培優專題培優專題3十三類函數選填常考壓軸題專項訓練一、高斯函數（取整函數問題）安徽省部分學校2023-2024高一上期末多選壓軸 5重慶市第八中學校2024-2025學年高一上11月月考單選壓軸 5廣東省深圳外國語學校2023-2024高一上期末多選次壓軸 6廣東省深圳市光明區2023-2024高一上期末多選壓軸 7福建省廈門市2023-2024高一上期末多選壓軸 8二、抽象函數問題湖南省岳陽市2023-2024高一上期末多選壓軸 10重慶市第八中學校2023-2024高一上期末多選次壓軸 福建師范大學附屬中學2023-2024高一上期末多選壓軸 12三、函數對稱性與周期性 13類型一：對稱性和周期性的判斷福建省泉州市2023-2024高一上期末多選次壓軸 15類型二：利用對稱性和周期性求值重慶市第八中學校2023-2024高一上期末單選壓軸 15廣東省廣州市三校2023-2024高一上期末聯考單選次壓軸 16類型三：利用對稱性和周期性求交點個數廣東實驗中學2023-2024高一上期末多選壓軸 17江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末多選次壓軸 18廣東省深圳市高級中學2023-2024高一上期末多選次壓軸 19類型四：利用周期性求若干個函數值的和華中師范大學第一附屬中學2023-2024高一上期末填空壓軸 20廣東省佛山市2023-2024高一上期末多選次壓軸 21類型五：兩個函數混合型重慶市渝中區巴蜀中學校2023-2024高一上學期1月期末數學試題多選壓軸 22廣東省汕頭市金山中學2023-2024高一上期末多選壓軸 22類型六：對稱性的探究問題廣東省深圳市龍華區2023-2024高一上期末填空壓軸 23四、利用函數對稱性求交點橫、縱坐標的和安徽省部分學校2023-2024高一上期末次壓軸 24廣東省廣州市天河區2023-2024高一上期末單選壓軸 25武漢華中師范大學第一附屬中學2023-2024高一上期末單選壓軸 25安徽省合肥市第一中學2023-2024高一上期末填空壓軸 26湖南省長沙市長郡中學2023-2024高一上期末多選壓軸 27湖北省武漢市常青聯合體2023-2024高一上期末多選壓軸 27五、構造新函數解不等式江蘇省鹽城市第一中學2023-2024高一上期末單選次壓軸 29廣東省廣州市九區聯考2023-2024高一上填空壓軸 30江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025高一上期中單選壓軸 30湖北省武漢市常青聯合體2023-2024高一上期末單選壓軸 31重慶市七校2023-2024高一上期末聯考數學試題 32江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025高一上期中單選壓軸 33廣東省中山市2023-2024高一上期末多選壓軸 33六、等高線問題安徽省部分學校2023-2024高一上期末單選壓軸 35重慶市2023-2024高一上期末聯合檢測數學試卷多選壓軸 36安徽省合肥市第一中學2023-2024高一上期末單選壓軸 37重慶市七校2023-2024高一上期末聯考數學試題填空壓軸 38浙江省溫州市2023-2024高一上期末(A卷)填空壓軸 38武漢市華中師范大學第一附屬中學2023-2024高一上期末多選壓軸 40福建省福州市2023-2024高一上期末質量檢測數學試卷多選壓軸 42湖北省武漢市常青聯合體2023-2024高一上期末填空壓軸 43七、函數新定義問題江蘇省南京市2023-2024高一上期末單選壓軸 44湖南省長沙市第一中學2023-2024高一上期末單選壓軸 45江蘇省南通市2023-2024高一上填空次壓軸 46廣東省珠海市第一中學2023-2024高一上期末填空壓軸 47八、比較大小類型一：結合函數圖像比大小浙江省溫州市2023-2024高一上期末單選壓軸 49湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024高一上期末單選壓軸 49類型二：結合換底公式比大小江蘇省蘇州市2023-2024高一上期末多選壓軸 50重慶市南開中學校2023-2024高一上期末單選壓軸 50廣東省佛山市2023-2024高一上期末單選壓軸 51類型三：利用中間數比大小廣東省華南師范大學附屬中學2023-2024高一上期末單選次壓軸 52廣東省深圳市南山區2023-2024高一上期末質量監測數學試題 ...................................52類型四：同構再利用單調性比大小廣東省廣州市越秀區2023-2024高一上期末單選壓軸 53九、嵌套函數類型一：自(互)嵌套型f(g(x))或f(f(x))湖南省長沙市長郡中學2023-2024高一上期末單選次壓軸 54廣東省深圳市龍崗區2023-2024高一上期末單選壓軸 54類型二：二次嵌套型g(x)=a[f(x)]2+bf(x)+c廣東省深圳市第二高級中學2023-2024高一上期末 55廣東省深圳外國語學校2023-2024高一上期末單選壓軸 55廣東省深圳市高級中學2023-2024高一上期末單選壓軸 56重慶市西南大學附屬中學校2023-2024高一上期末填空壓軸 57十、通過函數解析式對函數性質進行探究（多選）重慶市西南大學附屬中學校2023-2024高一上期末多選次壓軸 57廣東省湛江市第一中學2023-2024高一上期末多選壓軸 58廣東省深圳市深圳大學附屬實驗中學2023-2024高一上期末多選壓軸 59廣東省深圳市龍崗區2023-2024高一上期末多選壓軸 60廣東省廣州市天河區2023-2024高一上期末多選壓軸 61廣東省深圳市深圳實驗學校光明部2023-2024高一上期末填空壓軸 62十一、雙變量恒（能）成立問題類型一：雙變量能成立問題 64廣東省深圳市科學高中2023-2024高一上期中填空壓軸 64江蘇省蘇州市2023-2024高一上期中填空壓軸 65類型二：雙變量恒成立問題 66重慶市第八中學校2023-2024高一上期末填空壓軸 67十二、反函數，指對數運算及其函數性質類型一：反函數的應用 68湖南省長沙市長郡中學2023-2024高一上期末填空壓軸 68江蘇省南京市2023-2024高一上期末填空壓軸 68類型二：指對數運算及其函數性質 69廣東省廣州市九區聯考2023-2024高一上期末單選次壓軸 69湖南省長沙市長郡中學2023-2024高一上期末壓軸 70廣東省深圳市光明區2023-2024高一上期末填空壓軸 70廣東省佛山市2023-2024高一上期末填空壓軸 71廣東省廣州市九區聯考2023-2024高一上期末填空次壓軸 71江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末填空壓軸 72十三、函數零點問題類型一：零點個數探究安徽省部分學校2023-2024高一上期末填空壓軸 