2024-2025學年福建省三明市高三上學期12月月考數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復數在復平面內對應的點的坐標為（

）A． B． C． D．2．拋物線的準線方程是（

）A． B．C． D．3．若，下列選項中，使“”成立的一個必要不充分條件為（

）A． B． C． D．4．已知函數在上滿足，則曲線在點處的切線方程為（

）A． B．C． D．5．如圖所示，六氟化硫分子結構是六個氟原子處于頂點位置，而硫原子處于中心位置的正八面體，也可將其六個頂點看作正方體各個面的中心點．若正八面體的表面積為，則正八面體外接球的體積為（

）A． B． C． D．6．為了協調城鄉教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學在內的三所學校支教（每所學校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學校，丙教師不去往希望中學，則不同的分配方法有（

）種.A． B． C． D．7．若函數的圖象與函數的圖象的任意三個連續交點都是一個正三角形的三個頂點，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點作傾斜角為的直線與的左?右兩支分別交于點，若，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．二、多選題（本大題共3小題）9．某機械制造裝備設計研究所為推進對機床設備的優化，成立兩個小組在原產品的基礎上進行不同方向的研發，組偏向于智能自動化方向，組偏向于節能增效方向，一年后用簡單隨機抽樣的方法各抽取6臺進行性能指標測試（），測得組性能得分為：，組性能得分為：，則（

）A．組性能得分的平均數比組性能得分的平均數高B．組性能得分的中位數比組性能得分的中位數小C．組性能得分的極差比組性能得分的極差大D．組性能得分的第75百分位數比組性能得分的平均數大10．已知等比數列的公比為，前n項和為，若，且，則（

）A． B． C． D．11．中國結是一種手工編織工藝品，其外觀對稱精致，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，中國結有著復雜曼妙的曲線，其中的結對應著數學曲線中的雙紐線.已知在平面直角坐標系中，到兩定點，距離之積為常數的點的軌跡C是雙紐線.若是曲線C上一點，則下列結論正確的是（

）

A．曲線C的圖象關于原點對稱B．曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）C．曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過3D．曲線C上有且僅有3個點P滿足三、填空題（本大題共3小題）12．若數列滿足，數列的前項和為，則.13．用1?2?3?4?5組成沒有重復數字的五位數，若滿足的五位數有個，則在的展開式中，的系數是.（用數字作答）14．如圖，對于曲線G所在平面內的點O，若存在以O為頂點的角α，使得對于曲線G上的任意兩個不同的點A，B，恒有成立，則稱角α為曲線G的相對于點O的“界角”，并稱其中最小的“界角”為曲線G的相對于點O的“確界角”.已知曲線C：（其中是自然對數的底數），O為坐標原點，曲線C的相對于點O的“確界角”為，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知籃球比賽中，得分規則如下：3分線外側投入可得3分，踩線及3分線內側投入可得2分，不進得0分；經過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側投入，20個是踩線及3分線內側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數學期望．16．在三棱柱中，，，，分別為，的中點，．(1)求證：；(2)若，求二面角的正弦值．17．已知函數.(1)若函數存在一條對稱軸，求的值；(2)求函數的單調區間.18．已知橢圓的左、右焦點分別為為橢圓的一個頂點，且右焦點到雙曲線漸近線的距離為(1)求橢圓C的標準方程；(2)設直線與橢圓C交于A，B兩點.①若直線過橢圓右焦點，且的面積為求實數k的值；②若直線過定點，且，在x軸上是否存在點使得以TA，TB為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在，則求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．對于任意正整數n，進行如下操作：若n為偶數，則對n不斷地除以2，直到得到一個奇數，記這個奇數為；若n為奇數，則對不斷地除以2，直到得出一個奇數，記這個奇數為.若，則稱正整數n為“理想數”.(1)求20以內的質數“理想數”；(2)已知.求m的值；(3)將所有“理想數”從小至大依次排列，逐一取倒數后得到數列，記的前n項和為，證明.

