2021年全國中考數學壓軸題好題難題提優題集錦

一.選擇題（共3小題）

1.如圖，已知。。的半徑為1,是直徑，分別以點A、8為圓心，以的長為半徑畫

弧.兩弧相交于C、。兩點，則圖中陰影部分的面積是（）

A.--2>/3B.—C.—-73D.—-2>/3

3633

2.設O為坐標原點，點A、8為效物線了=爐上的兩個動點，且04_08.連接點A、B,

過。作OC_LAB于點C,則點C到y軸距離的最大值（）

A.-B.—C.—D.1

222

3.如圖，用繩子圍成周長為10帆的矩形，記矩形的一邊長為X”?，它的鄰邊長為ym,矩

形的面積為5〃5.當工在一定范圍內變化時,y和S都隨x的變化而變化，則y與％,S與

x滿足的函數關系分別是（）

y

x

A.一次函數關系，二次函數關系

B.反比例函數關系，二次函數關系

C.一次函數關系，反比例函數關系

D.反比例函數關系，一次函數關系

二.填空題（共5小題）

4.如圖，在oABCD中，AD=5,AB=\2,sinA=-.過點。作垂足為E,

MsinZBCE=

第1頁（共195頁）

5.在AABC中，NABC=90°,AB=2,BC=3.點。為平面上一個動點，ZAD8=45。，

則線段8長度的最小值為一.

6.某企業有A,8兩條加工相同原材料的生產線.在一天內，A生產線共加工。噸原材料,

加工時間為（4々+1）小時；在一天內，8生產線共加工6噸原材料，加工時間為（助+3）小

時.第一天，該企業將5噸原材料分配到A,5兩條生產線，兩條生產線都在一天內完成

了加工，且加工時間相同，則分配到A生產線的噸數與分配到B生產線的噸數的比

為—.第二天開工前，該企業按第一天的分配結果分配了5噸原材料后，又給A生產線

分配了〃，噸原材料，給8生產線分配了〃噸原材料.若兩條生產線都能在一天內加工完各

自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則”的值為一.

n

7.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC,按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任

意長為半徑作弧，分別交AC,AB于點“，N；②分別以M,N為圓心，以大于的

2

長為半徑作弧，兩弧在NWC內交于點O；③作射線AO,交8c于點。.若點。到的

距離為1,則3c的長為

8.如圖，將oABC。繞點A逆時針旋轉到oA9的位置，使點方落在上，B'C與CD

交于點E.若AB=3,BC=4,BB=1,則CE的長為

三.解答題（共51小題）

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a

9.如圖，已知直線)，=奴+3與x軸的正半軸交于點A,與)，軸交于點8,sinZOAB=~.

(1)求攵的值；

(2)D,E兩點同時從坐標原點O出發，其中點。以每秒1個單位長度的速度，沿

OfAiB的路線運動，點E以每秒2個單位長度的速度，沿。14TA的路線運動.當O,

E兩點相遇時，它們都停止運動，設運動時間為/秒.

①在。、E兩點運動過程中，是否存在力￡7/。8?若存在，求出f的值，若不存在，請說

明理由；

②若設的面積為S,求S關于f的函數關系式，并求出，為多少時，S的值最大？

(爵川圖)

10.在平面直角坐標系中，拋物線y=-丁+加+c與x軸交于A,B兩點.與)，軸交于點C,且

點A的坐標為(-1,0),點C的坐標為(0,5).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖(甲).若點夕是第一象限內拋物線上的一動點.當點P到直線BC的距離最大時,

求點尸的坐標；

(3)圖(乙)中，若點用是拋物線上一點，點N是拋物線對稱軸上一點，是否存在點M使

得以8,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

第3頁(共195頁)

15.在平面直角坐標系中，0。的半徑為1.對于點A和線段6C,給出如下定義：若

將線段8C繞點A旋轉可以得到°。的弦次「（方，C分別是A,C的對應點），則稱線段以T

是O。的以點A為中心的“關聯線段

（1）如圖，點A,用，G，B2,C2,4,C3的橫、縱坐標都是整數.在線段8C，B2c2,

員C3中，。。的以點A為中心的“關聯線段”是；

（2）AABC是邊長為1的等邊三角形，點40"）,其中，=0.若BC是OO的以點A為中

心的“關聯線段”，求/的值；

（3）在AABC中，AB=\,AC=2.若是的以點A為中心的“關聯線段”，直接

寫出04的最小值和最大值，以及相應的8c長.