73廣東省深圳市深圳大學附屬實驗中學2023-2024高一上期末填空壓軸 74湖南省長沙市湖南師大附中2023-2024高一上期末填空壓軸 74類型二：由零點個數求參數范圍江蘇省蘇州市2023-2024高一上期末單選次壓軸 75福建省廈門市2023-2024高一上期末單選壓軸 76湖南省長沙市省示范學校2023-2024高一上期末單選次壓軸 77廣東省中山市2023-2024高一上期末填空壓軸 78類型三：零點相關的運算重慶市第一中學校2023-2024高一上期末單選次壓軸 79湖北省武漢市5G聯合體2022-2023學年高一上期末填空壓軸 79一、高斯函數（取整函數問題）設[x]表示不超過實數x的最大整數,則稱f(x)=[x]為取整函數（又叫高斯函數）,由于取整函數的定義域是連續的,值域卻是離散的,因而有其獨特的性質和廣泛的應用,再加上取整函數的新穎背景及處理取整函數問題時常常要分段討論,使得與取整函數有關的試題能有效的考查學生分析問題解決問題的能力及分類討論思想,因而備受命題者的青睞.由取整函數定義可得取整函數具有如下性質：⑴函數f(x)=[x]的定義域為R,值域Z；⑶當x1⑸f(x)=[x]是周期函數且最小正周期為1；安徽省部分學校2023-2024高一上期末多選壓軸1多選）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，有一個用其名字命名的“高斯函數”；設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則稱y=[x]為高斯函數．例A．=sin是周期函數B．函數f(x)=x2一x2在區間[k一1,)(k∈N*)上單調遞增D．若函數則函數y=[f(x)]的值域是{1,0}【答案】ABD【分析】A：根據三角函數的性質以及新定義驗證f(x+4)=f(x)是否成立，由此即可判斷；B：根據新定義求出函數f(x)的解析式，由此即可判斷；C：根據新定義解不等式即可判斷；D：求出函數f(x)的值域，然后根據值域求出函數y=[f(x)]的值域即可判斷.所以函數f(x)以4為周期，故A正確；*)時，x2k1，此時f(x)=x2一k+1單調遞增，故B正確；所以2≤x<7，不等式的解集為[2，7)，故C錯誤；>0，所以f(x)∈(,)，當f(x)∈(,0)時，y=[f(x)]=1，當f(x)∈[0,]時，y=[f(x)]=0，即函數y=[f(x)]的值域是{一1,0}，故D正確.重慶市第八中學校2024-2025學年高一上11月月考單選壓軸2．設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數，也叫取整函數，如[1.2]=1，C．f(x+1)=f(x)+1D．函數f(x)的值域為[0,1)【答案】D【分析】代入具體值即可判斷選項A，B；對于C選項字母的代入需要進行拆分化解，得到其周期性；對于D選項在一個周期的范圍內分析出其值域即可.f(x)，故C錯誤；對于D，由C知，f(x)為周期函數，且周期為1，不妨設0≤x≤1，故當0≤x≤1時，有0≤f(x)<1，故函數f(x)的值域為[0,1)，故D正確.廣東省深圳外國語學校2023-2024高一上期末多選次壓軸3多選）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數．例如：【答案】CD【解析】令x=1.5,y=1.5，可判定A、B不正確；設x=n+r，其中n為x的整數部分，r為小數部分，結合“高斯函數”，可判定C、D正確.設x=n+r，其中n為x的整數部分，r為小數部分，即[x]=n，對于所以D是正確的.故選：CD.廣東省深圳市光明區2023-2024高一上期末多選壓軸4多選）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y=[x]稱為高斯函數，例如：1至x之間的整數中，有個是n的倍數=0共有2個不等的實數根【答案】ABC【分析】設x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分別是x，y的整數部分，r1,r2分別是x，y的小數部分，結而一1≤lgx≤2，分類討論lgx的取值范圍，求出對應的解，即可判斷D.【詳解】A：設x=a+r1,y=b+r2，其中a,b分別是x，y的整數部分，r1,r2分別是x，所以[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1，故A正確；≥na，所以[nx]≥n[x]，故B正確；即lgx=3或lgx=一3（舍去解得x=103；綜上，原方程共有3個不同的實根，故D錯誤.福建省廈門市2023-2024高一上期末多選壓軸5多選）已知[x]表示不超過x的最大整數，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2.定義在(0,+∞)上的函數滿足f，且當x∈=-sinπx，則()A．f(3)=2B．當x∈[8,16)時，f(x)=-16sinC．f(x)在區間2k,2k+k)(k∈N*)上單調遞增D．關于x的方程f(x)=x-[x]在區間(0,2048]上恰有23個實根【答案】ACD【分析】對于A：直接代入運算即可；對于B：根據題意結合f(x)=2f(|(),即可求解析式；對于C：先求f(x)的單調區間，進而可得結果；對于D：分x兩種情況，結合圖象分析方程的根的個數.【詳解】對于選項A：f(3)=2f),=2(|(-sinπ,)=2，故A正確；xxxxxx可得f(x)=2f|((),=4f),=8f|((),=-8sin，故B錯誤；對于選項C：因為當x∈[1,2)時，f(x)=-sinπx，f(x)單調遞增，當x∈(|(,2),時，f(x)單調遞減，結合，可知f的單調遞增區間為2k,3.2k-1(k∈Z)，*時，kk-1=3.2k-1，故f(x)在區間2k,2k+k)(k∈N*)上單調遞增，故C正確；對于選項D：當x∈,),(n∈N)，f(x)=-2n+1πx)，且x-[x]=x，2且等號不同時成立，原方程無實根；要證-2nsin只需證令則只需證sin(πx)>x，如圖所示，所以方程f(x)=x-[x]在區間上恰有2個實根，所以方程f(x)=x-[x]在區間(0,2048]上恰有2×11+1=23個實根，故D正確.二、抽象函數問題賦值法是求解抽象函數問題最基本的方法，一般帶入-2,-1,0,1,2……等特殊值代入求解證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到f(-x)與f(x)的關系判斷抽象函數單調性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結論;（2）賦值：給變量賦值要根據條件與結論的關系.有時可能要進行多次嘗試.