A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．無法比較【答案】B【分析】由AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，則AB>CD．【詳解】∵AB＝AC+BC，CD＝BD+BC，AC>BD，∴AB>CD．故選：B．【點睛】本題考查了比較線段的長短，比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．4．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）如圖，，則圖中互補的角共有（

）

A．7對 B．6對 C．5對 D．4對【答案】A【分析】首先求出，，然后根據互補的定義找出相加等于的角即可．【詳解】解：，，，，，，綜上，互補的角共有7對，故選：A．【點睛】本題考查了角的和差計算，互補的定義，如果兩個角的和等于，就說這兩5．（2023春·河南焦作·七年級統考期中）如果，，那么與的關系是（

）A．互余 B．互補 C．相等 D．無法確定【答案】C【分析】根據題意可得和都是的余角，則根據同角的余角相等可知和的關系相等．【詳解】解：∵，∴故選C．【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，掌握相關定理是解題關鍵．6．（2023春·山西太原·七年級?？计谥校W完第二章后，同學們對“對頂角相等”進行了如圖所示的推理，其中“”處的依據為（

）

如圖，因為直線，相交于點，所以與都是平角．所以，．所以（據：）A．同角的余角相等 B．同角的補角相等 C．同位角相等 D．平角的定義【答案】B【分析】由補角的性質：同角的補角相等，即可得到答案．【詳解】解：因為直線，相交于點，所以與都是平角，所以，．由同角的補角相等，即可得到．故選：B．【點睛】本題考查了補角的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．7．（2023秋·廣東深圳·七年級?？计谀┤鐖D所示，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則、、三個角的數量關系為（）

A．B．C．D．【答案】A【分析】先根據同角的余角相等得到，即可得到結論．【詳解】解：∵將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，∴，，∴，又∵，∴，故選：A．

【點睛】本題考查同角的余角相等，其關鍵要弄清哪兩個角互余及角的和差，并利用數形結合的思想解決問題．8．（23-24七年級上·安徽黃山·期末）如圖，C，D是線段上兩點（點D在點C右側），E，F分別是線段的中點．下列結論：①；

②若，則；③；④．其中正確的結論是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】B【分析】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關鍵是掌握中點的定義，根據圖形，分析線段之間的和差關系．結合圖形，根據線段中點的定義與線段之間的和差關系逐一進行分析，即可進行解答．【詳解】解：∵E，F分別是線段的中點．，∴，∴，故①不符合題意；∵，∴，即，∴，∴，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；④∵，∴，∴，∴∴，故④不符合題意；故選：B．9．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，點A，O，B在一條直線上，OE⊥AB于點O，如果∠1與∠2互余，那么圖中相等的角有（

）A．6對 B．5對 C．4對 D．3對【答案】B【分析】根據互余的性質得出相等的角即可得出答案．【詳解】解：圖中相等的角有，共5對故選：B．【點睛】此題考查了找等角的問題，解題的關鍵是掌握互余的性質．10．（海南澄邁縣2023-2024學年七年級上學期期末數學試題）已知且，則，依據是（

）A．等角的補角相等B．補角的定義C．同角的余角相等D．同角的補角相等【答案】D【分析】本題主要考查了等角或同角的補角相等的性質，根據同角的補角相等進行解答．【詳解】∵，，∴是的補角，是的補角，∴（同角的補角相等）．故選：D11．（23-24福建省福州市七年級期中）由，得到的依據是（

）A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的補角相等 D．等角的補角相等【答案】A【分析】根據互余的概念及性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，是根據同角的余角相等，故選：．【點睛】本題主要考查余角的性質，掌握互余的概念及性質是解題的關鍵．12．（23-24云南昆明·七年級?？计谀┤鐖D，和都是直角．下列結論：①；②；③若平分，則平分；④的平分線和的平分線是同一條射線．其中正確的是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據角的計算和角平分線性質，對四個結論逐一進行計算即可．【詳解】解：①∵，∴，，∴；故①正確．②∵，故②正確；③∵，平分，∴，則，∴平分；故③正確．④∵，（已證）；∴的平分線與的平分線是同一條射線．故④正確．故選：A．【點睛】此題主要考查學生對角的計算，角平分線的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎題．13．（2023春·廣東佛山·七年級統考期末）如圖，，于點．若，則的度數是．