16.如圖，在平面直角坐標系X?中，拋物線丁=。*-〃）2+攵與x軸相交于O,A兩點，

頂點尸的坐標為（2,-1）.點8為拋物線上一動點，連接AP,AB,過點8的直線與拋物線

交于另一點C.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點8的橫坐標與縱坐標相等，NABC=NQ4P,且點C位于k軸上方，求點C的坐

標；

（3）若點3的橫坐標為ZABC=90°,請用含/的代數式表示點C的橫坐標，并求出當

ivO時，點。的橫坐標的取值范圍.

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備用圖

17.在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,8C=3,將A4BC繞點8順時針旋轉得到△46。，

其中點A,。的對應點分別為點女，C.

（1）如圖1,當點W落在AC的延長線上時，求A4”的長；

（2）如圖2,當點C落在川?的延長線卜時.連接CC,交4n于點求AM的長：

（3）如圖3,連接A/V,CC,直線CC交回于點。，點E為AC的中點，連接DE.在

旋轉過程中，是否存在最小值？若存在，求出小的最小值；若不存在，請說明理由.

軸于點C,P是直線下方拋物線上的一個動點.過點尸作垂足為。，PE//X

軸，交于點E.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）當的周長取得最大值時，求點P的坐標和47）七周長的最大值；

（3）把拋物線y=d+法+c平移，使得新拋物線的頂點為（2）中求得的點P.M是新拋

物線上一點，N是新拋物線對稱軸上一點，直接寫出所有使得以點A,B,M,N為頂點

的四邊形是平行四邊形的點M的坐標，并把求其中一個點M的坐標的過程寫出來.

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備用圖

19.在AABC中，AB=AC,。是邊8c上一動點，連接4）,將4?繞點A逆時針旋轉至AE

的位置，使得NZME+4%C=180。.

（1）如圖1,當N】MC=90°時，連接BE,交AC于點尸.若8E平分N4BC,BD=2,

求A"的長：

（2）如圖2,連接BE,取%:的中點G,連接AG.猜想AG與8存在的數量關系，并

證明你的猜想；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接OG,CE.若N84C=120°,當BD>CD,ZAEC=150°

時，請直接寫出處二史的值.

CE

20.如圖是某同學正在設計的一動畫示意圖，x軸上依次有A,O,N三個點，且AO=2,

在ON上方有五個臺階7；~7；（各拐角均為90。），每個臺階的高、寬分別是1和1.5,臺階7；

到x軸距離OK=10.從點A處向右上方沿拋物線L:y=-x2+4x+12發出一個帶光的點P.

（1）求點A的橫坐標，且在圖中補畫出），軸，并直接指出點P會落在哪個臺階上；

（2）當點尸落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C,且最大高

度為11,求C的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階7；有交點；

（3）在x軸上從左到右有兩點O，E,且叱=1,從點石向上作EBJLx軸，且鴕=2.在

反5￡）石沿工軸左右平移時，必須保證（2）中沿拋物線。下落的點P能落在邊比>（包括端

第7頁（共195頁）

點）上，則點8橫坐標的最大值比最小值大多少？

［注：（2）中不必寫r的取值范圍］

21.在一平面內，線段AB=20,線段8c=8=04=10,將這四條線段順次首尾相接.把

固定，讓AD繞點A從A5開始逆時針旋轉角a（a>0。）到某一位置時，BC,C￡）將會跟

隨出現到相應的位置.

論證：如圖1,當AD//3。時，設與8交于點O,求證：AO=10；

發現：當旋轉角。=60。時，NADC的度數可能是多少？

嘗試：取線段8的中點M,當點時與點8距離最大時，求點M到的距離；

拓展：①如圖2,設點。與3的距離為d,若4a>的平分線所在直線交AB于點P,直接

寫出族的長（用含d的式子表示）；

②當點C在AB下方，且4）與CD垂直時，直接寫出a的余弦值.