·①若給出的是“和型”抽象函數f(x+y)=…，判斷符號時要變形為：f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2);②若給出的是“積型”抽象函數f(xy)=…，判斷符號時要變形為：湖南省岳陽市2023-2024高一上期末多選壓軸6多選）已知函數f(x)(x∈R)滿足當x>0時，f(x)>1，且對任意實數x1,x2滿足f(x1+x2)=f(x1)f(x2)，當x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)，則下列說法正確的是()A．函數f(x)在R上單調遞增C．函數f(x)為非奇非偶函數D．對任意實數x1,x2滿足【答案】ACD【分析】對于A，由函數單調性定義可判斷正誤；對于B，令x1=1，x2=0可判斷正誤；對于C，由A，B選項分析可判斷正誤；對于D，利用做差法及f(x1+x2)=f(x1)f(x2)可判斷正誤.【詳解】對于B，令x1=1，x2=0，得f(1)=f(1)f(0)，由題意知f(1)>1≠0，所以f(0)=1，故B錯誤；對于A，當x<0時，-x>0，則f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1，又f(-x)>1，則當x<0時，0<f(x)<1，即對任意x∈R，f(x)>0.取任意x1,x2∈R且x1<x2，則x1-x2<0，得0<f(x1-x2)<1，則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f2)1-x2)-1<0即f(x1)<f(x2)，所以y=f(x)是R上的增函數，故A正確；對于C，由y=f(x)是R上的增函數且f(0)=1，可知f(x)為非奇非偶函數，故C正確；+f2,)f(x1)+fx2f2|(1,2故D正確.重慶市第八中學校2023-2024高一上期末多選次壓軸7多選）已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數，且f(3)=，則下列說法正確的是()A．若對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，則f(x)是奇函數B．若對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(x)是偶函數C．若對任意x，y∈R；總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，則f(|(-),=D．若對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，則f(|(-),=-【答案】ACD【分析】利用賦值法，結合函數奇偶性的定義即可判斷.【詳解】對于A，對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，令x=y=0得f(0)=0；令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0；令x=y=-1得f(1)=-f(-1)-f(-1)，所以f(-1)=0；令y=-1得f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)，所以f(x)是奇函數，故A正確；對于B，對任意x，y∈R，總有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0得f(0)=0；令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函數，故B錯誤；對于C，對任意x，y∈R，總有f(xy)=yf(x)+xf(y)，由A選項分析f(-1)=0，令x=-,y=3得f(-1)=3f(|(-),-f(3)=0，又因為f(3)=，所以f(|(-),=，故C正確；對于D，對任意x，y∈R，總有f(x+y)=令x=y=1得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(x)+f(y)，由B選項分析f(0)=0，福建師范大學附屬中學2023-2024高一上期末多選壓軸8多選）已知函數f(x)的定義域為(0,+∞)，滿足對任意x,y∈(0,+∞)，都有f(xy)=f(x).f(y)-f(x)-f(y)+2，且x>1時，f(x)>2．則下列說法正確的是()C．f(x)在(0,1)是減函數D．存在實數k使得函數y=f(x)+k在(0,1)是減函數【答案】ABD【分析】對A選項，利用賦值法，令x=y=1，求出f(1)，再令x=1，y=2進行檢驗，即可判斷A；對B選項，當x∈(0,1)時，則>1，故f),>2，令y=的范圍，即可判斷B；對C選項，利用函數單調性的定義結合已知條件可得f(x1)<f(x2)，從而得出函數的單調性，即可判斷C；對D選項，因為函數f(x)在(0,1)上為增函數，若y=f(x)+k在(0,1)上遞減，則x∈(0,1)時，y=f(x)+k=-f(x)-k，則f(x)+k<0，由此可求得k≤-2，即可判斷D.【詳解】令x=y=1，則f(1)=f(1).f(1)-f(1)-f(1)+2，即f2(1)-3f(1)+2=0，解得f(1)=1或f(1)=2，當f(1)=1時，令x=1，y=2，則f(2)=f(1).f(2)-f(1)-f(2)+2，解得f(2)=1，與x>1時，f(x)>2矛盾，所以f(1)=2，故A正確；當時，則>1，故f令整理得=0，則fxxx(x1,L(x1,(x1,」f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(|x1.x2)=f(x1)-|「f(x1).f|(x2)-(x1,L(x1,(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」(x1,(x1,L(x1,」L(x1,」x1(x1,，x1(x1,，f(x1)<f(x2)，所以函數f(x)在(0,1)上單調遞增，故C錯誤；因為函數f(x)在(0,1)上為增函數，所以y=f(x)+k在(0,1)上也為增函數，若y=f(x)+k在(0,1)上遞減，則x∈(0,1)時，y=f(x)+k=-f(x)-k，則x∈(0,1)時，f(x)+k<0，即k<-f(x)，三、函數對稱性與周期性一、對稱性若f，且=b三f關于x=b對稱（2）f(mx+a)+b是偶函數三f(x)關于x=a對稱（4）f(mx+a)+b是奇函數三f(x)關于(a,b)對稱對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數的性質，主要體現在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）在軸對稱函數中，關于對稱軸對稱的兩個單調區間單調性相反；在中心對稱函數中，關于對稱中心對稱的兩個單調區間單調性相同二、周期函數的常見條件一、若f(x)+f(x+a)=c（c為常數則f(x)周期為2a.