決勝2021年中考最難壓軸題大挑戰

律塊三解答典篇

專題3?7方程（組）型應用題

1.（2021?北京模擬）如圖，在平面直角坐標系X。），中，△A8C三個極點的坐標分別為A（-6,0）,B（6,

0）,C（0,4>/3）,耽誤AC到點使過點。作交BC的耽誤線于點E.

（1）求。點的坐標；

（2）作C點關于直線DE的對稱點F,分別毗鄰DF、EF,若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成

周長相等的兩個四邊形，確定此直線的解析式；

（3）在第二問的前提下，設G為），軸上一點，點尸從直線），=丘+力與y軸的交點出發，先沿），軸到達G

點，再沿G4到達A點，若P點在），軸上運動的速度是它在直線G4上運動速度的2倍，試確定G點的

位置，使P點根據上述要求到達A點所用的時間最短.（要求：簡述確定G點位置的方式，但不要求證明）

【點睛】（1）借助△OMCS^AOC,根據相似三角形的性質得點￡>的坐標；

（2）先說明四邊形莊是菱形，且其對稱中間為對角線的交點M,則點8與這一點的連線即為所求

的直線，再聯合全等三角形性質說明即可，由點B、M的坐標求得直線BM的解析式；

（3）過點A作M8的垂線，該垂線與），軸的交點即為所求的點G,再聯合由08、OM的長設法求出N

BAH,借助三角函數求出點G的坐標.

【詳解】解：（1）VA（-6,0）,C（0,4V3）

：.OA=6,OC=4V3

設。石與y軸交于點M

由。可得△OMCS/XAOC,

又??。=夕。

?M_DC__MC__D1

**OA~CO~CA~2

:?CM=2?MD=3

同理可得EM=3

：.OM=6小

???D點的坐標為（3,6V3）；

（2）由（1）可得點M的坐標為（0,6V3）

由OE/7A8,EM=MD

可得），軸所在直線是線段。的垂直平分線

，點C關于直線OE的對稱點尸在y軸上

???&）與C/彼此垂直平分

：，CD=DF=FE=EC

???四邊形8此為菱形，且點M為其對稱中間

作直線8M設與CD、E尸分別交于點5、點7；

可證△F7M也△CSM

:,FT=CS,

,:FE=CD,

:.TE=SD,

?；EC=DF,

...TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS,

???直線將四邊形CW中分成周長相等的兩個四邊形,

由點8（6,0）,點M（0,6V3）在直線y=Ax+b上，可得直線3M的解析式為產一百x+6V5.

（3）設點P在4G上的運動速度為西點尸在y軸上的運動速度為2A,

則點P到達點A的時間為t=+鋁=（w+GA）

過點G作G”_L8W于點H,

可證得叢MGHs叢MBO,

MGMBJ（6V3）2+62

mil-------------------2------------------=2

GHBO6

MG

—=GH,

1MG=1（GH+GA）,

要使Z最小，則G//+G4最小，即當點G、4、〃三點一線時，/有最小值，

確定G點位置的方式：過A點作于點“，則A”與），軸的交點為所求的G點

由08=6,OM=6V5,

可得NOBM=60°,

???N8AH=30°,

在RtZ\OAG中，OG=AO?tanN8A〃=2V5,

；?G點的坐標為（0,2V3）.（或G點的位置為線段OM的接近O點的三等分點）

2.（2021?廣州模擬）如圖，己知正方形4BCO的面積為S.

（1）求作：四邊形48iGOi,使得點Ai和點A關于點B對稱，點3和點B關于點C對稱，點G和點C

關于點。對稱，點5和點。關于點A對稱；（只要求畫出圖形，不要求寫作法）

（2）用S示意（1）中作出的四邊形AIBICIQI的面積Si；

（3）若將已知前提中的正方形改為隨意率性四邊形，面積仍為S,并按（1）的要求作出一個新的四個

邊形，面積為S2,則&與S2是否相等，為什么？

【點睛】（1）根據對稱的性質可知.使得點4和點A關于點5對稱，即是毗鄰48并耽誤一樣的長度找

到對應點A',其它三點同樣的方式找到對應點，順次毗鄰.

（2）設正方形ABCO的邊長為a,根據兩個正方形邊長的比值，操縱面積比等于相似比，來求小正方形的

面積.

