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文檔簡介
2022年高考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)
專題2.4分類與整合思想中的五種題型
題型一;三角函數與解三角形
乃江](2n3眉
tanx,xe-
一2,—3juI—3,—2J
1.(2022?上海?高三專題練習)己知函數二痣若/。)在
區間〃h的最大值存在,記該最大值為K{。},則滿足等式K{Oa)}=3K{[〃,2?]}的實數a
的取值集合是.
2.(2022?上海市松江二中高三開學考試)某市環保部門通過研究多年來該地區的大氣
污染狀況后,建立了一個預測該市一天中的大氣污染指標/⑴與時間,(單位:小時)之
間的關系的函數模型:/(f)=g(f)+/〃+2a,問0,24),其中=代
表大氣中某類隨時間f變化的典型污染物質的含量,參數。代表某個已測定的環境氣象指
"3'
標,且0%.現環保部門欲將的最大值M(u)作為每天的大氣環境綜合指數予以發
布.
⑴求g?)的值域;
(2)若該市政府要求每天的大氣環境綜合指數不得超過2.0,請求出M(a)的表達式,并預
測該市目前的大氣環境綜合指數是否會超標?請說明理由.
題型二:數列
1.(2022?上海-高三專題練習)若數列{%},也}的通項公式分別為。產㈠廣20%,
n+2019
F_H-----且見對任意恒成立,則實數。的取值范圍為
n
()
A.[-2,1)B.-引C.-項D.[-1J)
2.(2020?上海閔行?一模)已知各項為正數的非常數數列{q}滿足=4%,有以下
兩個結論:①若%>%,則數列{〃,}是遞增數列;②數列{%}奇數項是遞增數列則
()
A.①對②錯B.①錯②對C.①②均錯誤D.①②均正確
3.(2022?上海?高三專題練習)已知函數/(?=/.§inx各項均不相等的數列優}滿足
|%區,i=1,2,3,….令F(〃)=(5+%+L+4),[/(x,)+/(X2)+L+f(xn)](〃eN,).給出下列
三個命題:(1)存在不少于3項的數列U,},使得F5)=0:(2)若數列W的通項公式為
則F(2k)>0對出eN?恒成立;(3)若數列恍}是等差數列,則
尸(〃)20對恒成立,其中真命題的序號是()
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)
4.(2022?上海-高三專題練習)對于數列{4},如果存在最小的一個常數7(7wN,),
使得對任意的正整數恒有=2成立,則稱數列{4}是周期為T的周期數列.設
m=qT+r,(m,q,T,rwN*),數列前見項的和分別記為鼠,S.,S,,則鼠,5八5,三者的關系
式;已知數列?}的通項公式為%=1〃-⑶,那么滿足為+%盧...+%19=102
的正整數上二.
5.(2022?上海師大附中高三階段練習)已知{%}是公差為或">0)的等差數列,若存在
sin』+sin&+…+sin/=0叫,
實數X1,與,…/滿足方程組:,
qsin%1+a2sinx,+4sinxj+…+%sin%=25
的最小值為—
6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實數,數列{凡}滿足:①。尸。;②
%.產[:“—3若存在一個非零常數reN,對任意〃eN,都成
立,則稱數列{凡}為周期數列.
(1)當4=3時,求〃1+&+〃3+〃4的值;
(2)求證;存在正整數〃,使得0?%?3;
⑶設S.是數列{〃“}的前〃項和,是否存在實數〃滿足:①數列{《J為周期數列;②存在正
奇數%使得&=2h若存在,求出所有a的可能值;若不存在,說明理由.
7.(2022?上海寶山?一模)已知函數二2一|月,無窮數列伍」滿足凡+產〃凡),
(1)若q=2,寫出數列{〃“}的通項公式(不必證明);
⑵若4>0,且4,七,的成等比數列,求々的值;問bU是否為等比數列,并說明理
由;
(3)證明:生,曲,L,。“,L成等差數列的充要條件是修=1.
8.(2022?上海?高三專題練習)對于數列{匕},若存在〃?wN‘,使得對任意
1a$2加一1(丘V)都成立,則稱數列卜.}為“川-折疊數列”.
(1)若見=悟5〃-200|("1<),判斷數列{4}是否是“,〃-折疊數列”,如果是,指出"
的值,如果不是,請說明理由;
(2)若/=/(〃6"),求所有的實數4,使得數列{4}是3-折疊數列;
(3)給定常數pwN*,是否存在數列{萄},使得對所有"MN’,都是即?一折疊數列,
且{4}的各項中恰有P+1個不同的值,請說明理由.
