參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A濟寧市二○二四年初中學業水平考試數學試題注意事項：1．本試卷共6頁，考試時間120分鐘，共100分．2．答題前，考生務必先核對條形碼上的姓名、準考證號和座號，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆將本人的姓名、準考證號和座號填寫在答題卡相應位置．3．答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂答題卡上相應題目的答案標號，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．4．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，務必在題號所指示的答題區域內作答．5．填空題請直接將答案填寫在答題卡上，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．6．考試結束后，將本試卷和答題卡一一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.的絕對值是（）A. B. C. D.32.如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是（）A.人 B.才 C.強 D.國3.下列運算正確的是（）A. B.C. D.4.如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點，連接．若，則菱形的邊長為（）A.6 B.8 C.10 D.125.為了解全班同學對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類節目的喜愛情況，班主任對全班50名同學進行了問卷調查（每名同學只選其中的一類），依據50份問卷調查結果繪制了全班同學喜愛節目情況扇形統計圖（如圖所示）．下列說法正確的是（）A.班主任采用的是抽樣調查 B.喜愛動畫節目的同學最多C.喜愛戲曲節目的同學有6名 D.“體育”對應扇形的圓心角為6.如圖，邊長為2的正六邊形內接于，則它的內切圓半徑為（）A1 B.2 C. D.7.已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.8.解分式方程時，去分母變形正確的是（）A. B.C. D.9.如圖，分別延長圓內接四邊形的兩組對邊，延長線相交于點E，F．若，，則的度數為（）A. B. C. D.10.如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（）A.90 B.91 C.92 D.93二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.我國自主研發的口徑球面射電望遠鏡（）有“中國天眼”之稱，它的反射面面積約為．將數用科學記數法表示為______．12.已知，則的值是______．13.如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，請補充一個條件______，使四邊形是平行四邊形．14.將拋物線向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是______．15.如圖，中，，是的角平分線．（1）以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，．（2）以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點．（3）以點為圓心，長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點．（4）畫射線．（5）以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點．（6）連接，，分別交，于點，．根據以上信息，下面五個結論中正確的是______．（只填序號）①；②；③；④；⑤．三、解答題：本大題共7小題，共55分．16.先化簡，再求值：，其中，．17.如圖，三個頂點的坐標分別是．（1）將向下平移2個單位長度得，畫出平移后的圖形，并直接寫出點的坐標；（2）將繞點逆時針旋轉得．畫出旋轉后的圖形，并求點運動到點所經過的路徑長．18.為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學生成績都不低于80分的八年級（1）班和（3）班中，各隨機抽取了20名學生成績進行整理，繪制了不完整的統計表、條形統計圖及分析表．【收集數據】八年級（1）班20名學生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年級（3）班20名學生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數據】八年級（1）班20名學生成績統計表分數80859095100人數33ab3【分析數據】八年級（1）班和（3）班20名學生成績分析表統計量班級平均數中位數眾數方差八年級（1）班9541.5八年級（3）班919026.5【應用數據】根據以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統計圖：（2）填空：______，______；（3）你認為哪個班級的成績更好一些？請說明理由；（4）從上面5名得100分的學生中，隨機抽取2名學生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學生恰好在同一個班級的概率．19.如圖，內接于，D是上一點，．E是外一點，，連接．（1）若，求的長；（2）求證：是的切線．20.某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示．（1）求這段時間內y與x之間函數解析式；（2）在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？21.