（3）相等.因為一個四邊形可以分成兩個三角形，根據三角形的面積公式，等底等高的三角形面積相等.

【詳解】解：（1）如圖①所示.

（2）設正方形ABC。的邊長為a,

==2

同理=SACC1B1S^DD\C\fl?

???SinSAAAIOl+SziBBlAl+SACClBl+SaOOlCl+Sh方形45CD=5a=5S.

（本問也可以先證明四邊形4BC1U是正方形，再求出其邊長為V5。，從而算出Spq邊形川8ICW1=5S）

（3）S\=S2

來由如下：

起首畫出圖形②，毗鄰BD、BD1,

中，AB是中線,

SMBD\=SMBD.

又???△/LAIOI中，8。］是中線，

??S￡^AA\D\=2S^ABD

同理，得S^CC\R\=2S^CBD

??5ziA4IDI+SACC1BI=2(S^ABD+S^,CBD)=2S.

同理，得S^BAIB\+5ADD1Cl=25,

S2=S^AAID\+S^BB\A\+S^CC\B\+S^DD\Cl+S四邊形ABCD=5s.

由(2)得，Si=5S.

**?S\=S2.

5

3.（2021,南寧模擬）如圖，在平面直角坐標系中，入，占兩點的坐標分別為八（-2,0）,4（8,0）,以

AB為直徑的半圓與），軸交于點M,以AB為一邊作正方形ABCD.

（1）求CM兩點的坐標；

（2）毗鄰CM,試判斷直線CM是否與0P相切？說明你的來由；

（3）在x軸上是否存在一點。，使得△QMC的周長最小？若存在，求出點。的坐標;若不存在，請

說明來由.

y

【點睛】（1）依題意推出4B=8C=CO=4。毗鄰PM,根據勾股定理求出0M的值后可求出點M的坐標；

（2）本題有多種方式解答.起首毗鄰PC,CM,根據勾股定理先求出CM的值，然后證明△CMPgZ\CP4

即可證得NCMP=NCBP=90°；

（3）本題有幾種解法，吻合題意即可，起首作M點關于x軸的對稱點毗鄰ATC,根據題意可知

QM+QC的和最小，因為MC為定值，故△QMC的周長最小，證明△財OQS2\MEC,操縱線段比求出

0Q的值.

【詳解】解：（1）VA（-2,0）,8（8,0）,四邊形A8CD是正方形，

：.AB=BC=CD=AD=\^。尸的半徑為5,（1分）

C（8,10）,（2分）

毗鄰PM,PM=5,在RtAPMO中，OA1=7PM2-PO?=V52-32=4

：.M（0,4）；（3分）

（2）方式一：直線CM是。尸的切線.（4分）

證明：毗鄰PC,CM,如圖（1）,

在RSMC中，CM=>JCE2+EM2=V824-62=10（5分）

:?CM=CB

又,：PM=PB,CP=CP

:?ACPMqACPB（6）

：.ZCMP=ZCBP=90°

CM是OP的切線；（7分）

方式二：直線CM是。尸的切線.（4分）

證明：毗鄰PC,如圖（1）,在RtZXPBC中，

PC2=P^+BC2=52+102=125（5分）

在Rl/XMEC中

CM2=CE2+ME2=82+62=100（6分）

：,PC2=CM2+PM2

???△PMC是直角三角形，即NPMC=90°

???直線CM與0P相切.（7分）

方式三：直線CM是。/＞的切線.（4分）

證明：毗鄰M民PM如圖（2）,

在RtAE/WC中，CM=yJCE2+EM2=V82+62=10（5）

：.CM=CB

???NCBM=NCMB（6）

:.PM=PB：?NPBM=NPMB

/.ZPMB+ZCMB=ZPBM+ZCBM=90°

即PMLMC

是o尸的切線；（7分）

（3）方式一：作M點關于x軸的對稱點M,則M'（0,-4）,

毗鄰MC,與x軸交于點Q,此時QM+QC的和最小,

因為MC為定值，所以△QMC的周長最小,（8分）

???△AfOQs/XM'EC

00M，OOQ416

/.—=-----，—=-，0Q=一（9分）

ECMrE8147

；.Q鳥,0）：（10分）

方式二：作M點關于％軸的對稱點,則”（0,-4）,

毗鄰MC,與x軸交于點Q,此時QM+QC的和最小，

因為MC為定值，所以△QMC的周長最小，（8分）

設直線MC的解析式為y=kx+b,

把“（0,-4）和C（8,10）分別代入得］

ILU—oK十u

解得

7

y=X4當時，％=竽（分）

4-y=09

??.(?(%0).(10分)