9.(2022?上海奉賢區致遠高級中學高三開學考試)己知無窮數列{%}與無方數列{〃}滿
足下列條件:①凡GN";②"二(T)"lH%+J〃eN?.記數列也}的
n
前〃項積為了”.
(1)若q=4=1嗎=0,%=2M=1,求4;
(2)是否存在4曲曲嗎,使得4也也也成等差數列?若存在,請寫出一組4曲嗎,為;
若不存在,請說明理由:
(3)若4=1,求《021的最大值.
10.(2022?上海?高三專題練習)已知陽為正整數,各項均為正整數的數列{4}滿足:
“日"”物偶數,記數列{4}的前"項和為
4+〃叫媯奇數
(1)若q=&m=2,求邑的值;
(2)若加=5,'=25,求q的值:
(3)若4口,,〃為奇數,求證:“4“>小”的充要條件是“凡為奇數”.
11.(2020?上海楊浦?一模)已知無窮數列{q}的前〃項和為S”,若對于任意的正整數
〃,均有之則稱數列{%}具有性質P.
52M_,O,SF0,
<0判斷首項為1,公比為-2的無窮等比數列{4}是否具有性質P,并說明理由;
(2)已知無窮數列{凡}具有性質P,且任意相鄰四項之和都相等,求證:54=0:
[%(〃為奇數)
(3)已知々=2〃-數列匕}是等差數列,勺=J1為偶數,,若無窮數列{%}
、2
具有性質P,求旬四的取值范圍.
12.(2020?上海市大同中學高三階段練習)如果一個數列從第2項起,每一項與它得前
一項得差都大于2,則稱這個數列為數列.
(1)若數列{叫為“。數列",且4='-3,%=',4=4,求實數用的取值范圍;
mtn
(2)是否存在首項為1的等差數列{勺}為“,數列”,且其前〃項和S。滿足S”</+〃?
若存在,請求出{〃”}的通項公式:若不存在,請說明理由:
(3)已知等比數列{叫的每一項均為正整數,且幾}為“。數列""二:〃“,
-(〃+::2…當數列也}不是“。數列”時,試判斷數列也}是否為“。數列”,并
說明理由.
13.(2021?上海虹口?二模)若數列{q}滿足“對任意正整數i,九*八都存在正
整數底使得4F嗎”,則稱數列{q}具有“性質"”.
(1)判斷各項均等于〃的常數列是否具有“性質尸”,并說明理由;
(2)若公比為2的無窮等比數列{q}具有“性質P”,求首項多的值;
(3)若首項4=2的無窮等差數列{〃”}具有“性質尸”,求公差d的值.
14.(2022?上海?高三專題練習)已知正整數數列{q}滿足:4=。,a2=bt
〃“+2026,
〃〃+2二/一/r(〃Ni).
%+1
(1)已知4=2,/=1013,求。和〃的值;
⑵若4二1,求證|為+2-小第,:
(3)求〃+力的取值范圍.
15.(2021?上海?華師大二附中高三階段練習)已知無窮數列他”}滿
足:4=°,4“=。;+。
(〃wM,ceR).對任意正整數〃22,記M.二{c|Tiw{123,…,叫4k2},
M={cRiwNjaJW2}.
(1)寫出“2,挺3;
(2)當c>。時,求證;數列{%}是遞增數列,且存在正整數3使得方M;
4
(3)求集合M.
16.(2019?上海市建平中學高三階段練習)設{q}是無窮正項等比數列,公比為內對于
正整數集M的子集T,若T=0,定義%=0;若7={廿2,…定義
S.=4+q?+,??+q,.
(1)若4=1,4=3,7={2,4,5},求當;
(2)設,若A、8是M的非空有限子集且AD3=0,求證;SAF
(3)若對N”的任意非空有限子集C、O,只要Sc2S。,就有SC+SCM22S0,求公比q的
取值范圍.
17.(2020?上海普陀?三模)己知數列4,生,…必。滿足:對任意的
力01,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若i*j,則廿內,且4e{1,2,3,4,5,6,7,8910},設集合
人=也+%+4』=123,4,5,6,7,8},集合/中元素最小值記為風A),集合力中元素最大值
記為〃(A),如數列:7,628,3,4,9,1,5,10時,4={13J4J5J6},m(A)=13,n(A)=16.
(1)已知數列:10,6,1,2,7,8,3,9,5,4,寫出集合加⑷及“4);
(2)求證;不存在訊㈤》18,
(3)求〃?(A)的最大值以及〃(A)的最小值,并說明理由.