綜合與實踐某校數學課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在上的點E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕，再把紙片展平．第三步，連接．【探究發現】根據以上操作，甲、乙兩同學分別寫出了一個結論．甲同學結論：四邊形是正方形．乙同學的結論：．（1）請分別判斷甲、乙兩同學的結論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．【繼續探究】在上面操作的基礎上，丙同學繼續操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在上的點M處，折痕為，連接，把紙片展平．第五步，連接交于點N．根據以上操作，丁同學寫出了一個正確結論：．（2）請證明這個結論．22.已知二次函數的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數，且．（1）求a，c的值；（2）若該二次函數的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側該二次函數圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．參照秘密級管理★啟用前試卷類型：A濟寧市二○二四年初中學業水平考試數學試題注意事項：1．本試卷共6頁，考試時間120分鐘，共100分．2．答題前，考生務必先核對條形碼上的姓名、準考證號和座號，然后用0.5毫米黑色墨水簽字筆將本人的姓名、準考證號和座號填寫在答題卡相應位置．3．答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂答題卡上相應題目的答案標號，如需改動，必須先用橡皮擦干凈，再改涂其它答案．4．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，務必在題號所指示的答題區域內作答．5．填空題請直接將答案填寫在答題卡上，解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．6．考試結束后，將本試卷和答題卡一一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.的絕對值是（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】本題考查絕對值，屬于簡單基礎題，根據絕對值的意義求解即可．【詳解】解：的絕對值是3，故選：D．2.如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成正方體后，有“建”字一面的相對面上的字是（）A.人 B.才 C.強 D.國【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，“Z”型首尾是相對的面，根據這一特點作答．【詳解】解：由圖可得，有“建”字一面的相對面上的字是“國”，故選：D．3.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查二次根式的運算法則，根據二次根式的加法法則對A進行判斷；根據二次根式的乘法法則對B進行判斷；根據二次根式的除法法則對C進行判斷；根據二次根式的性質對D進行判斷．【詳解】A.不能合并，所以A選項錯誤；B.，所以B選項正確；C.，所以C選項錯誤；D.，所以D選項錯誤．故選：B．4.如圖，菱形的對角線，相交于點O，E是的中點，連接．若，則菱形的邊長為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】根據菱形的性質可得，根據“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可得，即可得解．本題主要考查了菱形的性質和“直角三角形中斜邊中線等于斜邊一半”的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∵E是的中點，，∴。故選：A．5.為了解全班同學對新聞、體育、動畫、娛樂、戲曲五類節目的喜愛情況，班主任對全班50名同學進行了問卷調查（每名同學只選其中的一類），依據50份問卷調查結果繪制了全班同學喜愛節目情況扇形統計圖（如圖所示）．下列說法正確的是（）A.班主任采用的是抽樣調查 B.喜愛動畫節目的同學最多C.喜愛戲曲節目的同學有6名 D.“體育”對應扇形的圓心角為【答案】D【解析】【分析】根據全班共50名學生，班主任制作了50份問卷調查，可知班主任采用的是普查，由此可判斷A；根據喜愛娛樂節目的同學所占的百分比最多，可判斷B；用50乘以喜愛戲曲節目的同學所占的百分比計算出喜愛戲曲節目的同學的人數，可判斷C；用乘以“體育”所占的百分比求出“體育”對應扇形的圓心角的度數，即可判斷D．本題考查了扇形統計圖，從扇形統計圖中正確獲取信息是解題關鍵．【詳解】全班共50名學生，班主任制作了50份問卷調查，所以班主任采用的是全面調查，故A選項錯誤；喜愛娛樂節目的同學所占的百分比最多，因此喜愛娛樂節目的同學最多，故B選項錯誤；喜愛戲曲節目的同學有名，故C選項錯誤；“體育”對應扇形的圓心角為，故D選項正確．故選：D．6.如圖，邊長為2的正六邊形內接于，則它的內切圓半徑為（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質，勾股定理；連接，，作于G，證明是等邊三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，連接，，作于G，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，即它的內切圓半徑為，故選：D．7.已知點在反比例函數的圖象上，則的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，根據反比例函數的性質得到函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，結合三點的橫坐標即可求解，掌握反比例函數圖象的性質是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴函數的圖象分布在第二、四象限，在每一象限，y隨x的增大而增大，∵，∴∴，故選：C．