專題二不等式

2.1不等式及其解法

考點一不等式的概念和性質

1.（2019課標I理,4,5分）

古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是2（2kO.618,稱為

黃金分割比例）,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之

比也是2.若某人滿足上述兩個黃金分割比例且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身

高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本題主要考查學生的數學應用意識、抽象概括能力、運算求解能力，以及方程思想;考查的核心素

養為數學抽象、數學建模以及數學運算.

26

由人體特征可知,頭頂至咽喉的長度應小于頭頂至脖子下端的長度故咽喉至肚臍的長度應小于

264-42

cm,可得到此人的身高應小于26+42+0fiia?178cm;

同理，肚臍至足底的長度應大于腿長105cm,故此人的身高應大于105+105x0.618^170cm,結合選項可知,

只有B選項符合題意，故選B.

一題多解用線段代替人，如圖.

?e逐一1">105,

已知&/=2u0.618,c<26,b>105,c+d=a,設此人身高為hem,則a+b=h，由^=°石186=^>6489,

（c<26,

由t：=oqai=d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

<68J07,

C=0-61*=>b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22（單位:cm）.故選B.

2.（2015浙江文,6,5分）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相

同.已知三個房間的粉刷面積（單位:m2）分別為x,y,z,且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費用（單位:元/nV）分別為

a,be且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用（單位:元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

答案B用粉刷費用最低的涂料粉刷面積最大的房間，且用粉刷費用最高的涂料粉刷面積最小的房間，這樣

所需總費用最低,垠低總費用為（az+by+o<）元故選R

1

32

3.（2015北京文,10,5分）2吃,log25三個數中最大的數是.

答案log25

解析-.2-3="<1,1<<2,loc25>2,

這三個數中最大的數為log25.

考點二不等式的解法

Zx(x+2)>0.

1.(2014大綱全國文,3,5分)不等式組URV1的解集為()

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x|0<x<l}D.{x|x>l}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由岡<1得

所以不等式組的解集為{x|0<x<l},

故選C.

2.(2014浙江文75分)已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-l)=f(-2)=f(-3)<3JiJ()

A.C43B.3<c<6

C.6<c<9D.c>9

答案C由0<f(-l)=f(-2)=f(-3)43,得

0<-l+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c<3,

由-l+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,

由-l+a-b+c=-27+9a-3b+c得4a-b-13=0(D,

由①②，解得a=6,b=ll,

二0??6$3,即6<c?9,故選C.

3.(2013重慶,7,5分)關于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(Xi*。且乂2兇=15,則a=()

571515

A2B2C.4D,2

答案A解法一:?.不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(XLXO.MM是方程x2-2ax-8a2=0的兩根.

尸1+0=2A

由根與系數的關系知1&冷=-

-J(.)2_u_8a2)

■.X2-X1===15,

5

又TaAO/.aJ,故選A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,^(x-?-2a)(x-4a)<0,.a>0,

二.不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(-2a,4a),

又???不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(xi,x?,

.,.xi=-2a,X2=4a.

VX2-X1=15,/.4a-(-2a)=15,

5

解得aJ,故選A.

4.(2015江蘇,7,5分)不等式<4的解集為.

答案{x|-l<x<2}

JrJr

解析不等式<4可轉化為名<2,利用指數函數y=2x的性質可得,x2?x<2,解得故所求解

集為{x卜l<x<2}.

5.(2015廣東,11,5分)不等式*2?3x+4>0的解集為.(用區間表示)

答案(-4,1)

解析不等式-x2-3x+4>0等吩于x2+3x-4<0,解得-4<x<l.

6.(2014湖南文,13,5分)若關于x的不等式|ax2|<3的解集為I則a=.

答案-3

(-*

解析依題意，知aH0.|ax-2|<3=-3<ax-2<3=-l<ax<5,當a>0時，不等式的解集為t

5億，)|-1=1

從而有\才此方程組無解.當a<0時，不等式的解集為J,，從而有1"3'解得a=-3.

