九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第一次月考試卷一.選擇題（每題5分，共30分）1．（5分）若P是Rt△ABC斜邊BC上異于B，C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截△ABC，截得的三角形與原△ABC相似，滿足這樣條件的直線有（）條．A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＝6，AC＝2，∠A﹣∠B＝90°，則⊙O的面積為（）A．9.6π B．10π C．10.8π D．12π3．（5分）已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＝a＜1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB＝AB＝a，DC的延長線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長為（）A． B．1 C． D．a(chǎn)4．（5分）如圖，AB是⊙O的弦（非直徑），點(diǎn)C是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)C作垂直于OC的弦DE．設(shè)⊙O的半徑為r，弦AB的長為a，，則弦DE的長（）A．與r，a，m的值均有關(guān) B．只與r，a的值有關(guān) C．只與r，m的值有關(guān) D．只與a，m的值有關(guān)5．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AB，BC，CA為直徑作半圓圍成兩月牙形，過點(diǎn)C作DF∥AB分別交三個(gè)半圓于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若＝，AC+BC＝15，則陰影部分的面積為（）A．16 B．20 C．25 D．306．（5分）如圖，AB是半圓O的直徑，AB＝5cm，AC＝4cm．D是弧BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)B，不含端點(diǎn)C），連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，連接BE，在點(diǎn)D移動(dòng)的過程中，BE的取值范圍是（）A．﹣2＜BE≤ B．﹣2≤BE＜3 C．≤BE＜3 D．﹣≤BE＜3二.填空題（每題5分，共30分）7．（5分）在⊙O中，若弦BC垂直平分半徑OA，則弦BC所對(duì)的圓周角等于°．8．（5分）如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∠APB的平分線交⊙O于點(diǎn)C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點(diǎn)E、F，則EF的長是．9．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD為BC邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D方向以cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)△ABP的面積為S1，矩形PDFE的面積為S2，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜8），則t＝秒時(shí)，S1＝2S2．10．（5分）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅弦圖，后人稱其為趙爽弦圖（如圖1）．圖2為小明同學(xué)根據(jù)弦圖思路設(shè)計(jì)的，在正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作，再以CD為直徑作半圓交于點(diǎn)E，若邊長AB＝10，則△CDE的面積為．11．（5分）如圖，正方形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)F，已知DF＝5EF＝5，過C、D、F的⊙O與邊AD交于點(diǎn)G，則DG＝．12．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0），B（0，1），C（0，3），以O(shè)為圓心，OC為半徑畫圓，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為．三.解答題（每題15分，共60分）13．（15分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，CO⊥AB于點(diǎn)O，D是線段OB上一點(diǎn)，DE＝2，ED∥AC（∠ADE＜90°），連接BE、CD．設(shè)BE、CD的中點(diǎn)分別為P、Q．（1）求AO的長；（2）求PQ的長；（3）設(shè)PQ與AB的交點(diǎn)為M，請(qǐng)直接寫出|PM﹣MQ|的值．14．