8.解分式方程時，去分母變形正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查通過去分母將分式方程轉化為整式方程，方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，即可去分母．【詳解】解：方程兩邊同乘，得，整理可得：故選：A．9.如圖，分別延長圓內接四邊形的兩組對邊，延長線相交于點E，F．若，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據“圓的內接四邊形對角互補”可得，．根據三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．本題主要考查了“圓的內接四邊形對角互補”和三角形外角定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．【詳解】∵四邊形是的內接四邊形我∴，，，，，，，，解得，，．故選：C10.如圖，用大小相等的小正方形按照一定規律拼正方形．第一幅圖有1個正方形，第二幅圖有5個正方形，第三幅圖有14個正方形……按照此規律，第六幅圖中正方形的個數為（）A.90 B.91 C.92 D.93【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了規律型問題，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到有關圖形個數的規律．仔細觀察圖形知道第1個圖形有1個正方形，第2個有個，第3個圖形有個，…由此得到規律求得第6個圖形中正方形的個數即可．【詳解】第1個圖形有1個正方形，第2個圖形有個正方形，第3個圖形有個正方形，……第6個圖形有（個）正方形，故選：B.二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.我國自主研發的口徑球面射電望遠鏡（）有“中國天眼”之稱，它的反射面面積約為．將數用科學記數法表示為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：，故答案為：．12.已知，則的值是______．【答案】2【解析】【分析】本題考查了代數式的求值，解題的關鍵是熟練掌握整體思想的運用．根據對已知條件進行變形得到，代入進而即可求解【詳解】解：，，故答案為：213.如圖，四邊形的對角線，相交于點O，，請補充一個條件______，使四邊形是平行四邊形．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可求解．【詳解】解：添加條件：，證明：∵，∴，在和中，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：（答案不唯一）14.將拋物線向下平移k個單位長度．若平移后得到的拋物線與x軸有公共點，則k的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先根據平移的規律寫出拋物線向下平移k個單位長度后的拋物線的表達式，再根據平移后得到的拋物線與x軸有公共點可得，由此列不等式即可求出k的取值范圍．此題考查了二次函數圖像的平移與幾何變換，以及拋物線與x軸的交點問題，利用拋物線解析式的變化規律：左加右減，上加下減是解題關鍵．【詳解】解：將拋物線向下平移k個單位長度得，∵與x軸有公共點，∴，即，解得，故答案為：．15.如圖，中，，是的角平分線．（1）以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點，．（2）以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點．（3）以點為圓心，長為半徑畫弧，與（2）中所畫的弧相交于點．（4）畫射線．（5）以點為圓心，長為半徑畫弧，交射線于點．（6）連接，，分別交，于點，．根據以上信息，下面五個結論中正確的是______．（只填序號）①；②；③；④；⑤．【答案】①②⑤【解析】【分析】本題為尺規作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定義，銳角三角函數的比值關系，相似三角形的判定及性質等知識點，靈活運用角的等量代換是解題的關鍵．根據等腰三角形的性質即可判斷出①；過作于點，證出四邊形為矩形，即可通過邊的比值關系求出，即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個角的值進行比較即可判斷③；設，則，用含的式子分別表達出和的長度后即可判斷④；判定出即可判斷⑤．【詳解】解：∵，，∴三角形等腰直角三角形，，又∵是的角平分線，∴，∴，∴，故①正確；根據題意作圖可得：，，過作于點，則，如圖所示：∵是的角平分線，由三線合一可得：，即，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴，故②正確；∵，，∴，故③錯誤；設，則，∵，∴，∴，即，，即，∴，故④錯誤；∵，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故⑤正確；綜上所述，正確的有：①②⑤；故答案為：①②⑤．三、解答題：本大題共7小題，共55分．16.先化簡，再求值：，其中，．【答案】【解析】【分析】先將原式利用多項式乘以多項式，以及平方差公式化簡，去括號合并同類項得到最簡結果，再把x與y的值代入計算即可求出結果．此題考查了整式的混合運算及化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【詳解】解：，當，時，原式．17.如圖，三個頂點的坐標分別是．（1）將向下平移2個單位長度得，畫出平移后的圖形，并直接寫出點的坐標；（2）將繞點逆時針旋轉得．畫出旋轉后的圖形，并求點運動到點所經過的路徑長．【答案】（1）作圖見解析，（2）作圖見解析，【解析】【分析】本題考查了作圖—平移變換和旋轉變換，弧長公式，解題的關鍵熟練掌握平移和旋轉的性質，（1）利用平移的性質作出對應點，再連線即可，（2）利用旋轉的性質分別作出對應點，再連線，運動到點所經過的路徑長即為弧長即可可求解【小問1詳解】解：如下圖所示：由圖可知：；【小問2詳解】解：如上圖所示：運動到點所經過的路徑為：18.