圖⑴圖（2）

4.（2021?淮安模擬）閱讀懂得

如圖1.△ABC中，沿N84C的平分線ABi折疊，剪掉重:復部分；將余下部分沿N8M1C的平分線折

疊，剪掉重復部分:…;將余下部分沿N&AnC的平分線A〃B〃+i折疊，點&與點C重合，無論折疊幾次，只

要末了一次恰好重合，NBAC是△ABC的好角.

小麗展示了確定NBAC是aABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角N84C的平

分線ABi折疊，點8與點。重合；情形二：如圖3,沿N8AC的平分線ABi折疊，剪掉重復部分；將余下部

分沿NBMiC的平分線4弦折疊，此時點Bi與點C重合.

探討發覺

（1）ZVIBC中，NB=2NC,經由兩次折疊，NB4C是不是△A8C的好角？是（填"是"或“不

是“）

（2）小麗經由三次折疊發覺了N5AC是△ABC的好角，請探討N8與NC（不妨設NB>NO之間的等量

關系.根據以上內容料想：若經由〃次折著N8AC是△A5C的好角，則/B與NC（不妨設N8>N。之間

的等量關系為/B=n/C.

應用提升

（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°,發覺60°和105°的兩個角都是此三角

形的好角.

請你完成，參加一個三角形的最小角是4°,試求出三角形另外兩個角的度數，使該三角形的三個角均是

此三角形的好角.

圖1圖2圖3

【點睛】（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據根據三角形的外角定理、折疊的性質推知

C；

（2）根據折疊的性質、根據三角形的外角定理知NAIA2B2=NC+NA282c=2NC；

根據四邊形的外角定理知N8AC+2NB-20=180°①，根據三角形ABC1的內角和定理知NBAC+NB+NC=

180°②，由①②可以求得ZB=3ZC；

操縱數學歸納法，根據小麗展示的三種情形得出結論：NB=〃NG

（3）操縱（2）的結論知NB=〃NC,/BAC是△A8C的好角，ZC=/JZA,N4BC是△A8C的好角,

NA=AN8,N8CA是△ABC的好角：然后三角形內角和定理可以求得另外兩個角的度數可所以4、172：

8、168；16、160：44、132；88°、88°.

【詳解】解：（1）ZVIBC中，NB=2NC,經由兩次折疊，N8AC是△ABC的好角；

來由如下：小麗展示的情形二中，如圖3、

???沿NB4C的平分線481折疊，

/.N8=NM8i；

又???將余下部分沿N81AC的平分線A&折疊，此時點以與點C重合,

???ZAiBiC=ZC；

???NA4[8]=NC+N48C（外角定理），

AZB=2ZGN3AC是△ABC的好角.

故答案是：是；

（2）NB=3NG如圖所示，在△ABC中，沿NB4C的平分線折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿N

BiAC的平分線4及折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿/BM2c的平分線上為折疊，點治與點C重合,

則NBAC是△ABC的好角.

證明如下：???根據折疊的性質知，N8=/44Bi,NC=N4282G/A|8|C=NA1A2&,

???根據三角形的外角定理知，ZAYAIB2=ZC+ZA2B2C=2ZC：

:根據四邊形的外角定理知，NZMGN3+NA4向^A\B\C=ZBAC\2ZB2ZC=180°,

根據三角形A5C的內角和定理知，ZBAC+ZB+ZC=180<>,

???N8=3NG

由小麗展示的情形一知，當/8=NC時.N84C是△A8C的好角；

由小麗展示的情形二知，當/B=2NC時，NBAC是△ABC的好角；

由小麗展示的情形三知，當/8=3NC時，NB4C是/XABC的好角；

故若經由〃次折疊NBAC是△ABC的好角，則N8與NC（不妨設N3>NO之間的等量關系為NB=nN

C；

（3）由（2）知設NA=4°,

???NB是好角,

???N8=4〃°；

???NA是好角，

ZC=rnZB=4mn°,其中〃、〃為正整數得4+4〃+4加〃=180

???參加一個三角形的最小角是4°,三角形另外兩個角的度數是4、172；8、168；16、160；44、132；

88°、88°.

