2024年中考第三次模擬考試（湖南卷）數學第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列實數中，最大的是（

）A． B． C．0 D．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．3．下列圖標是第十九屆杭州亞運會上常見的運動圖標，其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．國家主席習近平在主旨演講中聲明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會達成了972億美元的項目合作協(xié)議．”將972億美元用科學記數法表示成元，正確的是（

）A． B． C． D．5．如圖，直線，點在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數為（）A． B． C． D．6．3、6、是某三角形三邊的長，則等于（

）A． B． C．7 D．7．關于x的一元二次方程方程有兩個不相等的實數解，則的范圍是（

）A． B． C． D．8．下列函數的圖像在每一個象限內，y隨x的增大而減小的是（）A． B． C． D．9．馬面裙（圖1），又名“馬面褶裙”，是我國古代女子穿著的主要裙式之一，如圖2，馬面裙可以近似地看作扇環(huán)（和的圓心為點O），A為的中點，，則該馬面裙裙面（陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．10．如圖，小明站在原點處，從離地面高度為的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，如果在地上擺放一個底面半徑為，高為的圓柱形筐，筐的最左端距離原點為米，若要彈力球從B點彈起后落入筐內，則的值可以是（

）A．7 B．9 C．10 D．8第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）11．若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是．12．分解因式：.13．一元二次方程的兩個實數根分別為，則．14．如圖，是的直徑，與相切于點的延長線交于點，則的度數是．15．如圖，在中，，，，以點為圓心，適當長為半徑作弧分別交，于點，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線，交于點，則到的距離為．16．某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如下表：如果按創(chuàng)新性占，實用性占計算總成績，那么甲、乙、丙、丁中應推薦的作品是．項目作品甲乙丙丁創(chuàng)新性實用性17．如圖，點M是反比例函數圖像上的一點，過點M作軸于點N，點P在y軸上，若的面積是2，則．18．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．請應用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內接于，，為上一點，，于點，則的周長是．三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19．先化簡，再求值：，其中是滿足條件的合適的正整數解．20．越來越多太陽能路燈的使用，既點亮了城市的風景，也是積極落實節(jié)能環(huán)保的重大舉措，某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，已知測傾器的高度為米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角，在與點A相距米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角（點A，D與點N在一條直線上），求電池板離地面的高度的長．（結果精確到米，參考數據：，，）21．如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于，兩點，且一次函數圖像交軸于點A．(1)求反比例函數與一次函數的解析式；(2)求的面積．22．荷塘區(qū)教育局開展中小學“與閱讀同行伴書香成長”閱讀活動，某校組織對全校八年級“大閱讀”五星級評選工作進行抽樣調查，隨機抽取20名學生閱讀的積分情況（積分為整數）進行分析：【收集數據】20名學生的“大閱讀”積分如下（單位：分）：32

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42【整理數據】請你按如下表格分組整理、描述樣本數據，并把下列表格補充完整積分/分星級頻數紅2橙3黃5綠青根據以上數據可制成不完整的頻數分布直方圖．(1)填空：____________，_____________；(2)補全頻數分布直方圖；(3)【得出結論】估計該校八年級600名學生中獲得綠星級以上的人數．(4)已知該校八年級學生小明的積分為分，是綠星級；小紅的積分為分，是青星級．如果倆人的積分與上述20名學生的積分都不一樣，那么的最大值是_________．23．陽光營養(yǎng)餐公司為學生提供的早餐食品中，蛋白質總含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一個雞蛋．一個雞蛋的質量約為，谷物、牛奶和雞蛋的部分營養(yǎng)成分見下表：項目谷物（每）牛奶（每）雞蛋（每）蛋白質（）脂肪（）碳水化合物（）(1)求每份該種早餐中谷物食品和牛奶各多少g？(2)該公司為學生提供的午餐有、兩種套餐（每天只提供一種），見下表：套餐主食肉類其他為了平衡膳食，公司建議控制學生的主食和肉類攝入量，在一周內，每個學生主食的攝入量不超過，肉類攝入量不超過，每個學生一周內午餐可以選擇、套餐各幾天（一周按天計算）？24．如圖點是正方形中邊上一點，將沿翻折得到，使點落在點處，延長與邊交于點，直線與交于點．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若直線與的延長線交于點求證：；(3)如圖③，若直線與、的延長線分別交于點、，交于點求證：．25．如圖，在中，，，以為直徑的交于點，交的延長線于點，交于點，交于點，且，．(1)請判斷線段和的大小關系，并說明理由．(2)求的值．(3)若點從點勻速運動到點時，點恰好從點勻速運動到點，記，．①求關于的函數表達式．②當點運動到半徑上時，若射線交于點，點恰好為，，其中兩點之間的弧的中點，請求出所有滿足條件的的值．26．定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“梅嶺點”．(1)若點是一次函數的圖象上的“梅嶺點”，則________；若點是函數的圖象上的“梅嶺點”，則________；(2)若點是二次函數的圖象上唯一的“梅嶺點”，求這個二次函數的表達式；(3)若二次函數是常數，的圖象過點，且圖象上存在兩個不同的“梅嶺點”，，且滿足，，如果，求的取值范圍．