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DC

B

備用圖2

22.在幾何體表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？

（1）如圖①，圓錐的母線長為12cm,8為母線OC的中點，點A在底面圓周上，AC的長

為4亢cm.在圖②所示的圓錐的側面展開圖中畫出螞蟻從點A爬行到點B的最短路徑，并

標出它的長（結果保留根號）.

①②

（2）圖③中的幾何體由底面半徑相同的圓錐和圓柱組成.O是圓錐的頂點，點A在圓柱的

底面圓周上，設圓錐的母線長為/,圓柱的高為力.

①螞蟻從點A爬行到點O的最短路徑的長為（用含/,力的代數式表示）.

②設的長為。，點3在母線0C上，OB=b.圓柱的側面展開圖如圖④所示，在圖中畫

出螞蟻從點A爬行到點8的最短路徑的示意圖，并寫出求最短路徑的長的思路.

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o

23.已知二次函數y=ad+b%+c的圖象經過(一2,1),(2,-3)兩點.

(1)求力的值；

(2)當時，該函數的圖象的頂點的縱坐標的最小值是.

(3)設(皿0)是該函數的圖象與“軸的一個公共點.當-lv,〃v3時，結合函數的圖象，直

接寫出。的取值范圍.

24.在等邊AABC中，AB=6,BDLAC,垂足為。，點E為45邊上一點，點尸為直線8D

上一點，連接斯.

(1)將線段所繞點E逆時針旋轉60。得到線段EG,連接AG.

①如圖1,當點E與點B重合，且GF的延長線過點C時，連接DG,求線段OG的長；

②如圖2,點E不與點A,B重合，G廠的延長線交邊于點，，連接E”，求證：

BE+BH=6BF；

(2)如圖3,當點石為中點時，點M為BE中點，點N在邊AC上，且DN=2NC,點、

戶從中點Q沿射線以＞運動，將線段反繞點E順時針旋轉60°得到線段EP,連接尸尸,

當NP+’MP最小時，直接寫出AD/W的面積.

2

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ox:+瓜-4(。工0)與A-軸交于點A(-1,0),8(4,0),

第10頁(共195頁)

與y軸交于點C.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)直線/為該拋物線的對稱軸，點。與點。關于直線/對稱，點P為直線4)下方拋物線

上一動點，連接抬，PD,求AMD面積的最大值.

(3)在⑵的條件下，將拋物線產加+歷:-4("0)沿射線4)平移4&個單位，得到

新的拋物線必，點E為點尸的對應點，點尸為弘的對稱軸上任意一點，在凹上確定一點G,

使得以點。，E,F,G為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點G的坐標,

并任選其中?個點的坐標，寫出求解過程.

備用圖

26.如圖，拋物線)，=—/+辰+。與1軸交于4一3,0)、8(1,0)兩點，與y軸交于點C,對

稱軸/與x軸交于點尸，直線機〃AC,點E是直線AC上方拋物線上一動點，過點E作

EH±rnt垂足為H,交AC于點G,連接AE、EC、CH、AH.

(1)拋物線的解析式為—;

(2)當四邊形4/CE面積最大時，求點E的坐標；

<3)在(2)的條件下，連接所，點尸是x軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q,使得

以尸、E,尸、。為頂點，以防為一邊的四邊形是平行四邊形.若存在，請直接寫出點Q

的坐標；若不存在，說明理由.

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27.已知拋物線y=f+bx+c與上軸交于點4(-5,0)和點3,與)，軸交于點。(0,5),它的對

稱軸為直線/.

(1)求該拋物線的表達式及點R的坐標：

(2)若點尸(見2)在/上，點尸與點P過關于x軸對稱.在該拋物線上，是否存在點。、E、

F,使四邊形尸￡)底戶與四邊形產BQ4位似，且位似中心是尸？若存在，求點0、石、尸的

坐標；若不存在，請說明理由.

28.如圖，開口向上的拋物線與x軸交于4(內，0)、B(X2,0)兩點，與y軸交于點C,且

ACA.BC,其中X，々是方程丁+3%一4=0的兩個根.

