模型16豎直面內(nèi)的圓周運動01模型概述01模型概述1．豎直面內(nèi)圓周運動的特點(1)豎直面內(nèi)的圓周運動一般是變速圓周運動。(2)只有重力做功的豎直面內(nèi)的變速圓周運動機械能守恒。(3)豎直面內(nèi)的圓周運動問題，涉及知識面比較廣，既有臨界問題，又有能量守恒的問題，要注意物體運動到圓周最高點時的速度。(4)一般情況下，豎直面內(nèi)的圓周運動問題只涉及最高點和最低點的兩種情形。2.豎直平面內(nèi)圓周運動問題的解題思路(1)定模型:首先判斷是繩子模型還是輕桿模型.(2)確定臨界點:,對繩子模型來說是能否通過最高點的臨界點,而對輕桿模型來說是FN表現(xiàn)為支持力還是拉力的臨界點.(3)研究狀態(tài):通常情況下豎直平面內(nèi)的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況.(4)受力分析:對物體在最高點或最低點時進(jìn)行受力分析,根據(jù)牛頓第二定律列出方程,F合=F向.(5)過程分析:應(yīng)用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態(tài)聯(lián)系起來列方程.3.輕繩模型與輕桿模型繩模型桿模型實例球與繩連接、水流星、沿內(nèi)軌道運動的“過山車”等球與桿連接、球在光滑管道中運動等常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球受力示意圖F彈向下或等于零F彈向下、等于零或向上力學(xué)方程過最高點的臨界條件即討論分析①過最高點時,,,繩、圓軌道對球產(chǎn)生彈力②不能過最高點時,,在到達(dá)最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道①當(dāng)時,,為支持力,沿半徑背離圓心②當(dāng)時,,背離圓心,隨v的增大而減?、郛?dāng)時,④當(dāng)時,,指向圓心并隨的增大而增大4.斜面上圓周運動的臨界問題：物體在斜面上做圓周運動時，設(shè)斜面的傾角為θ，重力垂直斜面的分力與物體受到的支持力大小相等，解決此類問題時，可以按以下操作，把問題簡化．物體在轉(zhuǎn)動過程中，轉(zhuǎn)動越快，最容易滑動的位置是最低點，恰好滑動時：μmgcosθ－mgsinθ＝mω2R.02典題攻破02典題攻破1.豎直平面內(nèi)圓周運動【典型題1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）（多選）如圖甲、乙所示為自行車氣嘴燈，氣嘴燈由接觸式開關(guān)控制，其結(jié)構(gòu)如圖丙所示，彈簧一端固定在頂部，另一端與小物塊P連接，當(dāng)車輪轉(zhuǎn)動的角速度達(dá)到一定值時，P拉伸彈簧后使觸點A、B接觸，從而接通電路使氣嘴燈發(fā)光。觸點B與車輪圓心距離為R，車輪靜止且氣嘴燈在最低點時觸點A、B距離為d，d≤R，已知P與觸點A的總質(zhì)量為m，彈簧勁度系數(shù)為k，重力加速度大小為g，不計接觸式開關(guān)中的一切摩擦，小物塊P和觸點A、B均視為質(zhì)點，則（）A．氣嘴燈在最低點能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光B．氣嘴燈在最高點能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光C．要使氣嘴燈能發(fā)光，車輪勻速轉(zhuǎn)動的最小角速度為D．要使氣嘴燈一直發(fā)光，車輪勻速轉(zhuǎn)動的最小角速度為【答案】BCD【詳解】AB．氣嘴燈在最低點能發(fā)光，對P與觸點A作為整體進(jìn)行分析可知，最小需要提供的向心力為氣嘴燈在最高點能發(fā)光，對P與觸點A作為整體進(jìn)行分析可知，最小需要提供的向心力為明顯得氣嘴燈在最高點能發(fā)光，其他位置一定能發(fā)光，故A錯誤，B正確；C．當(dāng)氣嘴燈運動到最低點時發(fā)光，此時對應(yīng)車輪做勻速圓周運動的角速度最小，根據(jù)受力分析，向心力由彈簧的彈力與重力的合力提供，又因為初始時彈簧彈力等于重力，所以在最低點是增大的彈力提供向心力即kd=mω2R得故C正確；D．