5.（2021?淮安模擬）我們約定，若一個三角形（記為AAi）是由另一個三角形（記為△4）通過一次平移，或

繞其任一邊的中點旋轉180°得到的，則稱是由復制的.以下的操縱中每一個三角形只可以復

制一次，復制過程可以一向進行下去.如圖1是由復制出△{,又由復制出△4,再由復制出

△A3,形成了一個大三角形，記作AB.以下各題中的復制均是由最先的，由復制形成的多邊形中的

隨意率性兩個小三角形（指與△/1全等的三角形）之間既無縫隙也無重疊.

（1）圖1中標出的是一種大概的復制成果，它用到1次平移.2次旋轉.小明發覺其

相似比為2:1.若由復制形成的△（7的一條邊上有11個小三角形（指有一條邊在該邊上的小三角形），

則△（：中含有121個小三角形:

（2）若△人是正三角形，你認為通過復制能形成的正多邊形是正三邊形、正六邊形；

（3）在復制形成四邊形的過程中，小明用到了兩次平移一次旋轉，你能用兩次旋轉一次平移復制形成一個

四邊形嗎？參加能，請在圖2的方框內畫出草圖，并仿照圖1作出標記；參加不能，請說明來由；

（4）曼3是正五邊形EFG"/,其中間是O,毗鄰O點與各極點.將其中的一個三角形記為△?1,小明認

為正五邊形EFG"/是由復制形成的一種成果，你認為他的說法對嗎？請判斷并說明來由.

【點睛】（1）根據平移性質、旋轉性質和相似常識進行求解;

（2）應該是證三角形和正六邊形；

（3）只要吻合平移和旋轉的性質即可，答案不獨一；

（4）小大概是止五邊形，因為不管怎么平移和旋轉，得出的圖形至少有一邊與原三角形的邊半行，是

以不大概是正五邊形.

【詳解】解：（1）ZXA-aAi是經由旋轉所得，△AI-ZIA2是經由旋轉所得，ZXA2-AA3是經由平移所

得.是以經由了2次旋轉和1次平移.因為48是由4個組成，是以SAfi=4SM,是以相似比為2:1.當

△C的一條邊上有11個小三角形時，那么它們的相似比為11:1,面積比121:1,即中有121個如許的

小三角形；

（2）正三邊形、正六邊形；

（3）能，見右圖；

（4）不對；因為平移或旋轉復制后，至少有一條邊和原三角形的邊平行.

6.（2021?日照模擬）如圖，直線即將矩形紙片A8CO分成面積相等的兩部分，E、尸分別與交于點￡,與

A。交于點尸（瓦尸不與極點重合），設AD=b,BE=x.

（I）求證:AF=EC：

（II）用剪刀將紙片沿直線E尸剪開后，再將紙片A8E廣沿A8對稱翻折，然后平移拼接在梯形ECZ）廠的下

方，使一底邊重合，直腰落在邊OC的耽誤線上,拼接后，下方的梯形記作EE'B'C.

（1）求出直線分別經由原矩形的極點A和極點。時，所對應的的值；

（2）在直線EE，經由原矩形的一個極點的情形下，毗鄰8戌，直線與E尸是否平行？你若認為平

行，請給予證明；你若認為不平行，請你說明當。與b滿足什么關系時，它們垂直？

【點睛】（I）由AD=b,BE=x,S椅形ABEF=S梯形CDFE,聯合梯形的面積公式可證得AF=EC；

（II）（1）根據題意，畫出圖形，聯合梯形的性質求得無〃的值；

（2）直線EE'經由原矩形的極點。時，可證明四邊形BE'M是平行四邊形，則BE'〃所;當直線EE'

經由原矩形的極點4時，BE，與七戶不立行.

【詳解】（I）證明：???4B=a,AD=b,BE=x,S梯形ABEF=S梯形CDFE,

1i

.'?—a（x+AF）=^EC+b-AF）,

：,2AF=EC+（b-x）.

又?:EC=b-x,

：.2AF=2EC.