（15分）已知：如圖1，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，PC．點(diǎn)D是PC上一點(diǎn)，且PD＝PB，連接DB．（1）求∠PBD的度數(shù)；（2）小麗探究的值，她認(rèn)為只要弄清PA+PB與PC的關(guān)系即可，她的思路可以用以下框圖表示：根據(jù)小麗的思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的探究過程，并求出的值．（3）如圖2，把條件“等邊△ABC”改為“正方形ABCD”，其余條件不變，判斷是定值嗎？若是，請(qǐng)直接寫出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由．15．（15分）定義：有一個(gè)角是其對(duì)角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角．（1）如圖1，若四邊形ABCD是圓美四邊形，求美角∠A的度數(shù)．（2）在（1）的條件下，若⊙O的半徑為5．①求BD的長．②如圖2，在四邊形ABCD中，若CA平分∠BCD，則BC+CD的最大值是．（3）在（1）的條件下，如圖3，若AC是⊙O的直徑，請(qǐng)用等式表示線段AB，BC，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．（15分）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過點(diǎn)C作直線m⊥l，過點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF＝，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝，DF＝．（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長．

參考答案與試題解析一.選擇題（每題5分，共30分）1．【分析】過點(diǎn)P作直線與另一邊相交，使所得的三角形與原三角形有一個(gè)公共角，只要再作一個(gè)直角就可以．【解答】解：由于△ABC是直角三角形，過P點(diǎn)作直線截△ABC，則截得的三角形與△ABC有一公共角，所以只要再作一個(gè)直角即可使截得的三角形與Rt△ABC相似，過點(diǎn)P可作AB的垂線、AC的垂線、BC的垂線，共3條直線．故選：C．2．【分析】作直徑BD，連接DC、DA，如圖根據(jù)圓周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，由于∠CAB﹣∠CBA＝90°，可得到∠CAD＝∠CBA，則可證出∠CAD＝∠CDA，所以CA＝CD＝2，然后在Rt△BCD中根據(jù)勾股定理計(jì)算出BD，從而可得到圓的半徑，得出圓的面積．【解答】解：作直徑BD，連接DC、DA，如圖∵BD為直徑，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵∠CAB﹣∠CBA＝90°，∴∠CAD＝∠CBA，而∠CBA＝∠CDA，∴∠CAD＝∠CDA，∴CA＝CD＝2，在Rt△BCD中，∵BC＝6，CD＝2，∴BD＝＝2，OB＝，∴⊙O的面積為＝10π，故選：B．3．【分析】此題可通過證△EAC≌△OAB，得AE＝OA，從而求出EA的長；△EAC和△OAB中，已知的條件只有AB＝AC；由AB＝BD，得＝，可得∠AED＝∠AOB；四邊形ABDE內(nèi)角于⊙O，則∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC＝180°﹣60°﹣∠D＝120°﹣∠D；而∠ECA＝180°﹣∠ACB﹣∠BCD＝120°﹣∠BCD，上述兩個(gè)式子中，由BD＝AB＝BC，易證得∠D＝∠BCD，則∠ECA＝∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而兩個(gè)等腰三角形的頂角相等，且底邊AC＝AB，易證得兩個(gè)三角形全等，由此得解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝BD＝a，∠CAB＝∠ACB＝60°；∵AB＝BD，∴，∴∠AED＝∠AOB；∵BC＝AB＝BD，∴∠D＝∠BCD；∵四邊形EABD內(nèi)接于⊙O，∴∠EAB+∠D＝180°，即∠EAC+60°+∠D＝180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD＝180°，∴∠ECA＝∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC＝∠AOB，∵AC＝AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE＝OA＝1．故選：B．4．【分析】連接AD、BE，如圖，根據(jù)垂徑定理得到CE＝CD，利用得到AC＝，BC＝，再證明△ADC∽△EBC，利用相似比得CD2＝AC?BC，所以DE2＝?，從而可判斷弦DE的長只與a、m有關(guān)．【解答】解：連接AD、BE，如圖，∵OC⊥DE，∴CE＝CD，∵，∴AC＝，BC＝，∵∠D＝∠B，∠A＝∠E，∴△ADC∽△EBC，∵CD：BC＝AC：EC，∴CD2＝AC?BC，∴DE2＝?