為做好青少年安全教育工作，某校開展了主題為“珍愛生命，牢記安全”的知識競賽（共20題，每題5分，滿分100分）．該校從學生成績都不低于80分的八年級（1）班和（3）班中，各隨機抽取了20名學生成績進行整理，繪制了不完整的統計表、條形統計圖及分析表．【收集數據】八年級（1）班20名學生成績：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年級（3）班20名學生成績：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95．【描述數據】八年級（1）班20名學生成績統計表分數80859095100人數33ab3【分析數據】八年級（1）班和（3）班20名學生成績分析表統計量班級平均數中位數眾數方差八年級（1）班9541.5八年級（3）班919026.5【應用數據】根據以上信息，回答下列問題．（1）請補全條形統計圖：（2）填空：______，______；（3）你認為哪個班級的成績更好一些？請說明理由；（4）從上面5名得100分的學生中，隨機抽取2名學生參加市級知識競賽．請用列表法或畫樹狀圖法求所抽取的2名學生恰好在同一個班級的概率．【答案】（1）見詳解（2）91，92.5（3）八年級（1）班成績較好，理由見詳解（4）【解析】【分析】（1）由八年級（3）班20名學生成績統計可得90分學生有7人，95分學生有6人，補全條形統即可；（2）由八年級（1）班20名學生成績統計可得，，根據平均數和中位數的定義進行計算即可；（3）從平均數，中位數和眾數綜合分析得八年級（1）班成績較好；（4）設八年級（1）班的三名100分的學生用A、B、C表示，八年級（3）班的兩名100分的學生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能結果，再從中找出2名學生恰好在同一個班級的結果數，再根據概率的計算公式進行計算即可．【小問1詳解】解：由八年級（3）班20名學生成績統計可得90分學生有7人，95分學生有6人，補全條形統計圖如圖所示：【小問2詳解】解：由八年級（1）班20名學生成績統計可得，，∴，一共20名學生，中位數應該為第10名與第11名平均數，．【小問3詳解】解：八年級（1）班和八年級（3）班平均成績相同，但八年級（1）班的中位數和眾數都比八年級（3）班高，即八年級（1）班高分段人數較多．因此八年級（1）班成績較好．【小問4詳解】解：設八年級（1）班的三名100分的學生用A、B、C表示．八年級（3）班的兩名100分的學生用X、Y表示，則隨機抽兩名學生的所有情況如下：(1)班（3）班ABCXYA

ABACAXAYBBA

BCBXBYCCACB

CXCYXXAXBXC

XYYYAYBYCYX

一共有20種情況．其中兩名同學在同一個班級的有共8種，∴所抽取的2名學生恰好在同一個班級的概率為：．【點睛】本題考查讀統計表和統計圖，利用統計圖獲取信息的能力以及中位數，眾數和平均數，以及概率的計算．利用統計表獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．19.如圖，內接于，D是上一點，．E是外一點，，連接．（1）若，求的長；（2）求證：是的切線．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據可得，然后證明，根據全等三角形的性質可得答案；（2）連接，首先證明，再根據三角形內角和定理和圓周角定理求出，然后計算出即可．【小問1詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴；【小問2詳解】證明：如圖，連接，由（1）得：，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵是半徑，∴是的切線．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，圓周角定理，切線的判定等知識，熟練掌握相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．20.某商場以每件80元的價格購進一種商品，在一段時間內，銷售量y（單位：件）與銷售單價x（單位：元/件）之間是一次函數關系，其部分圖象如圖所示．（1）求這段時間內y與x之間的函數解析式；（2）在這段時間內，若銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件的銷售任務，當銷售單價為多少時，商場獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）這段時間內y與x之間的函數解析式為（2）當銷售單價為元時，商場獲得利潤最大，最大利潤是元【解析】【分析】（1）設這段時間內y與x之間的函數解析式為，函數經過，，可以利用待定系數法建立二元一次方程組，即可求出解析式；（2）根據銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件，建立一元一次不等式組，即可求出銷售單價的取值范圍，要求最大利潤，首先設獲得利潤為，寫出關于的二次函數解析式，根據二次函數的增減性和的取值范圍，即可求出獲得利潤的最大值【小問1詳解】解：設這段時間內y與x之間的函數解析式為，由圖象可知，函數經過，，可得，解得，這段時間內y與x之間的函數解析式為；小問2詳解】解：銷售單價不低于100元，且商場還要完成不少于220件，，，即，解得，設獲得利潤為，即，對稱軸，，即二次函數開口向下，的取值范圍是，在范圍內，隨著的增大而增大，即當銷售單價時，獲得利潤有最大值，最大利潤元．【點睛】本題考查了求一次函數的解析式，二次函數的性質，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，解題的關鍵是用待定系數法求函數的解析式，掌握二次函數的性質以及二次函數最大值的求解．21.綜合與實踐某校數學課外活動小組用一張矩形紙片（如圖1，矩形中，且足夠長）進行探究活動．【動手操作】如圖2，第一步，沿點A所在直線折疊，使點D落在上的點E處，折痕為，連接，把紙片展平．