第十章計數原理、概率、隨機變量及其分布第8節二項分布、超幾何分布與正態分布1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態分布曲線了解正態分布的概念，并進行簡單應用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗____________________的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為_________________.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n，稱隨機變量X服從二項分布，記作_________________.只包含兩個可能結果n重伯努利試驗X～B(n，p)2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝

___，D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝___________.p(1－p)npnp(1－p)p3.超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機變量X服從超幾何分布.正態分布x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝______.μσ2常用結論與微點提醒1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”)(1)X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是2的倍數的次數，則X服從二項分布.(

)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數X服從超幾何分布.(

)(3)n重伯努利試驗中各次試驗的結果必須相互獨立.(

)(4)正態分布是對于連續型隨機變量而言的.(

)√√√√A

3.(選修三P78例5改編)在含有3件次品的10件產品中，任取4件，X表示取到的次品數，則P(X＝2)＝________.解析由題意，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，4.(必修三P87T2改編)已知隨機變量X服從正態分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，則c＝________.解析隨機變量X服從正態分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一二項分布解由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，感悟提升判斷某隨機變量服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中，事件發生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.解將這組數據從小到大進行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因為75%×10＝7.5，所以第8個數據為所求，所以這組數據的第75百分位數為9.1.(2)將頻率視為概率，現從觀眾中隨機抽取3人對該電視劇進行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數為X，求X的分布列、數學期望與方差.解樣本中評分超過9.0的有3個，所以評分超過9.0的概率(頻率)為0.3，依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B(3，0.3)，考點二超幾何分布(2)若一次抽取3個機房，假設抽取的小型機房的個數為X，求X的分布列和數學期望.解X的可能取值為0，1，2，3.感悟提升1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.訓練2(2024·鄭州調研)端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；解令A表示事件“三種粽子各取到1個”，(2)設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列，并求E(X).解X的所有可能值為0，1，2，且考點三正態分布ACA.甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值B.甲工廠生產零件尺寸的平均值小于乙工廠生產零件尺寸的平均值C.甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性D.甲工廠生產零件尺寸的穩定性低于乙工廠生產零件尺寸的穩定性結合正態密度函數的圖象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產零件尺寸的平均值等于乙工廠生產零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產零件尺寸的穩定性高于乙工廠生產零件尺寸的穩定性，故C正確，D錯誤.BD解析對于A，由題意知，數學考試成績X的平均值為90，故A錯誤；對于B，根據N(90，σ2)(σ>0)中標準差的意義，σ的值越大則高于90分低于100分的人數越少，所以成績不低于100分的人數越多，故B正確；對于C，當σ＝15時，感悟提升解決正態分布問題的三個關鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標準差為σ.(3)分布區間.由μ，σ利用對稱性可求指定范圍內的概率值，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x＝0.訓練3(1)(2024·棗莊模擬)某地區有20000名考生參加了高三第二次調研考試.經過數據分析，數學成績X近似服從正態分布N(72，82)，則數學成績位于[80，88]的人數約為(

)參考數據：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A.455 B.2718 C.6346 D.9545B則數學成績位于[80，88]的人數約為0.1359×20000＝2718.(2)(多選)(2024·常州調研)已知在數學測驗中，某校學生的成績服從正態分布N(110，81)，其中90分為及格線，則下列結論中正確的有(附：若隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)(

)A.該校學生成績的期望為110B.該校學生成績的標準差為9C.該校學生成績的標準差為81D.該校學生成績及格率超過95%ABD解析因為該校學生的成績服從正態分布N(110，81)，則μ＝110，方差σ2＝81，標準差σ＝9，因為μ－2σ＝110－2×9＝92，所以該校學生成績的期望為110，標準差為9，該校學生成績及格率超過95%.所以A，B，D正確，C錯誤.微點突破

二項分布與超幾何分布的區別與聯系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯系，但也有明顯的區別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應的總體數量很大時可以近似地看作二項分布.例1

寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數.解X1的分布列為(2)有一批產品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數為X2.解X2的分布列為(3)有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現次品的件數為X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解X3的分布列為(2)設A答對的題數為X，B答對的題數為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學生？請說明理由.解X的可能取值為1，2，3，因為E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A與B答題的平均水平相當，但A比B更穩定.所以選擇學生A.訓練

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區間為[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；解質量超過505克的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質量超過505克的產品數量為40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；解質量超過505克的產品數量為12件，則質量未超過505克的產品數量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.(3)從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB2.(2024·湖州質檢)設隨機變量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，則P(X≤2a－b)＝(

) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75A解析由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正態曲線的對稱性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25.CACDD陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正確.BD解析對于A，根據超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數學模型計算概率，故A錯誤；對于B，取出的黑球個數Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故B正確；7.(多選)(2024·廈門模擬)李明每天7：00從家里出發去學校，有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36，騎自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，則(

)A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應選擇騎自行車BCD解析對于A，由條件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根據正態曲線的對稱性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A錯誤；對于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正確；對于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正確；對于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)，P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正確.8.小趙計劃購買某種理財產品，設該產品每年的收益率為X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，則小趙購買該產品4年，恰好有2年是正收益的概率為________.27解析由題意得μ