，∴DE2＝，∴弦DE的長只與a、m有關(guān)．故選：D．5．【分析】陰影部分面積可以看成是以AC、BC為直徑的兩個(gè)半圓的面積加上一個(gè)直角三角形ABC的面積減去一個(gè)以AB為直徑的半圓的面積．【解答】解：連接AF、BE，∵AC是直徑，∴∠AFC＝90°．∵BC是直徑，∴∠CDB＝90°．∵DF∥AB，∴四邊形ABDF是矩形，∴AB＝DF，取AB的中的O，作OG⊥CE．∵，設(shè)DF＝10k，CE＝6k，∵CG＝CE＝3k，OC＝OA＝5k，∴OG＝4K，∴AF＝BD＝4K，CF＝DE＝2K，∴AC＝．∵AC+BC＝15，∴2k+4k＝15，∴k＝，∴AC＝5，BC＝10，S陰影＝直徑為AC的半圓的面積+直徑為BC的半圓的面積+S△ABC﹣直徑為AB的半圓的面積＝π（）2+π（）2+AC×BC﹣π（）2＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+AC×BC＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC＝AC×BC＝×5×10＝25．故選：C．6．【分析】由∠AEC＝90°知E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），從而得BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中E′點(diǎn)），在Rt△BCM中利用勾股定理求得BM＝，從而得BE長度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2；由BE最長時(shí)即E與C重合，根據(jù)BC＝3且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，得BE＜3，從而得出答案．【解答】解：如圖，由題意知，∠AEC＝90°，∴E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點(diǎn)C、可含點(diǎn)N），∴BE最短時(shí)，即為連接BM與⊙M的交點(diǎn)（圖中E′點(diǎn)），∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，AC＝4，∴BC＝3，CM＝2，則BM＝＝＝，∴BE長度的最小值BE′＝BM﹣ME′＝﹣2，當(dāng)BE最長時(shí)，即E與C重合，∵BC＝3，且點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合，∴BE＜3，綜上，﹣2≤BE＜3，故選：B．二.填空題（每題5分，共30分）7．【分析】根據(jù)弦BC垂直平分半徑OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角等于圓心角的一半即可得弦BC所對(duì)的圓周角度數(shù)．【解答】解：如圖，∵弦BC垂直平分半徑OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所對(duì)的圓周角等于60°或120°．故答案為：60或120．8．【分析】連接OE、OC，OC交EF于D，由圓周角定理得出＝，如果連接OC交EF于D，根據(jù)垂徑定理可知：OC必垂直平分EF．由MN是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線定理可得：OD＝CD＝OC＝2．在Rt△OED中求出ED的長，即可得出EF的值．【解答】解：如圖所示，∵PC是∠APB的角平分線，∴∠APC＝∠CPB，∴＝，∴AC＝BC；∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°．即△ABC是等腰直角三角形．連接OC，交EF于點(diǎn)D，則OC⊥AB；∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴MN∥AB；∴OC⊥EF，OD＝OC＝2．連接OE，根據(jù)勾股定理，得：DE＝＝2，∴EF＝2ED＝4．故答案是：4．9．【分析】利用三角形的面積公式以及矩形的面積公式，表示出S1和S2，然后根據(jù)S1＝2S2，即可列方程求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD為BC邊上的高，∴AD＝BD＝CD＝8cm，又∵AP＝t，則S1＝AP?BD＝×8×t＝8t，PD＝8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE＝AP＝t，∴S2＝PD?PE＝（8﹣t）?t，∵S1＝2S2，∴8t＝2（8﹣t）?t，解得：t＝6．故答案是：6．10．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可以得到DE和CE的值，從而可以求得△CDE的面積．