二.一階線性微分方程

第二節線性微分方程一.可分離變量的一階微分方程

一.可分離變量的一階微分方程的形式,稱(1)式為可分離變量的微分方程.

(2)如果一階微分方程(1)式可以化為形如一階微分方程的一般形式為(1)特點：方程經過適當變形,可以將含有相同變量的函數與微分分離到等式的同一端.具體解法為：(1)分離變量;(2)兩邊分別對各自的變量積分.例如求解微分方程分離變量:兩端積分:為所求通解.例2求微分方程的通解例1求微分方程的通解．求微分方程例3滿足初始條件的特解．

有的微分方程不是可分離變量的,但通過適當的變換,可將其化為可分離變量的方程.齊次方程可化為可分離變量的微分方程.的微分方程定義:稱為齊次方程.解法:作變量代換代入原式可分離變量的方程對于其次方程分離變量，得

求微分方程例5

的通解.例4解微分方程二.一階線性微分方程的微分方程稱為一階線性微分方程.(3)式稱為一階線性齊次微分方程.稱為一階線性非齊次微分方程.當形如:(3)當例如線性的;非線性的.一階線性微分方程的解法:齊次方程的通解為1.求解線性齊次方程(使用分離變量法)2.求解線性非齊次方程分析:兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:令將其代入線性非齊次方程求出C(x)即可.一階線性非齊次微分方程的通解為:對應齊次方程通解非齊次方程特解上述這種把對應的齊次方程通解中的常數C的通解的方法，稱為常數變易法.變換為待定函數C(x)，然后求得線性非齊次方程由此,求解一階線性微分方程的方法:(1)常數變易法;(2)直接利用通解公式.

由此，一階線性非齊次方程的通解等于對應的線性齊次方程的通解與線性非齊次方程的一個特解之和．這是一階線性非齊次方程通解的結構.的通解.例6求微分方程例7求微分方程滿足初始條件的特解.三、二階常系數線性齊次微分方程的解法其中p,q均為常數．

無關的特解

y1

與y2,由上節定理知,只要找出方程(1)的兩個線性二階常系數線性齊次方程的一般形式為(1)即可得(1)式的通解:當r為常數時,指數函數導數都只相差一個常數因子．和它的各階(2)有因此,只要r是代數方程(2)的根,將代入原方程，因此可用來試解(其中r是待定常數)．y=erx就是微分方程的解．得種情況,因此方程的通解也有三種情況：特征方程(2)是一個二次方程,它的根有三時,1°當稱為微分方程(1)的特征方程．代數方程:(2)個不相等的實根r1及

r2

，特征方程(2)有兩個特解

與此時方程有兩個

因為常數，線性無關,即2°當時，特解則微分方程有一個可以驗證是與線性無關的解．因此通解為的實根特征方程有兩個相等所以通解為:這時方程有兩個復數形式的解

3°當時，其中有一對共軛復根特征方程(2)可以驗證，函數為方程的兩個實數形式的解，且它們線性與無關.因此方程的通解為:的通解步驟如下:綜上，求二階常系數線性齊次微分方程(1)寫出微分方程的特征方程(2)求出特征方程的兩個根方程的通解.(3)根據兩個根的不同情況，按下表寫出微分實根特征根通解例1求微分方程的通解．特征方程為解有兩個不等的實根故方程的通解為先求通解，特征方程解個相等的實根有兩故方程的通解為代入初始條件

求得C1=0,C