模型36類單擺問題01模型概述01模型概述1.對l、g的理解1)公式中l是擺長，即懸點到擺球球心的距離。①普通單擺，擺長，l′為擺線長，D為擺球直徑。②等效擺長：(a)圖中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsinα，其周期。(b)圖中，乙在垂直紙面方向擺動時，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內小角度擺動時，等效擺長等于丙擺的擺長。2)等效重力加速度①公式中g是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。②等效重力加速度：一般情況下，公式中g的值等于擺球靜止在平衡位置時，擺線的拉力與擺球質量的比值。如圖中等效重力為，其周期2.幾種類單擺模型1）一切在豎直放置的光滑圓弧形內軌道上的小幅度振動(運動范圍遠小于圓弧半徑)都可以等效成單擺模型，其等效擺長l即為圓弧半徑R，質點的振動周期為2)非慣性參考系中的單擺周期公式適合于慣性系中單擺在豎直平面內做小幅振動的情況，如果單擺處于做勻變速運動的非慣性參考系中，仍可類比豎直平面內的單擺，通過求解平衡位置（相對參考系靜止的位置）時細線拉力的平衡力而得到等效重力加速度。①參考系具有豎直方向的加速度時如：在一升降機中有一擺長為L的單擺，當升降機以加速度a豎直向上勻加速運動時，如圖所示,平衡位置仍在懸點正下方,根據牛頓第二定律易知擺球靜止在平衡位置時，擺線拉力FT的平衡力F=mg+ma，等效重力加速度，故其振動周期同理知，當升降機以加速度a減速上升時單擺振動周期。②參考系具有水平方向加速度時如：在沿水平路面向左勻加速行駛的車廂內有一單擺，當它做小幅振動時，平衡位置（相對車廂靜止的位置）不在懸點正下方，根據受力分析知擺球靜止在平衡位置時，擺線拉力的平衡力，F產生的等效重力加速度，故此單擺的振動周期。3）復合場中的單擺①在重力場和電場中的單擺如：單擺處于豎直向下的科強電場中，擺球的平衡位置在懸點的正下方，帶正電的擺球靜止在平衡位置時，擺線拉力FT的平衡力，所以等效重力加速度，振動周期。如圖所示，單擺處于水平向右的勻強電場中，擺球平衡位置與懸點的連線偏離豎直方向θ角（），當擺球在平衡位置處于靜止時，擺線拉力FT的平衡力：，所以等效重力加速度，故其振動周期：。如：庫倫力始終沿著擺線方向，產生的等效重力加速度仍為g，故周期仍為。②在磁場與重力場中的單擺如：勻強磁場與單擺擺動平面垂直，擺球的平衡位置仍在懸點正下方，當擺球在平衡位置靜止時，擺線拉力與重力平衡，F=mg,擺動時受到洛倫茲力始終與速度方向垂直沿著擺線，產生的等效重力加速度仍為g，故周期仍為。02典題攻破02典題攻破1.等效擺長問題【典型題1】（2024·廣東·模擬預測）如圖，用兩根完全相同、不可伸長的輕繩將小沙包（大小可忽略）對稱地吊在空中，輕推小沙包，測得其在垂直紙面平面內做簡諧運動的周期為（已知在一根豎直繩懸掛下做簡諧運動的小物體的周期為，l為繩長，g為重力加速度），已知每根輕繩的長度為L，小沙包的質量為m，則小沙包靜止時，每根繩子張力為（

）A． B． C． D．

【答案】A【詳解】依題意，小沙包做簡諧運動，設等效擺長為l，則有對小沙包受力分析，如圖根據平衡條件可得聯立解得故選A。2.等效重力加速度問題【典型題2】（2024·湖南長沙·一模）如圖所示，小球懸掛在箱子頂端的拉力傳感器上，球心到懸掛點的距離為L，當箱子沿豎直方向做變速運動時，傳感器的示數會變大或者變小，當箱子的加速度向上為a時，可認為重力加速度由g變為，當箱子的加速度向下為a時，可認為重力加速度由g變為，小球好像處在一個重力加速度為的環境里，可把這個稱為等效重力加速度。下列說法正確的是（

