第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市朝陽區高二上學期期末考試數學試題一、單選題：本大題共10小題，共50分。1.經過點1,0且傾斜角為45°的直線的方程為(

)A.x+y?1=0 B.x?y?1=0 C.x+3y?1=02.雙曲線x2?y2A.y=±13x B.y=±333.已知函數fx=exsinA.excosx B.?excos4.已知an是等比數列，a3=2,a5A.5 B.12 C.20 D.505.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F分別為棱AB,A1C1的中點A.?12a+12b+c6.圓心為1,2且與直線3x+4y?1=0相切的圓的方程為(

)A.(x?1)2+(y?2)2=2 B.(x?17.已知u=?2,0,k是直線l的方向向量，m=1,0,2是平面α的法向量，若l⊥α，則實數A.?4 B.?1 C.1 D.48.已知等差數列an的前n項和為Sn，則“S3>0”是“SA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.建設大型水庫可實現水資源的合理分配和綜合利用，提高水資源的社會經濟效益.已知一段時間內，甲，乙兩個水庫的蓄水量W與時間t的關系如下圖所示．下列敘述中正確的是(

)A.在0,t3這段時間內，甲，乙兩個水庫蓄水量的平均變化率均大于0

B.在t1,t2這段時間內，甲水庫蓄水量的平均變化率大于乙水庫蓄水量的平均變化率

C.甲水庫在t2時刻蓄水量的瞬時變化率大于乙水庫在t210.已知數列an滿足a1=12,aA.12026 B.12025 C.20242025二、填空題：本大題共5小題，共25分。11.已知空間向量a=1,3,?2,b=2,0,2，則12.設直線l1:x?λy+1=0,l2:2x?4y+7=0，若l1⊥13.設拋物線C:y2=2pxp>0的焦點為F1,0，則p=

；點A在拋物線C上，若AF=5，則點14.某校計劃新建一個容納300個座位的階梯教室，若設置10排座位，且從第二排起每一排都比前一排多2個座位，則第一排需設置的座位數為

．15.已知曲線C:x2m+2+y22?m=1(m∈Z且m≠±2).若C為雙曲線，則m的一個取值為

；若三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=4,P為棱AA1上的動點①CP⊥BD；②∠PDQ為定值；③存在點P，使得平面DBQ⊥平面DBP；④存在點P，使得點Q到平面DBP的距離為2．其中所有正確結論的序號是

．17.已知函數fx=(1)求曲線y=fx在點1,f(2)求函數fx的單調區間．18.已知an是公比大于1的等比數列，a1=1，且(1)求an(2)若bn是等差數列，且b1=a3,b11=a19.如圖，在六面體ABCEF中，D為AB的中點，四邊形CDFE為矩形，且EC⊥CB,AC⊥CB，AC=CB=4．(1)求證：EC⊥平面ABC；(2)再從條件①，條件②，條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求平面EAF與平面ECB的夾角的余弦值．條件①：AE=5；條件②：?ABF的面積為6條件③：六面體ABCEF的體積為16．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．20.已知橢圓E:x2a2+y(1)求橢圓E的方程；(2)過點P0,2作斜率為k的直線l與橢圓E交于不同的兩點C,D.在y軸上是否存在點Q使得直線QC與直線QD的斜率之和為0？若存在，求出點Q的坐標：若不存在.說明理由．21.給定正整數n≥3，設數列An:a1、a2、?、an滿足ai=i2ni=1,2,?,n.對于正數x，定義Gx(1)寫出集合GA3、(2)若n?gAn=1(3)證明：存在無窮多個n使得gAn=g參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.A

6.B

7.A

8.B

9.D

10.A

11.312.?113.2；4

14.21

15.3(答案不唯一)

；±1

16.①④

17.(1)f′x=2x?4x，所以切線方程為y?1=?2(x?1)，即2x+y?3=0．(2)fx=xf′(x)=2x?4當0<x<2時，f′(x)<0，當x>所以f(x)的單調減區間是(0,2)

18.(1)設等比數列公比為q，因a3則6a則an(2)設bn公差為d，因b則b1=a則cn==1+2+?+2

19.(1)已知四邊形CDFE為矩形，根據矩形的性質，鄰邊相互垂直，所以EC⊥CD，又EC⊥CB，并且CB∩CD=C，CB,CD?平面ABC，所以EC⊥平面ABC．(2)選擇條件①：AE=5，因為EC⊥平面ABC，所以EC⊥AC．在Rt?ACE中，根據勾股定理EC=已知AE=5，AC=4，則EC=因為EC⊥CB，AC⊥CB，所以EC,AC,CB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系C?xyz，得到A(4,0,0)，B(0,4,0)，D(2,2,0)，E(0,0,3)，F(2,2,3)．進而得到AE=(?4,0,3)，EF設平面EAF的法向量為m=(x,y,z)，由m?AE令x=3，則y=?3，z=4，于是m=(3,?3,4)因為AC⊥平面ECB，所以n=(1,0,0)是平面ECB設平面EAF與平面ECB的夾角為θ，則cosθ=選擇條件②：?ABF的面積為6因為AC⊥CB，AC=CB=4，所以AB=4由?ABF的面積為12AB?FD=12×4以下同選擇條件①的計算過程求出平面EAF與平面ECB的夾角余弦值為3選擇條件③：六面體ABCEF的體積為16，在Rt?ABC中，AC=CB=4，D為AB的中點，所以AB=42，且AB⊥CD，因為EC⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以AB⊥EC，CD∩EC=C，CD,EC?平面CDFE．所以AB⊥平面CDFE．六面體ABCEF的體積V=V根據體積公式V=13?S矩形CDFE又因為S矩形CDEF=CD?EC，CD=2以下同選擇條件①的計算過程求出平面EAF與平面ECB的夾角余弦值為3

20.(1)因橢圓右頂點為A2,0，離心率為則a=2,c=3?b=(2)由題，設直線方程為y=kx+2，將直線方程與橢圓方程聯立，可得x2因直線與橢圓E交于不同的兩點C,D，則Δ=256k設Cx1,又設Q0,t，則kQC則y?2kx則24k?2?t故y軸上存在點Q0,12使得直線QC與直線QD

21.(1)因為數列A3:13，43數列A4:14，1，94(2)由題意可得gA由(1)可知，當n=3或4時，gAn=n對于給定的n，因為ai+1所以，Gai+1≥G當n≥5時，0<1n<所以，G1n=G因為gAn=n?1所以，G9n=1又因為n∈N?，解得n=5、6、7、8或當n=5時，GA5=當n=6時，GA6=當n=7時，GA7=當n=8時，GA8=當n=9時，GA9=綜上所述，n的所有可能取值有5、6、7、8．(3)當n=4k，k∈N若2≤i≤2k，因為0<i所以，Gi2n所以，G12n、G22n、?、G2k2n中不同的值為0、1若2k≤i<4k，因為i+12所以，G2k2n、G2k+12所