18.(2020?上海青浦?一模)若無窮數列{冉}和無窮數列也}滿足:存在正常數人使得
對任意的〃wN,均有時-4區A,則稱數列{4}與也}具有關系P(A).
(1)設無窮數列{%}和四}均是等差數列,且勺=2%々=〃+2(〃eN)問;數列何}
與也}是否具有關系P0)?說明理由;
(2)設無窮數列{q}是首項為1,公比為;的等比數列,4=%+1,證明:數列
{叫與也}具有關系夕(力,并求力的最小值;
(3)設無窮數列{叫是首項為1,公差為d(duR)的等差數列,無窮數列也}是首項為2,
公比為q("N')的等比數列,試求數列{%}與低}具有關系P(A)的充要條件.
19.(2020?上海?模擬預測)對于數列{%},若存在muN',使得%.,=看對任意
1必d(k£N')都成立,則稱數列?}為“吁折疊數列”.
⑴若4,=喝(〃W202L〃EN)〃=〃2-2019〃T(〃UM),判斷數列{《,},也}是否是
“〃?折疊數列”,如果是,指出加的值;如果不是,請說明理由;
(2)若毛=q”(〃cM),求所有的實數心使得數列{七}是3-折疊數列;
(3)給定常數〃cM,是否存在數列代},使得對所有MWN',{%}都是W時折疊數
列,且{怎}的各項中恰有P+1個不同的值,證明你的結論.
20.(2020?上海閔行?一模)己知數列{%}滿足
4=l,%=〃(4>l),|%2一〃MT%「4|+d,〃GAr
(!)當4=4=2時,寫出為所有可能的值;
(2)當d=l時,若且%對任意〃wN?恒成立,求數列{4}的通項公式:
(3)記數列{q}的前〃項和為■若{陶},他分別構成等差數列,求之.
題型三;不等式
一、解答題
1.(2021?上海市嘉定區第二中學高三期中)已知關于x的不等式上一<0的解集為
x+2
不等式的解集為M
⑴若M=(-co,-2)u[-1,+^,求實數〃的值和解集N.
⑵若“xeN”是“xeM”的充分不必要條件,求實數〃的取值范圍.
2.(2020?上海?高三專題練習)解下列不等式;
2
(1)一<x+l;
x
(2)(x-1)-2..0;
(3)1恤0,2<1%1().2;
2
(4)log(r-n(x-l)>l;
3x-5
⑸?2;
x2+2x-3
(6)(XT)2(X+1)(X-2)
x十4
3.(2020?上海?高三專題練習)解不等式:2r2禺22&.
4.(2020?上海?高三專題練習)己知〃>0,/?>O,nwN.求證:
⑴a'
■十2+\[b;
⑵二二二
anbnab
5.(2016?上海市奉賢中學高三階段練習)已知關于x的不等式(丘?六?4)(.1?4)>0的解
集為A,其中攵wR:
(1)若5c4,求實數4的取值范圍:
(2)求不等式的解集A;
(3)是否存在實數腔使得上述不等式的解集A中只有有限個整數?若存在,求出使得
A中整數個數最少的攵的值;若不存在,請說明理由;
6.(2016?上海市晉元高級中學高三期中)關于x的不等式犬-(2。+1*+伍2+4-2)>0,
x2-(a2<0的解集分別為M和N
(1)試求M和N:
(2)若McN=0,求實數。的取值范圍.
7.(2021?上海市建平中學高三開學考試)提高隧道的車輛通行能力可改善附近路段高
峰期間的交通狀況.在一般情況下,隧道內的車流速度箕(單位:千米/小時)和車流密度
60,0<x<20
%(單位:輛/千米)滿足關系式:X“k“八”(丘R).研究表明:當隧道
70-------,20<xM120
140T
內的車流密度達到120輛/千米時造成堵塞,此時車道速度是0千米/小時.
(1)若車流速度「不小于50千米/小時,求車流密度x的取值范圍;
(2)隧道內的車流量y(單位時間內通過隧道的車輛數,單位;輛/小時)滿足
求隧道內車流量的最大值(精確到1輛/小時),并指出當車流量最大時的車流密度(精確
到1輛/千米).
8.(2022?上海?高三專題練習)對于數列{?“},若從第二項起的每一項均大于該項之
前的所有項的和,則稱{〃,為尸數列.