7.(2013廣東理95分)不等式x2+x-2<0的解集為.

答案{x|-2<x<l}

解析x2+x-2=(x+2)(x-l)<0解得-2vx<L故不等式的解隼是僅|-2<x<l}.

專題二不等式

2.1不等式及其解法

應用創新題組

1.(2021陜西漢中二模,4I實際生活)在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數.當基本

傳染數高于1時,每個感染者平均會感染一個人以上，從而導致感柒這種疾病的人數呈指數級增長，當基本傳

染數持續低于1時,疫情才可能逐漸消散.廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數.假設某種傳染病的基本

傳染數為Ro,l個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗

但稱為接種率)§

34那么1個感染者新的傳染人數為W(N-V).已知新冠病毒在某地的基本傳染數Ro=5,為

了使1個感染者新的傳染人數不超過1,該地疫苗的接種率至少為i)

A.50%B.60%C.70%D.80%

答案D由題意可得出(N-V)=5、盯41,解得*產,因此該地疫苗的接種率至少為80%.故選D.

2.(2021吉林白山第三次聯考,10I實際生活)光線通過一塊玻璃，強度要損失10%,若光線強度要減弱到原

1

來的$以下,則要通過這樣的玻漓的塊數至少為(1g3=0.477,lg2?0.301)()

A.14B.15C.16D.18

答案C設要通過這樣的玻璃的塊數為x,則

111嗎YWQ

x5x5,5

(l-10%)<,*.0.9<,..x>logo.9=邪二口<^”由1°152又.「XCN.,.??要通過這樣的玻璃的塊數至

少為16?故選C.

b

3.(2021呼和浩特一模,15I實際生活)若a克不飽和糖水中含有b克糖，則糖的質量分數為巴這個質員分數

決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活經驗告訴我們糖水會變甜,從而可抽象出不等式

b-KHb

“”>a(a>b>0,m>0),數學中常稱其為糖水不等式.依據糖水不等式可得出Iog32logislO(用

"<"或">"填空);并寫出上述結論所對應的一個糖水不等式.

b2-Fin5kn2

答案〈出"15〉-%答案不唯一)

10lo&15

解析由題意得國?：承<力由":所以Iog32<=logi510.

kn2knlOki2-Fin5ki2

hl3hll5l,iartll5bJrtB5h13

log32<logisl0^<=-fB!!'>.

4.(2022屆山西長治第八中學階段測,19I實際生活)某公司計劃組織全體員工到省博物館參觀學習上行的

交通方式有兩種:自駕或乘坐公司大巴，分析顯示,當全體員工中x%(0<x<100)的成員選擇自駕時，自駕類成

(30,0Vx<30,

<1800

12x4------KOmVxV100

員的人均所需時間滿足函數f(x)=x(單位:分鐘)，而乘坐公司大巴的成員

人均所需時間不受x影響，恒為40分鐘，根據卜述的分析結果回答問題?

Q)若使乘坐公司大巴的成員人均所需時間少于自駕類成員的人均所需時間，則x應在什么范圍內？

(2)求該公司全體員工到達省博物館的人均所需時間g(x)的表達式并通過單調性分析如何使人均所需時間

最少.

解析(1)當0<xw30時，自駕類成員的人均所需時間為30分鐘,而乘坐公司大巴的成員人均所需時間恒為

180(1

40分鐘，不滿足題目要求;當30<x<100時，令2x+x-90>40,解得45Vx<100.故當45<x<100時，乘坐

公司大巴的成員人均所需時間少于自駕類成員的人均所需時間.

⑵當0<x<30時,g(x)=30(x%)+40(l-x%)=-0.1x+40;當30Vx<100

時,g(x)=\x/(x%)+40(l-x%)=0.02x2-1.3x+58.

0<x<30時,g(x)單調遞減,30<x<100時,g(x)圖象的對稱軸為直線x=32.5,g(x)的圖象先減后增.

易知g(x)的圖象在x=30處連續.