：,AF=EC.

（II）解：（1）當直線E&經由原矩形的極點。時，如圖（一）

YEC/iE'夕，

?EC_D___C___

**EIBIDBr^

由EC=6?x,E'B'=EB=x,DBr=DC+CB,=2a,

得上

x2a

,?x\b—a.

當直線E'E經由原矩形的極點A時，如圖（二）

在梯形4E'B'。中，

,JEC//E'8'，點C是DB'的中點，

ACE=i（AD+E'B'）,

即b-3=：（b+x）,

；?x:b=司.

（2）如圖（一），當直線EE'經由原矩形的極點。時，BE'〃E￡

證明：田比鄰8匕

*：FD//BE,FD=BE,

???四邊形尸BE。是平行四邊形,

：.FB//DE,FB=DE,

又‘：EC"E'Br,點。是DB'的中點，

：?DE=EE'，

：.FB//EE,,FB=EE,,

.?.四邊形BE'E尸是平行四邊形，

:?BE'//EF.

如圖（二），當直線EE，經由原矩形的極點A時，明顯8&與"不平行,

設直線石尸與8E'交于點G,過點E'作E'M_LBC于M,則&M=a,

Vx:b='，

；?EM=gBC=gb,

若BE'與E尸垂直，則有NGBE+NBEG=90°,

又?：/BEG=NFEC=/MEE',NMEE'+NME'E=90°,

:.NGBE=NME'E、

F，Mn

在RtAB/VfE7中，tanZEzBM=tanNGBE==完

在RtAEME,中，tanNME'E=踹=g,

又???">(),b>0,

ay/2

b~3,

，當f=W時，BE'與七戶垂直.

b3

7.（2021?金華模擬）在平面直角坐標系中，O為坐標原點.

（1）已知點A（3,1）,毗鄰OA,平移線段QA,使點。落在點3.設點A落在點C,作如下探討：

探討一：若點B的坐標為（1,2）,請在圖1中作出平移后的像,則點C的坐標是—:毗鄰AC,BO,

請判斷O,A,C,8四點構成的圖形的形狀，并說明來由；

探討二：若點8的坐標為（6,2）,按探討一的方式，判斷O,4,B,C四點構成的圖形的形狀.

（溫馨提示：作圖時，別忘了用黑色字跡的鋼筆或簽字筆描黑喔！）

（2）通過上面的探討，請直接答復下列問題：

①若已知三點A（a,b）,B（Gci）,C（a+c,b+d）,順次毗鄰O,A,C,B,請判斷所得到的圖

形的形狀；

②在①的前提下，參加所得到的圖形是菱形大概是正方形，請挑選一種情況，寫出a,b,c,d應滿

足的關系式.

【點睛】（1）由題意和圖象可知:0A應該右移三個單位，上移兩個單位后得出的C是以，C的坐標是（4,

3）.因為是平移所以AO=BC,AO//BC,所以四邊形OACB是平行四邊形.當B是（6,2）的時辰,

OAB三點在直線y=1r上，是以OA3C是條線段.

（2）①同（1）應該是平行四邊形或線段兩種情況.

②當04CB是菱形時，兩條鄰邊應該相等，AC=BC,是以J（a+c-a）2+（b+d-b）2=

JCa+c-c）2+^b+d-d}2.是以/+序=J+/

當0AC3是正方形的時辰.參加過8作8E_Lx軸，過A作AF_Lx軸，那么三角形BOEV三角形AOF.AF=

OE,OF=BE,即A點的橫坐標的絕對值=8點的橫坐標的絕對值，A點的縱坐標的絕對值=8點的縱

坐標的絕對值，即。=4且b=-c,或b=c且。=-d.

【詳解】解.：

（1）探討一:C（4,3）,

四邊形Q4C8為平行四邊形，

來由如下：

由平移可知，OA〃BC,且Q4=BC,

所以四邊形OACB為平行四邊形.

探討二：線段

（2）①平行四邊形或線段；

②菱形：口必:^+/（q=-°,/或〃=c,b=d除外）

正方形:a=d且b=-c或b=c且a=-d.

8.（2021?懷化模擬）如圖，四邊形ABCD是邊長為3魚的正方形，長方形AEFG的寬AE=^長EF=

.將長方形4EFG繞點A順時針旋轉15°得到長方形4WN”（如圖），這時8。與訂交于點O.