(1)若數列1,2,X,8是2數",,求實數x的取值范圍;
(2)設數列4,生,明,…,金是首項為-1、公差為d的等差數列,若該數列是?數
列,求d的取值范圍;
(3)設無窮數列〔凡}是首項為〃、公比為0的等比數列,有窮數列也J、匕}是從中
取出部分項按原來的順序所組成的不同數列,其所有項和分別記為工、4,求證:當。>0
且工=4時,數列{q}不是P數列.
9.(2019?上海市建平中學高三階段練習)設A是由〃個有序實數構成的一個數組,記
作:A=(知你…,知…此),其中q(i=L2tLM稱為數組A的“元”,i稱為q的下標,如
果數組S中的每個“元”都是來自數組A中不同下標的“元”,則稱S為A的子數組.定義
兩個數組A=(q,&,…,2),8=(4也,…也)的關系數為C(A,B)=q4+她+L也.
(1)若人=+;1),8=(7,123),設S是B的含有兩個“元”的子數組,求C(AS)的最
大值;
⑵若4二(日,弓,曰],B=(0MAC),且〃2+/+產=],3為8的含有三個“元”的子
數組,求GAS)的最大值;
(3)若數組A=(a,6,6)中的“元”滿足設數組B的〃=123,LM含有四
個“元”%,%,%,如,且編+%+%+*=*求A與或的所有含有三個“元”的子
數組的關系數C(A%)(m=1,2部,〃)的最大值.
題型四:解析幾何
1.(2022?上海?高三專題練習)設集合4={/I直線與y=2X直線而交且以交點的橫坐
標為斜率}.
(1)點(-2,0)到A中哪條直線距離最小;
(2)設尸(-2M),點P到A中直線距離的最小值設為d(。),求〉3).
2.(2021?上海?高三專題練習)雙曲線1-4二1的實軸為A4,點尸是雙曲線上的一
ah"
個動點,引A2QLA2PfA。與40的交點為Q,求點。的軌跡方程.
3.(2022?上海?高三專題練習)定義;己知橢圓5+4=1(〃>。〉0),把圓
a2b~
f+)?=卓7稱為該橢圓的協同圓,設橢圓C:g+!=1的協同圓為圓。(。為坐標系原
a~+b~42
點),試解決下列問題:
(1)寫出協同圓圓。的方程;
(2)設直線/是圓。的任意一條切線,且交橢圓C于A8兩點,求麗?麗的值:
(3)設M,N是橢圓C上的兩個動點,且OM_LON,過點。作第_LJW,交直線MN于
〃點,求證:點“總在某個定圓上,并寫出該定圓的方程.
題型五:計數原理
1.(2020?上海?復旦附中青浦分校高三階段練習)甲組有5名男同學,3名女同學;乙
組有6名男同學、2名女同學.若從甲、乙兩組中各選出2名同學,則選出的4人中恰有2名女
同學的概率為.
2.(2022?上海市青浦高級中學高三階段練習)如圖,由6x6=36個邊長為1個單位的小
正方形組成一個大正方形.某機器人從浦出發,沿若小正方形的邊走到〃點,每次可以向
右走一個單位或者向上走一個單位.如果要求機器人不能接觸到線段A6,那么不同的走
法共有種.
3.(2020?上海?高三專題練習)分別從集合A=(1?3,5J)和集合8二(0,2,4,6,8)中各取兩
個數字,問:
(1)可組成多少個四位數?
(2)可組成多少個四位偶數?
2022年高考數學考前30天迅速提分復習方案(上海專用)
專題2.4分類與整合思想中的五種題型
題型一;三角函數與解三角形
1.(2022?上海?高三專題練習)己知函數/(1)二若/⑴在
區間比的最大值存在,記該最大值為K{。},則滿足等式K{[O,a)}=3K{&2〃])的實數a
的取值集合是.
【答案】{摩}
【分析】先確定/㈤在區間[0M)上有最大值5且《不引,因此〃力在區間上國
上的最大值為比.然后按在>=〃處或工二勿處取最大值由分類討論,數形結合,進
33
而可得結果.
【詳解】依題意可知,8)在區間[0,力上有最大值必然為6且。若年}所以/⑴
在區間口為]上的最大值為日.
⑴若/⑴在內〃處取最大值且,即一空.〃+3指=@,解得a=f,此時
3%39
2a44,所以0=¥適合題意;
9o9
(2)若/⑴在x=〃處取最大值也,即32a=也,解得〃=2,此時萼,所以
33129
〃=合適合題意.
4乃7乃1
綜上可知,。的取值集合是丁司,
故答案為:
【點睛】美犍點點睛;本題的關鍵點在于確定,但在區間[0,可上有最大值6,且
岑),進而可得/㈤在區間[。網上的最大值為手.