2024年中考第三次模擬考試（湖南卷）數學·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列實數中，最大的是（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了實數的大小比較，一般地，正數大于零，零大于負數，兩個負數，絕對值大的反而?。然喗^對值，然后把選項中的4個數按從小到大排列，即可得出最大的數．【詳解】解：∵，∴，∴最大的數是．故選：D．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了整式的運算：涉及同類項的合并，積的乘方，同底數冪相除，完全平方公式，根據相關內容性質進行逐項分析，即可作答．【詳解】解：A、，故該選項是錯誤的；B、，故該選項是錯誤的；C、，故該選項是正確的；D、，故該選項是錯誤的；故選：C3．下列圖標是第十九屆杭州亞運會上常見的運動圖標，其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了軸對稱圖形的概念，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．根據軸對稱概念可知，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱，據此分析解答．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：A．4．2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．國家主席習近平在主旨演講中聲明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會達成了972億美元的項目合作協(xié)議．”將972億美元用科學記數法表示成元，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了科學記數法：把一個絕對值大于等于10的數表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整數）；n的值為小數點向左移動的位數．根據科學記數法的定義，即可求解．【詳解】解：972億，故選：C．5．如圖，直線，點在直線n上，點B在直線m上，連接，過點A作，交直線m于點C．若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．根據兩直線平行，同旁內角互補得出，結合已知條件即可求出的度數．【詳解】解：如圖所示，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C．6．3、6、是某三角形三邊的長，則等于（

）A． B． C．7 D．【答案】C【分析】先根據三角形三邊的關系求出的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結論．【詳解】解：∵3、6、是某三角形三邊的長，，解得：，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的性質及化簡，解題的關鍵是先根據題意求出的范圍，再對二次根式化簡．7．關于x的一元二次方程方程有兩個不相等的實數解，則的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數根；當，方程有兩個相等的實數根；當，方程沒有實數根．根據判別式的意義得到，然后解不等式即可．【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，解得．故選：D8．下列函數的圖像在每一個象限內，y隨x的增大而減小的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A、由得到，在每個象限內，y隨x的增大而增大，故該項錯誤，不符合題意；B、由，對稱軸左側，y隨x的增大而減小，對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，故該項不正確，不符合題意；C、由，在每一個象限內，y隨x的增大而減小，故該項正確，符合題意；D、由，得到y(tǒng)隨x的增大而增大，故該項錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了一次函數，二次函數，反比例函數的增減性，熟練掌握函數的增減性是解題的關鍵．9．馬面裙（圖1），又名“馬面褶裙”，是我國古代女子穿著的主要裙式之一，如圖2，馬面裙可以近似地看作扇環(huán)（和的圓心為點O），A為的中點，，則該馬面裙裙面（陰影部分）的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題主要考查陰影部分面積求解，解題的關鍵是熟知扇形的面積公式．【詳解】解：∵，，A為的中點，∴為等邊三角形，，∴，∴；故選B10．如圖，小明站在原點處，從離地面高度為的點A處拋出彈力球，彈力球在B處著地后彈起，落至點C處，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，彈力球第一次著地前拋物線的解析式為，彈力球在B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，如果在地上擺放一個底面半徑為，高為的圓柱形筐，筐的最左端距離原點為米，若要彈力球從B點彈起后落入筐內，則的值可以是（