第二步，把四邊形折疊，使點A與點E重合，點D與點F重合，折痕為，再把紙片展平．第三步，連接．【探究發現】根據以上操作，甲、乙兩同學分別寫出了一個結論．甲同學的結論：四邊形是正方形．乙同學的結論：．（1）請分別判斷甲、乙兩同學的結論是否正確．若正確，寫出證明過程；若不正確，請說明理由．【繼續探究】在上面操作的基礎上，丙同學繼續操作．如圖3，第四步，沿點G所在直線折疊，使點F落在上的點M處，折痕為，連接，把紙片展平．第五步，連接交于點N．根據以上操作，丁同學寫出了一個正確結論：．（2）請證明這個結論．【答案】（1）甲、乙同學的結論正確，證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】本題主要考查了折疊的性質，矩形的性質和判定，正方形的判定和性質，菱形的判定和性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一性質，解題的關鍵是正確作出輔助線并熟練掌握相關的性質定理，（1）先證明四邊形為矩形，再根據即可證明四邊形為正方形，設，由折疊性質可知：，，再根據等腰直角三角形的性質分別求出，，即可得出，進而可得出結論；（2）作交于點R，利用證明，得出，再證明四邊形為菱形，得出，進而證明，再根據證明，得出，進而證明，即可得出結論【詳解】解：（1）甲、乙同學的結論都正確，理由如下：四邊形是矩形，由第一步操作根據折疊性質可知：四邊形為矩形，又四邊形為正方形，故甲同學的結論正確；作于點M，四邊形為正方形，設，由第二步操作根據折疊性質可知：，在中，在中，,故乙同學結論正確；（2）作交于點R，如圖所示：為折痕,四邊形為矩形，在和中，又由折疊性質可知：四邊形為菱形，即在和中，22.已知二次函數的圖像經過，兩點，其中a，b，c為常數，且．（1）求a，c的值；（2）若該二次函數的最小值是，且它的圖像與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．①求該二次函數的解析式，并直接寫出點A，B的坐標；②如圖，在y軸左側該二次函數的圖像上有一動點P，過點P作x軸的垂線，垂足為D，與直線交于點E，連接，，．是否存在點P，使？若存在，求此時點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1），（2）①該二次函數的解析式為：；，②存在，P點橫坐標為：或或【解析】【分析】（1）先求得，則可得和關于對稱軸對稱，由此可得，進而可求得；（2）①根據拋物線頂點坐標公式得，由此可求得，進而可得拋物線的表達式為，進而可得，；②分兩種情況進行討論：當點P在點A右側時，當點P在點A左側時，分別畫出圖形，求出點P的坐標即可．【小問1詳解】解：∵的圖像經過，∴，∴和關于對稱軸對稱，∴，，，∴，．【小問2詳解】解：①∵，，∴，∵，∵解得，∵，且，∴，∴，∴該二次函數的解析式為：，當時，，解得，，∴，．②設直線的表達式為：，則，解得，∴直線的表達式為：，當點P在點A右側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，，∴點P橫坐標為或；當點P在點A左側時，作于F，如圖所示：設，則，，則，,，∵，，，∴，∵，，解得：，（舍去），∴點P橫坐標為，綜上所述，P點橫坐標為：或或．【點睛】本題考查了二次函數與一次函數綜合，二次函數與幾何綜合，利用待定系數法求二次函數和一次函數的表達式．熟練掌握“三角形面積水平寬鉛錘高”是解題的關鍵．泰安市2024年年初中學業水平考試數學試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.的相反數是（）A. B. C. D.2.下列運算正確是（）A. B.C. D.3.下面圖形中，中心對稱圖形的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個4.據泰山景區2024年1月4日消息，2023年泰山景區累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數據860萬用科學記數法表示（）A. B. C. D.5.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（）A. B. C. D.6.如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（）A B. C. D.7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.8.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列出符合題意的二元一次方程組：．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A.甜果九個十一文，苦果七個四文錢 B.甜果七個四文錢，苦果九個十一文C.甜果十一個九文，苦果四個七文錢 D.甜果四個七文錢，苦果十一個九文9.如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.11.如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個12.如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結．當點在直線上運動時，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.單項式的次數是________．14.某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．15.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數據：，，，）16.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

