高中數學第一章導數及其應用1.4.1曲邊梯形的面積與定積分講義新人教B版選修_第1頁
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曲邊梯形面積與定積分

教學目標1.知識與技能：了解求簡單曲邊梯形（軸上方）的面積的一般求法（即“分割以直代曲作和逼近”），在“以直代曲”方案比較中建構出定積分的概念，初步理解定積分的幾何意義，能利用定積分求曲邊梯形的面積.

2.過程與方法：在問題解決（求曲邊梯形）的過程中，體會“以直代曲”的方法和極限的思想；在方案比較中建構數學知識；初步體會數學的思維過程，學會猜想、比較、驗證.

3.情感態度與價值觀：培養學生主動探求知識、合作交流的意識，培養借助信息技

術探究數學問題的意識，感受數學思維的全過程，改善數學學習信念.圖1(1)(2)(3)一、情境創設已知某物體做變速直線運動，設經過ts后的運動速度為v(t)（單位：m/s），v(t)的圖象如圖1中曲線所示，試求內物體運動的總路程.由物理學知識可知，s即對應曲線下方的“曲邊梯形”的面積.因此，問題即轉化為求如何求一曲邊梯形的面積，如果說圖（2）中“曲邊梯形”面積可分解為三個梯形的面積，那么圖（3）中“曲邊梯形”面積又該如何求呢？求直線和曲線所圍成的圖形（曲邊三角形）的面積s.二、操作探究活動1方案提出幾何畫板演示基本思想：1、分割等分成個小區間（思考：為什么要等分區間？）：，，…，，…，,活動2、方案落實（以左端點對應的函數值為矩形的邊長為例）把區間，，每個區間的長度為.過各區間端點作軸的垂線，從而得到個小曲邊梯形，它們的面積分別記作，，…，.即

2、以直代曲上的小曲邊梯形，以區間左端點對應的函數值為一邊的長，以為鄰邊的長的小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，即.對區間圖2(1)(2)(3)(4)3、作和因為每個小矩形的面積是相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以個小矩形的面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值，其中.4、逼近（亦即）時，.由

當分割無限變細，即，從而.活動3方案比較(1)(2)(3)圖4三種方案，即分別以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE來近似代替相應曲邊梯形的面積.具體方案中雖然面積會有差異即，但當時，其和式均無限趨近于同一結果，即均能用來求曲邊梯形的所對應的函數值作為小矩形一邊的長.和式近似表示曲邊梯形面積.

面積（一方面通過電腦操作讓學生感受，同時借助公式簡單推導從而強化認識）.從而可將“以直代曲”的方案加以拓展，即可以取小區間內任意一點三、概念揭示對于一般函數，可以采用上述方法求相應曲邊梯形的面積.等分成，個小區間，每個小區間長度為以直代曲：在每個小區間上任取一點，依次為，…，；分割：將區間求和：；逼近：（亦即）時，.1、概念：稱該常數S為函數在區間上的定積分，記為，其中稱為被積函數，為積分區間，稱為積分下限，為積分上限.非負時，即為軸上方的曲邊梯形的面積2、定積分的幾何意義，當四、初步應用例1、試用定積分表示下列曲邊梯形的面積，并借助于信息技術求出相應結果.（1）、計算直線x=-4，x=2，y=0，和曲線（1）、曲邊梯形面積為（2）、曲

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