）A．當箱子向上做減速運動時，等效重力加速度大于重力加速度gB．當箱子向上的加速度等于3g時，且小球做單擺運動（最大擺角小于5°），則小球的運動周期為C．當箱子向上的加速度等于3g時，同時小球在箱子中做單擺運動（最大擺角小于5°），則運動過程小球的機械能守恒D．拉力傳感器的示數F與小球的重力的合力與小球的質量m之比等于等效重力加速度【答案】B【詳解】A．當小球向上做減速運動時，加速度向下，等效重力加速度小于重力加速度g，故A錯誤；B．當小球向上的加速度等于3g時，由可得單擺的周期公式故B正確；C．由于小球一直向上加速，則機械能一直在增加，故C錯誤；D．由牛頓第二定律可知或即或則拉力傳感器的示數F與小球的質量m之比等于等效重力加速度，故D錯誤。故選B?！镜湫皖}3】（2023·北京·模擬預測）在光滑水平面上的O點系一長為L的絕緣細線，線的另一端系一質量為m、帶電量為q的小球。當沿細線方向加上場強為E的勻強電場后，小球處于平衡狀態，如圖所示?，F給小球一垂直于細線的初速度，使小球在水平面上開始運動。若很小，則小球第一次回到平衡位置所需時間為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】若很小，則小球擺動的幅度很小，即擺角很小，則小球的運動是簡諧運動，小球處于平衡狀態時，繩的彈力則等效重力加速度為小球簡諧運動的周期小球第一次回到平衡位置所需時間解得故選A。3.類單擺問題【典型題4】（2024·浙江湖州·二模）如圖甲，小球在光滑球面上的A、B之間來回運動。t=0時刻將小球從A點由靜止釋放，球面對小球的支持力大小F隨時間t變化的曲線如圖乙，若弧長AB遠小于半徑，則（）

A．小球運動的周期為0.2πs B．光滑球面的半徑為0.1mC．小球的質量為0.05kg D．小球的最大速度約為0.10m/s【答案】C【詳解】A．小球在一個周期內經過兩次最低點，根據圖乙可知，小球的運動周期為，故A錯誤；B．小球在光滑球面上做簡諧振動，根據周期公式式中的即為光滑球面的半徑，代數數據可得故B錯誤；CD．設小球在光滑球面上最高點時與其做圓周運動的圓心連線與豎直方向的夾角為，小球到達最低點時的速度的最大值為，則在最高點有在最低點有從最高點到最低點由動能定理有其中，聯立以上各式解得，故C正確，D錯誤。故選C。03針對訓練03針對訓練1．（2024·江蘇南通·模擬預測）如圖所示，小球在半徑為R的光滑圓弧軌道上A、B間來回運動，軌道弧長遠小于R，則（）A．弧長AB變小，周期不變 B．弧長AB變小，周期變大C．小球質量變小，周期變小 D．小球質量變小，周期變大【答案】A【詳解】因為弧長遠小于半徑R，小球都做單擺運動，根據單擺的周期公式可知小球的周期與弧長大小和小球質量無關。故選A。2．（2021·浙江寧波·模擬預測）如圖所示為相同的小球（可看作質點）構成的單擺，所有的繩子長度都相同，在不同的條件下的周期分別，關于周期大小關系的判斷，正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設單擺擺長均為L，根據單擺的周期公式可得則故選C。3．（2023·江蘇·模擬預測）一單擺在豎直平面內做小角度擺動。擺球從左側最高點A運動到最低點C時，擺線被懸點O（未畫出）正下方的釘子P擋住，之后球運動到右側最高點B，該過程中的頻閃照片如圖所示，已知閃光的時間間隔相等，PC=l。則O、P兩點間的距離為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設相鄰兩次閃光的時間間隔為，則擺球在左側的擺動周期為擺球在右側的擺動周期為可得根據單擺周期公式可解得則O、P兩點間的距離為故選B。4．（2024·江蘇南京·二模）如圖所示，一帶正電的小球用絕緣細繩懸于O點，將小球拉開較小角度后靜止釋放，其運動可視為簡諧運動，下列操作能使周期變小的是（）

