向量法在中學中的應用關鍵詞向量法解題；數形結合；幾何；代數；三角函數 11緒論 21.1向量的起源與發展綜述 21.2向量解題研究的現狀 32向量解題和解題研究 52.1向量的基本概念及運算 52.2問題解決 62.3向量解題的意義 73向量法在中學幾何中的應用 73.1用向量數量積來解決幾何問題 83.2通過建立空間直角坐標系來解決幾何問題 93.3利用法向量求解幾何中的線面角、面面角問題 4向量法在中學代數中的應用 4.1向量在代數中的應用 4.2等式及不等式的證明以及求最值問題 4.3求變量的取值范圍 5平面向量與三角函數 5.1相關概念 5.2通過構造向量法解決三角函數問題 5.3平面向量與三角函數融合命題 約公元前350年，亞里士多德，古希臘一位學者，指出向量能夠用于表示力，根作為近代物理學之父，最早提出向量能夠通過有向線段得到表示。從19世紀末期開始到20世紀初期，向量已經得到了迅猛發展，已有運算通性極為成熟的數幾何表示。18世紀末期，復數首次通過坐標平面中存在的某個點得到表示，表示形式為：a+bi。威賽爾，挪威的一名測量學家，首次提出了該種表示法，他用相關運算體系才能讓問題得到解決。漢密爾頓，英國的一位數學家，于19世紀中期發明了四元數，四元數的出現打破了這個僵局1.2向量解題研究的現狀1.2.1向量法解題的價值研究根據張奠宙、沈文選等人對于向量法解題價值研究的討論，他們得出結論：1.2.2向量法解題的技巧及應用方法研究體現。為此，他們強調，向量法用于問題的解決時，有四種工具可以得到應用，同時詳細地分析了解題思路以及基本技巧3]。這4個工具分別是：(1)向量與向量相加時遵循的“首尾相連法則”,即AB+BC=AC。(2)“向量數乘”線關系的一個向量，就應當立刻想到“數乘向量”,也就是用一個數乘以一個向量。(3)向量內積，即眾所周知的“數量積”,我們需要熟記的是，如果兩向量之間存在的是垂直關系，那么它們的內積就是等于0的。(4)平面向量基本結并提出，通過向量線性關系可讓這些問題得到解決5,2向量解題和解題研究2.1.1向量的有關概念2.零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，0與任意向量平行。(要注意其與0的區別)3.單位向量：模長等于1的向量。4.平行向量(也就是共線向量):方向相反或者是相同的兩個非零向量。只要一組向量之間是平行的，那么通過平移處理后均可至同一反但是模長一致的向量稱之為a的相反向量，用-a來表示。2.1.2向量加法2.1.3向量的減法1.相反向量：指的是和a方向相反但是模長相等的向量。記作-a,那么對于零向a-b的作圖法：在這兩個向量的起點一致的情況下，a-b能夠用以b的終點為2.1.4實數與向量的積1.用一個實數λ乘以一個向量a得到的還是一個向量，用λa來表示，它的長度與方向規定如下：(2)當λ>0時，Aa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0,方向是任意的。2.數乘向量符合下述運算律：其一交換律，其二分配率，其三結合律。實數與向量的積的運算律：設2、μ為實數，則2.1.5向量有關定理1.兩向量共線定理：向量b和非零向量a共線?只存在一個實數λ,可以使得b=λa成立。2.平面向量基本定理：假使e,e?是同一平面中的兩個不存在共線關系的向量，那么任取該平面的一個向量a,只能找到一對實數2,22可以使得a=λe+Ze?成立，這時e,e?就稱之為一組基底。表示這一平面內的所有向量。2.2.1數學問題解決的涵義問題解決：其內涵在于思考，目標是某個問題，展開的是定向心理過程，是心理活動中的一種。它是人們在日常的工作生活中，遇到從沒有遇到過的問題，并且用自己原有的經驗無法解決這個問題時。引發出的心理上急于處理這項問題的緊張感，在短時間內尋求新的解決策略。數學問題解決，也可以簡稱為解題。“解題指的是將題歸為已解的題的范疇內”[12]。。而對于數學問題來說，解題人首先應該將所給條件讀通、讀懂，而后根據該條件對問題本身的特點展開分析，根據所學的各種知識對文字語言進行轉化，得到數學符號，以得到這道題所需求的數學結果，最后從具體問題出發，求解得到最終答案。2.2.2數學問題解決方法的涵義數學問題解決方法：“問題的條件”是解決方法的敲門磚，要先把一個問題所給的條件弄明白，才能開始解決它。中間就是運用我們所積累的知識，進行實際操練的過程，即需要進行一系列的運算。也可以將這一中間過程比喻為架起一座橋梁。這座橋梁為：看懂條件→制定計劃→實際操作→回顧過程。以上涵義實際上是從《怎樣解題》(波利亞)[13]中總結得出的。其中“看懂條件”,是指解決問題前要先把題目捋順，把條件弄懂，不能一拿到題就開始盲目下手。“制定計劃”是指，在正式答題前，先在頭腦中和草稿紙上將可能用到的公式、知識點等過一遍。“實際操作”是指，將條件帶入預設好的方法中，進行實際運算解答。“回顧過程”既是對解題過程的一種再現，又可以起到“驗證”的作用，體現出嚴謹的數學邏輯思維。向量法：首先還是需要先抓住問題的“條件”,仔細分析該問題與“向量”有何相關之處。