證明：令x=x+a→f(x+a)+f(x+2a)=c，兩式相減得f(x+2a)-f(x)=0即f(x+2a)=f(x)，故T=2a二，則T=2相對少見）三、其它周期條件設函數y=f(x)，x∈R，a>0，a≠b.（1）若f(x+a)=f(x-a)，則函數f(x)的周期為2a；（2）若f(x+a)=-f(x)，則函數f(x)的周期為2a；若f則函數f(x)的周期為2a；（4）若則函數f(x)的周期為2a；（5）若f(x+a)=f(x+b)，則函數f(x)的周期為a-b；（6）若函數f(x)的圖象關于直線x=a與x=b對稱，則函數f(x)的周期為2b-a；（7）若函數f(x)的圖象既關于點(a,0)對稱，又關于點(b,0)對稱，則函數f(x)的周期為2b-a；（8）若函數f(x)的圖象既關于直線x=a對稱，又關于點(b,0)對稱，則函數f(x)的周期為4b-a；（9）若函數f(x)是偶函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則f(x)的周期為2a；（10）若函數f(x)是奇函數，且其圖象關于直線x=a對稱，則f(x)的周期為4a.三、周期與對稱性的區分1.若f(x+a=±fx+b,則f(x)具有周期性；2.若f(x+a=±f(b?x),則f(x)具有對稱性：口訣：“內同表示周期性，內反表示對稱性”類型一：對稱性和周期性的判斷福建省泉州市2023-2024高一上期末多選次壓軸923-24高一上·福建泉州·期末多選）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(-3x)=f(2+3x)，則下列結論一定成立的是()A．f(0)=0B．2是f(x)的一個周期C．(2,0)是f(x)的一個對稱中心D．f(3x+1)為偶函數【答案】ACD【分析】對于A，直接由奇函數性質得；對于B，首先得f(-x)=f(2+x)，進一步有f(3x+1)=f(1-3x)以及f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，由此即可判斷；對于C，由對稱軸、對稱中心即可得解.【詳解】定義在R上的奇函數f(x)滿足f(-3x)=f(2+3x)，所以f(0)=0，故A正確；且f(-x)=f(2+x)，所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=f(x-4)，即f(x)的周期是4，不是2，故B錯誤；因為f(-x)=f(2+x)，所以f(x)的對稱軸為x=1，又(0,0)為f(x)的一個對稱中心，所以2,0是f(x)的一個對稱中心，故C正確；因為f(-x)=f(2+x)，所以f(3x+1)=f(1-3x)，即f(3x+1)為偶函數，故D正確.類型二：利用對稱性和周期性求值重慶市第八中學校2023-2024高一上期末單選壓軸若=6，則f）【答案】B【分析】根據題意，推得函數f(x)的周期為4，令x=1，得到f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，進而求得a=-2，b=2，再由f即可求解.【詳解】由f(x+1)為奇函數，則f(-x+1)=-f(x+1)，即f(x)=-f(2-x)又由f(x+2)為偶函數，可得f(-x+2)=f(x+2)，即f(x)=f(4-x)，可得f(2-x)=-f(4-x)，即f(x)=-f(x+2)，所以f(x)=f(x+4)所以函數f(x)是以4為周期的周期函數，因為f(-x+1)=-f(x+1)且f(-x+2)=f(x+2)令x=1，可得f(0)=-f(2)且f(1)=f(3)，又因為f(3)+f(4)=6，即f(3)+f(0)=6，即f(1)-f(2)=6+b，可得a+b-(4a+b)=6，解得a=-2，再令x=0，可得f(1)=-f(1)，即f1=0，所以f(1)=a+b=0，可得2-2廣東省廣州市三校2023-2024高一上期末聯考單選次壓軸11．已知奇函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)=2x+b，則f=() A．-1-2B．1-2C．2+1D．2-1【答案】B【分析】先由奇函數條件可得b=-1，然后根據函數的對稱性可知函數的周期為4，再利用函數的周期性和奇偶性計算即可.【詳解】因為f(x)為奇函數，且當x∈[0,1]時，f(x)=2x+b，又因為f(x)的圖象關于直線x=1對稱，所以f(x)=f(2-x)，且f(x)=-f(-x)則f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f2-(x-2)=-f(4-x)=f(x-4)，即函數f(x)是以4為周期的周期函數，2故f2023=f252×4+7=f7-4=f-1=-f1=12廣東實驗中學2023-2024高一上期末多選壓軸12多選）設函數f(x)的定義域為R,f(x-1)為奇函數，f(x+1)為偶函數，當x∈(-1,1)時，f(x)=-x2+1，則下列結論正確的是()A．B．f(x+7)為奇函數C．f(x)在(6,8)上為減函數D．方程f(x)+lgx=0僅有6個實數解【答案】ABD【分析】根據f(x+1)為偶函數和f(x-1)為奇函數可得即可判斷A；利用函數的奇偶性建立方程，證明f(x)為一個周期函數，即可判斷B；根據函數的單調性、對稱性和周期性即可判斷C；利用數形結合的思想，結合圖形即可判斷D.【詳解】A：f(x+1)為偶函數，故f(x+1)=f(-x+1)，令得f(x-1)為奇函數，故f(x-1)=-f(-x-1)，令得其中所以正確；B：因為f(x-1)為奇函數，則f(x-1)=-f(-x-1),得f(-x-2)=-f(x)，又f(x+1)為偶函數，則f(x+1)=f(-x+1)，得f(-x+2)=f(x)，所以f(-x-2)=-f(-x+2)，令x=-x得f(x-2)=-f(x+2)，即f(x)=-f(x+4)，則f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，即f(x+8)=f(x)，所以8為函數f(x)的一個周期.故f(x+7)=f(x-1)，所以f(-x+7)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x-1+8)=-f(x+7)，從而f(x+7)為奇函數，故B正確；C：f(x)=-x2+1在區間(-1,0]上是增函數，且f(x)的圖象關于點(-1,0)對稱，所以f(x)在(-2,0)上單調遞增，又f(x)周期為8，故f(x)在(6,8)上單調遞增，故C錯誤；D：作出f(x)與y=-lgx的大致圖象，如圖所示，故方程f(x)+lgx=0僅有6個實數解，故D正確.