年九年級畢業(yè)暨升學模擬考試（一）數學試卷（答題時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：每小題給出的四個選項中，其中只有一個是正確的．請把正確選項的代號寫在下面的答題表內，（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.下列拋物線開口朝上的是（）A. B. C. D.2.如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，則的長為（）A.2 B.4 C. D.3.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（）A. B.1 C. D.24.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.5.已知點，，都在反比例函數圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.6.據國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.7.如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數是（）A.55° B.45° C.42° D.40°8.如圖，四邊形是的內接四邊形，，．若的半徑為5，則的長為（）A B. C. D.9.一位同學在畫二次函數圖象時，把看成了，結果所畫圖像是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，則b的值為（）A.24 B. C. D.1210.如圖中，，，，，為中點，若點為直線下方一點（在異側），且與相似，則下列結論：①若，與相交于，則點必為的重心；②若，則的最大值為；③若，，則的長為；④若，則當時，取得最大值．其中正確的為A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若是關于x的方程的解，則的值為___________．12.如圖所示，在平面直角坐標系中已知點，，以原點O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內放大，則點A的對應點的坐標是___．13.如圖，在平面直角坐標系中，點在函數圖象上．設點為軸負半軸一動點，以為邊作正方形，點在軸負半軸上，點在第三象限內，連接、，記的面積為，設，則的最大值為__________．14.如圖，已知菱形的面積等于24，，則（1）______；（2）點，，，分別是此菱形的，，，邊上的點，且，則_______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解方程：16.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，O，B為格點（即每個小正方形的頂點），，且，線段關于直線對稱的線段為，將線段繞點O逆時針旋轉得到線段．（1）請使用尺規(guī)作圖畫出線段；（2）將線段繞點O逆時針旋轉得到線段，連接．若，求的度數．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，四邊形是學校的一塊學農基地，其中是水果園，是蔬菜園，已知，，，．（1）求證：；（2）若蔬菜園的面積為，求水果園的面積．18.下圖是今年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個數，請解答下列問題：（1）若方框中最大數與最小數的乘積為180，求最小數；（2）方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和能為124嗎?若能，求最小數；若不能，請說明理由．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一次函數與函數為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數的解析式；（2）根據圖象，直接寫出滿足時x取值范圍；（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標．20.如圖，為的直徑，點是弧的中點，過點作射線的垂線，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．六、（本題滿分12分）21.某班開展“講數學家故事”的活動．下面是印有四位中國數學家紀念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學從中隨機抽取兩張，講述卡片上數學家的故事．（1）請寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現的結果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案的概率．七、（本題滿分12分）22.【問題背景】數學學習小組發(fā)現國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形展開了探究．【探究發(fā)現】（1）操作發(fā)現：如圖1，在中，，．將折疊，使邊落在邊上，點的對應點是點，折痕交于點，連接，，則，設，，那么（用含的式子表示）；（2）探究發(fā)現：比值被稱為黃金比．當等腰三角形的底與腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．在（1）的條件下試證明：；【拓展應用】（3）如圖2，在菱形中，，．求這個菱形較長對角線的長．八、（本題滿分14分）23.如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與y軸的交點坐標為，圖象的頂點為M．矩形的頂點D與原點O重合，頂點A，C分別在x軸，y軸上，頂點B的坐標為．（1）求c的值及頂點M的坐標，（2）如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個單位得到對應的矩形．已知邊，分別與函數的圖象交于點P，Q，連接，過點P作于點G．①當時，求的長；②當點G與點Q不重合時，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

2024年九年級畢業(yè)暨升學模擬考試（一）數學試卷（答題時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：每小題給出的四個選項中，其中只有一個是正確的．請把正確選項的代號寫在下面的答題表內，（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.下列拋物線開口朝上的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數圖象與性質，涉及由表達式判斷拋物線開口方向：當時，拋物線開口方向向上；當時，拋物線開口方向向下；逐項驗證即可得到答案，熟記的正負與拋物線開口方向的關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：A、中，拋物線開口方向向上，符合題意；B、中，拋物線開口方向向下，不符合題意；C、是一次函數，不是拋物線，不符合題意；D、中，拋物線開口方向向下，不符合題意；故選：A．2.如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若，則的長為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質：的銳所對的直角邊等于斜邊的一半，以及中心對稱圖形的性質．在直角中根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求得，而，據此即可求解．【詳解】解：∵在直角中，1，故選：B．3.