A．增大擺長B．初始拉開的角度更小一點C．在懸點O處放置一個帶正電的點電荷D．在此空間加一豎直向下的勻強電場【答案】D【詳解】單擺周期公式為A．增大擺長，周期變大，A錯誤；B．初始拉開的角度更小一點，不影響周期，B錯誤；C．在懸點O處放置一個帶正電的點電荷，則庫侖力始終沿繩的方向，不影響回復力，則單擺周期不變，C錯誤；D．在此空間加一豎直向下的勻強電場，小球所受電場力與重力同向，即等效重力加速度增大，周期變小，D正確。故選D。5．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，有直角三角形光滑軌道框架，其中AB豎直。，光滑圓弧軌道CB為的外接圓上的一部分。小球1、2分別沿軌道AB、AC從A點由靜止開始運動，到B、C點對應的時間分別為、，小球3沿軌道CB從C點由靜止開始運動，到B點的時間為；小球4在圓弧軌道CB上某一點（對應的圓心角很小）由靜止開始運動，到B點的時間為。則下列時間的關系正確的是（）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】設AB為2R，小球1做自由落體運動，則有解得設，根據幾何關系可知AC為2R，根據牛頓第二定律可知則有解得同理可知小球3的位移為，加速度為則有解得小球4的運動可看作是擺長為R的單擺運動，則時間為綜上分析可知=故選C。6．（2024·湖北·二模）如圖所示，水平面上固定一半圓形凹槽，凹槽的質量為，半圓弧的圓心為點，最低點為點，半徑為?，F將一質量為的光滑小球從圓弧上的點釋放，已知與的夾角為，重力加速度為，小球大小可以忽略不計。從點運動到點的過程中，小球對凹槽的彈力的沖量大小為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】與的夾角為，可知小球做單擺運動，從點運動到點的過程中，小球運動時間為從點運動到點的過程中，根據動能定理從點運動到點的過程中，小球對凹槽的彈力的沖量大小為重力的沖量大小為聯立解得故選A。7．（2024·江蘇蘇州·三模）如圖所示，單擺在光滑斜面上做簡諧運動，若要使其做簡諧運動的周期變大，可以（）A．使斜面傾角變大 B．使單擺擺長變長 C．使擺球質量變大 D．使單擺振幅變大【答案】B【詳解】在斜面上單擺的等效重力加速度為單擺在光滑斜面上做簡諧運動的周期若要使其做簡諧運動的周期變大，可以讓擺長變大或斜面傾角變小都可以。故選B。8．（2024·河北張家口·三模）“桿線擺”結構如圖所示，輕桿一端通過活動絞鏈與立柱垂直連接，另一端安裝質量為m的擺球，細線一端拉住擺球，另一端系在立柱上的A點，給擺球一垂直于紙面的較小速度，使輕桿垂直于立柱來回擺動，擺動角度小于5°，擺球的運動軌跡被約束在一個傾斜的平面內。已知立柱與豎直方向的夾角及細線與輕桿的夾角均為，重力加速度為g。下列說法正確的是（）A．擺球在擺動過程中細線上的拉力大小為B．擺球靜止在平衡位置時輕桿對擺球作用力大小為C．擺球向平衡位置運動過程中輕桿對球作用力增大D．若增大細線長度使A點上移則擺球運動周期增大【答案】A【詳解】ABC．擺球在平衡位置靜止時，對球受力分析，如圖所示由平衡條件得桿對球為支持力，大小為，細線上的拉力大小小球擺動過程中，運動軌跡被約束在一個傾角為30°的平面內，垂直該平面小球一直處于平衡狀態，故細線拉力大小不變，向平衡位置擺動過程中沿桿方向向心力大小不斷增大，桿上支持力逐漸減小，故A正確，BC錯誤；D．增大細線長度使A點上移，擺球運動平面不變，等效為一個在斜面上的單擺，周期為擺長為桿的長度不變，擺球運動周期不變，故D錯誤。