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，其對應的坐標為，故選：C.2．【正確答案】D【詳解】由得拋物線的標準方程為，所以其準線方程為.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】不等式等價于，使“”成立的一個必要不充分條件，對應的集合為，則是的真子集，由此對照各項，可知只有A項符合題意．故選：A．4．【正確答案】C【詳解】，．解得，，在處的切線斜率為．又，函數在處的切線方程為，即．故選：C．5．【正確答案】B【分析】根據正八面體的結構特征結合條件可得外接球的半徑，進而由球的體積公式即得體積．【詳解】如圖正八面體，連接和交于點，因為，，所以，，又和為平面內相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設正八面體的外接球的半徑為，因為正八面體的表面積為，所以正八面體的棱長為，所以，，，則，.故選B．6．【正確答案】B【詳解】先將丙安排在一所學校，有種分法；若甲、丙在同一所學校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學校（記為X校），分別對應有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學校或不在同一所學校），共種排法；若甲、丙不在同一所學校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學校，則有剩下3人可分別分為1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】解法一由，令，得，所以，不妨取，1，2，得三個連續的交點依次為，，，因為為正三角形，為的邊長，為的高，由正弦函數、余弦函數的圖象可知在和的圖象的交點處，所以的高為，所以，解得．解法二：如圖，在同一平面直角坐標系中，作出函數和的圖象，設兩圖象的三個連續交點分別為A，B，C，連接，，，則為正三角形，過點作，垂足為，由正弦函數、余弦函數的圖象可知在和的圖象的交點處，所以，所以，所以的最小正周期，即，所以．故選：A．8．【正確答案】A【詳解】依題意，由，得，即的平分線與直線PQ垂直，設的平分線與直線PQ交于點D，如圖，則，，又，所以，所以，．由題得，，設，，，在中，，，則，，由雙曲線的性質可得，解得，則，所以在中，，又，，所以，即，整理得，所以．故選：A9．【正確答案】AD【分析】根據計算公式分別計算兩個小組的平均數、中位數、極差、第75百分位數，再對各選項逐一判斷即可.【詳解】由題意可得組性能得分的平均數為，組性能得分的平均數為，所以組性能得分的平均數比組性能得分的平均數高，故A正確；組性能得分的中位數為，組性能得分的中位數為，所以組性能得分的中位數比組性能得分的中位數大，故B錯誤；組性能得分的極差為，組性能得分的極差為，所以組性能得分的極差比組性能得分的極差小，故C錯誤；組性能得分共個數據，，所以組性能得分的第75百分位數為，比組性能得分的平均數大，故D正確.故選AD.10．【正確答案】BC【分析】首先排除公比的特殊情況，結合給定條件解出公比范圍，利用等比數列的性質逐個分析即可.【詳解】A：，故A錯誤；B:，對恒成立，則恒成立，則，，故，故B正確；C：，故C正確；D：由，故D錯誤.故選BC.11．【正確答案】AC【詳解】對于選項A：化簡得到：，將代入可得，所以曲線.把代入得，所以，曲線的圖象關于原點對稱，故A正確；對于選項B：令解得，即：曲線經過，結合圖象，得.今，得，令，得，因此，結合圖象曲線只能經過3個整點.故B錯誤；對于選項C：可得，所以曲線上任意一點到坐標原點的距離，即：都不超過3，故C正確；對于選項D：點滿足，則在垂直平分線上，則，設，則，所以，故只有原點滿足，故D錯誤.故選.12．【正確答案】/【詳解】由，則,當時，上式相加得，又，所以，又符合上式，可知，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】56【詳解】由五位數需滿足可知，，再從2，3，4，5中任取兩個數，大數是，小數是，剩下兩個數按照大小分別是，．故能組成個這樣的五位數，則．則在的展開式中，含項系數為．故．14．【正確答案】【詳解】當時，過原點作的切線，設切點，，，則切線方程為，又切線過點，所以，所以.設，則，故為增函數，且，所以，當時，過原點作的切線，設切點B，，則切線為，又切線過點所以，又，，因為，所以兩切線垂直，所以.故15．【正確答案】(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）“3分線外側投入”，“踩線及3分線內側投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，由題意知，，，因為每次投籃為相互獨立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率為.（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨立事件，表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，則；表示一次是踩線及3分線內側投入，另一次不能入籃，則；表示一次是3分線外側投入，另一次不能入籃，則；表示兩次都是踩線及3分線內側投入，則；表示一次是3分線外側投入，另一次是踩線及3分線內側投入，則；表示兩次都是3分線外側投入，則，故的分布列為023456所以.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接，取中點為，連接，，因為，所以，因為，為，的中點，且，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為，且，所以平面，因為平面，所以；（2）因為，在中，，所以，又平面，故平面，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，所以，，，設平面與平面的一個法向量分別為，，則，令，解得，故，，令，解得，，故，設二面角的平面角為，則，所以，所以二面角的正弦值為．17．【正確答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）因為函數，所以函數定義域為?1,1，且函數存在一條對稱軸，故對稱軸為，所以，即，所以，故，當且僅當時上式恒成立，故.（2）由題意，當時，有且，所以f'x<0，故的單調減區間為當時，令，且當時，f'x>0，當時，f所以的單調增區間為，單調或區間為；綜上，當時，的單調減區間為，無增區間；當時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為.18．【正確答案】(1)；(2)①；②.【詳解】（1）由雙曲線的漸近線方程為，再由橢圓的右焦點分別為到漸近線的距離為可得：，因為，所以解得，再由橢圓的一個頂點為，可得，所以由，即橢圓C的標準方程為；（2）①直線過橢圓右焦點可得：，即，所以由直線與橢圓C的標準方程聯立方程組，消去得：，設兩交點，則有所以，又橢圓左焦點到直線的距離為，所以，解得：或（舍去），即；②假設存在點使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形，由于直線過定點，且，可知直線方程為，與橢圓聯立方程組，消去得：，由，且，解得，

設兩交點，中點，則有所以，即，整理得，又因為，所以，則.19．【正確答案】(1)2和5為兩個質數“理想數”(2)的值為12或18(3)證明見解析【分析】（1）根據“理想數”概念，結合列舉法可解；（2）分析題意知道必為奇數，則必為偶數，結合整除知識得解；（3）將數列適當放縮，后分組，結合等比數列求和公式計算即可.【詳解】（1）以內的質數為，，故，所以為“理想數”；，而，故不是“理想數”；，而，故是“理想數”；，而，故不是“理想數”；，而，故不是“理想數”；，而，故不是“理想數