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，過點A作于點F，交過點B的平行線于點E，交A的鄰近平行線于點D，根據題意，，利用平行線分線段成比例定理計算即可，熟練掌握定理是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，過點A作于點F，交過點B的平行線于點E，交A的鄰近平行線于點D，根據題意，設，∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．4.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方即計算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關鍵．5.已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據函數解析式中的比例系數確定函數圖象所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．【詳解】解：在反比例函數中，，此函數圖象在二、四象限，，點，在第二象限，，，函數圖象在第二象限內為增函數，，．，點在第四象限，，，，的大小關系為．故選：C．【點睛】此題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較簡單．6.據國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據題意列出一元二次方程即可．【詳解】設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，根據題意得，．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．7.如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數是（）A.55° B.45° C.42° D.40°【答案】B【解析】【分析】先根據∠AOC的度數為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根據△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可．【詳解】解：∵∠AOC的度數為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，∴∠C＝∠B＝45°，故選：B．【點睛】本題考查旋轉的性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用旋轉的性質解答．8.如圖，四邊形是的內接四邊形，，．若的半徑為5，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，根據圓內接四邊形的性質得出，再根據三角形的內角和求出，進而得出，最后根據弧長公式即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形，圓周角定理，三角形的內角和，弧長公式，解題的關鍵是掌握圓的內接四邊形對角互補，同弧所對的圓周角是圓心角的一半，三角形的內角和為，弧長．9.一位同學在畫二次函數的圖象時，把看成了，結果所畫圖像是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，則b的值為（）A.24 B. C. D.12【答案】D【解析】【分析】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵．利用二次函數平移規(guī)律“上加下減，左加右減”的原則結合對稱軸的性質進行解答即可．【詳解】解：二次函數的圖象的對稱軸為，把看成了，所畫圖象的對稱軸為，兩條對稱軸關于y軸對稱，所畫圖像是由原圖象向左平移6個單位長度所得的圖象，，即．故選D．10.如圖中，，，，，為中點，若點為直線下方一點（在異側），且與相似，則下列結論：①若，與相交于，則點必為的重心；②若，則的最大值為；③若，，則的長為；④若，則當時，取得最大值．其中正確的為A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；②當，時，取得最大值，進而根據已知數據，結合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖，若，，根據相似三角形的性質求得．，，進而求得，即可求解；④如圖，根據相似三角形的性質得出，在中，，根據二次函數的性質，即可求取得最大值時，．【詳解】解：①有3種情況，如圖1，當和都是中線時，點是重心；如圖2，四邊形是平行四邊形，是中點，則點是重心；如圖3，點不是中點，則點不是重心；故①錯誤；②當，如圖，取得最大值，，，，，，；故②正確；③如圖，若，，，，，，，，，，，，，，，故③錯誤；④如圖，，，即，在中，，，則由勾股定理可得，，，由，拋物線開口向下，則當時，有最大為5；故④正確；綜上所述，正確的結論是②④，故選：C．【點睛】本題考查三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質，二次函數的性質，分類討論，畫出圖形是解題關鍵．-二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若是關于x的方程的解，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值．把代入方程即可求出的值．【詳解】解：把代入，得，∴，∴．故答案為：．12.如圖所示，在平面直角坐標系中已知點，，以原點O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內放大，則點A的對應點的坐標是___．【答案】【解析】【分析】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．根據位似變換的性質解答即可．【詳解】解：∵以原點O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內放大，，∴點A的對應點的坐標是點，即，故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標系中，點在函數的圖象上．設點為軸負半軸一動點，以為邊作正方形，點在軸負半軸上，點在第三象限內，連接、，記的面積為，設，則的最大值為__________．【答案】1【解析】【分析】通過反比例函數的解析式求得的值，根據點在軸負半軸上得到，根據正方形的性質得到，根據二次函數的性質即可得到結論．【詳解】解：點在函數的圖象上，，；點在軸負半軸上，，四邊形為正方形，，軸，的面積為，，，拋物線開口向下，當時，有最大值，的最大值是1，故答案為：1．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點坐標特征，二次函數的性質，正方形的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．14.如圖，已知菱形面積等于24，，則（1）______；（2）點，，，分別是此菱形的，，，邊上的點，且，則_______．【答案】①.6②.6【解析】【分析】本題考查菱形的性質，涉及菱形面積公式、菱形性質、平行線的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是根據菱形的面積公式得出解答．（1）根據菱形的面積公式列方程求解得出即可；（2）根據菱形的面積得出，由平行線的判定與性質結合相似三角形的判定和性質得出比例解答．【詳解】解：（1）菱形的面積等于24，，；（2）四邊形是菱形，，，菱形的面積等于24，，，，，，，，，，，，，同理，由可得，，，即，，故答案為：（1）6；（2）6．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15解方程：【答案】，【解析】【分析】直接開方可得或，然后計算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【點睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解方程．