江蘇省南京市南京師大附中2023-2024高一上期末多選次壓軸13多選）已知f(x)為定義在R上的偶函數，當x≥0時，有f(x+1)=—f(x)，且當x∈[0,1)時，f(x)=log2(x+1).下列命題正確的是()A．f(2023)+f(—2024)=0B．f(x)是周期為2的周期函數C．直線y=x與f(x)的圖象有且僅有2個交點D．f(x)的值域為(—1,1)【答案】AD【分析】由已知判斷出x≥0時，函數的周期，結合當x∈[0,1)時的解析式，即可作出x≥0時圖象，結合奇偶性，可得整個定義域上圖象，由此利用周期性以及奇偶性求值，判斷A；結合圖象，數形結合，可判斷B，C，D.【詳解】由題意知當x≥0時，有f(x+1)=—f(x)，則f(x+2)=—f(x+1)=f(x)，即x≥0時，2為f(x)的周期，由f(x+1)=—f(x)，得f(x)=—f(x—1)，結合f(x)為定義在R上的偶函數，可作出f(x)的圖象如圖：對于A，f(2023)=f(1011×2+1)=f(1)=f(—2024)=f(2024)=f(1012×2+故f(2023)+f(—2024)=0，A正確；對于B，由以上分析可知x≥0時，2為f(x)的周期，結合圖象，在整個定義域上f(x)不是周期函數，B錯誤；對于C，在同一坐標系再作出y=x的圖象，可知直線y=x與f(x)的圖象有且僅有1個交點(0,0)，C錯誤；f(x)的值域為(1,1)，D正確廣東省深圳市高級中學2023-2024高一上期末多選次壓軸·14多選）已知定義在R上的函數f(x)滿足，且當—1≤x<0時，f=2x，A．f(x)是周期為2的周期函數4xC．f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象有兩個公共點D．f(x)在(2022,2024)上單調遞增【答案】ACD【分析】根據已知可得即可得出A項；根據已知求出x∈[0,1)時的解析式，進而根據周期性，得出函數在[4,5)上的解析式，即可判斷B項；根據A、B的結論作出函數f(x)的圖象以及g(x)=log0.5x的圖象，結合端點處的函數值，結合圖象，即可判斷C項；先根據解析式，判斷得出函數在[0,2)上單調遞增，即可根據周期性，得出D項.【詳解】對于A項，由已知可得所以是周期為2的周期函數，故A正確；又f(x)的周期為2，所以f(x)=f(x—4).當x∈[0,1)時，f(x)=21x，且f作出函數y=fx以及y=gx的圖象，顯然，當x<2時，f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象沒有交點.0.54由圖象可知，f(x)的圖象與g(x)=log0.5x的圖象有兩個公共點，故C項正確；f(x2)=2x2.又f(x)的周期為2，所以f(x)=f(x—2)=2x—2在[1,2)上單調遞增.當x∈[0,1)時，f(x)=21x，顯然f(x)=21x在[0,1)上單調遞增.所以，f(x)在[0,2)上單調遞增.根據函數的周期性可知，f(x)在(2022,2024)上單調遞增.故D正確.類型四：利用周期性求若干個函數值的和華中師范大學第一附屬中學2023-2024高一上期末填空壓軸15．定義在R上的函數f(x)滿足f(1+3x)=f(1—3x)，且f(2x+4)關于(—2,0)對稱，當0≤x【答案】1012【分析】推導出函數f(x)是周期為4的周期函數，計算出f(0)、f1、f(2)、f(3)的值，結合函數f(x)的周期性以及并項求和法可求得所求代數式的值.所以，函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，則f2+x=f?x，因為函數f(2x+4)的圖象關于點(—2,0)對稱，即=0，即f，令s=2x+4，則f(s)+f(—s)=0，故函數f(x)為奇函數，所以f2+x=f?x=?fx，則f(4+x)=—f(2+x)=f(x)，故函數f(x)是周期為4的周期函數，故答案為：1012.廣東省佛山市2023-2024高一上期末多選次壓軸16多選）已知函數f(x)滿足：對任意的x∈R，都存f且A．y=f(x+1)是奇函數B．f(4—x)=—f(x)【答案】BD【分析】由題意可得函數f(x)是奇函數，且f(x)的圖象關于x=1對稱，進而可求出函數的周期，再逐一分析即可得解.【詳解】因為f(—x)=—f(x)，所以函數f(x)是奇函數，因為所以函數f(x)的圖象關于x=1對稱，故f(1)=0，與題意矛盾，所以y=f(x+1)不是奇函數，故A錯誤；對于B，由f得f(x)=f(2—x)，對于C，根據題意不能得出函數的單調性，所以無法確定函數的值域，故C錯誤；對于D，由B選項可得f(x+4)=f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的周期函數，因為f(x)是奇函數，所以f(0)=0，則f(2)=f(0)=0，f(4)=f(0)=0，所以f1+f2+f3+f4=0，類型五：兩個函數混合型重慶市渝中區巴蜀中學校2023-2024高一上學期1月期末數學試題多選壓軸17多選）已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且g(x)=f(4+x)，A．f(1)=1B．f(x)為奇函數C．f(x)的周期為【答案】ACD【分析】根據已知得g(x—4)=f(x)，將f(x+y)+f(x—y)=g(x—4)f(y)轉f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，給x,y取值推導奇偶性和周期性解決問題.:g(x)=f(4+x)，:g(x—4)=f(x)，:f(x+y)+f(x—y)=f(x)f(y)，令y=1，則f(x+1)+f(x—1)=f(x)①,:f(x+2)+f(x)=f(x+1)②,①+②可得f(x—1)+f(x+2)=0，:f(x)+f(x+3)=0，:f(x+3)+f(x+6)=0，:f(x)=f(x+6)，因此T=6，故C正確；令x=0，f(y)+f(—y)=f(0)f(y)，令x=1，y=0，2f(1)=f(1)f(0)，則f(0)=2，故x=0，f(y)+f(—y)=2f(y)→f(y)=f(—y)，故f(x)為偶函數，所以B不正確；因為f(x)=f(x+6)=f(—x)，故f(x)關于x=3對稱，且f(0)=2，f(1)=1，令x=1，y=1，則f(4)=f(2)=—1，f(5)=f(1)=1，f(6)=f(0)=2，一個周期的和為0，則=3，故D正確.廣東省汕頭市金山中學2023-2024高一上期末多選壓軸18多選）已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且g(x)+f(—x+2)=1，f(x)—g(x+1)=1，若y=fx的圖象關于直線x=1對稱，則以下說法正確的是()A．g(x)為奇函數D．