）A．7 B．9 C．10 D．8【答案】D【分析】本題考查二次函數的實際應用，熟練掌握利用待定系數法求得二次函數的解析式，建立直角坐標系是解題的關鍵，根據點的坐標求出第一次著地前的拋物線解析式，可得到點的坐標，再根據B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，可得到第二次著地前拋物線的解析式，再根據圓柱形的高為，可求出當彈力球恰好砸中筐的最左端、最右端時，的值，進而得到的取值范圍，從而得到答案．【詳解】解：由題可知：彈力球第一次著地前拋物線的解析式為，且過點，代入解析式中得：，∴，∴解析式為：，當時，的最大值為，令，則，解得：，∴，∵B處著地后彈起的最大高度為著地前手拋出的最大高度的一半，∴其最大高度為：，∵彈力球著地前后的運動軌跡可近似看成形狀相同的兩條拋物線，設處著地后彈起的拋物線解析式為：，將點代入該解析式得：，解得：，∴該拋物線的解析式為：，∴對稱軸為：，∵點的坐標為，則點的坐標為，∵圓柱形的高為，當時，則，解得：或（舍去），∴當彈力球恰好砸中筐的最左端時，，∵筐的底面半徑為，直徑為，，∴當彈力球恰好砸中筐的最右端時，，∴，∴選項B，滿足，故選：D．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共8個小題，每小題3分，共24分）11．若在實數范圍內有意義，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件可得，即可求解．【詳解】解：∵在實數范圍內有意義，∴解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．12．分解因式：.【答案】【分析】本題考查了因式分解，首先提公因式，再根據平方差公式進行分解即可，解題的關鍵是掌握提公因式法和公式分解法因式分解．【詳解】解：，故答案為：．13．一元二次方程的兩個實數根分別為，則．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．根據一元二次方程根與系數的關系可得，，再把通分變形，再代入數值計算即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數根分別為，，∴，，∴；故答案是：．14．如圖，是的直徑，與相切于點的延長線交于點，則的度數是．【答案】/26度【分析】利用圓周角定理，切線的性質定理和三角形的內角和定理解答即可．【詳解】解：是的直徑，與相切于點A，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線的性質定理，熟練掌握上述定理是解題的關鍵．15．如圖，在中，，，，以點為圓心，適當長為半徑作弧分別交，于點，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點，作射線，交于點，則到的距離為．【答案】/【分析】過點作于，由勾股定理可求得，由題意可證明，則可得，從而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得結果．【詳解】解：過點作于，如圖，由勾股定理可求得，由題中作圖知，平分，∵，∴，∵，∴，∴，∴；設，則，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長為為；∴，故答案為：．【點睛】本題考查了作圖：作角平分線，角平分線的性質定理，全等三角形的判定與性質，勾股定理，利用全等的性質、利用勾股定理建立方程是解題的關鍵．16．某校為推薦一項作品參加“科技創(chuàng)新”比賽，對甲、乙、丙、丁四項候選作品進行量化評分，具體成績（百分制）如下表：如果按創(chuàng)新性占，實用性占計算總成績，那么甲、乙、丙、丁中應推薦的作品是．項目作品甲乙丙丁創(chuàng)新性實用性【答案】乙【分析】首先根據加權平均數的含義和求法，分別求出四人的平均成績各是多少；然后比較大小，判斷出誰的平均成績最高，即可判斷出應推薦誰．【詳解】解：甲的平均成績（分），乙的平均成績（分），丙的平均成績（分），丁的平均成績（分），∵，∴乙的平均成績最高，∴應推薦乙．故答案為：乙．【點睛】本題考查了加權平均數的含義和求法，熟練掌握加權平均數的求法是解題的關鍵．17．如圖，點M是反比例函數圖像上的一點，過點M作軸于點N，點P在y軸上，若的面積是2，則．【答案】【分析】設，可求，，由，即可求解．【詳解】解：設，軸，，，軸，，解得：，在上，，故答案：．【點睛】本題主要考查了在反比例函數中利用面積求，掌握解法是解題的關鍵．18．阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．請應用阿基米德折弦定理解決問題：如圖2，已知等邊內接于，，為上一點，，于點，則的周長是．【答案】【分析】根據等邊三角形的性質可得點是弧的中點，則可用阿基米德折弦定理得，，根據中，，于點，可得是等腰直角三角形，可求出的長，即的長，根據的周長的計算方法即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∴外接圓中，，即點是弧的中點，且于點，∴根據阿基米德折弦定理得，，∵中，，于點，且，∴，，即是等腰直角三角形，則，∴，∴，∵的周長為，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查定義新運算，等邊三角形的性質，圓的基礎知識，等腰直角三角形的性質，幾何圖形的周長的計算方法等知識，掌握以上知識是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，第19、20、21題每題6分，第22、23題每題8分，第24、25題每題10分，第26題12分，共66分）19．先化簡，再求值：，其中是滿足條件的合適的正整數解．【詳解】解：原式，，，又是滿足條件的合適的正整數解，，則原式．【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．20．越來越多太陽能路燈的使用，既點亮了城市的風景，也是積極落實節(jié)能環(huán)保的重大舉措，某校學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度，如圖，已知測傾器的高度為米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角，在與點A相距米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角（點A，D與點N在一條直線上），求電池板離地面的高度的長．（結果精確到米，參考數據：，，）【詳解】解：過E作于F，連接，設米，