2.(2022?上海市松江二中高三開學考試)某市環保部門通過研究多年來該地區的大氣
污染狀況后,建立了一個預測該市一天中的大氣污染指標/(,)與時間,(單位:小時)之
間的關系的函數模型:/(f)=g(f)+卜+2”,問0,24),其中g(?;sin(舒-網}代
表大氣中某類隨時間f變化的典型污染物質的含量,參數。代表某個己測定的環境氣象指
標,且。e0,1.現環保部門欲將的最大值M(a)作為每天的大氣環境綜合指數予以發
布.
⑴求g(E)的值域;
(2)若該市政府要求每天的大氣環境綜合指數不得超過2.0,請求出“(。)的表達式,并預
測該市目前的大氣環境綜合指數是否會超標?請說明理由.
6'+—―
【答案】(1)出』:(2)M(o)=612,不會超標,理由見解析.
23?--,—<?<-
3124
【分析】(1)由題設可得盤”網理由正弦函數的性質求g(f)的值域即可.
(2)令〃=g⑺討論的大小關系求出力(〃)二|"-。|十2?的分段函數形式,
在討論〃的范圍求對應”(〃)表達式,并判斷M(〃)的值域,由其最大值與2的大小關系判
斷是否會超標.
(1)由題設,l,T8?0,18],則和一18舊0,爭,
日0,權即g?)的值域為也;L
⑵由⑴知:〃二8⑺+白耳,電,則力(〃)=/。)=|〃一4十2?,
所以力(〃)二
3〃一〃
當時,/")="+〃在?口上遞增,故M(〃)=力(3=〃+3:
33666
I?此時在京)上M(小心=3*,在吟上
當一產%(")=<
5
4+〃W〃4一
6
M(〃)=,(6=;
51,7
夕+一,一<a<—
7
故"(〃)=,6312
12.17/'
3a—,一<a<—
3124
綜上,M(a)=612,易知:M(a)<2?0恒成立,故該市目前的大氣環境綜合
3a--—<a<-
3i124
指數不會超標.
題型二:數列
1.(2022?上海-高三專題練習)若數列H},也}的通項公式分別為勺=(-1廣.%,
〃,=2+口一,且見〈僅對任意?恒成立,則實數〃的取值范圍為
n
()
A.[-2,1)B.一2,g)C.T;[D.[-1J)
【答案】B
【分析】由%〈々可得(-1廠次[。+£|<2,分別討論〃為奇數和〃為偶數的情況,即可求解.
?-x/i+2019/iX
【詳解】因為凡<",則(—it202%4+兇即㈠廣則"一<2,
因為對任意〃eN’恒成立,
當〃為奇數時,。>-2-1,則,2-1<-2,所以《2?2;
fl\n/max
1,1、133
當〃為偶數吐a<2—則2--?=2—;=彳,所以
nIwJmin222
故〃£
故選:B
【點睛】本題考查由數列的不等式恒成立問題求參數范圍,考查分類討論思想.
2.(2020?上海閔行?一模)己知各項為正數的非常數數列{能}滿足。仲=町",有以下
兩個結論:①若%>4,則數列{〃.}是遞增數列;②數列{%}奇數項是遞增數列則
()
A.①對②錯B.①錯②對C.①②均錯誤D.①②均正確
【答案】D
【解析】按照4>1和0<%<1分類討論,分別判斷①②即可得解,
【詳解】?.?{叫為各項為正數的非常數數列,,4>0且。產1,
⑴當4>1時,顯然{對}為遞增數列,①②均正確;
⑵當0<4<1時,生=妙w(4』),%=q"不滿足①的前提4>〃2;
%二七)=3嗎),%二。J七,4“')二(%嗎),
依此類推,%?%一|,%一2),%ui?4z,叼J即偶數項遞減,奇數項遞增.
故選:D.
【點睛】本題考查了數列遞推公式的應用,考查了分類討論思想,屬于中檔題.
3.(2022?上海?高三專題練習)已知函數/(x)=d,sinR各項均不相等的數列滿足
1%%](i=l,2,3,….令尸(“Xx+z+L+X?).[/(J1)+/(X2)+L+/(%)](〃£N*).給出下列
三個命題:(1)存在不少于3項的數列使得尸(〃)=0;(2)若數列的通項公式為
%=(-;)〃(”k"),則尸(2幻>0對AcN,恒成立;(3)若數列以}是等差數列,則
”(〃)20對〃WN?恒成立,其中真命題的序號是()
A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)
【答案】D
【解析】由題意,函數/。)二9.gm%是奇函數,只需考查函數在xw0,y的性質,此時
),=/,y=sin*都是增函數,所以/(xX—sinx在xe0,y上也是增函數,即
時,(』+々)?[/(芭)+〃々)]>0,對于(D,《百=一/〈(,々=0,即可判斷;對于
(2),運用等比數列求和公式和和三角函數的性質,即可判斷;對于(3),運用等差數
列求和公式,及不等式的性質,結合函數/“)的單調性,即可判斷;
【詳解】由題意得f(-x)=(-X)2-sin(-x)=-x2-sinx=-f(x),所以f(x)=』.而%是奇函
數,只需考查函數在彳e0,j的性質,此時y=d,y=sinx都是增函數,所以
f(x)=Fsinx在xw0,y上也是增函數,即函數"r)=f.sinx在xw-y,y上也是增函
數,設不用《一宗5
若不+占<0,則$<-々,=即〃百)十〃再)<0
若%+&>0,則,"(片)>,(-巧)=-/&),即f(』)+f(動>0
所以為+%2Ho時,(』+七)[/&)+『(巧)]>0,
對于(1),取-5£百=-迎4宗<2=0,"3)=。|+彳2+/>"(玉)+/(G)+/(/)]=0,故
=-4sin2a+sina
=-8sinacosQ+sina=sina(l-8cosa)
又AEN*,知0<aK-,則sina>0,cos—Kcosa<1,則一7<1—8(:000K1—880,,
444
八孔(KHn.K.nx/2+\/6I
Qcos-=cos----=cos—cos—+sin—sin—=-------->-,
12U4;343448
又y=cosx在伉,]上單減,,cosUcos工,gpcos->-,/.l-8cos-<0
I2J412484
/產i/甲
/.sina(l-Seosa)<0t即-4sin-j+sin^-J<0,則/D+/(0)<°,
由k的任意性可知,/a,)+/(x2)+L+/(x2t)<0,
又耳+&+L+&<0,所以尸(2幻=(%+z+L+9&)?[/(%)+/(蒞)+L+/(0)]>0,故
(2)正確;
對于(3),數列{/}是等差數列,
若哥十七十…十4=°,則廣(")=0;
若士十月>0,即%>』,又廣⑴是奇函數也是增函數有7a)>f(r,)=-/aj可得
〃%)+/區)>0:同理:
若W+Q0,可得〃%)+/(%)>0;
若占+4-2>0,可得/(/)+->0;
LL
相加可得:若%+Z+L+Z+0,可得/(%)十〃9)+L+/區)>0,即/(〃))0:
同理若X.+W+L+&<0,可得fCD+AzHL+/(兒)<0,即理〃)>0,故⑶正確;
故選:D.
【點睛】
關鍵點睛;本題考杳真假命題的判斷,關鍵是要理解新定義的函數的性質及應用,考杳了
函數的單調性與奇偶性的問題,考杳了等差等比數列的性質與應用,考查了學生的邏輯推
理能力與運算求解能力,屬于難題.
4.(2022?上海?高三專題練習)對于數列{〃“},如果存在最小的一個常數7(TwN,),
使得對任意的正整數恒有能”=%成立,則稱數列{凡}是周期為r的周期數列.設
m=qT+Mm,q,T,rsN)數列前皿7>項的和分別記為,則三者的關系
式;已知數列{叫的通項公式為凡二1"13|,那么滿足…+句句9=102
的正整數氏=.
【答案】S,“=qS7+S,無=2或A=5
【分析】利用前利用前〃項和的定義展開,然后每T項分一組,最后剩下一項,結合周期
數列的性質即可求得£=於7+S,:
先求出{〃”}的前”項和,然后將問題轉化為1句9Tl=1。2,通過討論攵413與2>13兩種
情況下求得方程的根,即可得到A的值.
【詳解】(1)因為數列{可}是周期為T的周期數列,加=qT+「,則
之二(4+%+…+%)+(4+r+e+r+…+生丁)+…+(4+(g-i)r+a2^-i)r+,?'+%/
+SW+%"+…+ar+qT)=在+S「,
所以之=gS'+S,.
故答案為:s*qs1+s,.
⑵因為q=|〃T3|,所以為={*",
所以當〃W13時,{?”}的前〃項和為S.工亙要,
當〃>13時,{為}的前〃項和為S.=品+竺皆”也=;(〃、25〃+312);
滿足/十+…+%i9=102,
即4+%】+-+*=Si9?%二102,/N”.