若f(x)的值域為[m,M]，則g(x)+f(x)=m+M【答案】BC再結合y=f(x)的圖象關于直線x=1對稱，可得y=f(x)的周期、奇偶性、對稱中心，可依次驗證各選項正誤.:f(x)—g(x+1)=1，:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)關于x=1對稱，:f(1—x)=f(1+x)，:f(x)+f(1+x)=2，:f(x+1)+f(2+x)=2，:f(x)=f(2+x)，故C正確；:f(x)關于x=1對稱，:f(x)=f(2—x)，:f(x)=f(—x)，:f(x)為偶函數，:g(x)+f(—x+2)=1，:g(x)+f(x)=1，:g(—x)+f(—x)=1，:g(—x)+f(x)=1，:g(x)=g(—x)，:g(x)為偶函數，故A錯誤；:f(x)+f(1—x)=2，:f(x)圖象關于點,1)中心對稱，:存在一對最小值點與最大值點也關于,1)對稱，:m+M=2，:g(x)+f(x)=1=m+M—1，故D錯誤；由=2得f=1，又T=2，所以f類型六：對稱性的探究問題廣東省深圳市龍華區2023-2024高一上期末填空壓軸19．已知a>0且a≠1，若函數中至少存在兩點A,B，使A,B關于y軸對稱，【分析】結合一次函數單調性對參數a的取值范圍進行分類討論，根據題意可知當a≥2時才會滿足題意，再結合一次函數與指數函數的增長速率之間的關系可得a—2>a0=1，即可求得a的取值范圍.所以當x<0時，f(x)<0,當x≥0時，f(x)≥0,此時不存在兩點使其關于y軸對稱，所以0<a<1不滿足題意；當x≥0時，f(x)≥0,當x<0時，f(x)<0,此時不存在兩點使其關于y軸對稱，所以1<a<2不滿足題意；當a=2時，函數f1>1，存在使其關于y軸對稱，滿足題意；易知y=(2a)x,x≤1與y=(a2)x關于y軸對稱，要存在兩點A,B使其關于y軸對稱，則需當x>1時，函數y=(a—2)x與函數y=ax—1的圖象有交點，再由一次函數與指數函數的增長速率之間的關系可得a—2>a0=1，即a>3.綜上所述，a的取值范圍是a=2或a>3四、利用函數對稱性求交點橫、縱坐標的和1、函數對稱性函數y=f(x)的定義域為D，x∈D，①存在常數a，b使得f(x)+f(2a—x)=2bf(a+x)+f(a—x)=2b，則函數y=f(x)圖象關于點(a,b)對稱.②存在常數a使得f(x)=f(2a—x)f(a+x)=f(a—x)，則函數y=f(x)圖象關于直線x=a對稱.2、若兩個函數有相同的對稱軸或對稱中心，則它們的交點也關于該對稱軸或對稱中心對稱（1）若f(x)與g(x)關于x=a對稱，且它們有m個交點，則所有交點橫坐標之和am（2）若f(x)與g(x)關于(a,b)對稱，且它們有m個交點，則所有交點橫坐標之和am，縱坐標之和為bm安徽省部分學校2023-2024高一上期末次壓軸20．已知函數，則f(—2024)+…+f(—1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=()A．4047B．4048C．4049D．4050【答案】C·【分析】由已知，得f(-x)+f(x)=2，則f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)，即可求得結果.【詳解】因為函數，所以f所以所以f(-2024)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2024)=2×2024+f(0)=4048+1=4049.故選：C.廣東省廣州市天河區2023-2024高一上期末單選壓軸21．定義在R上的函數f(x)滿足：f(x+1)是奇函數，且函數y=f(x)的圖象與函數y=-的交【答案】C【分析】由題意知函數f(x)的圖象和函數的圖象都關于(1,0)對稱，可知它們的交點也關于點(1,0)對稱，由此可求得結果.【詳解】因為f(x+1)是奇函數，所以f(x)關于點(1,0)對稱，又函數的圖象關于點(1,0)對稱，所以兩個函數圖象的交點也關于點(1,0)對稱，武漢華中師范大學第一附屬中學2023-2024高一上期末單選壓軸【答案】D【分析】分析可知，兩個函數的圖象都關于點(|(0,),對稱，確定兩個函數圖象公共點的個數，結合對稱性可得出y1+y2+…+yn-1+yn的值.12x+1，所以，則函數f(x)的圖象關于點(|(0,),對稱，所以，函數g(x)的圖象也關于點(|(0,),對稱，不妨設x1<x2<…<xn，作出函數f(x)、g(x)的圖象如下圖所示：由圖可知，兩個函數的圖象共有19個公共點，安徽省合肥市第一中學2023-2024高一上期末填空壓軸23．函數y=f(x)的圖象關于坐標原點成中心對稱的充要條件是函數y=f(x)為奇函數，可以將其推廣為：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱的充要條件是函數y=f(x+a)-b為奇函數.已知函數f(x)=x3-3x2圖象成中心對稱，則：【答案】-8094【分析】根據給定的充要條件，利用待定系數法求出函數f(x)的對稱中心，再求值即可.【詳解】設函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為P(a,b)，設g(x)=f(x+a)-b=(x+a)3-3(x+a)2-b，則g(x)為奇函數，g(-x)=f(-x+a)-b且g(-x)=-g(x)，則f(-x+a)-b=b-f(x+a)，整理得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0，于是{解得,因此函數f(x)=x3-3x2圖象的對稱中心為(1,-2)，則f(-x+1)+f(x+1)=-4，則S=f(2024)+f(2023)+…+f(2)+f(1)+f(0)+…+f(-2021)+f(-2022)，于是2S=4047×(-4)，解得S=-8094，所以f(-2022)+f(-2021)+…+f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2023)+f(2024)=-8094.湖南省長沙市長郡中學2023-2024高一上期末多選壓軸24多選）定義在R上的函數f(x)滿足f(4-x)=-f(x),f(2x+1)為偶函數，f(1)=2，函數g(x)(x∈R)滿足g(x)=g(2-x)，若y=f(x)與y=g(x)恰有2023個交點，從左至右依次為(x2023,y2023)，則下列說法正確的是()A．f(x)為奇函數B．2為y=f(x)的一個周期22023【答案】ACD【分析】根據題意，推得得到f(2+x)+f(x)=0，結合函數的基本性質，逐項判定，即可求解.【詳解】由f2x+1為偶函數，則函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱，又由f4?x=?fx，則函數f(x)的圖象關于點2,0對稱，則可得f(2+x)+f(x)=0.