(1)求點C的坐標，并求出拋物線的表達式；

(2)垂直于線段8C的直線/交x軸于點。，交線段于點E,連接CD,求ACDE的面

積的最大值及此時點。的坐標；

(3)在(2)的結論下，拋物線的對稱軸上是否存在點〃，使得△/么比是等腰二角形？若存

在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

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29.如圖1,直線y=-gx+b與拋物線丁=仆2交于A,8兩點，與)，軸于點C,其中點A的

坐標為(T,8).

(1)求a,b的值；

(2)將點A繞點C逆時針旋轉90°得到點。.

①試說明點O在拋物線上；

②如圖2,將直線向下平移，交拋物線于石，尸兩點(點E在點尸的左側)，點G在線

段OC上.若AGEFSM)BA(點G,E,尸分別與點O,B,A對應)，求點G的坐標.

30.如圖1,二次函數y=a(x+3)(x-4)圖象交坐標軸于點A,B(0,-2),點P為元軸上一

動點.

(1)求二次函數y=a(x+3)(x-4)的表達式；

(2)過點P作PQJ_x軸分別交線段AB,拋物線于點Q,C,連接AC.當OP=1時，求

AACQ的面積；

(3)如圖2,將線段尸8繞點尸逆時針旋轉90。得到線段?￡).當點。在拋物線上時，求點。

圖1圖2

31.如圖，拋物線y=a?+法+c與x軸交于A(—2,0)、8(6,0)兩點，與)，軸交于點C.直

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線/與拋物線交于A、。兩點，與y軸交于點E,點。的坐標為(4,3).

(1)求拋物線的解析式與直級/的解析式；

(2)若點P是拋物線上的點且在直線/上方，連接孫、PD,求當ARM)面積最大時點產

的坐標及該面積的最大值；

(3)若點。是y軸上的點，且NADQ=45。，求點。的坐標.

32.如圖，直線/:y=2x+l與拋物線C:y=2f+版+。相交于點A(o,/〃)，.

(1)填空：m=—,〃=—,拋物線的解析式為—.

(2)將直線/向下移a(a>0)個單位長度后，直線/與拋物線C仍有公共點，求a的取值范

圍.

(3)。是拋物線上的一個動點，是否存在以AQ為直徑的圓與x軸相切于點尸？若存在，

請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

33.如圖1,二次函數y=a(x+3)(x-4)的圖象交坐標軸于點A,8(0,-2),點尸為x軸上

一動點.

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(1)求二次函數.y=a(x+3)(x-4)的表達式；

(2)過點尸作尸Qlx軸分別交線段45,拋物線于點Q,C,連接AC.當OP=1時，求

AACQ的面積；

(3)如圖2,將線段尸8繞點P逆時針旋轉90。得到線段包＞.

①當點。在拋物線上時，求點。的坐標；

②點￡(2,-*)在拋物線上，連接正，當PE平分N8PQ時、直接寫出點P的坐標.

3

34.如圖，在平面直角坐標系xQy中，一次函數y=-gx+3的圖象與x軸交于點4,與y軸

交于點B,點C的坐標為(-2,0),拋物線經過A,B,C三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)直線AD與)，軸負半軸交于點O,且NH4O=N/MO,求證：OB=ODx

(3)在(2)的條件下，若直線與拋物線的對稱軸/交于點E,連接跖，在第一象限

內的拋物線上是否存在一點P,使四邊形班”的面積最大？若存在，請求出點尸的坐標及

四邊形比"面積的最大值；若不存在，請說明理由.

35.小剛在用描點法畫拋物線G：y=〃2+阮+c時，列出了下面的表格:

X???01234???

第15頁(共195頁)

y,..36763???

（I）請根據表格中的信息，寫出勉物線C1的一條性質：—;

（2）求拋物線C1的解析式；

（3）將拋物線C1先向下平移3個單位長度，再向左平移4個單位長度，得到新的拋物線G；

①若直線），=^^+人與兩拋物線G，C2共有兩個公共點，求b的取值范圍；

②拋物線q的頂點為A，與％軸交點為點4,C（點8在點C左側），點尸（不與點A重

合）在第二象限內，且為上任意一點，過點P作9_Lx軸，垂足為。，直線AP交y軸

于點Q,連接AB，DQ.求證：AB//DQ.