故選A。9．（2024·貴州黔西·一模）（多選）如圖所示，一小球（質量為m、電荷量為q）用長為L的絕緣輕質細線懸掛于天花板上做單擺運動，此單擺可以視為簡諧運動，O點為最低點，周期為T?，F給空間加上豎直方向的勻強電場，此時單擺的最大擺角不變，周期為2T。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，下列說法正確的是（）A．電場方向豎直向下 B．電場強度大小為C．單擺做簡諧運動的周期與振幅無關 D．單擺做簡諧運動的周期與振幅有關【答案】BC【詳解】AB．未加電場前，單擺的周期為加電場后，單擺的周期為則加電場后，等效重力加速度為根據牛頓第二定律解得電場強度大小為電場方向豎直向上，故A錯誤，B正確；CD．根據單擺周期公式，單擺做簡諧運動的周期與振幅無關，故C正確，D錯誤。故選BC。10．（2024·江西·一模）（多選）如圖所示為某演示機械能守恒的實驗示意圖。細繩的一端固定于O點，另一端系一個小球，擺長為l。在O點的正下方釘一個釘子A，已知，擺球質量為m，小球從一定高度位置P擺下，擺角θ小于5°，向右擺到最高點Q，擺角也小于5°，不計阻力，重力加速度為g。下列說法正確的是（

）A．擺球受到繩子最大拉力為B．擺球到達最低點時，繩子拉力的功率為C．擺球擺動的周期為D．擺球從P到M和從Q到M過程中重力做功的平均功率相等【答案】AC【詳解】A．擺球擺到M點以A為圓心做圓周運動時，繩子拉力最大，根據牛頓第二定律擺球從P到M，根據動能定理有解得故A正確；B．擺球到達最低點時，由于拉力與速度垂直，因而繩子拉力功率為零，故B錯誤；C．擺球擺動周期為故C正確；D．根據能量守恒，擺球從P到M和Q到M過程中重力做功相等，由于但時間不同，因而做功的平均功率不同，故D錯誤。故選AC。11．（2024·云南曲靖·一模）（多選）惠更斯發現“單擺做簡諧運動的周期與重力加速度的二次方根成反比”。為了通過實驗驗證這一結論，某同學創設了“重力加速度”可以人為調節的實驗環境。如圖1所示，在水平地面上固定一傾角可調的光滑斜面，把擺線固定于斜面上的點，使擺線平行于斜面。拉開擺球至A點，靜止釋放后，擺球在之間做簡諧運動，擺角為。擺球自然懸垂時，通過力傳感器（圖中未畫出）測得擺線的拉力為，擺球擺動過程中，力傳感器測出擺線的拉力隨時間變化的關系如圖2所示，其中、、均已知。當地的重力加速度為。下列選項正確的是（）A．多次改變圖1中角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度B．單擺次全振動的時間為C．多次改變擺角，只要得出就可以驗證該結論成立D．在圖2的測量過程中，滿足的關系【答案】AD【詳解】A．對小球進行受力分析可知，小球的垂直于斜面的分力始終與斜面的支持力平衡，令等效重力加速度為g0，則有解得可知，多次改變圖1中角的大小，即可獲得不同的等效重力加速度，故A正確；B．單擺在運動過程中，A、C兩位置擺線的拉力最小，根據圖2可知，相鄰兩個擺線拉力最小的位置的時間間隔為半個周期，可知，單擺次全振動的時間為故B錯誤；C．根據單擺周期公式有可知，多次改變斜面傾角，只要得出就可以驗證該結論成立，故C錯誤；D．擺球自然懸垂時，通過力傳感器（圖中未畫出）測得擺線的拉力為，根據平衡條件有在圖2的測量過程中，擺球在A位置有擺球在B位置有擺球從A位置運動到B位置過程有解得故D正確。故選AD。12．（2024·重慶·一模）如圖，光滑圓槽的半徑L遠大于小球運動的弧長。甲、乙、丙三小球（均可視為質點）同時由靜止釋放，開始時乙球的位置B低于甲球位置A，甲球與圓心連線和豎直方向夾角為θ，丙球釋放位置C為圓槽的圓心，Q為圓槽最低點；重力加速度為g。若甲、乙、丙三球不相碰，求：（1）求甲球