（1）求NOOM的度數;

（2）在圖中，求。、N兩點間的間隔；

（3）若把長方形AMNH繞點4再順時針旋轉15°得到長方形AR7Z,叨教此時點5在矩形AK7Z的內部、

外部、仍是邊上？并說明來由.

【點睛】（1）由旋轉的性質，可得ZBAM=\5°,即可得NOKB=N4OM=75°,又由正方形的性質,

可得乙鉆。=45°,然后操縱外角的性質，即可求得NQOM的度數；

（2）起首毗鄰AN,交BD于I,毗鄰4N,由特殊角的三角函數值，求得N/MN=30°,又由旋轉的性

質，即可求得NOAN=45°,即可證得A,C,N共線，然后由股定理求得答案：

（3）在RtZXARK中，操縱三角函數即可求得AK的值，與A3對照大小，即可確定8的位置.

【詳解】解：（1）根據題意得：ZBAM=\5°,

???四邊形4MM/是矩形，

???NM=90°,

???NAKM=900-ZBAM=15°,

:,NBKO=NAKM=75°,

???四邊形ABC。是正方形，

；?480=45°,

:./DOM=/BKO+/ABD=750+45°=120°；

（2）毗鄰AN,交SD于/,毗鄰DN,

?:NH=4,NH=90。，

..tanZHAN==亍

???NHAN=30°,

?MN=2NH=7,

由旋轉的性質：ND4〃=15°,

，NDAN=45°,

?：ZDAC=45°,

???4,C,N共線，

;四邊形A8C￡＞是正方形，

???8O1AC,

,:AD=CD=30

：,DI=AI=1AC=1V/1F2+CD2=3,

???N/=AN-A/=7-3=4,

在RtADIN中，DN=y/Dl2+Nl2=5：

(3)點B在矩形ARTZ的外部.

來由：如圖，根據題意得：ZBAR=\50-15°=30°,

7

VZ/?=90°,AR=

.AR2743

cos300433'

T

???AB=3口》學

???點8在矩形4?77的外部.

H

Z

9.(2021?濟寧模擬)在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形QABC的兩極點4、C分別在y軸、x軸的

正半軸上，點O在原點.現將正方形0A8C繞。點順時針旋轉，當A點第一次落在直線），=x上時中斷旋

轉,旋轉過程中，A8邊交直線y=x于點M,BC邊交x軸于點N（如圖）.

（1）求邊OA在旋轉過程中所掃過的面積;

（2）旋轉過程中，當和4C平行時，求正方形OA3c旋轉的度數;

（3）設△MBN的周長為p,在旋轉正方形0ABe的過程中，〃值是否有轉變？請證明你的結論.

【點睛】（1）根據扇形的面積公式來求得邊OA在旋轉過程中所掃過的面積;

（2）解決本題需操縱全等，根據正方形一個內角的度數求出N40M的度數:

（3）操縱全等把△M4N的各邊整理到成與正方形的邊長有關的式子.

【詳解】解：（1）???4點第一次落在直線y=”上時中斷旋轉，直線y=x與y軸的夾角是45°,

???。4旋轉了45°.

457rx22n

???OA在旋轉過程中所掃過的面積為

3602

(2)\'MN//AC,

???N5MN=N8AC=45°,NBNM=NBCA=45°.

：./BMN=/BNM.:.BM=BN.

又BA=BC,AAM=CN.

又???OA=OC,/OAM=/OCN,：,/\OXMm叢OCN.

1i

；?NAOM=NCON=5（N40C-NMO/V）=|（90°-45。）=22.5°.

，旋轉過程中，當M/V和AC平行時，正方形0A8C旋轉的度數為45°-22.5°=22.5°.

（3）在旋轉正方形Q4BC的過程中，〃值無轉變.

證明：耽誤84交y軸于E點，

則NAOE=450-N4OM,NCON=90°-45°-NAOM=450-ZAOM,

:.4AOE=/CON.

又?.?OA=OC,NOAE=180°-90°=90°=NOCM

：?OE=ON,AE=CN.

又?；NMOE=/MON=45°,OM=OM,

:.△OWE且△OMMMN=ME=AM+AE.

：?MN=AM+CN,

:?p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4.

