泰勒公式第三節、泰勒公式對于一些較復雜的函數，為了方便研究，往往希望用一些簡單的函數來近似表達．在各種函數中，多項式函數是最簡單的一種，只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算，便能求出它的函數值來，因此，我們希望用多項式來近似表示函數．那么，如何從理論上建立一個復雜函數與一個簡單的多項式之間的關系呢？1712年，英國數學家泰勒（Taylor）解決了這個問題.這正是本節所要介紹的泰勒公式的核心內容．一、泰勒中值定理引入1.在微分的應用中已經知道，當|x|很小時，有如下的近似等式：ex≈1+x,ln(1+x)≈x.這些都是用一次多項式來表達函數的例子．但是這種近似表達式存在著兩大不足：①精確度不高，它所產生的誤差僅是關于x的高階無窮小；②不能具體估計出誤差大小．于是，如何改進這兩大缺點是當時擺在數學家面前的一個重要課題．

泰勒首先提出下面的問題：設函數f(x)在含有x0的開區間內具有直到（n+1）階導數，試找出一個關于(x－x0)的n次多項式pn(x)=a0+a1(x－x0)+a2(x－x0)2+…+an(x－x0)n（3-1）來近似表達f(x)，要求pn(x)與f(x)之差是比(x－x0)n高階的無窮小，并給出誤差|f(x)－pn(x)|的具體表達式．下面我們來討論這個問題．假設pn(x)在x0處的函數及它的直到n階導數在x0處的值依次與f(x0),f′(x0),…,f(n)(x0)相等，即滿足pn(x0)=f(x0),p′(x0)=f′(x0),p″(x0)=f″(x0),…,p(n)n(x0)=f(n)(x0)，一、泰勒中值定理

按這些等式來確定多項式（3-1）的系數a0,a1,a2,…,an．為此，對式（3-1）求各階導數，然后分別代入以上等式，得a0=f(x0),1·a1=f′(x0),2!a2=f″(x0),…,n!an=f(n)(x0),即得下面的定理表明，多項式（3-2）的確是所要找的n次多項式．一、泰勒中值定理泰勒中值定理2.泰勒中值定理如果函數f(x)在含有x0的某個開區間(a,b)內具有直到（n+1）階的導數，則對任一x∈(a,b)，有其中這里ξ是x0與x之間的某個值．一、泰勒中值定理

證設Rn(x)=f(x)－pn(x)，只需證明

（ξ在x0與x之間）.由假設可知，Rn(x)在(a,b)內具有直到（n+1）階的導數，且Rn(x0)=R′n(x0)=R″n(x0)=…=R(n)n(x0)=0.

對兩個函數Rn(x)及(x－x0)n+1在以x0與x為端點的區間上應用柯西中值定理（顯然，這兩個函數滿足柯西中值定理的條件），得

（ξ1在x0與x之間）一、泰勒中值定理

再對兩個函數R′n(x)與(n+1)(x－x0)n在以x0及ξ1為端點的區間上應用柯西中值定理，得

（ξ2在x0與ξ1之間）.照此方法繼續下去，經過（n+1）次后，得（ξ在x0與ξn之間，因而也在x0與x之間）.注意到Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)（因pn(n+1)(x)=0），則由上式得（ξ在x0與x之間）.定理證畢．一、泰勒中值定理二、泰勒公式及其余項多項式（3-2）被稱為函數f(x)按(x－x0)的冪展開的n次近似多項式，式（3-3）稱為f(x)按(x－x0)的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式，而表達式（3-4）稱為拉格朗日型余項．當n=0時，泰勒公式變成拉格朗日中值公式f(x)=f(x0)+f′(ξ)(x－x0)（ξ在x0與x之間)，因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣．

由泰勒中值定理可知，以多項式pn(x)近似表達函數f(x)時，其誤差為|Rn(x)|．如果對于某個固定的n，當x∈(a,b)時，|f(n+1)(x)|≤M，則有估計式(3-5)及limx→x0Rn(x)/(x－x0)n=0.由此可見，當x→x0時誤差|Rn(x)|是比(x－x0)n高階的無窮小，即Rn(x)=o［(x－x0)n］.(3-6)這樣，我們提出的問題完滿地得到解決．二、泰勒公式及其余項在不需要余項的精確表達式時，n階泰勒公式也可以寫成(3-7)Rn(x)的表達式(3-6)稱為佩亞諾(Peano)型余項，式(3-7)稱為f(x)按(x－x0)的冪展開的帶有佩亞諾型余項的n階泰勒公式．二、泰勒公式及其余項

在泰勒公式（3-3）中，如果取x0=0，則ξ在0與x之間．因此可令ξ=θx(0<θ<1)，從而泰勒公式變成比較簡單的形式，即所謂帶有拉格朗日型余項的麥克勞林(Maclaurin)公式(3-8)在泰勒公式（3-7）中，如果取x0=0，則有帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式(3-9)由式(3-8)或式（3-9）可得近似公式誤差估計式（3-5）相應變成(3-10)二、泰勒公式及其余項

寫出函數f(x)=ex的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式．解因為f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=ex．所以f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=1．把這些值代入式（3-8），并注意到f(n+1)(θx)=eθx使得(0<θ<1).由這個公式可知，ex用它的n次近似多項式可表達為【例1】二、泰勒公式及其余項

這時所產生的誤差為(0<θ<1).如果取x=1，則得無理數e的近似式為其誤差為當n=10時，可算出e≈2.718282，其誤差不超過10－6．二、泰勒公式及其余項

求f(x)=sinx的帶有拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式．解因為所以它們順序循環地取四個數0,1,0,－1，于是按(3-8)式得（令n=2m）【例2】二、泰勒公式及其余項其中(0<θ<1).如果取m=1，則得近似公式sinx≈x.這時誤差為如果m分別取2和3，則可得sinx的3次和5次近似多項式其誤差的絕對值依次不超過類似地，還可以得到(4-11)(4-12)二、泰勒公式及其余項其中(0<θ<1)；其中(0<θ<1)；其中Rn(x)=(0<θ<1).由以上帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式，易得相應的帶有佩亞諾型余項的麥克勞林公式，讀者可自行寫出．二、泰勒公式及其余項【例3】二、泰勒公式及其余項【例4】二、泰勒公式及其余項解法2

用泰勒公式求極限二、泰勒公式及其余項由以上解法可知，在求“”型未定式時，若無窮小的階數比較高（三階以上），用泰勒公式求解比用洛必達法則求解容易．注意二、泰勒公式及其余項

設f(x)在［a,b］上具有三階導數，且f(a)=f(b)=f′(b)=f″(b)=0，證明在(a,b)內至少存在一點ξ，使證f(x)在x0=b的二階泰勒公式為【例5】二、泰勒公式及其余項（1）要證明命題“f(n)(ξ)=0”．當n較小時（如n=1,2），可考慮對f(n－1)(x)使用羅爾定理的處理方法．此時，問題可轉化為尋找使函數f(n－1)(x)的值相等的兩個點，這往往需要借助于微分中值定理（如羅爾定理或拉格朗日中值定理）．（2）當n較大時，可考慮使用f(x)的n－1階泰勒公式證明f(n)(ξ)=0．注意二、泰勒公式及其余項

應用三階泰勒公式近似計算sin18°的值，并估計誤差．解18°=π/10與0