而%=;319)2-25伙+19)+312]=*+雙+198),
127
2
(1)當m一1413時,5i_,=--il+TA:-13,
1177
所以579-九廣5(/+13k+198)-(-”2十萬k-13)=102,
解得七二2或女二5;
⑵當k-1>13時,5,_,=;[(%-1):-25(%-1)+312]=;街—27k+338).
所以S“i9-&T='(d+13A+198)-1伏2-27及+338)=102,
22
解得及不是整數,舍去,
故答案為;*=2或4=5.
【點睛】此題兩個小問,第一小問解題的關鍵是弄清楚數列求和的定義,利用定義將各前
〃項和求出化簡即可;第二小問通項公式中含有絕對值符號,所以需要用到分類討論的思
想,分別求出鼠
5.(2022?上海師大附中高三階段練習)己知但“}是公差為或4>。)的等差數列,若存在
,sinx,+sinx,+sinx,+---4-sinx)=0
實數4,為,/,…,/滿足方程組:....伏,則d
qsin$+%sin々+%sin七+…+佝s,n對=25
的最小值為___________
【答案】7
4
【分析】把方程組中的狐都用色和d表示,求得d的表達式,根據三角函數有界性可得出
答案.
【詳解】解:把方程組中的&都用生和d表示得:
(a;-4J)sinXj+(%-3J)sinXj+(%-2J,in玉+...+(%+4J)sinXj=25,
把sin而+疝占+,,,+$in而=0代入得;
,25
d=---------------------------------------------------------,
-4sin%-3sinx2-2sin£-sin&十sin七+2§畝七十3sin七十4sin為
要使d最小,則-43訪%-3向/+..+4sin%要最大,
因為sin芯+sinjv2+...+sin^,=0,
所以sin.q=0,
sin%[=sinx)=sinx3=sinxA=-l,sinx6=sinx,=sin=sin/=1時分母取最大值20
所以公"
所以d的最小值為:,
4
故答案為:
4
6.(2022?上海楊浦?二模)已知a為實數,數列{%}滿足:①4二。:②
"“+尸:=若存在一個非零常數AN',對任意〃eN',心『f都成
立,則稱數列{%}為周期數列.
(1)當〃=3時,求4+4+〃3+〃4的值;
(2)求證:存在正整數〃,使得044V3;
⑶設S”是數列{%}的前〃項和,是否存在實數d滿足;①數列{4}為周期數列;②存在正
奇數h使得以二2女.若存在,求出所有a的可能值:若不存在,說明理由.
【答案】(1)8(2)證明見解析⑶存在,2
【分析】(1)根據題意分別求出4,〃2,%,4,即可得解:
(2)當。〉3時,勺乜=4-3.可知在數列{4}中直到第一個小于等于3的項出現之前,數
列是以。為首項,-3為公差的遞減的等差數列,寫出通項公式,可得當〃足夠大時,
總可以找到〃,使04。”43,當d3,易證得04凡S3:
(3)分〃(3和。>3兩種情況討論,結合(2)可得當〃>3時,不合題意,再根據當〃(3
時,數列的周期性,即可得出結論.
⑴解:當a=3時,q=3,q=4-3=1必=4-1=34=4-3=1,
所以4+4+6+/=8;
⑵證明:當。>3時,。7=〃“一3,
所以,在數列{凡}中直到第一個小于等于3的項出現之前,數列{凡}是以。為首項,-3為公
差的遞減的等差數列,
即a?=?+(?-1)(-3)=a+3-3n,
所以,當〃足夠大時,總可以找到",使0?為M3,
當。=3時,則存在〃=1,使得0"”M3,
當〃<3時,則存在〃=1,使得0Sa.W3,
綜上所述存在正整數〃,使得。《凡43;
(3)解;當時,ava1=4-ai,a^=a],ai=4-a]1
故此時數列{q}是以2為周期的周期數列,
當。>3時,則4>3,
由(2)得,存在正整數〃,使得00%&3,
因此此時不存在不存在%二q,
所以此時數列數列{4}不是周期數列,
所以〃S3時,數列{〃“}是以2為周期的周期數列,
a}=a,a2=4-at
所以S?向二〃(4十里)十4二4〃十a,
又因&=2&,
所以4〃+a=2(2〃+l),
所以Q=2,
所以存在〃=2,使得&二2火.
7.(2022?上海寶山?一模)己知函數f(x)=2-|x|,無窮數列kJ滿足4M=〃%),
(1)若q=2,寫出數列{%}的通項公式(不必證明);
(2)若4>0,且《,生,4成等比數列,求為的值;問m,是否為等比數列,并說明理
由;
(3)證明:4,生,L,L成等差數列的充要條件是4=1.