16.如圖，在邊長均為1個單位長度的小正方形組成的網格中，O，B為格點（即每個小正方形的頂點），，且，線段關于直線對稱的線段為，將線段繞點O逆時針旋轉得到線段．（1）請使用尺規(guī)作圖畫出線段；（2）將線段繞點O逆時針旋轉得到線段，連接．若，求的度數．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）利用勾股定理的逆定理證明，再求出，可得結論．【小問1詳解】如圖所示，線段即為所求；【小問2詳解】如圖所示，在中，，，是直角三角形，，，∴．∵線段關于直線對稱的線段為，，．【點睛】本題考查作圖-應用與設計作圖，勾股定理的逆定理，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確作出圖形．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，四邊形是學校的一塊學農基地，其中是水果園，是蔬菜園，已知，，，．（1）求證：；（2）若蔬菜園的面積為，求水果園的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質．（1）根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形全等；（2）根據相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【小問1詳解】證明：，，，，，，又，，；【小問2詳解】，，，，，答：水果園的面積為．18.下圖是今年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個數，請解答下列問題：（1）若方框中最大數與最小數的乘積為180，求最小數；（2）方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和能為124嗎?若能，求最小數；若不能，請說明理由．【答案】（1）10（2）不能，理由見解析【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．（1）設最小數是，則最大數是，根據方框中最大數與最小數的乘積為180，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；（2）假設方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和能為124，設最小數是，則另外三個數分別是，，，根據方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和為124，可列出關于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假設不成立，即方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和不能為124．【小問1詳解】解：設最小數是，則最大數是，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：最小數是10；【小問2詳解】方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和不能為124，理由如下：假設方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和能為124，設最小數是，則另外三個數分別是，，，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），在最后一列，假設不成立，即方框中最大數與最小數的乘積與這四個數的和不能為124．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一次函數與函數為的圖象交于兩點．（1）求這兩個函數的解析式；（2）根據圖象，直接寫出滿足時x的取值范圍；（3）點P在線段上，過點P作x軸的垂線，垂足為M，交函數的圖象于點Q，若面積為3，求點P的坐標．【答案】（1），（2）（3）點P的坐標為或【解析】【分析】（1）將代入可求反比例函數解析式，進而求出點B坐標，再將和點B坐標代入即可求出一次函數解析式；（2）直線在反比例函數圖象上方部分對應的x的值即為所求；（3）設點P的橫坐標為，代入一次函數解析式求出縱坐標，將代入反比例函數求出點Q的縱坐標，進而用含p的代數式表示出，再根據面積為3列方程求解即可．【小問1詳解】解：將代入，可得，解得，反比例函數解析式為；在圖象上，，，將，代入，得：，解得，一次函數解析式為；【小問2詳解】解：，理由如下：由（1）可知，當時，，此時直線在反比例函數圖象上方，此部分對應的x的取值范圍為，即滿足時，x的取值范圍為；【小問3詳解】解：設點P的橫坐標為，將代入，可得，．將代入，可得，．，，整理得，解得，，當時，，當時，，點P的坐標為或．【點睛】本題屬于一次函數與反比例函數的綜合題，考查求一次函數解析式、反比例函數解析式，坐標系中求三角形面積、解一元二次方程等知識點，解題的關鍵是熟練運用數形結合思想．20.如圖，為的直徑，點是弧的中點，過點作射線的垂線，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的綜合應用，涉及熟練掌握切線的判斷定理以及扇形面積的求法是解題的關鍵．（1）連接，證明，即可得到結論；（2）連接，證明，從而可得，再代入求值即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：點是的中點，，，，，，，，半徑，是的切線；【小問2詳解】解：連接，如圖所示：，，，，，．六、（本題滿分12分）21.某班開展“講數學家故事”的活動．下面是印有四位中國數學家紀念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學從中隨機抽取兩張，講述卡片上數學家的故事．（1）請寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現的結果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案的概率．【答案】（1）所有可能出現的結果共6種：，，，，，（2）小明抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案的概率是【解析】【分析】本題主要考查了列舉法求概率，解題的關鍵是寫出所有可能出現的結果．（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，寫出所有可能的結果即可；（2）根據概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：所有可能出現的結果共6種：，，，，，．【小問2詳解】解：記抽到的兩張卡片中恰好有數學家華羅庚郵票圖案為事件M，M包含的結果有3種，即，，，且6種可能的結果出現的可能性相等，∴．七、（本題滿分12分）22.【問題背景】數學學習小組發(fā)現國旗上五角星的五個角都是頂角為36°的等腰三角形，對此三角形展開了探究．【探究發(fā)現】（1）操作發(fā)現：如圖1，在中，，．將折疊，使邊落在邊上，點的對應點是點，折痕交于點，連接，，則，設，，那么（用含的式子表示）；（2）探究發(fā)現：比值被稱為黃金比．當等腰三角形的底與腰的比等于黃金比時，這個三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．在（1）的條件下試證明：；【拓展應用】（3）如圖2，在菱形中，，．求這個菱形較長對角線的長．【答案】探究發(fā)現（1），；（2）證明見解析；拓展應用【解析】【分析】探究發(fā)現（1）可求得，，，進而求得的值，；（2）可證得，從而，進而得出，解得，從而得出；拓展應用在上截取，連接，可得出