【解答】解：如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接BF、BE、DE、EF，由題意可得，F(xiàn)E＝FC，BE＝BC，∴BF是EC的垂直平分線，∴∠FBC+∠BCE＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠FBC＝∠DCE，又∵∠BCF＝∠CED＝90°，∴△BCF∽△CED，∴＝＝，∵BC＝CD＝AB＝10，CF＝5，∠BCF＝90°，∴BF＝＝＝5，∴＝＝，解得：CE＝4，ED＝2，∴S△CDE＝×CE×DE＝×4×2＝20，故答案為：20．11．【分析】連接CF、GF，由△AFD∽△EAD可得正方形邊長，再由△AFG∽△DFC即可得到答案．【解答】解：連接CF、GF，如圖：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴，∴，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝，故答案為：．12．【分析】延長OA至D，使OD＝，可得＝，進(jìn)而得出△AOP∽△POD，從而得出PD＝PA．【解答】解：如圖，延長OA至D，使OD＝，在Rt△BOD中，由勾股定理得，BD＝＝＝，∵，∠AOP＝∠POD，∴△AOP∽△POD，∴，∴PD＝PA，∵PB+PD≥BD＝，∴當(dāng)D、P、B共線時(shí)，PB+PD最小值＝BD＝，即PA+PB最小值＝，故答案是．三.解答題（每題15分，共60分）13．【分析】（1）由△ABC∽△ACO，得＝，由此即可求出OA．（2）如圖2中，取BD中點(diǎn)F，CD中點(diǎn)Q，連接PF、QF，在Rt△PFQ中，求出PF，QF即可解決問題．（3）如圖3中，取AD中點(diǎn)G，連接GQ，由PF∥GQ，推出△PMF∽△QMG，推出＝＝，由PM+QM＝，可以求出PM，QM，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1中，∵CO⊥AB，∴∠AOC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACO，∴＝，∵AB＝＝＝13，∴OA＝＝．（2）如圖2中，取BD中點(diǎn)F，CD中點(diǎn)Q，連接PF、QF，則PF∥ED，F(xiàn)Q∥BC，∵DE∥AC，AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴PF⊥FQ，∵PF＝ED＝1，F(xiàn)Q＝BC＝6，在Rt△PFQ中，PQ＝＝＝．（3）如圖3中，取AD中點(diǎn)G，連接GQ，∵GQ∥AC，ED∥AC，PF∥ED，∴PF∥GQ，∴△PMF∽△QMG，∴＝＝，∵PM+QM＝，∴PM＝，MQ＝，∴|PM﹣QM|＝．14．【分析】（1）由同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠DPB＝∠CAB＝60°，再由PB＝PD，可得△PBD是等邊三角形，由此可求解；（2）證明△APB≌△CDB（SAS），可得PA+PB＝PD+CD＝PC，再求＝＝；（3）連接DO，AO，過點(diǎn)A作AH⊥AP交PD于點(diǎn)H，證明△PAB≌△HAD（SAS），可得PD＝DH+PH＝PB+PA，同理可證，PC＝PA+BP，則PC+PD＝（1+）（PA+PB），可求＝．【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DPB＝∠CAB＝60°，∵PB＝PD，∴△PBD是等邊三角形，∴∠PBD＝60°；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝∠PBD＝60°，∴∠ABP＝∠CBD，∵△PBD是等邊三角形，∴BP＝BD，∴△APB≌△CDB（SAS），∴PA＝CD，∵PB＝PD，∴PA+PB＝PD+CD＝PC，∴＝＝；（3）是定值，理由如下：連接DO，AO，過點(diǎn)A作AH⊥AP交PD于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠AOD＝90°，∵∠APD＝∠AOD＝45°，∵AH⊥AP，∴∠PAH＝90°，∴∠AHP＝∠APH＝45°，∴AH＝AP，∵∠PAH＝∠BAD＝90°，∴∠PAB＝∠HAD，∴△PAB≌△HAD（SAS），∴PB＝DH，∴PD＝DH+PH＝PB+PA，同理可證，PC＝PA+BP，∴PC+PD＝（1+）（PA+PB），∴＝＝＝．15．【分析】（1）由題意得：∠A＝∠C，而∠A+∠C＝180即可求解；（2）①如下圖，連接DO并延長交圓于E點(diǎn)，連接BE，BD＝ED?sinE＝5；②如下圖：連接BO、DO、OC，當(dāng)O在AC上，CD+BC最大即可求解；（3）∠H＝30°，則CH＝2CD，tan∠BAH＝＝＝tan60，故：BC+2CD＝AB．【解答】解：（1）由題意得：∠A＝∠C，而∠A+∠C＝180，∴∠A＝60°；（2）①如下圖，連接DO并延長交圓于E點(diǎn)，連接BE，則∠E＝∠A＝60°，BD＝ED?sinE＝5；②如下圖：連接BD，∠ABD＝∠ACD＝60°，則∠ADB＝∠ACB＝60°，則△ABD為等邊三角形，延長CB到E，使得BE＝CD，又∵AB＝AD，∠EBA＝∠CDA，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴∠E＝∠ACD＝60°，∠EAB＝∠DAC，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠BA