第6課時雙曲線1．了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程及簡潔性質．2．了解雙曲線的實際背景及雙曲線的簡潔應用．3．理解數形結合的思想．[對應同學用書P140]【梳理自測】一、雙曲線的概念(教材改編)已知點F1(－4，0)和F2(4，0)，一曲線上的動點P到F1，F2距離之差為6，該曲線方程是________．答案：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,7)＝1(x≥3)◆此題主要考查了以下內容：平面內與兩個定點F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距離的差的確定值為常數(小于|F1F2|且不等于零)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距．集合P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c為常數且a＞0，c＞0；(1)當2a＜2c時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當2a＝2c時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當2a＞2c時，P點不存在．二、雙曲線標準方程及性質1．(教材改編)雙曲線eq\f(x2,10)－eq\f(y2,2)＝1的焦距為()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)2．雙曲線y2－x2＝2的漸近線方程是()A．y＝±xB．y＝±eq\r(2)xC．y＝±eq\r(3)xD．y＝±2x3．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為(3，0)，則該雙曲線的離心率等于()A.eq\f(3\r(14),14)B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(3,2)D.eq\f(4,3)4．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝________．答案：1.D2.A3.C4.－eq\f(1,4)◆此題主要考查了以下內容：標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸；坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a、b、c的關系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)【教導迷津】1．一條規律依據方程中x2與y2的系數的正負來確定實軸與虛軸的位置，即焦點在實軸上．2．兩種方法(1)定義法：由題目條件推斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定2a、2b或2c，從而求出a2、b2，寫出雙曲線方程．(2)待定系數法：先確定焦點是在x軸上還是在y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2、b2的值，即“先定型，再定量”；假如焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(λ≠0)，再依據條件求λ的值．3．三個關注點——雙曲線幾何性質的關注點雙曲線的幾何性質從以下三點關注：(1)“六點”：兩焦點、兩頂點、兩虛軸端點；(2)“四線”：兩對稱軸(實、虛軸)，兩漸近線；(3)“兩形”：中心、頂點、虛軸端點構成的三角形，雙曲線上的一點(不包括頂點)與兩焦點構成的三角形．[對應同學用書P141]考向一雙曲線的定義及標準方程(1)(2022·陜西師大附中模擬)設過雙曲線x2－y2＝9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P，Q，F2為雙曲線的右焦點．若|PQ|＝7，則△F2PQ的周長為()A．19B．26C．43D．50(2)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)和橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為________．【審題視點】(1)利用雙曲線定義|PF2|－|QF2|＝2a及三角形周長的計算求解．(2)已知雙曲線的焦點及離心率求雙曲線方程．【典例精講】(1)如圖，由雙曲線的定義可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF2|－|PF1|＝2a，,|QF2|－|QF1|＝2a，))將兩式相加得|PF2|＋|QF2|－|PQ|＝4a，∴△F2PQ的周長為|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝4a＋|PQ|＋|PQ|＝4×3＋2×7＝26.(2)橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點坐標為F1(－eq\r(7)，0)，F2(eq\r(7)，0)，離心率為e＝eq\f(\r(7),4).由于雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1與橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1有相同的焦點，因此a2＋b2＝7.又雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝eq\f(\r(7),a)，所以eq\f(\r(7),a)＝eq\f(2\r(7),4)，所以a＝2，b2＝c2－a2＝3，故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1.【答案】(1)B(2)eq\f(x2,4)－eq\f(y2,3)＝1【類題通法】(1)涉及到雙曲線上的點到焦點的距離問題時，經常考慮雙曲線的定義．(2)當已知雙曲線的焦點不明確而又無法確定時，其標準方程可設為eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)，這樣可避開爭辯和簡單的計算；也可設為Ax2＋By2＝1(AB＜0)，這種形式在解題時更簡便；(3)當已知雙曲線的漸近線方程bx±ay＝0，求雙曲線方程時，可設雙曲線方程為b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)，據其他條件確定λ的值；(4)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1有相同的漸近線的雙曲線方程可設為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)，據其他條件確定λ的值．1．依據下列條件，求雙曲線方程：(1)與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1有共同的漸近線，且過點(－3，2eq\r(3))；(2)與雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,4)＝1有公共焦點，且過點(3eq\r(2)，2)．解析：(1)設所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝λ(λ≠0)，將點(－3，2eq\r(3))代入得λ＝eq\f(1,4)，∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝eq\f(1,4)，即eq\f(x2,\f(9,4))－eq\f(y2,4)＝1.(2)設雙曲線方程為eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,4＋k)＝1，將點(3eq\r(2)，2)代入得k＝4(k＝－14舍去)．∴所求雙曲線方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,8)＝1.考向二雙曲線的性質及應用(1)(2022·哈爾濱模擬)已知P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)上的點，F1，F2是其焦點，雙曲線的離心率是eq\f(5,4)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若△PF1F2的面積為9，則a＋b的值為()A．5B．6C．7D．8(2)F1、F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A、B兩點．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()A．