綜上可知，當x￡(0,32.5］時，全體員工的人均所需時間隨自駕人數的增加而減少,x=32.5時，全體員工的人均

所需時間取到最小值,x￡(325100)時，全體員工的人均所需時間隧自駕人數的增加而增加.

專題二不等式

2.1不等式及其解法

一、選擇題

1.(2022屆河南期中,3)已知a,bcd￡R,則下列命題中，正確的是()

A.若a”b4,則a>b

ab

——

B.若君>￡則a>b

C.若a>b,c>d廁ac>bd

ab

D.若。〈弓則a<b

ab

答案D對于A,當a=-2,b=l時，滿足a4>b\{Ba<b,所以A錯誤;對于B,當c<0,a<b<0時，滿足但不

滿足a>b,所以B錯誤;對于C,若a=-l,b=-2,c=-3,d=-4,滿足a>b,c>d,而此時ac=3<bd=8,所以C錯誤;

ab

對于D,因為？<7<2>0,所以a<b,所以D正確.故選D.

2.(2022屆蘭州西北師大附中期中,6)若b<a<0,給出下列不等式:①晨叫②|a|+b>0;③a~>b-4④In

a2>lnb2.其中正確的不等式是()

A.①④B.②③C.(IX3)D.②④

11

答案C因為b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以““<可所以①正確;當b=-4,a=-2時，滿足b<a<0,此時

?(b-i)住二)(1+^)

|a|+b<0,所以②不正確油aflv”=(a-b)+”fl/=(a-b)v如，由b<a<0,可得a-b>0,ab>0,所

(1+4)

以(a-b)'如>0,所以所-以I③正確;由b<a<0,可得W<b2,所以Ina2<lnb4所以④不正確.故

選C.

*―y

3.(2021四川綿陽診斷,11)已知正實數x,y滿足|/>端,則()

A.lnx>ln(y+l)B.ln(x+l)<lgy

C3x<2y1D.2xy>l

x―y

答案D因為正實數x,y滿足ln>>lg”,所以Inx-lny>lgy-lgx,所以Inx+lgx>lny+lgy,因為函數

f(x)=lnx+lgx在(0,+8)上單調遞增，所以x>y.

對于A,取x=4,y=3,此時Inx=ln(y+l),故A錯誤；

對于B,取x=2,y=l,此時ln(x+l)>lgy,故B錯誤；

對于C,取x=3,y=2,此時3x>2/i,故C錯誤；

對于D,因為x>y,所以2x-y>2C=l，故D正確.故選D.

4.(2022屆湖北襄陽五中10月月考,6)已知x,y是正數，且x+2y=l,下列敘述正確的是(

A.x+y的最大值為1

B.x2+y2的最大值為1

C.(x+y)y的最大值為

D,和的最小值為4

x>0,O<x<l,

>>0,

3+2/=1得o<y<iII

答案D由對于A,x+y=l-2y+y=l-yjO<y<q.-<x+y<L不存在最

大值,A中敘述錯誤;

對于B,x2+y2=(l-2y)2+y2=5y2-4y+L:0<y<N:m<x2+y2<l,不存在最大值,B中敘述錯誤;

對于C,(x+y)y=(l-y)y=-y2+yj0<y<N,「Q<(x+y)y<4,不存在最大值,C中敘述錯誤;

吧工iC+口21-貯21---

對于0.2x7=%#=^^(x+2y)=2+X+2,>2+2\X年二年當日僅當x即x=N,y=，時或等

x+2j

號,二?的最小值為4,D中敘述正確.故選D.

pOgR：>1,

5.(2022屆長春重點高中月考一,8)已知函數f(x)=則不等式f(X)41的解集為)

A.(-8,2]B.(-8,0]U(1,2]

C.[0,2]D.(-oo,0]U[lf2]

1二

答案D當x>l時JogzxsblogzZ可得x?2,所以lsxs2;當x<l時即1解得x<O^x>l,

所以xsO.綜上所述,不等式f(x)sl的解集為(-8,0]u[1,2],故選D.

