…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年人民版高三數學下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、二進制數111.11轉換成十進制數是（）A.7.3B.7.5C.7.75D.7.1252、已知拋物線y2=4x的焦點為F，準線為交于A，B兩點，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是A.B.C.2D.3、已知A={x|x2-2x-8＜0}；B={x|x-a＜0}且A∩B=?，那么a的取值范圍是（）

A.（-∞；-2]

B.（-∞；2]∪[4，+∞）

C.（-∞；-2）

D.（-∞；-2]∪[4，+∞）

4、“a=1”是“直線y=x與函數y=ln（x+a）的圖象有且僅有一個交點”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5、如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，點M在AB邊上，且AM=AB，則等于（）A.-1B.1C.-D.評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)6、當函數y=cos（2x+）+2取最大值時，x=____．7、設函數f（x）=，g（x）=a（a∈R），若這兩個函數的圖象有3個交點，則a=____．8、設偶函數f（x）滿足f（x）=x3-8（x≥0），則使f（a-2）＞0成立的a的取值范圍是____．9、直線y=x+k與橢圓=1相交于不同兩點，則實數k的取值范圍是____．10、已知向量，滿足||=3，||=4，且（+k）⊥（-k），那么實數k的值為____．11、已知f（x+1）=x2+2x+3，則f（x）=____．12、已知PA是圓O的切線，切點為A，PA=2，AC是圓O的直徑，PC與圓O交于點B，PB=1，則AC=______．評卷人得分三、判斷題(共8題，共16分)13、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）14、已知函數f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）15、判斷集合A是否為集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．16、函數y=sinx，x∈[0，2π]是奇函數．____（判斷對錯）17、已知函數f（x）=4+ax-1的圖象恒過定點p，則點p的坐標是（1，5）____．（判斷對錯）18、空集沒有子集．____．19、任一集合必有兩個或兩個以上子集．____．20、若b=0，則函數f（x）=（2k+1）x+b在R上必為奇函數____．評卷人得分四、證明題(共3題，共21分)21、如圖△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊上的中點，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連接DF，求證：∠ADB=∠FDC．22、已知對于自然數a，存在一個以a為首項系數的整系數二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5．23、圓的兩條弦AB、CD交于點F，從F點引BC的平行線和直線DA的延長線交于點P，再從點P引這個圓的切線，切點是Q．求證：PF=PQ．評卷人得分五、解答題(共4題，共24分)24、已知橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A、B．橢圓長半軸的長為2，離心率為e=．

（1）求橢圓的方程；

（2）設點P在直線上x=4不同于點（4，0）的任意一點，若直線AP、BP分別與橢圓相交于異于A、B的點M、N，證明：點B在以MN為直徑的圓內．25、已知函數f（x）=2sin2（）+2cos2x-．

（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區間；

（2）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且c=3，f（c）=2，若向量與共線，求a，b的值．

26、【題文】設函數若在點處的切線斜率為．

（Ⅰ）用表示

（Ⅱ）設若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍；27、已知函數的圖象過坐標原點O；且在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5．

（1）試確定實數b；c的值，并求f（x）在區間[-1，2]上的最大值；

（2）對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上是否存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上？說明理由．評卷人得分六、作圖題(共4題，共28分)28、求與直線x=-2和圓A：（x-3）2+y2=1都相切的動圓圓心P的軌跡方程．29、下面給出五個命題：

①已知平面α∥平面β；AB，CD是夾在α，β間的線段，若AB∥CD，則AB=CD；

②a，b是異面直線，b；c是異面直線，則a，c一定是異面直線；

③三棱錐的四個面可以都是直角三角形．

④平面α∥平面β；P∈α，PQ∥β，則PQ?α；

⑤三棱錐中若有兩組對棱互相垂直；則第三組對棱也一定互相垂直；

其中正確的命題編號是____（寫出所有正確命題的編號）30、若函數f（x）=（k-1）ax-a-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函數，又是減函數，則g（x）=loga（x+k）的圖象是____（寫出對應的序號）