【答案】【分析】根據垂直的定義分別得到，，再利用同角的余角相等可得結果．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了余角的性質，解題的關鍵是掌握同角的余角相等．14．（2023春·陜西寶雞·七年級統考期中）如圖，和都是直角，則（填，，）．【答案】【分析】由和都是直角，得，，從而即可得到答案．【詳解】解：和都是直角，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了同角的余角（補角）相等，熟練掌握該知識點是解題的關鍵．15．（2023秋·山東菏澤·七年級統考期末）如圖，點在線段上，且，點E是線段的中點，若，則的長為．【答案】/24厘米【分析】根據線段中點的定義，可得，代入數據進行計算即可得解求出的長．【詳解】解：∵，點E是線段的中點，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了兩點間的距離，主要利用了線段中點的定義，比較簡單，準確識圖是解題的關鍵．16．（2023秋·山西長治·七年級統考期末）如圖，C，D是線段AB上兩點，且點C在點D的左側，M，N分別是線段，的中點．若，，則AB的長為．【答案】9【分析】先M是線段的中點，得出，根據，得出，即可得出，從而得出．【詳解】解：∵M是線段的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：9．【點睛】本題主要考查了線段中點的有關計算，解題的關鍵是根據題意得出．17．（23-24福建省仙游縣七年級期末）如圖，兩個直角∠AOC和∠BOD有公共頂點O，下列結論：①∠AOB=∠COD；②∠AOB+∠COD=；③若OB平分∠AOC，則OC平分∠BOD；④∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，其中正確的是．（填序號）【答案】①③④．【分析】根據同角的余角性質可判斷①與②，根據角平分線定義可判斷③，設∠AOD的平分線為OE，設∠BOC的平分線為OF，根據角平分線定義可算出∠BOE=∠COE=22.5°，則∠BOF=∠COF=22.5°，然后得出OE與OF重合即可【詳解】因為∠AOC和∠BOD是兩個直角，所以∠AOB與∠COD都與∠BOC互余，所以∠AOB=∠COD；故①正確；也能得出②錯誤；∵OB平分∠AOC，則∠AOB=∠BOC=45°，從而得出∠COD=45o，故③正確；此時∠AOD=135°，設∠AOD的平分線為OE，可算出∠BOE=∠COE=22.5°，設∠BOC的平分線為OF，則∠BOF=∠COF=22.5°，得∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，故④正確；綜上所述，正確的序號是①③④．【點睛】本題考查余角性質，角平分線定義，掌握余角性質，角平分線定義是關鍵．18．（23-24七年級上·湖南長沙·期末）如圖：已知在線段上，分別為線段的中點，且．(1)如圖，線段上共有個點，則圖中共有條線段；(2)比較線段的大?。?；（填“”、“”或“”）(3)若，求的長度．【答案】(1)15(2)(3)10【分析】（1）根據線段的條數等于（其中為點的個數）即可得；（2）根據，再結合即可得出答案；（3）先根據線段中點的定義可得，從而可得，再根據即可得．【詳解】（1）解：線段上共有個點，圖中線段的條數為（條），故答案為：15．（2）解：，且，，故答案為：．（3）解：是的中點，，，，，，．【點睛】本題考查了線段的條數問題、與線段中點有關的計算，熟練掌握線段之間的運算是解題關鍵．19．（23-24七年級上·河南新鄉·期末）如圖，已知點在線段上，且．(1)比較線段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”）(2)如果是的中點，是的中點，求線段的長度．(3)在（2）中，如果，其他條件不變，那么_____．（用含的式子表示）【答案】(1)=；(2)；(3)．【分析】本題考查線段的和與差，與線段中點有關的計算．理清線段之間的數量關系，是解題的關鍵．（1）根據線段的和的關系，進行比較即可；（2）先求出的長，中點，求出的長，再根據，求出的長即可；（3）同法（2），進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即：；故答案為：；（2）∵∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∴；（3）∵∴，∵是的中點，是的中點，∴，∴，∴．故答案為：．20．（23-24七年級上·湖南懷化·期末）如圖，．(1)圖一，若在的內部，，求；(2)繞點O順時針旋轉，若，請說明是的平分線；(3)圖二中，在的內部，請推斷與的關系．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義，垂線的定義：（1）根據角度之間的關系進行求解即可；（2）根據垂線的定義得到，進而得到，則，即是的平分線；（3）根據，即可得到．【詳解】（1）解：∵，，，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴是的平分線；（3）解：∵，，∴，∴．21．（2024春·廣東珠?！て吣昙夐_學考試）對“如果和都是的余角，那么”的說理過程，在括號內填上依據．理由：因為（已知），所以（等式的性質）．因為，所以（

）．所以（

）．【答案】已知，等式的性質，等量代換【分析】根據各步前后式的邏輯關系寫出依據．【詳解】，理由如下：因為（已知），所以（等式的性質）．因為（已知），所以（等式的性質）．所以（等量代換）．故答案為：已知，等式的性質，等量代換．【點睛】本題考查推理步驟的應用，根據各步前后式的邏輯關系寫出推理依據是解題關鍵．22．（2023春·貴州銅仁·七年級統考期中）已知，在內部，．

(1)如圖1，若，求的度數；(2)如圖2，若平分，請說明：；(3)如圖3，若在的外部分別作，的余角，，求的度數．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）由，，得到，而，即可求出的度數；（2）由角平分線定義，得到，而，即可證明；（3）由余角的定義，得到，而，，即可求出的度數，從而得出結論．【詳解】（1）解：，，，，；（2）平分，，，，，，，，；（3），，，，，，，．【點睛】本題考查余角和補角，角平分線定義，關鍵是應用角平分線定義，角的和差表示出有關的角．23．（2023秋·湖北鄂州·七年級統考期末）如圖，，，平分，（）．(1)求的度數（用含的式子表示）；請將以下解答過程補充完整：解：因為，所以，因為，所以，所以_____，（理由：_____），因為，所以，因為平分，所以_____，（理由：_____）所以__________°．(2)用等式表示與的數量關系，并說明理由．【答案】(1)；同角的余角相等；；角平分線的定義；；(2)，理由見解析【分析】（1）由同角的余角相等可得，結合角平分線的定義可得，進而可求解的度數；（2）由角的和差問題可求解，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，（理由：同角的余角相等），，，平分，（理由：角平分線的定義），，故答案為：