當(dāng)氣嘴燈運動到最高點時能發(fā)光，則得故D正確。故選BCD。2.斜面上圓周運動【典型題2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）（多選）轉(zhuǎn)盤游戲深受人們喜愛，現(xiàn)將其簡化為如圖所示模型。傾角為的圓盤繞垂直于盤面且過圓心的軸做勻速圓周運動，盤面上距離軸r處有一可視為質(zhì)點的小物塊與圓盤始終保持相對靜止，物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為，重力加速度為g，圓盤的角速度為，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，則（

）A．的最小值為B．物塊從最低點第一次轉(zhuǎn)到最高點的過程中，轉(zhuǎn)盤對物塊的沖量大小為C．物塊運動到任意關(guān)于轉(zhuǎn)軸對稱的兩點時受到的摩擦力的大小分別為、，一定有D．增大，物塊在最高點受到的摩擦力一定增大【答案】ACD【詳解】A．質(zhì)點隨圓盤在傾斜面上做勻速圓周運動，在垂直盤面方向上始終平衡，有沿著盤面的方向，重力的分力為勻速圓周運動需要的向心力為根據(jù)徑向合力提供向心力可知，最低點相對滑動的趨勢最大，需要的摩擦力最大，此處有最小的動摩擦因數(shù)，可得聯(lián)立解得故A正確；B．物塊從最低點第一次轉(zhuǎn)到最高點的過程中，由動量定理可知則合外力的沖量為，由轉(zhuǎn)盤對物塊的力和重力沿斜面的分力的合力構(gòu)成，故轉(zhuǎn)盤對物塊的沖量大小不等于，故B錯誤；C．設(shè)物塊在某一位置的方向與斜面方向的夾角為，由余弦定理可知由對稱性可知聯(lián)立可得故C正確；D．因，則物塊在最高點時滿足則隨著的增大，物塊在最高點受到的摩擦力一定增大，故D正確。故選ACD。03針對訓(xùn)練03針對訓(xùn)練一、單選題(本題共7小題。每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的,不選、多選、錯選均不得分)1．（2024·海南·一模）如圖，在海口白沙門公園內(nèi)，摩天輪和懸掛的座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動。是摩天輪的水平直徑。對于坐在某座艙內(nèi)相對座艙靜止的游客，下列說法正確的是（）A．在最高點處于超重狀態(tài)B．在最低點處于失重狀態(tài)C．在和位置所受合力均為0D．在和位置所受合力方向相反【答案】D【詳解】A．乘客隨座艙在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，在最高點，加速度向下，游客失重，選項A錯誤；B．在最低點，加速度向上，游客超重，選項B錯誤；C．在和位置所受合力提供向心力，不為0，選項C錯誤；D．在和位置所受合力方向均指向圓心，方向相反，選項D正確。故選D。2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖半徑為L的細(xì)圓管軌道豎直放置，管內(nèi)壁光滑，管內(nèi)有一個質(zhì)量為m的小球做完整的圓周運動，圓管內(nèi)徑遠(yuǎn)小于軌道半徑，小球直徑略小于圓管內(nèi)徑，下列說法不正確的是（）A．經(jīng)過最低點時小球可能處于失重狀態(tài)B．經(jīng)過最高點Z時小球可能處于完全失重狀態(tài)C．若小球能在圓管軌道做完整圓周運動，最高點Z的速度v最小值為0D．若經(jīng)過最高點Z的速度v增大，小球在Z點對管壁壓力可能減小【答案】A【詳解】A．小球在最低點時加速度向上，則小球處于超重狀態(tài)，故A錯誤，符合題意；B．小球經(jīng)過最高點Z時，若對軌道的壓力為零，則重力完全提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，故B正確，不符合題意；C．由于在最高點圓管能支撐小球，所以速度的最小值為零，故C正確，不符合題意；D．若過最高點的速度較小，則在Z點，小球在Z點對管壁壓力向下，軌道對小球有向上的彈力，根據(jù)牛頓第二定律可得此時經(jīng)過最高點Z的速度增大，小球在Z點和管壁的作用力減小，故D正確，不符合題意。故選A。3．