31、如圖；這是一個正方體的表面展開圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題：

①點H與點C重合；

②點D與點M與點R重合；

③點B與點Q重合；

④點A與點S重合．

其中正確命題的序號是____．（注：把你認為正確的命題的序號都填上）參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、C【分析】【分析】根據兩個不同的進位制之間的關系，寫出把二進制轉化成十進制以后的表示式，即讓二進制的個位乘以20，向前和向后只有2的指數變化，做法類似，最后相加得到結果．【解析】【解答】解：由題意知二進制對應的十進制是

1×22+1×21+1×20+1×2-1+1×2-2

=4+2+1+0.5+0.25=7.75

故選C．2、B【分析】【解析】試題分析：先根據拋物線方程求得準線方程，代入雙曲線方程求得y，根據雙曲線的對稱性可知△FAB為等腰直角三角形，進而可求得A或B的縱坐標為2，進而求得a，利用a，b和c的關系求得c；則雙曲線的離心率可得.【解析】

依題意知拋物線的準線x=-1．代入雙曲線方程得不妨設A(-1,)∵△FAB是等腰直角三角形，=2,得到a=∴c2=a2+b2=那么可知離心率為選B.考點：雙曲線的簡單性質【解析】【答案】B3、A【分析】

∵集合A={x|x2-2x-8＜0}={x|-2＜x＜4}；

B={x|x-a＜0}={x|x＜a}且A∩B=?；

∴a≤-2；故a的取值范圍（-∞，-2]

故選：A．

【解析】【答案】首先求出集合A和集合B；然后由A∩B=?構造一個關于a的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數a的取值范圍．

4、C【分析】【解答】解：若直線y=x與函數y=ln（x+a）的圖象有且僅有一個交點；

則直線y=x與函數y=ln（x+a）的圖象相切；

函數y=ln（x+a）的導數為f′（x）=

設切點坐標為（m，n），則切線斜率k=f′（m）=f（m）=ln（m+a）

則切線方程為y﹣ln（m+a）=（x﹣m）；

即y=?x+ln（m+a）﹣

即=1，ln（m+a）﹣=0；

即m+a=1；m=0，則a=1；

當a=1時；直線y=x與函數y=ln（x+1）相切只有一個交點；

故“a=1”是“直線y=x與函數y=ln（x+a）的圖象有且僅有一個交點”的充分條件和必要條件；

故選：C．

【分析】求函數的導數，利用導數的幾何意義求出對應的切線方程，根據充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．5、B【分析】解：∵AM=AB；AB=2，AD=1，∠A=60°；

∴

∴=（）?（）

=

=

=1+×4

=1

故選B

由題意可得，代入=（）?（）=整理可求。

本題主要考查了向量得數量積的基本運算、向量的加法的應用，屬于向量知識的簡單應用．【解析】【答案】B二、填空題(共7題，共14分)6、略

【分析】【分析】根據三角函數的圖象和性質即可得到結論．【解析】【解答】解：當cos（2x+）=1，即2x+=2kπ；

解得x=kπ-；k∈Z；

故答案為：x=kπ-，k∈Z7、略

【分析】【分析】畫出函數圖象，數形結合求出使圖象交點為3個時的a值．【解析】【解答】解：函數f（x）=的圖象如圖；

由圖象可知；使已知函數與g（x）的圖象有兩個交點只有a=1．

故答案為：1．8、略

【分析】【分析】利用導數的運算法則可得函數f（x）在x≥0時單調遞增，由于f（2）=0，且f（x）是偶函數，不等式f（a-2）＞0轉化為f（|a-2|）＞f（2），利用單調性即可得出．【解析】【解答】解：∵f（2）=23-8=0；且f（x）是偶函數；