17.如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第__________個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）化簡：．20.某超市打算購進一批蘋果，現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統計量供應商平均數中位數眾數甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，__________供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？21.直線與反比例函數的圖象相交于點，，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積．22.隨著快遞行業的快速發展，全國各地的農產品有了更廣闊的銷售空間，某農產品加工企業有甲、乙兩個組共名工人．甲組每天加工件農產品，乙組每天加工件農產品，已知乙組每人每天平均加工的農產品數量是甲組每人每天平均加工農產品數量的倍，求甲、乙兩組各有多少名工人？23.綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數學知識，某校九年級數學興趣小組的同學進行了數學折紙探究活動．【探究發現】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片翻折，使矩形頂點的對應點恰好落在矩形的一邊上，折痕為，將紙片展平，連結，與相交于點．同學們發現圖形中四條線段成比例，即，請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，是平行四邊形紙片的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點的對應點，點的對應點都落在對角線上，折痕分別是和，將紙片展平，連結，，，同學們探究后發現，若，那么點恰好是對角線的一個“黃金分劇點”，即．請你判斷同學們的發現是否正確，并說明理由．24.如圖1，在等腰中，，，點，分別在，上，，連接，，取中點，連接．（1）求證：，；（2）將繞點順時針旋轉到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關系：___________________；②求證：．25.如圖，拋物線的圖象經過點，與軸交于點A，點．（1）求拋物線表達式；（2）將拋物線向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到拋物線，求拋物線的表達式，并判斷點是否在拋物線上；（3）在軸上方的拋物線上，是否存在點，使是等腰直角三角形．若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．泰安市2024年年初中學業水平考試數學試題一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）1.的相反數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行求解即可．【詳解】解：的相反數是．故選：D．【點睛】本題考查了求一個數的相反數，熟練掌握相反數的概念以及求解方法是解題的關鍵．2.下列運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方進行判斷即可求解．【詳解】解：A、與不是同類項，不能合并同類項，故不符合題意；B、，故不符合題意；C、，故不符合題意；D、，故符合題意；故選：D．【點睛】本題考查合并同類項法則、單項式除以單項式法則、平方差公式、積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．3.下面圖形中，中心對稱圖形的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，熟練掌握概念是解題的關鍵．根據中心對稱圖形的概念對各圖形分析判斷即可求解．【詳解】解：第一個是中心對稱圖形，符合題意；第二個是是中心對稱圖形，符合題意；第三個是是中心對稱圖形，符合題意；第四個不是中心對稱圖形，不符合題意；所以符合題意的有3個．故選：C．4.據泰山景區2024年1月4日消息，2023年泰山景區累計接待進山游客超860萬人次，同比增長301.36%，刷新了歷年游客量最高記錄，數據860萬用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法，科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，正確確定a的值以及n的值是解題的關鍵．直接運用科學記數法的定義解答即可．【詳解】解：860萬．故選：D．5.如圖，直線，等邊三角形的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質、等邊三角形的性質，根據平行線的性質可得，從而可得，再根據等邊三角形的性質可得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，故選：B．6.如圖，是的直徑，，是上兩點，平分，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查圓周角定理、角平分線的定義、三角形的內角和定理，先根據角平分線的定義得到根據圓周角定理得到，再根據圓周角定理得到，，然后利用三角形的內角和定理求解即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵是的直徑，，∴，，則，∴，故選：A．7.關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數根的條件是解題的關鍵．根據一元二次方程有實數根的條件是，據此列不等式求解即可．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有實數根，∴，解得．故選B．8.我國古代《四元玉鑒》中記載“二果問價”問題，其內容如下：九百九十九文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個，又問各該幾個錢？若設買甜果x個，買苦果y個，列出符合題意的二元一次方程組：．