???在旋轉正方形OA8C的過程中，p值無轉變.

x

10.（2021?泰州模擬）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的極點A、B、C

在小正方形的極點上，將△ABC向下平移4個單位、再向右平移3個單位得到然后將

繞點4順時針旋轉90°得到△4比0.

（1）在網格中畫出△AiBCi和AAiB2c2；

（2）計算線段AC在變換到4c2的過程中掃過區域的面積（重疊部分不重復計算）

【點睛】（1）根據圖形平移及旋轉的性質畫出△AWiG及32c2即可；

（2）根據圖形平移及旋轉的性質可知，將△月向下平移4個單位AC所掃過的面積是以4為底，以2

為高的平行四邊形的面積;再向右平移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面

積；當△AiBCi繞點4順時針旋轉90°到△4B2C2時，4C所掃過的面積是以4為圓心以以2我為半徑,

圓心角為90°的扇形的面積，再減去重疊部分的面積，根據平行四邊形的面積及扇形面積公式進行解答

即可.

【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）??,圖中是邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格，

：.AC=A/22+22=2^,

???將△ABC向下平移4個單位4c所掃過的面積是以4為底，以2為高的平行四邊形的面積；再向右平

移3個單位AC掃過的面積是以3為底以2為高的平行四邊形的面積;當△481。繞點4順時針旋轉90°

到△4B2c2時，4。所掃過的面積是以4為圓心以2&為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，重疊

部分是以4為圓心，以2后為半徑，圓心角為45°的扇形的面積，

???線段4。在變換到4C2的過程中掃過區域的面積=4X2+3X2+駟簫變一竺嘴直=14+m

50UOOU

11.（2021?深圳模擬）請操縱圖中的根基圖案，通過平移、旋轉、軸對稱，在方格紙中設計一個瑰麗的圖

【點睛】根據圖形旋轉、對稱及平移的性質設計出圖案即可.

12.（2021?襄陽模擬）如圖，已知:AC是0。的直徑，/MJLAC,毗鄰OP,弦CB//OP、直線交直線AC

于。，BD=2PA.

（1）證明：直線PB是。。的切線；

（2）探討線段尸。與線段BC之間的數量關系，并加以證明；

(3)求sinNOBA的值.

【點睛】(1)毗鄰。艮證04_LP4即可.通過證明△P08義△P04得證.

(2)根據切線長定理必=P8.BD=2PA,貝ijBD=20叢即BD:尸D=2:3.

根據8C〃0P可得/\DBCsRDPO,從而得出線段P0與線段8C之間的數量關系.

(3)根據三角函數的定義即求半徑與0P的比值.設。A=x,PA=y.則0Q=3x,OB=x,BD=2y.在△

80。中可求y與x的關系，進而在△POB中求0P與x的關系，從而求比值得解.

【詳解】(1)證明：毗鄰08.

YBC/iOP,

:.ZBCO=NPOA,/CBO=NPOB,

:?/POA=NPOB.

又?.?PO=PO,08=OA,

，△尸。噲△POA.

，NP8O=NB4O=90°.

是。。的切線.

(2)W：2PO=3BC.(寫亦可)

證明：:△POB絲△P04,：,PB=PA.

*：BD=2PA,:?BD=2PB.

???BC/iPO,???ADBCsADPO.

tBCBD2

?,PO~PD~3,

：?2PO=3BC.

(3)解：?.?C8〃OP,

:ADBCSADPO,

.DCBD2

''DO~PD~3^

7

即DC=^OD.

1

0C=^0Dy

：.DC=20C.

設。4=x,PA=y.則OO=3x,OB=x,BD=2y.

在RtZ\OB。中，由勾股定理得（3x）2=/+（2y）2,即2?=/.

Vx>0,y>0,

13.(2021?大慶模擬)對于鈍角a,定義它的三角函數值如下：

sina—sin(180°-a),cosa--cos(1800-a)

(1)求sinl200,cos120°,sin150°的值;

(2)若一個三角形的三個內角的比是1:1:4,A,8是這個三角形的兩個極點，sinA,cosB是方程47

心-1=0的兩個不相等的實數根，求加的值及NA和的大小.