對于A中，由f(2+x)+f(x)=0，可得f2?x=?f?x，所以f(x)=-f(-x)，所以f(x)為奇函數，所以A正確；對于B中，由f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，所以函數f(x)是以4為周期的周期函數，可得f(1)=2,f(3)=-f(1)=-2，顯然f(3)≠f(1)，所以B錯誤；對于C中，由g(x)=g(2-x)，所以函數g(x)的圖象關于直線x=1對稱，因此函數f(x)與g(x)的交點也關于x=1對稱，則y1012=f(1)=2，所以C正確；對于D中，由函數f(x)與g(x)的交點也關于x=1對稱，可得xi=2023，故D正確.湖北省武漢市常青聯合體2023-2024高一上期末多選壓軸25多選）定義在R上的奇函數f(x)，滿足f(1+x)=f(3-x)且f(x)在[0,2]上單調遞減，A．函數f(x)圖象關于直線x=2對稱B．函數f(x)的周期為4.C．f(2024)+f(2022)=1D．設g和g的圖象所有交點橫坐標之和為-2【答案】AC【分析】A：將f(1+x)=f(3-x)變形為f(2+x)=f(2-x)即可判斷；B：根據f(-2),f(2)的大小關系可作出判斷；C：根據B中計算出的周期化簡f(2024)+f(2022)，結合f(x)的奇偶性可判斷結果；D：先分析fx,gx的圖象的對稱性，然后作出fx,gx在同一坐標系下的圖象，根據圖象的交點個數作出判斷.【詳解】對于A：因為f(1+x)=f(3-x)，所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)圖象關于直線x=2對稱，故A正確；對于B：因為f(1+x)=f(3-x)，所以f(x+4)=f(-x)，又因為f(x)是R上的奇函數，所以f?x=?fx，所以f(x+4)=-f(x)，所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期為8，又因為f(-2)=-f(2)=1，所以f(-2)≠f(2)，所以f(x)的周期不可能為4，故B錯誤；對于C：因為f(x)的周期為8，所以f(2024)+f(2022)=f(8×253)+f(8×253-2)=f(0)+f(-2)，因為f(x)是R上的奇函數，所以f(0)+f(-2)=0-f(2)=1，所以f(2024)+f(2022)=1，故C正確；對于D：因為f(x+4)=f(-x)，所以f(-4-x)=f(x+8)=f(x)，所以f(-2-x)=f(-2+x)，所以f(x)的圖象關于x=-2對稱，又因為-4-x+2所以g(-2-x)=g(-2+x)，所以g(x)的圖象也關于x=-2對稱，作出fx,gx在同一平面直角坐標系中的圖象如下圖所示：由圖象可知：fx,gx有兩個交點，且交點關于x=-2對稱，所以fx,gx)的圖象所有交點橫坐標之和為-2×2=-4，故D錯誤五、構造新函數解不等式常見模型江蘇省鹽城市第一中學2023-2024高一上期末單選次壓軸26．已知f(x)為R上的奇函數，f(2)=2，若對于x1，x2∈(0,+∞)，當x1>x2時，都有【答案】B【分析】令g(x)=xf(x)，由題可知g(x)為R上的偶函數且在0,+∞上單調遞減，由g(2)=2f(2)=4，將不等式(x+1)f(x+1)>4轉化為g(x+1)>g(2)或g(x+1)>g(-2)，結合g(x)的單調性即可求解.因為x1>x2>0，所以x1-x則有x1f(x1)-x2f(x2)<0，即x1f(x1)<x2f(x2).令g(x)=xf(x)，則g(x)在0,+∞上單調遞減.因為f(x)為R上的奇函數，所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)，所以g(x)為R上的偶函數，故g(x)在(-∞,0)上單調遞增.則不等式(x+1)f(x+1)>4可轉化為g(x+1)>g(2)所以-2<x+1<2，解得-3<x<1.廣東省廣州市九區聯考2023-2024高一上填空壓軸·27．設f(x)是定義在R上的奇函數，對任意的x若f(2)=4，則不等式f(x)-2x≤0的解集為.【分析】先得到在上單調遞增為偶函數，故g在(-∞,0)上單調遞減，分x>0與x<0、x=0三種情況，結合f(2)=4，得到不等式的解集.【詳解】不妨設x1>x2>0，由>0得x2f(x1)-x1f(x2)>0，故在上單調遞增，因為f(x)為R上的奇函數，所以f(-x)=-f(x)，的定義域為故為偶函數，在上單調遞減，當x>0時，f-2x≤0→f≤2x→當x<0時，f-2x≤0→f≤2x→因為g(2)=2，所以g(-2)=2，故g(x)≥g(-2)，解得x≤-2；當x=0時，f(0)-2×0=0，符合題意；故不等式的解集為[0,2]U(-∞,-2].江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025高一上期中單選壓軸28．已知函數f(x)=x2-x，若對于任意的x1、x2∈[1,+∞)，x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，則a的取值范圍是()【答案】Da≠0兩種情況討論，在a=0時，直接驗證即可；在a≠0時，根據二次函數的單調性可得出關于實數a的不等式組，綜合可得出實數a的取值范圍.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)兩邊同時除以x1x2可得2+x-1，則g所以，函數g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上單調遞減，當a=0時，g(x)=x-1在[1,+∞)上單調遞增，不合乎題意，綜上所述，實數a的取值范圍是湖北省武漢市常青聯合體2023-2024高一上期末單選壓軸29．已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，若a,b∈,且a≠b，都有成立，則不等式f|((),-(t2-2t)f(t-2)>0的解集為()B．)【答案】B【分析】構造函數F(x)，由題意先研究其奇偶性，再判斷其單調性，最后利用單調性求解抽象不等式即可.【詳解】設F(x)=xf(x)，由f(x)是定義在R上的偶函數，則F(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-F(x)，所以F(x)是定義在R上的奇函數.所以F(x)是[0,+∞)上的減函數，又F(x)是R上的奇函數，所以F(x)圖象關于原點對稱，則F(x)是R上的減函數.①當t>0時，不等式可化為f(|(),-(t-2)f(t-2)>0，即<t-2，由t>0，則t2-2t-1>0解得t<1-2（舍或t>1+2；②當t<0時，不等式可化為即2，由t<0，則t2-2t-1>0重慶市七校2023-2024高一上期末聯考數學試題立，則不等式f|((),-(2t2-t)f(2t-1)>0的解集為()【答案】D【分析】根據題意，構造函數g(x)=xf(x)，求出函數g(x)的單調性和奇偶性，即可求出不等式的解集.