根據已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應為（）A.甜果九個十一文，苦果七個四文錢 B.甜果七個四文錢，苦果九個十一文C.甜果十一個九文，苦果四個七文錢 D.甜果四個七文錢，苦果十一個九文【答案】A【解析】分析】根據可得甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，【詳解】解：根據，可得甜果九個十一文，苦果七個四文錢，故選A【點睛】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關鍵是明確題意，根據方程組找出等量關系．9.如圖，中，，分別以頂點A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點和點，作直線分別與，交于點和點；以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點和點，再分別以點，點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線，若射線恰好經過點，則下列四個結論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】本題主要考查作圖-復雜作圖、角平分線的性質、線段的垂直平分線的性質等知識，讀懂圖象信息，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．由作圖可知垂直平分線段、平分，進而證明可判定①；再說明可得垂直平分線段可判定②；根據直角三角形的性質可得可判定③，根據三角形的面積公式即可判定④．【詳解】解：由作圖可知垂直平分線段，∴，∴，由作圖可知平分，∴，∵，∴，故①正確，∴，∵，∴，∴垂直平分線段，故②正確，∵，∴，故③正確，∴，∵，∴，∴，故④正確．故選：D．10.兩個半徑相等的半圓按如圖方式放置，半圓的一個直徑端點與半圓的圓心重合，若半圓的半徑為2，則陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了扇形的面積公式的運用、三角形的面積公式的運用等知識點，熟練掌握扇形的面積公式是關鍵．如圖：連接，作于點B，得三角形是等邊三角形，求出，再根據，即可解答．【詳解】解：如圖：連接，作于點B，∵，∴三角形是等邊三角形，∴，∴∴,∴．故選：A．11.如圖所示是二次函數的部分圖象，該函數圖象的對稱軸是直線，圖象與軸交點的縱坐標是2，則下列結論：①；②方程一定有一個根在和之間；③方程一定有兩個不相等的實數根；④．其中，正確結論的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】本題主要考查的是圖象法求一元二次方程的近似值、拋物線與x軸的交點、二次函數圖象與系數的關系、二次函數與方程的關系等知識點，掌握二次函數的性質、二次函數圖象與系數的關系是解題的關鍵．根據拋物線與坐標軸的交點情況、二次函數與方程的關系、二次函數的性質逐個判斷即可．【詳解】解：∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴,∴，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點在2、3之間，∴與x軸的另一個交點在、0之間，∴方程一定有一個根在和0之間，故②錯誤；∵拋物線與直線有兩個交點，∴方程一定有兩個不相等的實數根，故③正確；∵拋物線與x軸的另一個交點在，0之間，∴，∵圖象與y軸交點的縱坐標是2，∴，∴，∴．故④錯誤．綜上，①③正確，共2個．故選：B．12.如圖，菱形中，，點是邊上的點，，，點是上的一點，是以點為直角頂點，為角的直角三角形，連結．當點在直線上運動時，線段的最小值是（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】如圖：過E作于點M，作于點H，作于點I，則點E、M、F、G四點共圓，從而得到，因為，所以求出的值即可解答．【詳解】解：如圖，過E作于點M，作于點H，作于點I，∵，∴點E、M、F、G四點共圓，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴最小值是．故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質、解直角三角形、垂線段最短、圓內接四邊形對角互補等知識點，熟練掌握相關知識點和添加合適的輔助線是解題關鍵．二、填空題（本大題共6小題，滿分24分．只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）13.單項式的次數是________．【答案】【解析】【分析】根據單項式次數的定義進行解答即可．【詳解】解：單項式中，的指數是，的指數是，∴此單項式的次數為：．故答案為：．【點睛】本題考查單項式的次數，一個單項式中所有字母的指數的和叫做單項式的次數．理解和掌握單項式次數的定義是解題的關鍵．14.某學校在4月23日世界讀書日舉行“書香校園，全員閱讀”活動．小明和小穎去學校圖書室借閱書籍，小明準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》中隨機選擇一本，小潁準備從《西游記》、《駱駝祥子》、《朝花夕拾》中隨機選擇一本，小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查列表法與樹狀圖法、概率公式等知識，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．先列表可得出所有等可能的結果數以及小明和小穎恰好選中書名相同的書的結果數，再利用概率公式計算即可．【詳解】解：將《西游記》、《駱駝祥子》、《水滸傳》、《朝花夕拾》分別記為A，B，C，D，列表如下：