6.(2020陜西漢中二模,12)對于實數x,規定岡表示不大于x的最大整數，那么使得不等式4岡2-36岡+45<0

成立的x的取值范圍星()

AV2)B,[2,8]

C.[Z8)D.[2,7]

315

答案C因為4岡2-36岡+45<0,所以2〈岡<2,所以24x<8,蒞選C.

7.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+l)x+a<0成立的任意一個x,都滿足不等式3x-lv0測實數a

的取值范圍為()

A(W+8)BK+吟

cH-9K?

?(-~.il

答案B解3x-lw0,得x典故解集為'叫

由不等式x2+(a+l)x+as0,得[x+l)(x+a)w0,

因為使不等式x2+(a+l)x+a<0成立的任意一個x,都滿足不等式3x-lw0,

(V/

所以若a=l,則不等式(x+l)(x+a)w0的解集為{-1},滿足{-l}u

若a<L則不等式(x+l)(x+a)w0的解集為卜1,-a],則\虱，所以-a3，解得

若a>l,貝U不等式(x+l)(x+a)40的解集為卜則(7折…

得+")故選

綜上知，實數a的取值范圍是

|21n(x+l)^>Of

8.(2022屆貴陽一中10月月考,12)已知函數f(x)=lM+4><O,^|f(x)|>ax對任意的x￡R恒成

立，則實數a的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[-4,0]

C.[-Z0]D.(-8,l]

I/yAf^

答案B畫出y=|f(x)|的大致圖象，如圖.由圖可知，當a>0時，不符合題意.當a=0時,|f(x論ax恒成立，符合

=/-如

題意.當a<0時,當直線y=ax與曲線y=x2-4x(x40)相切時,a有最小值，聯立b=得

x2-(4+a)x=0,A=(4+a)2=0,解得a=-4,所以-4?aw0.故選B.

9.(2020海南天一大聯考一,11)已知a>l,若存在x￡[l,+oo),使不等式3xlna<(x+l)ln成立，則a的取值

范圍是()

A.(L+8)BG十9

斯)D.(2,+8)

3x

答案C因為a>L所以3xlna<(x+l)lnaa<=>3xlna<a(x+l)lna=3x<a(x+l)=a>A'.因為存在

(苦_2L_2_

x￡[l,+8),使不等式3xlna<(x+l)lna2成立，所以a>*—，又y=A[=3k%區間[L+8)上單調遞

增,所以扁一13一局1空所以a>N故選C.

10.(2022屆湖南聯考,9)已知函數f(x)=-x2+ax+b2-b+l(a,b￡R),對任意實數x都有f(l+x)=f(l-x)成立，當

時,f(x)>0恒成立，則□的取值范圍是()

A.(-1,O)

B.(2,+8)

C.(-°°,-l)U(2,+oo)

D.(-oo,-l)

a

答案C因為對任意實數x都有f(l+x)=f(l-x)成立，所以函數f(x)的圖象關于直線x=l對稱，由1,解得

a=2.

又因為函數f(x)的圖象開口向F,所以函數f(x)在卜1,1]上單調遞埴而f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(-l)=b2-b-2>0,解得b<-l或b>2.故選C.

11.(2022屆江西上饒月考,9)關于x的不等式x2-(a+l)x+a<0的解集中恰有兩個整數，則實數a的取值范圍

是()

A.[-2,-DU(3,4]B.(-2,-l)U(3,4)

C.(3,4]D.(3,4)

答案Ax2-(a+l)x+a<0即(x-l)(x-a)<0,當a>l時，解得當a<l時，解得a<x<l.

?.不等式的解集中恰有兩個整數〃.3。“或-2wa<-l「a的取值范圍是[-2,-l)U(3,4].故選A.

12.(2021東北三省模擬,7)關亍x的不等式ax-b>0的解集是(-L+8),則關于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的

解集是()

A.(-oo,-l)U(3,+<?)

B.(-13)

C.(l,3)

D.(-8,l)U(3,+8)

&

答案C?.?關于X的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-L+8)〃°=-l，且2>0,即2=七>0.