∴不等式f（a-2）＞0即為f（|a-2|）＞f（2）；

又由f′（x）=3x2≥0；可知f（x）是增函數；

由不等式f（|a-2|）＞f（2）得|a-2|＞2；

解得a＜0或a＞4．

∴a的取值范圍是a＜0或a＞4．

故答案為：a＜0或a＞4．9、略

【分析】【分析】聯立，化為9x2+10kx+5k2-20=0，由于直線y=x+k與橢圓=1相交于不同兩點，可得△＞0，解出即可．【解析】【解答】解：聯立，化為9x2+10kx+5k2-20=0；

∵直線y=x+k與橢圓=1相交于不同兩點；

∴△＞0；

∴100k2-36（5k2-20）＞0；

化為k2＜9；解得-3＜k＜3．

∴實數k的取值范圍是（-3；3）．

故答案為：（-3，3）．10、略

【分析】【分析】根據兩向量垂直它們的數量積為零，列出關于k的方程，即可求解．【解析】【解答】解：∵（+k）⊥（-k）；

∴（+k）?（-k）=0；

即；

又向量，滿足||=3，||=4；

∴32-k2×42=0；

∴k=±．

故答案為：±．11、x2+2【分析】【分析】令x+1=t，則x=t-1，代入即可求出．【解析】【解答】解：令x+1=t，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）2+2（t-1）+3，即f（t）=t2+2．

把t換成x得，f（x）=x2+2．

故答案為x2+2．12、略

【分析】解：依題意；我們知道△PBA～△ABC；

由相似三角形的對應邊成比例性質我們有

即2R==2．

故答案為：2．

連接AB；根據弦切角定理及三角形相似的判定，我們易得△PBA～△ABC，再由相似三角形的性質，我們可以建立未知量與已知量之間的關系式，解方程即可求解．

在平面幾何中，我們要求線段的長度，關鍵是尋找未知量與已知量之間的關系，尋找相似三角形和全等三角形是常用的方法，根據相似三角形的性質，很容易得到已知量與未知量之間的關系，解方程即可求解．【解析】2三、判斷題(共8題，共16分)13、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×14、√【分析】【分析】已知函數f（x）=ax-1+4，根據指數函數的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√15、√【分析】【分析】根據子集的概念，判斷A的所有元素是否為B的元素，是便說明A是B的子集，否則A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5?B，∴A不是B的子集；

（3）B=?；∴A不是B的子集；

（4）A；B兩集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案為：√，×，×，√．16、×【分析】【分析】根據奇函數的定義進行判斷即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定義域不關于原點對稱；

故函數y=sinx不是奇函數；

故答案為：×17、√【分析】【分析】已知函數f（x）=ax-1+4，根據指數函數的性質，求出其過的定點．【解析】【解答】解：∵函數f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴點P的坐標為（1；5）；

故答案為：√18、×【分析】【分析】根據空集的性質，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根據題意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；則原命題錯誤；

故答案為：×．19、×【分析】【分析】特殊集合?只有一個子集，故任一集合必有兩個或兩個以上子集錯誤．【解析】【解答】解：?表示不含任何元素；?只有本身一個子集，故錯誤．

故答案為：×．20、√【分析】【分析】根據奇函數的定義即可作出判斷．【解析】【解答】解：當b=0時；f（x）=（2k+1）x；

定義域為R關于原點對稱；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函數f（x）為R上的奇函數．

故答案為：√．四、證明題(共3題，共21分)21、略

【分析】【分析】過C點，做CG∥AB，交BF延長線于點G，則△CGB≌△BDA，再證明△CFD≌△CFG，即可得出結論．【解析】【解答】證明：過C點；做CG∥AB，交BF延長線于點G，則△CGB≌△BDA；

得到CG=BD=DC=AB；∠G=∠ADB

∵∠BCA=∠ACG=45°；CF=CF，∴△CFD≌△CFG

∴∠G=∠CDF

故∠ADB=∠FDC=∠G22、略

【分析】【分析】設出二次函數的零點式，抓住整系數多項式，各系數都是整數，結合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化簡變形即可．【解析】【解答】證明：設二次三項式為：f（x）=a（x-x1）（x-x2）；a∈N．