備用圖1備用圖2

36.拋物線y=o?+加+3過點A（T,O）,點3（3,0）,頂點為C.

（1）求拋物線的表達式及點C的坐標：

（2）如圖1,點尸在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點。，連接AC,若AD4C是以AC

為底的等腰三角形，求點。的坐標；

（3）如圖2,在（2）的條件下，點E是線段AC上（與點A,C不重合）的動點，連接尸E,

作NP律=NC4B,邊所交x軸于點尸，設點尸的橫坐標為打，求,，〃的取值范圍.

第16頁（共195頁）

圖1圖2

37.如圖，二次函數)，=-丁-2x+4-M的圖象與一次函數),=_2x的圖象交于點A、B(點

B在右側)，與y軸交于點C,點A的橫坐標恰好為〃.動點尸、。同時從原點O出發，沿

射線06分別以每秒行和2行個單位K度運動，經過，秒后，以尸。為對角線作矩形

PMQN,且矩形四邊與坐標軸平行.

(1)求。的值及，=1秒時點P的坐標；

(2)當矩形PMQN與拋物線有公共點時，求時間r的取值范圍；

(3)在位于x軸上方的拋物線圖象上任取一點R,作關于原點(0,0)的對稱點為R,當點M

恰在拋物線上時，求RM長度的最小值，并求此時點R的坐標.

38.已知：拋物線)，="2+加+。經過4一1,0),B(3,0),C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸為直線3C上方拋物線上任意一點，連PC、PB、PO,PO交直線3c于

點E,設四=3求當上取最大值時點尸的坐標，并求此時女的值.

OE

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（3）如圖2,點。為拋物線對稱地與x軸的交點，點。關于工軸的對稱點為點O.

①求\RDQ的周長及tan/RDQ的值；

②點M是），軸負半軸上的點，且滿足tanN8MQ=；（f為大于0的常數），求點M的坐標.

39.如圖，平面直角坐標系中，0是坐標原點，拋物線y=-爐+6x+c與x軸交于A、8兩

點（點A在點8的左側），點8坐標是（3,0）.拋物線與y軸交于點C（0,3）,點P是拋物線

的頂點，連接PC.

（1）求拋物線的函數表達式并直接寫出頂點P的坐標.

（2）直線8C與拋物線對稱軸交于點。，點Q為直線8C上一動點.

①當AQAB的面積等于APCO面積的2倍時，求點Q的坐標；

②在①的條件下，當點。在工軸上方時，過點。作直線/垂直于AQ,直線y=交直

40.如下列圖形所示，在平面直角坐標系中，?個三角板的直角頂點與原點。重合，在其

第18頁（共195頁）

繞原點O旋轉的過程中，兩直角邊所在直線分別與拋物線y=相交于點A、B（點A在

點8的左側）.

（1）如圖1,若點A、8的橫坐標分別為-3、求線段■中點P的坐標；

3

（2）如圖2,若點8的橫坐標為4,求線段45中點尸的坐標；

（3）如圖3,若線段中點P的坐標為（x,y）,求y關于x的函數解析式；

（4）若線段48中點P的縱坐標為6,求線段A4的長.

41.如圖，拋物線y=-gf+2x+6與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左側），與y軸

交于點C,直線y=x-2與y軸交于點O,與元軸交于點E,與直線BC交于點尸.

（1）點尸的坐標為一；

（2）如圖1,點尸為第一象限拋物線上的一點，PF的延長線交03于點Q,PMLBC于

PM11

點、M,QNJ.BC于點、N,若——=—,求點P的坐標：

QN4

（3）如圖2,點S為第一象限拋物線上的一點，且點S在射線￡陀上方，動點G從點上出

發，沿射線。石方向以每秒4a個單位長度的速度運動，當SE=SG,且tan/SEG=，時，

2

求點G的運動時間/.

第19頁（共195頁）

42.在平面直角坐標系中，拋物線)，=-(1-1)2+4與x軸交于A8兩點(A在8的右側),

與)，軸交于點C.

(1)求直線C4的解析式;

(2)如圖，直線”=用與拋物線在第一象限交于點。，交C4于點E,交匯軸于點產，

DG_LC4于點G,若石為G4的中點，求m的值.

(3)直線y=nr+〃與拋物線交于M(X[,y),N(x2,y?)兩點，其中百V馬.若勺一寸＞3

且%-y＞。，結合函數圖象，探究〃的取值范圍.

43.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線丁=-/+加+。與％軸分別交于點A(TO)和點8,

與y軸交于點C(0,3).

(1)求拋物線的解析式及對稱軸；

(2)如圖1,點。與點。關于對稱軸對稱，點尸在對稱軸上，若NW〉D=90°,求點P的坐

標；

(3)點M是拋物線上位于對稱軸右側的點，點N在拋物線的對稱軸上，當ABMN為等邊

三角形時，請直接寫出點M的橫坐標.

第20頁(共195頁)

44.將一張三角形紙片ABC放置在如圖所示的平面直角坐標系中，點A（-6,0）,點3（0,2）,

點C（T,8）,二次函數），=0^+公+以。=0）的圖象經過點A,B,該拋物線的對稱軸經過

點C,頂點為Q.

（1）求該二次函數的表達式及點。的坐標；

（2）點M在邊AC上（異于點A,C）,將三角形紙片ABC折疊，使得點A落在直線45上,

且點M落在邊AC上，點M的對應點記為點N,折痕所在直線/交拋物線的對稱軸于點P,

然后將紙片展開.

①請作出圖中點M的對應點N和折痕所在直線/；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖

痕跡）

②連接MP,NP,在下列選項中：A.折痕與垂直，B.折痕與的交點可以落在

拋物線的對稱軸上，C—=-,D.—=72,所有正確選項的序號是

MP2MP------

③點Q在二次函數丁=奴2+云+44工0）的圖象上，當APE）e~A/>MN時，求點。的坐標.

a

45.如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=2x+l分別與A■軸、），相交于點A,C,經過

4.

點C的拋物線y二』%2+bx+c與直線y=3x+1的另一個交點為點。，點。的橫坐標為6.

（1）求拋物線的表達式.

（2）M為拋物線上的動點.

第21頁（共195頁）

①N為x軸上一點，當四邊形CQMN為平行四邊形時，求點M的坐標；

②如圖2,點M在直線e下方，直線的情況除外）交直線m于點區，作

直線雙）關于直線OM對稱的直線8。，當直線8。與坐標軸平行時，直接寫出點M的橫

坐標.

圖1圖2

46.如圖，直線y=x+2與拋物線丁=加1+法+6（。/0）相交于點A（g,m和點3（4,相）.拋

物線與大軸的交點分別為“、K（點〃在點K的左側）.點尸在線段上運動（不與點A、

8重合），過點尸作直線/CJ_x軸于點P,交拋物線于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,連接AC,是否存在點尸，使AE4C是直角三角形？若存在，求出點尸的坐

標；若不存在，說明理由；

（3）如圖2,過點。作CEJ_A8于點E,當△CE廠的周長最大時，過點尸作任意直線/,

把ACM沿直線/翻折180。，翻折后點C的對應點記為點Q,求出當ACE尸的周長最大時，

點尸的坐標，并直接寫出翻折過程中線段KQ的最大值和最小值.

圖2備用圖

47.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數），='f+bx+c的圖象與x軸交于點A（-3,0）和

■4

點B（5,0）,頂點為點。，動點M、。在x軸上（點”在點。的左側），在x軸下方作矩形

MNPQ,其中MQ=3,MN=2.矩形MNPQ沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右勻速

第22頁（共195頁）

運動，運動開始時，點用的坐標為（-6,0）,當點M與點8重合時停止運動，設運動的時間

為，秒（f>0）.

（1）b=,c=.

（2）連接班），求直線班>的函數表達式.