（2024·湖北·二模）某同學(xué)在轉(zhuǎn)動如圖所示的鉛筆的過程中，發(fā)現(xiàn)在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動的角速度超過20rad/s時，位于鉛筆一端的橡皮將滑出，已知他使用的鉛筆長，假設(shè)橡皮受到的最大靜摩擦力為定值，且橡皮的大小可忽略，取，則要保證橡皮擦不滑出，這支鉛筆在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動的角速度的最大值為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】在水平面內(nèi)繞筆中心轉(zhuǎn)動過程中，令最大靜摩擦力為，則有在豎直面內(nèi)繞其中心轉(zhuǎn)動過程中，若要保證橡皮擦不滑出，由于在最低點由豎直向上的摩擦力與重力的合力提供向心力，則在橡皮擦能夠順利通過最低點，則有解得故選B。4．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）如圖所示，長為L的不可伸長的輕繩一端固定在傾角為的固定斜面體上的O點，另一端拴一質(zhì)量為m、可視為質(zhì)點的滑塊。在最低點A點給滑塊沿斜面且垂直繩的初速度，滑塊轉(zhuǎn)動并恰能通過最高點B點。已知滑塊與斜面體間的動摩擦因數(shù)為，重力加速度大小為g，則下列說法正確的是（）A．滑塊恰好通過B點時的速度大小為B．滑塊從A點滑到B點克服摩擦力做的功為C．滑塊在A點的初動能為D．滑塊在A點時輕繩的拉力大小為【答案】C【詳解】A．滑塊轉(zhuǎn)動并恰能通過最高點B點，表明在最高點由重力沿斜面的分力提供向心力，則有解得故A錯誤；B．滑塊所受滑動摩擦力大小始終為摩擦力方向始終與線速度方向相反，則滑塊從A點滑到B點克服摩擦力做的功為解得故B錯誤；C．塊從A點滑到B點過程，根據(jù)動能定理有結(jié)合上述解得故C正確；D．滑塊在A點時，對滑塊進(jìn)行分析，根據(jù)牛頓第二定律有其中解得輕繩的拉力大小為故D錯誤。故選C。5．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，輕桿的一端固定在水平轉(zhuǎn)軸O上，另一端固定一小球，輕桿隨轉(zhuǎn)軸在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運動，位置A與O等高，不計空氣阻力，關(guān)于桿對球的作用力F，下列說法正確的是（）A．小球運動到最高點時，F(xiàn)方向豎直向上 B．小球運動到最低點時，F(xiàn)大于小球重力C．小球運動到位置A時，F(xiàn)方向指向圓心 D．小球運動到位置A時，F(xiàn)小于小球重力【答案】B【詳解】A．設(shè)小球轉(zhuǎn)動的半徑為R，則小球運動到最高點時，根據(jù)牛頓第二定律若速度大于，則F方向豎直向下，若速度小于，則F方向豎直向上，若速度等于，則F為零，故A錯誤；B．小球運動到最低點時，根據(jù)牛頓第二定律有所以故B正確；C．小球運動到位置A時，則有向心力方向指向圓心，F(xiàn)指向斜上方，故C錯誤；D．小球運動到位置A時，F(xiàn)大于小球的重力，故D錯誤。故選B。6．（2024·北京西城·一模）如圖1所示，長為R且不可伸長的輕繩一端固定在O點，另一端系一小球，使小球在豎直面內(nèi)做圓周運動。由于阻力的影響，小球每次通過最高點時速度大小不同。測量小球經(jīng)過最高點時速度的大小v、繩子拉力的大小F，作出F與的關(guān)系圖線如圖2所示。下列說法中正確的是（

）A．根據(jù)圖線可以得出小球的質(zhì)量B．根據(jù)圖線可以得出重力加速度C．繩長不變，用質(zhì)量更小的球做實驗，得到的圖線斜率更大D．用更長的繩做實驗，得到的圖線與橫軸交點的位置不變【答案】A【詳解】AB.根據(jù)牛頓第二定律可知解得由圖像可知可得小球的質(zhì)量由可得重力加速度選項A正確，B錯誤；C.圖像的斜率為則繩長不變，用質(zhì)量更小的球做實驗，得到的圖線斜率更小，選項C錯誤；D.圖線與橫軸交點的位置可得則用更長的繩做實驗，得到的圖線與橫軸交點的位置距離原點的的距離變大，選項D錯誤。故選A。7．（2025·廣西柳州·模擬預(yù)測）如圖為一小朋友在一個空心水泥管里玩“踢球”游戲，將該過程簡化為豎直面內(nèi)半徑為r的固定圓環(huán)，在圓環(huán)的最低點有一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v．小球沿圓環(huán)內(nèi)側(cè)運動，重力加速度為g，不計小球與圓環(huán)間的摩擦。下列說法正確的是（