【詳解】令g(x)=xf(x)，由題意知g(x)在[0,+∞)上為減函數，又f(x)為R上的偶函數，所以g(x)為R上的奇函數，所以g(x)在R上為減函數，①當t>0時，f(|(,)>(2t-1)f(2t-1)所以<2t-1，所以1<2t2-t，解得t所以>2t-1，所以1<2t2-t，解得t<-.所以t<-或t>1.江蘇省鹽城市五校聯盟2024-2025高一上期中單選壓軸31．已知函數f(x)=x2-x，若對于任意的x1、x2∈[1,+∞)x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，則a的取值范圍是()【答案】D2a≠0兩種情況討論，在a=0時，直接驗證即可；在a≠0時，根據二次函數的單調性可得出關于實數a的不等式組，綜合可得出實數a的取值范圍.都有x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)成立，在不等式x2f(x1)-x1f(x2)>ax1x2(x-x)兩邊同時除以x1x2可得2+x-1，則g所以，函數g(x)=ax2+x-1在[1,+∞)上單調遞減，當a=0時，g(x)=x-1在[1,+∞)上單調遞增，不合乎題意，綜上所述，實數a的取值范圍是|-∞廣東省中山市2023-2024高一上期末多選壓軸32多選）設偶函數f(x)的定義域為(-∞,0)u(0,+∞)，且滿足f(2)=0，對于任意xx2,,D．不等式>0的解集為(-2,0)(0,2)【答案】AC【分析】AB選項，令n=0，得到f(x)在(0,+∞)上單調遞增，結合f(x)的單調性和奇偶性，分類討論解不等式，求出解集；CD選項，令g，推出g的單調性和奇偶性，結合g(2)=0，解不等式，求出解集.AB選項，當n=0時，即>0，故f在上單調遞增，偶函數f(x)的定義域為(-∞,0)u(0,+∞)，故f(x)在(-∞,0)上單調遞減，又f(2)=0，故f(-2)=0，當-<x<0時，2x+1>0，由于f(x)在(0,+∞)上單調遞增，當x<-時，2x+1<0，由于f(x)在(-∞,0)上單調遞減，故f(2x+1)<0=f(-2)，故2x+1>-2，解得x>-，故-<x<-；故不等式>0的解集為，A正確，B錯誤；令n=1012得所以在上單調遞增，因為f(x)為(-∞,0)u(0,+∞)上的偶函數，所以為偶函數，因為f(2)=0，所以g(2)=0，故x>2，解得x>2或x<-2，C正確，D錯誤.故選：AC六、等高線問題等高線本是地理學中的名詞，借用到數學中來便有其特殊的含義。對于函數f(x)，若存在互不相等的實數a,b,c使f(a)=f(b)=f(c)=t，則稱直線y=t為函數f(x)的等高線．解決等高線問題時，要注意函數本身的整體性，遵循分段處理的原則，首先畫出分段函數的圖象，充分利用形的直觀性與數的精確性，挖掘函數的性質，如對稱性、不變性(如定和、定積)等，從而有效地、快速地解決問題。安徽省部分學校2023-2024高一上期末單選壓軸33．已知數,若m<n且f，則n+m的取值范圍是()【答案】B【分析】設f(n)=f(m)=t，則m，n為直線y=t與函數y=f(x)圖象的兩個交點的橫坐標，畫出圖形，結合圖形求出n+m的取值范圍.【詳解】設f(n)=f(m)=t，則m，n為直線y=t與函數y=f(x)圖象的兩個交點的橫坐標，且≤t≤2，根據對勾函數的性質可知上單調遞減，在(1,2]上單調遞增+4-2==1+1-2=0，g+2-2=所以n+m的取值范圍是[0,].故選：B.重慶市2023-2024高一上期末聯合檢測數學試卷多選壓軸34多選）已知函數若存在四個不同的值x1,x2,x3,x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)(x1<x2<x3<x4)，則下列結論正確的是()A．-2≤x1<-1B．0≤x1x2<1C．x3x4=e【答案】ABD【分析】由f(x)的圖象，求出特殊點，結合條件逐一比較分析判斷.【詳解】當x=0時，f(0)=2，當x=-1時，f(-1)=1，當x=1時，f1=0，由圖像可知，x1<-1，此時1<fx1+1≤2，解得-2≤x1<-1，故A對；因為f(x)=2x+1關于x=-1對稱，所以x1+x2=-2，又-1<x2≤0，3234故選：ABD安徽省合肥市第一中學2023-2024高一上期末單選壓軸35．已知函數若關于x的方程f(x)=0有四個不等的實數根，從小到大依次為x1,x2,x3,x4，則3x3的取值范圍為()【答案】D【分析】根據對數函數、分段函數的圖象與性質結合函數的單調性計算即可.設g則f(x)=g(x)m，故f(x)=0可轉化為g(x)=m，即y=gx的圖像與直線y=m有4個不同的交點，對應橫坐標從小到大依次為x1,x2,x3,x4，3x33x4.x4所以：3x3=6x3+重慶市七校2023-2024高一上期末聯考數學試題填空壓軸36．已知f若方程f(x)=a有四個不同的解x1<x2<x3的取值范圍是.【分析】結合函數y=fx的圖象與性質知0<a≤2，x1+x2=4，x3x4=1，將x1+x2++化簡為4+x3+x4，進而化簡為4+2a+2a，求出范圍即可.【詳解】作出函數的圖象：方程f(x)=a有四個不同的解x1<x2<x3<x4，設log1x3=a,log1x4=a，所以x3+x4=2a+2a，22所以則x1+x2++的取值范圍為(2,]浙江省溫州市2023-2024高一上期末(A卷)填空壓軸37．函數f(x)=x424x+16，g(x)=6x3+ax2，方程f(x)=g(x)恰有三個根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，則的值為.【答案】25【分析】由題意得a=x2-6x-通過換元法得關于t的方程a=t2-6t-8的根的個數為2；結合韋達定理可知或由此即可得解.【詳解】由題意f(x)=g(x)，即ax2=x4-6x3-24x+16，顯然x≠0，令t=x+所以等號成立當且僅當ixi=2，由對勾函數性質得，當t>4或t<-4時，關于x的方程t=x+的根的個數為2，當t=4或t=-4時，關于x的方程t=x+的根的個數為1，當-4<t<4時，關于x的方程t=x+的根的個數為0，由題意方程f(x)=g(x)恰有三個根x1,x2,x3，其中x1<x2<x3，而關于t的方程a=t2-6t-8的根的個數情況可能為0，1，2；所以關于t的方程a=t2-6t-8只能有兩個不相等的根(Δ>0不妨設為t1,t2，且t1>4或t1<-4，t2=4或t2=-4；又由韋達定理有t1+t2=6，所以或，所以x1=-2是關于x的方程t2=-4=x+的根，x2,x3是關于x的方程t1=10=x+即x2-10x+4=0由韋達定理有x2+x3=10，x1+=-2.5，所以=-25.武漢市華中師范大學第一附屬