則關于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3.故選C.

asx-2

13.(2021新疆第二次適應性檢測,3)若關于x的不等式:>0的解集為(-2,3),則mn=()

A.5B.-5C.6D.-6

CBX-2

答案C因為cosx-2<0,/也1Ml>0的解集為(-2,3),

所以x2-mx-n<0的解集為(-2,3),故-2+3=m,-2x3=-n,所以m=l,n=6測mn=6.故選C.

14.(多選題)下列說法正確的是()

A.不等式2x2-x-l>0的解集是{x|x>2或x<l}

B.不等式-6x2-x+2s0的解集是I?32J

C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x卜7<x<-l},則a的值是3

D.若關于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,l),則p+q的值為-1

答案BCD對于A”2x2-x-l=(2x+l)(x-l),

.??由2x2?x-l>0得(2x+l)(x-l；>0,解得x>l或x<N〃?.不等式的解集為l?

對于B,-.-6x2-x+2<0,.-.6x2+x-2>0,

12

.?.(2x-l)(3x+2)>0,/.x>2^x<-3.

{x|x>；或去<-1]

.??不等式的解集為I2M故B正確；

對于C,由題意可知-7和-1是關于x的方程ax2+8ax+21=0的兩個根.

21

.?.-7x(-l)=a〃.a=3.故C正確；

2

對于D,依題意知qfl是方程x+px-2=0的兩根，則q+l=-p,即p+q=-l,故D正確.

15.(2020山東德州期中,11)對于實數a,be下列命題中正確的是()

A.若a>b,則ac<bcB.若a<b<0廁a2>ab>b2

ab11

''II——

C.若c>a>b>0,則D.若a>b尸>0則a>0,b<0

答案BCD對于A,當c>0時油a>b,可得ac>bc,故A不正確；

,,22,

對于B,a2-ab=a(a-b)ja<b「.a-b<0,又a<0r.a(a-b)>0,.a>ab.ab-b=b(a-b);.a<b,..a-b<0,X

222

b<0/.b(a-b)>0(.-.ab-b>0,.-.a>ab>b,^B正確；

11ab

對于Cjoa>b>0,.?(、>(),c-b>0,且c-b>c-a,.-.M>^X\a>b>O,.-.M>cC正確；

11

-

對于D;.a>b,.'.a-b>0,X-.-*>0,

b-a

.,.必>0,又b-a<0,.1.ab<0,gPa,b異號,

又,.a>b,..a>0,b<0,故D正確，故選BCD.

16.(多選)(2022屆重慶巴蜀中學月考一,9)已知實數a,b,c滿足a>b>0>c,則下列不等式中一定正確的有

()

￡￡

A.ac>bcBa>b

ca

C.ac2>bc2Da+c<-2

BCD對于選項A:f(x)=xc(c<0)在(0,+8)上是減函數，所以a?bSA錯誤;對于選項

￡C

a>fcB正確;對于選項C:a>b>0,c2>0=>ac2>bc2C正確;對選項

B:f

=-2（當且僅當a=-c時等號成立）,D正確.故選BCD.

二、填空題

2x-a

17.（2022屆上海二模,7）不等式計°>0的解集為M,且2EM,則實數a的取值范圍是

答案(-oo,-2]U[4,+oo)

4-a

解析由題意可知,NH6或2+a=0,解得aN4或a《2

18.(2021河南新鄉一模,16)定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)+f(x)=O,當x>0時,f(x)=x2.若不等式

1

^f(ax2)+f(3-x)>0對任意x￡R恒成立，則實數a的最小值為.

1

答案6

rr-'by.voivo

解析由已知得f(x)=l廿KVO所以f(x)f(y)="==f(xy),所以不等式

!G)加)

4f(ax2)+f(3-x)“可化為fWf(ax2)+f(3-x)“,即&f(x-3).因為f(x)是R上的增函數，所以

1

%乂2”-3,即ax2-2x+6>0對任意x￡R恒成立，當a=0時顯然不滿足-2x+6“對任意x￡R恒成立，所以

fa>0,1

即

IA=4-24a<O,a>6

19.(2021河南部分重點高中聯考,15)已知定義在R上的奇函數f(x)滿足當x>0時,f(x)=-市+曰2*口則不

等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集為.