）A．若，小球可以通過圓環(huán)最高點B．若，小球在最低點對圓環(huán)壓力大小為4mgC．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為D．若，小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為【答案】D【詳解】A．小球恰好通過最高點時滿足根據(jù)動能定理有解得若，小球不能通過圓環(huán)最高點，故A錯誤；B．根據(jù)牛頓第二定律有解得故B錯誤；CD．若，設(shè)小球脫離圓環(huán)的位置與圓心的連線與水平方向夾角的正弦值為，則有根據(jù)動能定理有解得故C錯誤，D正確；故選D。二、多選題(本題共3小題。每小題列出的四個備選項中至少有一個是符合題目要求的。全部選對的得全分,選對但不全的得一半分,有選錯的得0分)8．（2024·河北·三模）如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB是長度為R的水平軌道，BCDE是圓心為O、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點。一可視為質(zhì)點的小球從A點以某速度（大小未知）水平向左運動，重力加速度大小為g。下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，小球剛好過最高點D點B．當(dāng)時，小球不會脫離圓弧軌道C．若小球能通過E點，則越大，小球在B點與E點所受的彈力之差越大D．小球從E點運動到A點的最長時間為【答案】AD【詳解】A．由題知，小球剛好過最高點D點，則由圓周運動知在A到D過程中，由動能定理可知聯(lián)立解得A正確；B．當(dāng)時，設(shè)上升高度為，假設(shè)小球不會脫離圓弧軌道，則必須滿足，由動能定理知代入得假設(shè)不成立，故當(dāng)時，小球會脫離圓弧軌道，B錯誤；C．B到E運動過程中，由動能定理知在B點時，小球所受彈力為在E點時，小球所受彈力為則小球在B點與E點所受的彈力之差為故小球在B點與E點所受的彈力之差不變，C錯誤；D．在D到E過程中，由動能定理知代入得從E到A運動過程中，小球做豎直下拋運動，則代入得D正確；故選AD。9．（2024·河南漯河·三模）如圖所示，質(zhì)量為、半徑為、內(nèi)壁光滑的圓形軌道豎直放置在水平地面上，軌道圓心為，、是軌道上與圓心等高的兩點。一質(zhì)量為的小球沿軌道做圓周運動且剛好能通過軌道最高點，運動過程中軌道始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。已知重力加速度為，下列說法正確的是（）A．小球經(jīng)過軌道最低點時，速度為B．小球經(jīng)過點時，軌道對地面的壓力為C．小球經(jīng)過軌道最高點時，軌道對地面的壓力最小D．小球經(jīng)過點時，軌道對地面的摩擦力沿水平面向右【答案】BD【詳解】A．由題意可知，小球恰好能通過軌道最高點，則有小球的重力恰好提供向心力，設(shè)小球在最高點的速度為，則有解得小球從最高點運動到最低點，設(shè)小球在最低點的速度為，由機械能守恒定律可得解得A錯誤；B．小球經(jīng)過點時，圓軌道的彈力提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，由平衡條件可知，地面對軌道的支持力大小等于軌道的重力，由牛頓第三定律可知，則軌道對地面的壓力大小為，B正確；C．小球經(jīng)過軌道最高點時，則有小球的重力恰好提供向心力，此時小球處于完全失重狀態(tài)，則軌道對地面的壓力大小為，小球在下半軌道運動時，小球?qū)壍赖膲毫τ胸Q直向下的分力，則軌道對地面的壓力大于軌道重力，小球在上半軌道運動時，（除最高點外）小球?qū)壍赖膲毫τ胸Q直向上的分力，則軌道對地面的壓力小于軌道重力，因此小球經(jīng)過軌道最高點時，軌道對地面的壓力不是最小，C錯誤；D．