（3）在矩形MNPQ運動的過程中，所在直線與該二次函數的圖象交于點G,PQ所在

直線與直線交于點〃，是否存在某一時刻，使得以G、M、H、Q為頂點的四邊形是

面積小于10的平行四邊形？若存在，求出f的值；若不存在，請說明理由.

（4）連接尸過點夕作尸。的垂線交y軸于點R,直接寫出在矩形MNP。整個運動過程

中點R運動的路徑長.

48.如圖，拋物線"底+云-3交x軸于點A（T,0）,8（3,0）,。是拋物線的頂點，。是

拋物線上的動點，點尸的橫坐標為皿噴加3）,AE//PD交直線/:y=；x+2于點E,AP

交DE于點F,交y軸于點Q.

（1）求拋物線的表達式；

（2）設APD廠的面積為5,AAEF的面積為S2，當￡=$2時，求點尸的坐標；

（3）連接BQ,點M在拋物線的對稱軸上（位于第一象限內），且/BMQ=45。，在點P從

點3運動到點C的過程中，點M也隨之運動，宜接寫出點M的縱坐標，的取值范圍.

第23頁（共195頁）

49.如圖，己知：拋物線y=f+以+c與直線/交于點A（-1,O）,C（2-3）,與x軸另一交點

為B.

（1）求拋物線的解析式：

（2）在拋物線上找一點P,使&ACP的內心在1軸上，求點尸的坐標：

（3）〃是拋物線上一動點，過點”作x軸的垂線，垂足為N,連接8M.在（2）的條件

下，是否存在點M,使ZMBN=ZAPC?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明

理由.

50.直線y=-X+3與x軸相交于點A,與y軸相交于點B,拋物線y=a?+2x+c經過點A,

B,與x軸的另一個交點為C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點。是第一象限內效物線上的一個動點，過點。作軸交于點E,

于點尸，尸G_Lx軸于點G.當。￡=AG時，求點D的坐標；

（3）如圖2,在（2）的條件下，直線CD與相交于點點”在拋物線上，過”作

軸，交直線CD于點K.P是平面內一點，當以點M,H,K,P為頂點的四邊形是正方

形時，請直接寫出點P的坐標.

第24頁（共195頁）

51.將拋物線y="2(。/0)向左平移1個單位，再向上平移4個單位后，得到拋物線

H:y=a(x-h)2+k.拋物線”與x軸交于點A,B,與)，軸交于點C.已知A(-3,0),點、P

是拋物線”上的一個動點.

(1)求拋物線H的表達式：

(2)如圖1,點尸在線段AC上方的拋物線H上運動(不與A,C重合〕，過點尸作

垂足為。，叨交AC于點上.作尸FJLAC,垂足為F,求尸的面積的最大值；

(3)如圖2,點。是拋物線”的對稱軸，上的一個動點，在拋物線H上，是否存在點P,

使得以點A,P,C,。為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點P

的坐標；若不存在，說明理由.

直線y=2%-2交拋物線于點C.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)若點尸是直線5c下方拋物線上的一個動點(P不與點B,C重合)，求AP3C面積的

最大值；

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(3)若點M在拋物線上，將線段繞點O旋轉90°,得到線段QV,是否存在點M,使

點N恰好落在直線8c上？若存在，請直接寫出點M的坐標：若不存在，請說明理由.

53.定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值

點”.例如，點(1,1)是函數y=的圖象的“等值點”.

22

(1)分別判斷函數,=八十2,y-Y-k的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等

值點”的坐標；如果不存在，說明理由；

(2)設函數y=3(x>0),y=+b的圖象的“等值點”分別為點A,8,過點3作3C_Lx

x

軸，垂足為C.當A4BC的面積為3時，求b的值；

(3)若函數y=V-2(x.m)的圖象記為明，將其沿直線工=機翻折后的圖象記為當州，

W2兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出機的取值范圍.

54.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=V+加+c經過點A(-l,0),B(0,3),頂點為。.平

移此拋物線，得到一條新的拋物線，且新拋物線上的點力(3,-1)為原拋物線上點4的對應點,

新拋物線頂點為E,它與y軸交于點G,連接CG,EG,CE.