答案'a/U(6,+oo)

解析易知函數f(x)在。+8)上為減函數，因為函數f(x)為奇函數，所以函數f(x)在R上為減函數,不等式

f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化為f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-16x-12>0,

解得a/U(6,+co).

20.(2022屆通州期中,12)不等式-x2+x+42>0的解集為.

答案(-6,7)

解析由-x2+x+42>0得x2-x-42<0,即(x-7)(x+6)<0,解得-6<x<7.

21.（2022屆北京一零一中學統考二,12）若關于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集為{x|x1<x<X2},且

X2-XI=15,則a的值為.

5

答案2

解析由題意,xi,X2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的兩個實數根,

所以A=4a2+32a2=36a2>0,fixi+X2=2a,xiX2=-8a2.

255

fjr+x---

因為X2-X1=15,所以152=<rA-4xiX2=4a2+32a2=36a2,所以a2=4.又a>0,所以a=2.

22.（2022屆北京九中10月月考,12）命題"Vx￡R,使得關于x的不等式mx2+mx+l>0H是真命題則m

的取值范圍是.

答案[0,4]

解析當m=0時,120恒成立，滿足題意；

>0,

當m/0時，則Im'4?三Q解得0<m44,

綜上可得0<m<4,EPme[0,4],

23.（2022屆清北學堂全國高中數學聯賽,1）已知關于x的不等式（x-l）2>ax2有且僅有三個整數解，則實數a

的取值范圍是.

江案用）

解析由已知得a>0,因為x=0是不等式的一個解決:1不是不等式的解，所以不等式的二個整數解只能是

-2,-1。不等式(x-l)2>ax2化為(a-l)x2+2x-l<0.

設f(x)=(a-l)x2+2x-l,則依題意得f(x)=0的兩根滿足-34XI<-2,0<X2W1,所以"(-2)=4(a~l)-5VO,

(/(O)=-1V0?

且"。)=3-1)+1>o.

169

解得9wa<*所以a的取值范圍是

24.（2019天津文,10,5分）設x￡R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.案（'身

解析3x2+x-2<0e=>(x+l)(3x-2)<0,

2

所以-l<x<W

2.2基本不等式及不等式的應用

考點基本不等式及其應用

y1

1.（2015陜西，理9,5分）設f（x）=lnx,0<a<b,若p=f嚴）,q=f，2乙=%⑶+他））,則下列關系式中正確的

是（）

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

_1e+5s-l-1_

"al.j>Qal,,Qal

答案C由題意得p=ln*,q=ln,r=(Ina+lnb)=lnir=p,.O<a<b,.,.>v,/.ln>ln”,

p=r<q.

*y

2.（2015福建理55分）若直線"+Ll（a>0,b>0）過點Q,l）,則a+b的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

*yii/ii\-i

答案C因為直線'+'=：L(a>0,b>0)過點Q,l),所以1所以a+b=(a+b)V〃=2+'+'

2+2=4,當且僅當a=b=2時取故選C.

12_

3.（2015湖南文75分）若實數a,b滿足.+石=便加ab的最小值為（）

A.B.2C.2D.4

12（22^1212

答案C依題意知a>0,b>0,則研當且僅當即b=2a時,“=”成立.因為"+工號所以

2/

舊之例即己八26,所以ab的最小值為盧，故選C.

4.（2014重慶文,9,5分）若logM3a+4b則a+b的最小值是（）

A.6+2?B.7+2*C.6+4*D.7+4

■fc/ol

答案D由Iog4（3a+4b）=log2,

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

-由a>0,得b>3.

4（&T）+1212

.-.a+b=b+fc-3=b+"3=（"3）+"一三+7221^^+7=46+7,即a+b的最小值為7+46.