2B.eq\r(7)C.eq\r(13)D.eq\r(15)【審題視點】(1)利用eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0及e＝eq\f(5,4)轉化為a，b的方程組．(2)利用雙曲線定義及余弦定理求a與c的關系．【典例精講】(1)由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，得eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，設|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝m，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝n，不妨設m＞n，則m2＋n2＝4c2，m－n＝2a，eq\f(1,2)mn＝9，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,c＝5，))∴b＝3，∴a＋b＝7，故選C.(2)如圖，由雙曲線定義得，|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，由于△ABF2是正三角形，所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120°，在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×eq\f(1,2)＝28a2，所以e＝eq\r(7)，故選B.【答案】(1)C(2)B【類題通法】(1)求雙曲線的離心率，就是求c與a的比值，一般不需要具體求出a，c的值，只需列出關于a，b，c的方程或不等式解決即可．(2)雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著親密的聯系，二者之間可以互求．2．(2022·濟南模擬)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點F作一條漸近線的垂線，若垂足恰在線段OF(O為原點)的垂直平分線上，則雙曲線的離心率為________．解析：如圖所示，不妨設F為右焦點，過F作FP垂直于一條漸近線，垂足為P，過P作PM⊥OF于M.由已知得M為OF的中點，由射影定理知|PF|2＝|FM||FO|，又F(c，0)，漸近線方程為bx－ay＝0，∴|PF|＝eq\f(bc,\r(b2＋a2))＝b，∴b2＝eq\f(c,2)·c，即2b2＝c2＝a2＋b2，∴a2＝b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(2).答案：eq\r(2)考向三直線與雙曲線的綜合應用已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)與l：x＋y＝1相交于兩個不同的點A、B，l與y軸交于點P，若eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，則a＝________．【審題視點】聯立方程組，利用P、A、B坐標之間的關系，建立a的方程．【典例精講】由于雙曲線C與直線l相交于兩個不同的點，故知方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－y2＝1，,x＋y＝1))有兩組不同的實數解，消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，實數a應滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,1－a2≠0，,4a4＋8a2（1－a2）＞0，))解得0＜a＜eq\r(2)且a≠1.設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由一元二次方程根與系數的關系，得x1＋x2＝eq\f(2a2,a2－1)，①x1x2＝eq\f(2a2,a2－1)，②又P(0，1)，由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up6(→))，得(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)，從而x1＝eq\f(5,12)x2，③由①③，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,17)·\f(2a2,a2－1)，,x2＝\f(12,17)·\f(2a2,a2－1)))代入②，得eq\f(5,17)×eq\f(12,17)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a2,a2－1)))eq\s\up12(2)＝eq\f(2a2,a2－1)，即eq\f(2a2,a2－1)＝eq\f(289,60)，解得a＝eq\f(17,13)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(17,13)舍去)).【答案】eq\f(17,13)【類題通法】(1)推斷直線l與雙曲線E的位置關系時，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時為0)代入雙曲線E的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一個關于變量x(或變量y)的一元方程．即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,F（x，y）＝0，))消去y后得ax2＋bx＋c＝0.由此轉化為兩點坐標的關系．(2)特殊狀況考慮與漸近線平行的直線與雙曲線的位置關系，數形結合求解．3．已知點A(－eq\r(2)，0)，點B(eq\r(2)，0)，且動點P滿足|PA|－|PB|＝2，則動點P的軌跡與直線y＝k(x－2)有兩個交點的充要條件為k∈________．解析：由已知得動點P的軌跡為一雙曲線的右支且2a＝2，c＝eq\r(2)，則b＝eq\r(c2－a2)＝1，∴P點的軌跡方程為x2－y2＝1(x＞0)，其一條漸近線方程為y＝x.若P點的軌跡與直線y＝k(x－2)有兩個交點，則需k∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[對應同學用書P142]雙曲線與漸近線的關系不清致誤(2022·浙江溫州適應性測試)已知F1，F2為雙曲線Ax2－By2＝1的焦點，其頂點是線段F1F2的三等分點，則其漸近線的方程為()A．y＝±2eq\r(2)xB．y＝±eq\f(\r(2),4)xC．y＝±xD．y＝±2eq\r(2)x或y＝±eq\f(\r(2),4)x【正解】依題意c＝3a，∴c2＝9a2.又c2＝a2＋b2，∴eq\f(b2,a2)＝8，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),4).故選D.【答案】D【易錯點】(1)默認為雙曲線焦點在x軸其漸近線為y＝±eq\f(b,a)x，而錯選為A.(2)把雙曲線認為等軸雙曲線而錯選為C.(3)把a，b，c的關系與橢圓c2＝a2－b2混淆致錯．【警示】(1)對于方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1來說，求漸近線方程就相當于求eq\f(b,a)的值，但要分焦點的位置是在x軸還是在y軸上，此題沒有給出焦點的位置，其漸近線斜率有四種狀況．(2)漸近線為y＝±eq\f(b,a)x所對應的雙曲線為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．當λ＞0時，表示焦點在x軸上，當λ＜0時，焦點在y軸上．1．(2021·高考福建卷)雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的頂點到其漸近線的距離等于()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(2\r(5),5)D.eq\f(4\r(5),5)解析：選C.求出雙曲線的頂點和漸近線，再利用距離公式求解．雙曲線的漸近線為直線y＝±eq\f(1,2)x，即x±2y＝0，頂點為(±2，0)，∴所求距離為d＝eq\f(|±2±0|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).2．(2021·高考廣東卷)已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3，0)，離心率等于eq\f(3,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1解析：選B.求雙曲線的標準方程需要確定焦點位置及參數a，b的值．右焦點為F(3，0)說明兩層含義：雙曲線的焦點在x軸上；c＝3.又離心率為eq\f(c,