2,〃為奇數
【答案】
:0,〃為偶數:
⑵4=1,為等比數列;S不為等比數列,理由見解析;
(3)證明見解析.
【分析】(1)根據遞推關系寫出前幾項,直接得到通項公式;
(2)0<4$2時,由《,的,&成等比數列可求出4=1判斷數列即可,&>2時同理可
求出%=2+&,由等比數列定義判斷即可;
(3)結合(2)先證明充分性,再分別討論0<a.<2,4>2證明必要性即可.
(1)
因為凡+尸/(凡),所以《=0,4=2,“4=0,
2.為奇數
所以4=,
0,”為偶數;
⑵
a](0<A)<2)
因為〃2=2-聞=2-悶=2-|2-q|二?4-4(4之2:
當0<qS2時,由《=4x%=>(2-4)'=。;=>4=1,
所以4=。2二%目,
所以。=1,即4=1為等比數列;
2
當4>2時,由=4xa3=>(2-a1)=a1(4-aI)=>a)=2+72(?1二2-也舍),
所以叼=-72,0,=2->/2,a4=>/2,
...a4E42-72
因為」■二——r^-=-r-
〃32—5/2〃2—J2
所以數列{4}不是等比數列;
綜上,當0<%42時,SJ是等比數列,當1>2時,{%)不是等比數列;
(3)
充分性:當4=1時,由⑵知〃“=1,此時{%)為等差數列;
必要性:當440時,4=2+4,所以d=4_q=2,
所以,數列{qj為遞增數列,
易知,存在4>0,此時d=4「4=2-2(<2,與[=2矛盾,舍去;
當0<qM2時,由物〃q+%n2(2-4)=2qna]=l,所以
所以,d=l,即4=1為等差數列;
當%>2時,由2a2=a]+%n2(2-q)=a[+(4-q)=>q=0與q=1不符,舍去;
綜上,處,生,L,七,L成等差數列的充要條件是4=1.
【點睛】方法點睛:注意在涉及數列的證明求解過程中,分類討論方法的應用,本題求解
過程一定要分別考慮。的范圍對解題的影響,分為0〈〃降2,q>2,q£0去考慮問題即
可.
8.(2022?上海?高三專題練習)對于數列{七},若存在meM,使得七>1二七對任意
1?小2朋-1伍wAT)都成立,則稱數列{5}為“川-折疊數列”.
(1)若可二|25〃-200|(〃eN)判斷數列{叫是否是“,〃-折疊數列”,如果是,指出川
的值,如果不是,請說明理由;
(2)若乙=求所有的實數4,使得數列{七}是3-折疊數列;
(3)給定常數pcN",是否存在數列上},使得對所有meN"{川都是P〃”折疊數列,
且{4}的各項中恰有P+1個不同的值,請說明理由.
【答案】(1){《}是“切-折疊數列",加=8:(2)夕=0或或9二-1:(3)存在,
證明見解析.
【分析】(1)結合給的定義列出關于陽的方程,判斷方程是否有解,可判斷數列{勺}是
否是“機-折疊數列”,
(2)根據題中的定義,列方程得到=《、再討論q是否為o可得出結果,
(3)只需列舉出例子即可證明,結合定義,數列{4}的圖像有無數條對稱軸,可聯想三
角函數求解,設%二8§生兒結合三角函數的單調性與周期性即可證明
P
【詳解】解;⑴若存在使得%此=玉對任意1dd(AeN')都成立,可知
數列{七}在14〃42/?-1內關于〃二方對稱即可,
200-25〃,1W〃<8,〃WN*
因為見=|25〃-2(X)K〃£N")=.
25〃-200.〃28,〃wN*
有{q}在I?〃w2x8-l=15內關于〃=8對稱,
所以m=8,即是8-折疊數列,
(2)要使通項公為x“二q"(〃wM)的數列是3-折疊數列,只要(5)"=",
當夕=0時,/=0,顯然成立,
當940時,q6『,得二i.產“=1(ge{l,2,3,4,5}),
所以4=1或4=-1,
綜上。=0,4=1或4=-1,
(3)對給定的常數pwM,{七}都是戶用-折疊數列,則々有多條對稱軸,其中丫=/)帆都
是數列代}的對稱軸,
設£=8S2x,由金=加,用wN'得對稱軸為且匕的周期為2p,
PP
滿足給定常數pcM,使得對所有防cM,上}都是
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