5.（2014福建,9,5分）要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方

米20元,側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

答案C設底面矩形的長和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價為20ab+2（a+b）x

10=[80+20（a+b）]元,8O+2O（a+b）N8O+4oB

=160（當且僅當a=b時等號成立）.故選C.

6.（2018江蘇,13,5分）在MBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,zABC=120°,zABC的平分線交AC于點

D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9

解析本題考查基本不等式及其應用.

依題意畫出圖形，如圖所示.

D

易知S.-.ABD+S.XBCD=S.-.ABC,

1

即為sin600+2asm60°=2acsin1200,

c4a

;.4a+c=(4a+c)=5+，c>9,

f4a3

當且僅當°=。即a=2,c=3時取

一題多解1作DEilCB交AB于Ef\BD為/ABC的平分線,

BAADc

BCDCa

ADAEDEc

?.閑心,*=.產尸‘

-y-S

<H-c

■—Jc—1

而不叫下BC

=+.

迎康以?左靛)

一/

1G可并卻冏

3：11

.l=i^..ac=a+c/+“L

———c4■a一

2

7.4a+c=(4a+c)G4)=5+°+”之9,當且僅當氣二即a=,c=3時取

一題多解2以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標系,

?.AD,C三點共線，.嚴產，

,-.4a+c=(4a+c)=5+°+當且僅當"=，即a=\=3時取

?y

7.（2017山東,12,5分）若直線°+*=l（a>0,b>0）過點Q,2）則2a+b的最小值為.

答案8

12

解析由題設可得“+E=l,.a>0,b>0,

&-)=2+；+三2如2

;.2a+b=(2a+b)

故2a+b的最小值為8.

（H1）（研1）

8.（2019天津文,13,5分）設x>0,y>0,x+2y=4則》的最小值為.

2

答案

解析本題主要考查基本不等式的運用.考查學生對基本不等式及其簡單變形使用條件的掌握程度,以及學

生的推理、運算能力.

(x+l)(2y4-l)2xy+x+2y+l2xyrt5

--===2+不

.x>0,y>(V.4=x+2ym^^解得0<xyw2,當且僅當x=2y=2,即x=2且y=l時"=”成立.此時,船2:2+”‘

59(開1)31)9

22+"予故"的最小值為2.

5

思路分析首先將分子展開,并把已知條件x+2y=4代入則原式化簡為2+*',注意到x與2y的和為定值，

用基本不等式即可求xy的最大值，最終得到原式的最小值，在此應特別注意基本不等式的使用條件“一正、二

定、三相等”，注意等號是否成立.

9.(2015重慶文,14,5分)設a,b>0,a+b=5,則而言+而"的最大值為.

答案3&

解析解法一:令t=g，+/三

則t2=(際+際)2=a+l+b+3+26五?gw9+a+l+b+3=18,

當且僅當際=際，

73

即a=2,b=z時，等號成立.

即t的最大值為36.

解法二:設舊7小,四^5^,則m,n均大于零，

因為m2+n222mn,所以2(m2+n2)2(m+n)，

所以m+n<*?,

所以后五+河石尸=詬=36

當且僅當標=際,

73

即a=*,b)時,?，成立，所以所求最大值為3便

2.2基本不等式及不等式的應用

應用創新題組

1.(2022屆朝陽期中,14I優化設計)北京冬奧會將于2022年2月4日開幕.某社區為了宣傳冬奧會,決定在

辦公樓外墻建一個面積為8m2的矩形展示區，并計劃在該展示區內設置三個全等的矩形宣傳欄(如圖所示)，

要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設三個宣傳欄的面積之和為S(單

位:m。則S的最大值為

答案4.5

解析設矩形宣傳欄的長、寬分別為am.bm,則(3b+4xO.25)-(a+2xO.25)=8,即(3b+l)?(a+0.5)=8,從而

SnSabnaQ0'當且僅當a=1,5,b=lB寸取等

號).所以S的最大值為4.5.