依題意知：0＜x1＜1，0＜x2＜1，且x1≠x2．于是有

f（0）＞0；f（1）＞0．

又f（x）=ax2-a（x1+x2）x+ax1x2為整系數二次三項式；

所以f（0）=ax1x2，f（1）=a?（1-x1）（1-x2）為正整數

故f（0）≥1；f（1）≥1．

從而f（0）?f（1）≥1．①

另一方面；

x1（1-x1），x2（1-x2）

且由x1≠x2知等號不同時成立；所以

x1（1-x1）

a2x1（1-x1）x2（1-x2）

由①、②得，a2＞16．又a∈N，所以a≥5．23、略

【分析】【分析】首先根據已知題意證明△APF∽△FPD得到PF2=PA?PD；然后通過PQ與圓相切證明PQ2=PA?PD，綜合即可證出PF=PQ．【解析】【解答】解：∵ABCD四點共線。

∴∠ADF=∠ABC

又∵PF∥BC

∴∠AFP=∠FDP

又∵∠CPF=∠FPD

∴△APF∽△FPD

∴

∴PF2=PA?PD

又PQ與圓相切。

∴PQ2=PA?PD

∴QF2=PQ2

∴PF=PQ五、解答題(共4題，共24分)24、略

【分析】【分析】（1）由已知得；由此能求出橢圓方程．

（2）A（-2，0），B（2，0），設M（x0，y0），則y02=（4-x02），-2＜x0＜2，由已知條件推導出＞0，由此能證明點B在以MN為直徑的圓內．【解析】【解答】（1）解：∵橢圓+=1（a＞b＞0）的左；右頂點分別為A、B．

橢圓長半軸的長為2，離心率為e=；

∴，解得a=2，c=1，b==；

∴橢圓方程為．

（2）證明：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），設M（x0，y0）；

∵M點在橢圓上；

∴y02=（4-x02）；①

又點M異于頂點A；B；

∴-2＜x0＜2；

由P、A、M三點共線可以得P（4，）；

從而=（-2，y0），=（2，）；

∴=2x0-4+=（x02-4+3y02）；②

將①代入②，化簡得=；

∵2-x0＞0；

∴＞0；則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角；

故點B在以MN為直徑的圓內．25、略

【分析】

（1）f（x）=2sin2（）+2cos2x-

=2×+2×-

=（sin2x+1）+cos2x+1-

=sin2x+cos2x+1

=2sin（2x+）+1；

∴最小正周期T==π；

∵正弦函數的遞增區間為[2kπ-2kπ+]；

∴2kπ-≤2x+≤2kπ+

解得：-+kπ≤x≤+kπ；

∴函數f（x）的遞增區間為[-+kπ，+kπ]；

（2）∵f（C）=2sin（2C+）+1=2；

∴sin（2C+）=又C為三角形的內角；

∴C=

又∵向量與共線；

∴sinB=2sinA；

根據正弦定理化簡得：b=2a①；又c=3；

根據余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC；

即c2=a2+b2-ab=9②；

聯立①②解得a=b=2．

【解析】【答案】（1）把f（x）的解析式先利用二倍角的余弦函數公式化簡；去括號合并后，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，利用周期公式即可求出f（x）的最小正周期，再根據正弦函數的遞增區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區間；

（2）利用（1）化簡得到的f（x）化簡f（C）=2，根據C的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數，再由兩向量共線，利用平面向量的數量積運算法則化簡后，利用正弦定理得到a與b的關系式，由c及cosC的值，利用余弦定理即可得到關于a與b的另一個關系式，聯立兩關系式即可求出a與b的值．

26、略

【分析】【解析】

試題分析：（Ⅰ）設函數若在點處的切線斜率為用表示與函數的切線有關，可考慮利用導數來解，對求導，利用即可得出；（Ⅱ）若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍，即這樣轉化為求的最大值，由于含有對數函數，可考慮利用導數來求的最大值，求導得含有參數需對參數進行分類討論，分別求出最大值，驗證是否符合題意，從而確定實數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）依題意有：