∵，∴四邊形，四邊形均是矩形，∴米，米，∵，∴，∴，∴，∴解得米，經檢驗是原方程的解，且符合題意，∴米．答：電池板離地面的高度的長為米．【點睛】本題考查矩形判定與性質，銳角三角函數，分式方程，掌握矩形判定與性質，銳角三角函數，簡單方程是解題關鍵．21．如圖，反比例函數的圖像與一次函數的圖像交于，兩點，且一次函數圖像交軸于點A．(1)求反比例函數與一次函數的解析式；(2)求的面積．【詳解】（1）將點代入得：，，反比例函數解析式為；將點，代入一次函數得：，解得，一次函數解析式為；（2）將代入一次函數解析式為得：，，【點睛】本題考查一次函數與反比例函數交點和不規(guī)則三角形面積，函數圖像上的點可帶入解析式求解參數，計算不規(guī)則圖形面積通常采用割補法．22．荷塘區(qū)教育局開展中小學“與閱讀同行伴書香成長”閱讀活動，某校組織對全校八年級“大閱讀”五星級評選工作進行抽樣調查，隨機抽取20名學生閱讀的積分情況（積分為整數）進行分析：【收集數據】20名學生的“大閱讀”積分如下（單位：分）：32

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42【整理數據】請你按如下表格分組整理、描述樣本數據，并把下列表格補充完整積分/分星級頻數紅2橙3黃5綠青根據以上數據可制成不完整的頻數分布直方圖．(1)填空：____________，_____________；(2)補全頻數分布直方圖；(3)【得出結論】估計該校八年級600名學生中獲得綠星級以上的人數．(4)已知該校八年級學生小明的積分為分，是綠星級；小紅的積分為分，是青星級．如果倆人的積分與上述20名學生的積分都不一樣，那么的最大值是_________．【詳解】（1）解：由樣本數據得的有7人，的有3人，則，，故答案為：7；3；（2）解：由（1）中，，補全頻數分布直方圖如下：

（3）解：樣本中，積分在綠星級以上的人數，占抽樣人數的，（人，答：估計該校八年級600名學生中獲得綠星級以上的人數約為300人；（4）解：倆人的積分與上述20名學生的積分都不一樣，由題意知，的最大值為58，的最小值為41，的最大值為，故答案為：17．【點睛】本題考查頻數分布直方圖和利用統(tǒng)計圖表獲取信息的能力，利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．23．陽光營養(yǎng)餐公司為學生提供的早餐食品中，蛋白質總含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一個雞蛋．一個雞蛋的質量約為，谷物、牛奶和雞蛋的部分營養(yǎng)成分見下表：項目谷物（每）牛奶（每）雞蛋（每）蛋白質（）脂肪（）碳水化合物（）(1)求每份該種早餐中谷物食品和牛奶各多少g？(2)該公司為學生提供的午餐有、兩種套餐（每天只提供一種），見下表：套餐主食肉類其他為了平衡膳食，公司建議控制學生的主食和肉類攝入量，在一周內，每個學生主食的攝入量不超過，肉類攝入量不超過，每個學生一周內午餐可以選擇、套餐各幾天（一周按天計算）？【詳解】（1）解：設每份該種早餐中谷物食品有，牛奶有．依題意，列方程組為，解得，∴，，答：每份該種早餐中谷物食品有，牛奶。（2）解：設每個一周里共有天選擇套餐，則有天選擇套餐．依題意，得．解得．∴或，當時，，當時，，∴每個學生一周內午餐可以選擇套餐天，選擇套餐天；或每個學生一周內午餐可以選擇套餐天，選擇套餐天.24．如圖點是正方形中邊上一點，將沿翻折得到，使點落在點處，延長與邊交于點，直線與交于點．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，若直線與的延長線交于點求證：；(3)如圖③，若直線與、的延長線分別交于點、，交于點求證：．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

∵四邊形是正方形，∴，，∵將沿翻折得到，∴，，∴，，又∵，∴，∴；（2）證明：由（1）可得：，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；（3）證明：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，相似三角形的判定和性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．25．如圖，在中，，，以為直徑的交于