2.(2022屆鄭州外國語中學調研二,20I生活實踐)某鄉鎮為打造成"生態農業特色鄉鎮”，決定種植莫種水

果，該水果單株產量M(x)(單位千克)與施用肥料x(單位汗克)滿足如下關

“x2+3),0M/M2,

50x,5-1

—+-,2<X<5f

系:M(x)=11+<3單株成本投入(含施肥、人工等)為30x元.已知這種水果的市場售價為

15元/千克,且銷路暢通供不應求，記該水果的單株利潤為f(x)(單位:元).

(1)求f(x)的函數關系式；

(2)當施用肥料為多少千克時，該水果的單株利潤最大？最大利潤是多少？

解析⑴由題意得f(x)=15M(x)-30x,所以

15*5(/+3)30^0<x<2,

115*+25-3QX,2<x<5

|F75x2-3Qx+225,0<x<2.

x<5.

75(x-02+222,0<x<2,

805-30仔_+(l+x)]7Vx￡5

(2)將⑴中f(x)變形得f(x)=UMJ

①當0<x<2時,f(x)max=f(2)=465;

島+(l+x)]監(1+x)

②當2<x《5時,f(x)=805-30口廿J<805-30x2N1+x=505,

25

當且僅當l+a=l+x,即*=4時等號成立.

因為465<505,所以當x=4時,f(x)max=505,所以當施用肥料為4千克時，種植該水果的單株利潤最大，為505

元.

3.(2022屆河南調研,19I生產實踐)某廠家擬舉行促銷活動，經調查測算，該產品的年銷售量(等于該廠家的

k

年產量)x萬件與年促銷費用m萬元(mNO)滿足關系式x=2.5-*1rt'I*為常數)，如果不搞促銷活動，則該產品

的年銷售量是1.5萬件.已知生產該產品的固定年投入為10萬元,每生產1萬件該產品需要再投入25萬元,

廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的2倍(產品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)

Q)將該產品的年利潤y(萬元)表示為年促銷費用m(萬元)的函數；

(2)該廠家年利潤的最大值為多少？

k_J_

解析⑴由題意可知當m=0時,x=1.5.由1.5=2.5」,得k=l,所以x=2.5-nrt-1.

1X4IIH-Sa25

因為每件產品的銷售價格為2xx元，所以y=2x-x-10-25x-m=25x+10-m=2-^-rr.EPy

14525

關于m的函數表達式為丫=2-ZLm.m之0.

2S”5"^5_25

(2)因為m1,所以,=10,即11rtl+m29,當且僅當E^m+L即m=4時

145

等號成立，所以ys2-9=635所以ymax=63.5.

故當該廠家投入的年促銷費用為4萬元時，年利潤最大，且最大值力63.5萬元.

4.(2022屆河南十所名校測試二,19I生產實踐)已知某公司生產的一新款手機的年固定成本為350萬元，

設該公司一年內共生產這種手機x萬部并全部銷售完，且每萬部的銷售收入為600萬元，生產這種手機每年

4O00C

需另投入成本R(x)萬元，且當0<x<40時,R(x)=10x(x+10),當x>40時,R(x)=601x+x-6550.

(1)寫出年利潤W(萬元)關于年產量x(萬部)的函數解析式;(年利潤=年銷售收入一年成本)

(2)當年產量為多少萬部時，該公司所獲年利潤最大?最大年利潤是多少？

解析(1)當0<x<40時,W(x)=600x-10x(x+10)-350=-10x2+500x-350;當x>40

(601x4-竺衿655。)蚪。+誓)

時,W(x)=600x-\+6200,

f-lOx2+5OOx-35QOVx<40,

[-(4+岑丹+6200/>40.

.-.W(x)=

2

(2)當0<x<40H,W(x)=-10(x-25)+5900,當x=25BtW(x)max=5900;當x>40

(FWOW

,40000

時,W(x)=-+6200<6200-2=5800,當且僅當x=X，即x=200時,取等號”5

900>5800〃?.當年產量為25萬部時，該公司所獲