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．

①當時，單調遞減，當單調遞增，則不符題意；

②當時，

（1）若單調遞減；當單調遞增，則不符題意；

（2）若若單調遞減；

這時不符題意；

若單調遞減，這時不符題意；

若單調遞增；當單調遞減，則符合題意；

綜上，得恒成立，實數的取值范圍為．

考點：導數的幾何意義，導數與單調性，導數與最值，分類討論．【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）實數的取值范圍為．27、略

【分析】

（1）根據函數在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，建立方程，可確定實數b；c的值，進而可確定函數的解析式，分類討論，求導函數，可得f（x）在[-1，1）上的最大值為2，當1≤x≤2時，f（x）=alnx．對a討論，確定函數的單調性，即可求得結論；

（2）假設曲線y=f（x）上存在兩點P；Q滿足題設要求；則點P、Q只能在y軸兩側．設P、Q的坐標，由此入手能得到對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．

本題考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，考查分類討論的數學思想，綜合性強，難度大．【解析】解：（1）當x＜1時，f（x）=-x3+x2+bx+c，則f'（x）=-3x2+2x+b．

依題意得：即∴b=c=0

∴

①當-1≤x＜1時，f′（x）=-3x2+2x=-3x（x-）

令f'（x）=0得x=0或x=

當x變化時；f'（x），f（x）的變化情況如下表：

。x（-1，0）0（0，）（1）f'（x）-0+0-f（x）單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減又f（-1）=2，f（）=f（0）=0．

∴f（x）在[-1；1）上的最大值為2．

②當1≤x≤2時；f（x）=alnx．當a≤0時，f（x）≤0，f（x）最大值為0；

當a＞0時；f（x）在[1，2]上單調遞增．∴f（x）在[1，2]最大值為aln2．

綜上，當aln2≤2時，即a≤時；f（x）在區間[-1，2]上的最大值為2；

當aln2＞2時，即a＞時；f（x）在區間[-1，2]上的最大值為aln2．

（2）假設曲線y=f（x）上存在兩點P；Q滿足題設要求；則點P、Q只能在y軸兩側．

不妨設P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t3+t2）；顯然t≠1

∵△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，∴=0即-t2+f（t）（t3+t2）=0（*）

若方程（*）有解；存在滿足題設要求的兩點P；Q；

若方程（*）無解；不存在滿足題設要求的兩點P；Q．

若0＜t＜1，則f（t）=-t3+t2代入（*）式得：-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0

即t4-t2+1=0；而此方程無解，因此t＞1．此時f（t）=alnt；

代入（*）式得：-t2+（alnt）（t3+t2）=0即=（t+1）lnt（**）

令h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h′（x）=lnx++1＞0

∴h（x）在[1；+∞）上單調遞增；

∵t＞1；∴h（t）＞h（1）=0，∴h（t）的取值范圍是（0，+∞）．

∴對于a＞0；方程（**）總有解，即方程（*）總有解．

因此，對任意給定的正實數a，曲線y=f（x）上存在兩點P、Q，使得△POQ是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在y軸上．六、作圖題(共4題，共28分)28、略

【分析】【分析】動圓P與直線x=-2相切，且與定圓A：（x-3）2+y2=1，當與定圓A：（x-3）2+y2=1外切時，可以看到動圓的圓心P到A（3，0）的距離與到直線x=-3的距離相等，由拋物線的定義知，點P的軌跡是拋物線，由此求得軌跡方程；當與定圓A：（x-3）2+y2=1內切時，設出P的坐標，由題意列式，化簡可得答案．【解析】【解答】解：由題意，當動圓P與直線x=-2相切，且與定圓A：（x-3）2+y2=1外切時，

∴動點P到A（3；0）的距離與到直線x=-3的距離相等；

由拋物線的定義知；點P的軌跡是以A（3，0）為焦點，以直線