ABDA（A，A）（A，B）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）共有9種等可能的結果，其中小明和小穎恰好選中書名相同的書的結果有2種，∴小明和小穎恰好選中書名相同的書的概率為．故答案為：．15.在綜合實踐課上，數學興趣小組用所學數學知識測量大汶河某河段的寬度，他們在河岸一側的瞭望臺上放飛一只無人機，如圖，無人機在河上方距水面高60米的點處測得瞭望臺正對岸A處的俯角為，測得瞭望臺頂端處的俯角為，已知瞭望臺高12米（圖中點，，，在同一平面內），那么大汶河此河段的寬為__________米．（參考數據：，，，）【答案】74【解析】【分析】本題主要考查解直角三角形的應用—仰角、俯角問題等知識點，熟練掌握解直角三角形是解題關鍵．根據題意可得，則，再通過解直角三角形求得和，最后根據線段的和差即可解答．【詳解】解：由題知,∴,在，∴,∴,在中，,∴,∴．故答案為：74．16.如圖，小明的父親想用長為60米的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形的菜園，已知房屋外墻長40米，則可圍成的菜園的最大面積是__________平方米．

【答案】450【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的應用，熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是解題的關鍵．設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，又墻長為40米，從而可得，故，又菜園的面積，進而結合二次函數的性質即可解答．【詳解】解：由題意，設垂直于墻的邊長為x米，則平行于墻的邊長為米，又墻長為40米，∴．∴．菜園的面積，∴當時，可圍成的菜園的最大面積是450，即垂直于墻的邊長為15米時，可圍成的菜園的最大面積是450平方米．故答案為：450．17.如圖，是的直徑，是的切線，點為上任意一點，點為的中點，連接交于點，延長與相交于點，若，，則的長為__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查相似三角形的判定和性質、切線的性質、圓周角定理等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．先證可得從而得到，求得，再運用勾股定理可得，再根據圓周角定理以及角的和差可得，最后根據等角對等邊即可解答．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵點為的中點，∴，∴，∵，∴，即，∴．故答案為：．18.如圖所示，是用圖形“○”和“●”按一定規律擺成的“小屋子”．按照此規律繼續擺下去，第__________個“小屋子”中圖形“○”個數是圖形“●”個數的3倍．【答案】12【解析】【分析】本題主要考查了圖形變化的規律、一元二次方程的應用等知識點，能根據所給圖形發現“〇”和“●”的個數變化規律是解題的關鍵．根據所給圖形，依次求出“〇”和“●”的個數，發現規律，再利用規律列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：由所給圖形可知，第1個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第2個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第3個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；第4個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；…，所以第n個“小屋子”中圖形“〇”的個數為：，“●”的個數為：；由題知，解得，又n為正整數，則，即第12個“小屋子”中圖形“〇”個數是圖形“●”個數的3倍．故答案為：12．三、解答題（本大題共7小題，滿分8分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）19.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】本題考查了實數的運算和分式的化簡，實數運算涉及特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值，熟練掌握相關的法則是解題的關鍵．（1）利用特殊角的三角函數，負指數冪，二次根式和絕對值進行實數的運算；（2）利用分式的運算法則化簡即可．【詳解】解：（1）；；（2）．20.某超市打算購進一批蘋果，現從甲、乙兩個供應商供應的蘋果中各隨機抽取10個，測得它們的直徑（單位：mm），并制作統計圖如下：根據以上信息，解答下列問題：（1）統計量供應商平均數中位數眾數甲8080乙76則__________，__________，__________．（2）蘋果直徑的方差越小，蘋果的大小越整齊，據此判斷，__________供應商供應的蘋果大小更為整齊．（填“甲”或“乙”）（3）超市規定直徑（含）以上的蘋果為大果，超市打算購進甲供應商的蘋果2000個，其中，大果約有多少個？【答案】（1）80，，（2）甲（3）600【解析】【分析】本題主要考查了平均數、中位數、眾數、方差以及用樣本估計總體等知識點，掌握相關統計量的計算方法是解答本題的關鍵．（1）分別根據算術平均數，中位數和眾數的定義解答即可；（2）根據方差的意義解答即可；（3）利用樣本估計總體，即用2000乘樣本中直徑（含）以上所占比例即可．【小問1詳解】解：由題意得：；把乙的10個蘋果的直徑從小到大排列，排在中間的兩個數分別是79，80，故中位數；甲10個蘋果的直徑中，83出現的次數最多，故眾數．故答案為：80，，．【小問2詳解】解：甲的方差為：；乙的方差為：，因為，所以甲供應商供應的蘋果大小更為整齊．故答案為：甲．【小問3詳解】解：（個）．答：大果約有600個．21.直線與反比例函數的圖象相交于點，，與軸交于點．（1）求直線的表達式；（2）若，請直接寫出滿足條件的的取值范圍；（3）過點作軸的平行線交反比例函數的圖象于點，求的面積．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】本題主要考查反比例函數與一次函數的交點問題、根據函數圖像求不等式解集、三角形的面積等知識點，掌握運用待定系數法求解析式及數形結合思想是解題的關鍵．（1）分別將點、點代入，求出m、n的值，再分別代入中即可解答；

（2）根據函數圖像確定不等式的解集即可；

（3）先把代