找到相關點后，就將問題進行“向量化”的轉化，運用一系列向量的方法求解。最后回到原問題中，得出答案，達到最終的求解目的。向量法解題是按照下述步驟來展開的：第一步，分析實際問題；第二步，提取得到數學問題；第三步，轉化成向量問題；第四步：得出結果。2.3向量解題的意義關于掌握數學意味著什么,美國著名學者波利亞認為。我們要培養善于解題的能力，而這些題不僅是那些標準的常規題，更要善于解一些需要一定思考的、一些自己獨到見解的、新穎有創造性的題目。一個有趣的現象，許多在某個領域中有杰出貢獻的人，他們有一個共同特征：就是都具有超群的數學能力，善于解決各種數學問題。我們該如何教會學生獨立思考問題?該通過什么方式方法去培養學生的數學能力?“解題”就是最實用的方法之一。首先，解題的過程就是學生去獨立認知的過程。通過這個過程，學生能學習到一定的數學本質精神，掌握一定的數學解題技巧。其次，解的題越多，學生腦中對數學知識的建構就越具體、越完善。再者，解題的過程需要大腦的高速運轉，是培養學生各種能力的有力法寶[14]。作為一種數學模型，向量是對現實世界進行的刻畫。在物理中我們最熟悉的矢量：力、速度、位移等。實際生活中到處都充斥著實際背景，均可通過向量得到刻畫并進行描述。向量解題，可以讓學生意識到數學和生活之間是密切相關的，發現很多問題都是從現實生活中提煉出來的，我們所解的每道題在生活中都有例可循。能夠積極引導學生發展各項運算、推理能力，自主建構知識框架。從而達到育人的目的。3.1.1用向量解決立體幾何問題3.1.2利用向量的數量積解決問題3.1.3例題及解析線段DD'⊥α,∠DBD'=30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D間的距離.所以D2=CA+AB+BD2 =C2+AB'+Bo'+2CA·AB+C例3:如圖3-3,M、N分別是棱長為1的正方立體圖形ABCD-A'B'CD的棱BB'、B'C的中點.請求出異面直線MN與CD'所成的角.3.1.4小結3.2.1將立體幾何問題“向量化”的途徑3.2.2例題及解析證明：這里假設正方體的棱長等于1且設DA=i,DC=j,DD?=k.所以D?F⊥平面ADE.證明：如圖3-5所示，我們把點0當作原點，把OA這條有向線段作為正z軸，建BD=(x,y,z)。 1.法向量的具體定義如下：向量a表示的是一個有向線段，假使其所在直線與3.3.1法向量的定義向量a就叫作平面α的法向量。利用法向量：可以巧妙解決空間角度問題。距離3.3.2用法向量求解線面角、面面角有一條直線AB和一個平面α,它們之間形成了一個角θ。該角還能夠理解為AB代表的向量與α的法向量n之間的夾角的余角。這時線面角的求解就轉化成了線線角的求解，即求表示直線的這個向量和這個平面法向量的夾角。對于兩個向量來說，它們形成的夾角的余弦可通過下述公式求解得出：這樣就可推導得到下述公式：3.3.3如何利用向量求解空間距離1.兩異面直線的距離。可以轉化為：與這兩者都相交的線段。在其公垂向量上的投影長度。2.點與平面之間的距離。可以轉化為：過這點的平面的斜線。以平面法向量為基準，得到的投影長度。3.3.4例題及解析 所以，直線OF和平面DEF之間形成了夾角，其正弦值等于4.1向量在代數中的應用向量法解題的優點在于運算比較簡單，方法較為新穎，學生思維能夠4.2.1相關概念介紹(1a-b=|d引。(當a,b同向時取等號)(3)取等號的，在a,b方向相反的情況下，不等式左邊應當是取等號的。4.2.2例題及解析分析：如果令m=(x,y,z),n=(a,b,c)那么本題就轉可以得出m//n因此只要證實m//n就可行了。解：(1)令a=(x,y),b=(1,1),則a·b=x+y,(2)令a=(x+2,y),b=(2,-1),2x-y=t,y=1a+5≥la+6|=√32+(2+3)4.3.1常用方法介紹4.3.2例題及解析代入上式得-3k+32±1=0=5平面向量與三角函數存在的“數量關系”,綜合三角函數有關知識來解答。5.2.1常用解法,,5.2.2例題及解析例1.求函數y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最值。解：原式可化為y=2+sin2x+cos2x,令z=sin2x+cos2x,構造向量a=(sin2x,cos2x),b=(1,1),所以y=2+√2y=2-25.3.1經典例題例1.已知向量)(2a-c)cosB=bcosC,試求f(A)的取值區間。(1)因為m·n=1,所!所!(2)記f(x)=a.b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.6結論結，只有這樣向量法本身具有的價值才能得到挖掘，[3]張景中，彭翕成.論向量法解幾何問題的基本思路(續)[J].數學通報，2008,47(002):31-36.[5]張定強等.向量法在研究幾何問題中的作用探討[J].數學通訊，2009,(09):[6]黃生順.平面法向量在立體幾何中的應用[J].中學數學，2011,(13):67-70.[7]田寶運等.向量法解高考解析幾