小球經(jīng)過點時，軌道對小球向左的彈力提供向心力，由牛頓第三定律可知，小球?qū)壍烙邢蛴业膹椓?，即軌道有向右的運動趨勢，則地面對軌道有向左的靜摩擦力，則軌道對地面的摩擦力沿水平面向右，D正確。故選BD。10．（2024·安徽·二模）如圖所示為蛤蟆夯，工作時鐵砣轉(zhuǎn)動，帶動夯跳起向前移動砸實地基。因工作方式像蛙跳而得名。其結(jié)構(gòu)可等效為如圖乙所示的示意圖，質(zhì)量為的夯架，夯架上O點有一水平轉(zhuǎn)軸，一質(zhì)量為m的鐵砣通過一半徑為R的輕桿連接在轉(zhuǎn)軸上，鐵砣可以繞轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)做圓周運動。在一次檢測夯性能時桿在豎直方向上，鐵砣靜止于最低點A，現(xiàn)給鐵砣一個水平方向的初速度，之后鐵砣在豎直平面內(nèi)做逆時針方向的圓周運動，支架相對地面始終保持靜止。已知鐵砣可視為質(zhì)點，重力加速度大小為g，不計轉(zhuǎn)軸處的摩擦和轉(zhuǎn)軸重力，不計空氣阻力，則在鐵砣運動過程中以下說法正確的是（

）A．鐵砣運動到最高點時對桿的彈力最小B．支架對地面的最小壓力為C．支架對地面的最大摩擦力為D．支架對地面的最大壓力為【答案】AB【詳解】A．通過定性分析可得桿受到鐵砣最小彈力的位置應(yīng)該在小球運動到圓心О點以上，如圖所示設(shè)此位置與О點的連線與水平方向的夾角為θ，此點的速度為，從A點到此點過程，根據(jù)機械能守恒定律可得設(shè)桿對鐵砣的彈力為，在此點做圓周運動有兩式聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第三定律，桿對鐵砣的彈力為所以當(dāng)時，即鐵砣運動到軌道最高點時，此時有最大值，桿對鐵砣的彈力有最小值為故A正確；B．通過定性分析可得支架對地面壓力最小的位置應(yīng)該在小球運動到圓心О點以上，以支架為研究對象，設(shè)地面對支架的支持力為，根據(jù)平衡條件，豎直方向上有聯(lián)立解得即是關(guān)于的二次函數(shù)，函數(shù)圖像為開口向上的拋物線，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時，有最小值，將代入得地面對支架的最小支持力為根據(jù)牛頓第三定律可知，支架對地面的最小壓力也為，故B正確；D．鐵砣運動到軌道最低點時，支架對地面的壓力最大。鐵砣在軌道最低點時，由牛頓第二定律得解得由牛頓第三定律得，鐵砣對支架的向下的拉力地面對支架的支持力由牛頓第三定律得，支架對地面的壓力支架對地面的最大壓力為。故D錯誤；C．通過定性分析可知支架對地面的最大摩擦力的位置應(yīng)該在鐵砣運動到圓心點以下，如圖所示設(shè)此位置與點的連線與水平方向的夾角為，此點的速度為，從A點到此點過程根據(jù)機械能守恒定律可得設(shè)輕桿對鐵砣的彈力為，在此點做圓周運動的向心力為兩式聯(lián)立解得根據(jù)牛頓第三定律鐵砣對支架的彈力為以支架為研究對象，設(shè)地面對支架的摩擦力為，轉(zhuǎn)軸對支架的力為根據(jù)平衡條件，水平方向上有當(dāng)，而摩擦力的最大值不在的位置。摩擦力對求導(dǎo)得當(dāng)時，即時摩擦力有最大值。故C錯誤。故選AB。三、計算題（本題共2小題。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、方程式和重要演算步驟。只寫出最后答案的不能得分。有數(shù)值計算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位）11．（2024·北京海淀·二模）如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定在距離水平地面高為h的O點，另一端系有質(zhì)量為m，可視為質(zhì)點的小球，將小球拉至O點正上方的A點，給其一水平方向的初速度，使其恰好通過A點后，在豎直平面內(nèi)以O(shè)點為圓心做半徑為r的圓周運動。當(dāng)小球運動到最低點B時，繩恰好被拉斷，小球水平飛出。不計空氣阻力及繩斷時的能量損失，重