(1)求原拋物線對應的函數表達式；

(2)在原拋物線或新拋物線上找一點尸，使以點C,E,F,G為頂點的四邊形是平行

四邊形，并求出點尸的坐標；

(3)若點K是)，軸上的一個動點，且在點3的上方，過點K作CE的平行線，分別交兩條

拋物線于點M，N,且點M,N分別在)，軸的兩側，當MN=CE時，請直接寫出點K的

坐標.

第26頁(共195頁)

55.如圖，已知點A(—8,0),點頸-5,-4),直線y=2x+w過點8交)，軸于點C,交x軸于

(1)求拋物線的表達式；

(2)判斷AABC的形狀，并說明理由；

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點，且tanNEC4=」，求點E的坐標；

2

(4)N為線段AC上的動點，動點尸從點8出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段運

動到點N,再以每秒6個單位長度的速度沿線段NC運動到點C,乂以每秒1個單位長度

的速度沿線段CO向點O運動，當點尸運動到點O后停止，請直接寫出上述運動時間的最小

值及此時點N的坐標.

56.如圖，已知拋物線y=a(x-3)(x+6)過點A(-1,5)和點8(-5,機)，與x軸的正半軸交于點

C.

(1)求，〃的值和點C的坐標;

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(2)若點P是x軸上的點，連接尸8,PA,當歿=2時，求點尸的坐標；

PA5

(3)在拋物線上是否存在點M,使A,3兩點到直線MC的距離相等？若存在，求出滿足

條件的點M的橫坐標；若不存在：請說明理由.

57.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-?!■/+”二1.彳+巴(m>0)與工軸交于4(-1,0),

222

B(肛0)兩點，與)，軸交于點C,連接8c.

(1)若OC=2Q4,求拋物線對應的函數表達式；

(2)在(I)的條件下，點?位于直線8C上方的拋物線上，當AP8C面積最大時，求點尸

的坐標；

(3)設直線y='x+b與拋物線交于B,G兩點，問是否存在點E(在拋物線上)，點尸(在

拋物線的對稱軸上)，使得以8,G,E,尸為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點

尸的坐標；若不存在，說明理由.

58.已知函數丫=「口+齊+鞏“<加),記該函數圖象為G.

x2-mx+m(x..m)

(1)當m=2時，

①已知M(4,〃)在該函數圖象上，求〃的值；

第28頁(共195頁)

②當啖（k2時，求函數G的最大值.

（2）當〃z>0時，作直線x=與《釉交丁點P，與函數G交丁點Q,若NFOQ=45c時,

求〃？的值;

（3）當肛,3時，設圖象與x軸交于點A,與），軸交于點8,過點8作BC_LKA交直線x=

于點C,設點A的橫坐標為a,C點的縱坐標為c,若a=_3c,求m的值.

59.如圖，已知拋物線丁=0￥2+及+4經過A（T,O）,8（4,0）兩點，交y軸于點C.

（1）求拋物線的解析式:

（2）連接BC,求直線的解析式:

（3）請在拋物線的對稱軸上找一點?，使AP+PC的值最小，求點尸的坐標，并求出此時

AP+PC的最小值;

（4）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N,使得以A、C、M、N四點為

頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

備用蜃

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2021年全國中考數學壓軸題好題難題提優題集錦

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

1.如圖，已知OO的半徑為1,是直徑，分別以點A、B為圓心.以AB的長為半徑畫

弧.兩弧相交于C、。兩點，則圖中陰影部分的面積是（）

D.3

【解答】解:連接8C,如圖，

由作法可知AC=8C=AB=2,

「.AACB為等邊三角形，

Z^4C=6O°，

???圖中陰影部分的面積=4S弓形8c+25.席_￡^

4（§切形MC一帆.）+2sA48c-

=4s晌形me_2sM8c-SQO

60^-x22\/3

=4x-------------2x——x22-^-xT2

3604

=—7r—2\/3.

3

故選：A.

第30頁（共195頁）

B

2.設O為坐標原點，點A、8為效物線y=V上的兩個動點，且Q4_O8.連接點A、B,

過。作OCJ.AB于點C,則點C到y軸距離的最大值（）

A1