【點睛】(1)根據問題所給的信息求解即可；

(2)分三種情況進行解析:①當NA=30°,NB=120°時;②當NA=120°,/B=30°時;③當NA=30°,

ZB=30°時，根據題意分別求出用的值即可.

【詳解】解：(1)由題意得，

sinl20c=sin(180°-120°)=sin600=察

cos1205=-cos(180°-120°)=-cos60°=

sinl50e=sin(180°-150°)=sin300=1；

(2)???三角形的三個內角的比是1:1:4,

???三個內角分別為30。，30。，120°,

11

①當/A=30°,ZB=l20°方程的兩根為-一:

2/

將:代人方程得：4X(1)2-wx1-1=0,

解得：，〃=0,

經檢驗一，是方程4/-1=0的根，

???〃?=0吻合題意；

②當NA=120°,N3=30°時，兩根為苧，y,不吻合題意；

③當NA=30°,ZB=30°時，兩根為ay,

111

將3代人方程得：4X(-)2_〃以2-1=0,

解得：m=0,

經檢釁不是方程4/-1=0的根.

綜上所述:m=0,NA=30°,N8=120°.

14.(2021?鞍山模擬)如圖，在直角梯形A8CO中，AD//BC,NC=90°,BC=16,DC=12,40=21.動

點尸從點D出發，沿射線OA的方向，在射線OA上以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出

發，在線段C8上以每秒1個單位長的速度向點8運動，點P,Q分別從點僅。同時出發，當點。運動

到點8時，點P隨之中斷運動.設運動的時間為1(秒).

(1)設ABPQ的面積為S,求S與f之間的函數關系式：

(2)當/為何值時，以8,P,。三點為極點的三角形是等腰三角形;

（3）當線段P。與線段AB訂交于點。，且24O=OB時，求N8QP的正切值；

（4）是否存在時候。使得PQ1.BD?若存在，求出f的值；若不存在，請說明來由.

【點睛】（1）點尸作垂足為M,則四邊形POCM為矩形，根據梯形的面積公式就可以操縱f

示意，就得到S與，之間的函數關系式.

（2）以3、P、。三點為極點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ,②若BP=BQ,③若PB=PQ.

在RtZkPMQ中根據勾股定理，就得到一個關于，的方程，就可以求出九

（3）根據相似三角形對應邊成比例可列式求出f,從而根據正切的定義求出值.

（4）起首假定存在，然后再根據相似三角形對應邊成比例求證.

【詳解】解：（1）如圖，過點尸作PM1BC,垂足為M,則四邊形PDCM為矩形.

：.PM=DC=\2.

'：05=16-/,

：,S=^x\2X（16-/）=96-6/（0<r<16）；

（2）由圖可知：CM=PO=2f,CQ=t.

以B、P、。三點為極點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若PQ=BQ.

在Rt/XPMQ中，P。2=戶+122,

由PC2=502得?+122=（16-/）5

解得t=

②若BP=BQ.

在RtAPA/B中，BP2=(16-202+122.

由得：(16-2/)2+122=(16-/)2

即3?-32/+144=0.

因為△=-704<0,

???3?-32什144=0無解，

:?PBHBQ.

③若PB=PQ.

由P^uPg2,得?+122=(16-2。2+122

整理，得3P-64/+256=0.

解得仁挈念=16(舍去)

綜合上面的會商可知：當秒或U竽秒時，以8、P、。三點為極點的三角形是等腰三角形.

4P401

(3)如圖，由△OAPs/\O5Q,得一=—=一.

BQOB2

,

：AP=2t-2\iBQ=16-f,

/.2(2/-21)=16-/.

過點。作QELAD,垂足為E.

?:PD=Z、ED=QC=h

：,PE=t.

在RtAPEG中，tanNQPE=能=竽=瑞

王：ADHBC、

：?NBQP=NQPE,

30

???tanNBQP=~

（4）設存在時候f,使得PQLBD.

如圖，過點Q作QE_LA。于E,垂足為E.

*：AD//BC

???/BQF=NEPQ,

又;在尸。和△SCO中N3FQ=/C=90°,

:.NBQF=/BDC,

ZBDC=ZEPQ,

又???NC=NPEQ=90°,

???R"OCsRtZ\QPE,

DCPE?12t

—=—.即—=—.

BCEQ1612

解得r=9.

所以，當f=9秒時，PQVBD.

15.（2021