專題突破篇

專題一數學思想方法

V專題剖析▼

數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是解決數學問題的根本策略，是溝通基礎知識與能力

的橋梁，是數學的精髓.在復習中一定要注重培養在解題中提煉數學思想方法的習慣，達到觸類旁通的目

的.中考常用到的數學思想方法有：整體思想、轉化與化歸思想、方程與函數思想、數形結合思想、分類

討論思想等.

:高專題訓練

整體思想，就是整體與局部對應的，按常規不容易求某一個（或多個）未知量時，可打破常規，根據題

目的結構特征，把一組數或一個代數式看作一個整體，從而使問題得到解決.

整體思想常見的幾種類型：①整體代入法求代數式的值；②用整體思想解方程（組）及不等式（組）；③運

用整體思想求角度.

1.（2019?常州）如果a—b—2=0,那么代數式1+2a—2b的值是.

2.（2018?岳陽）已知a2+2a=1,則3（a2+2a）+2的值為.

3.（2019?常德）若x2+x=1,則3x4+3x3+3x+1的值為

2x+y=2a+1>

4.（2020.朝陽）已知關于*少的方程組1+2丫=5—52的解滿足、+丫=-3,則a的值為.

5.（2019.曲靖）如圖，已知點。是△ABC的內切圓的圓心，若NBOC=124。，則NA=.

8=第5題圖）/涕6題圖）

6.（2018?黔東南州）如圖，分別以n邊形的頂點為圓心，以2為半徑畫圓，則圖中陰影部分面積之和為（）

A.ITB.21TC.3TTD.4TT

錯誤！

分類討論思想

分類討論的知識點有三大類：①由數學概念、性質、運算引起的討論；②由圖形的形狀或位置引起的

討論；③由實際意義引起的討論.

分類討論思想體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法.

分類的原則：①分類中的每一部分是相互獨立的；②一次分類按一個標準，找準分類討論的標準是解

題的美鍵；③分類討論應逐級進行.正確的分類必須是周全的，既不重復，也不遺漏.

一、與數與式有關的分類討論

1.如果多項式9+mx+x2是完全平方式，那么m=.

2.一組數據100,100,X,80,80的平均數和中位數相等，則x的值為.

3.已知實數a,b滿足等式a2—2aT=0,b2-2b-1=0,則!的值是.

二、與方程有關的分類討論

4.已知關于x的方程kx2+（2k+1）x+（k—1）=0有實數根，則k的取值范圍為（）

A.k^—gB.k>—z

C.kN-1且k=0D.k<—x

oo

5.如果關于x的方程|+占=嘉無解，則a的值為.

三、與函數有關的分類討論

6.若一次函數y=kx+b,當一3SxS1時，對應的y值為1<y<9,則一次函數的解析式為

7.已知函數y=(k—3)x2+2x+1能圖象與x軸有交點，求k的取值范圍為.

4

8.若點A(a,m),B(a-1,m(a>0)在反比例函數y=-±,則m,n的大小關系是

四、與三角形有關的分類討論

?等腰三角形?

9.若等腰三角形的一個角為72。，則這個等腰三角形的頂角為.

10.在△ABC中，zB=50°,當NA為時，△ABC是等腰三角形.

11.等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45。，則這個等腰三角形的頂角的度數為

12.已知等腰二角形的一邊長為9,另一邊長為方程x2—8x+15=0的艱，則該等腰二角形的周長為

BC

13.如圖，已知△ABC中,AB=AC=5,BC=8,若AABC沿射線BC方向平移m個單位得到△DEF,

頂點A,B,C分別與D,E,F對應,若以點A,D,E為頂點的三角形是等腰三角形,則m的值是.

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個頂點在

△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個數最多為.

?直角三角形?

15.一個直角三角形的兩邊長為4和5,則另一邊長是.

16.直角三角形的一個外角是115。，則該直角三角形的銳角是.

17.如圖，四邊形ABCD中，zBAD=zADC=90°,AB=AD=2&,CD=^，點P在四邊形ABCD

的邊上，若點P到BD的距離龍，則點P的個數為個.

，第17題圖)■，第18題圖)

18.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=30。，BC=3,點D是BC邊上的一動點(不與點B,

C重合)，過點D作DE_LBC交AB于點E,將NB沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處.當

△AEF為直角三角形時，則BD的長為.

?相似三角形?

19.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=8,點P是AB邊的中點，點Q是BC邊上一個動點，當BQ

時，△BPQ與^BAC相似.

五、與圓有關的分類討論

20.(1)半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為小，那么這條弦所對的圓周角的度數等于

(2)在半徑為1的。O中，弦AB,AC的長分別為、俗和乖，則/BAC的度數是；

(3)已知圓內接△ABC中.AB=AC,圓心O到BC的距離為3cm,圓的半徑為7cm,則腰長

AB為cm.

21.已知在半徑為10cm的。0中，弦ABHCD,且AB=16cm,CD=12cm,則AB與CD

之間的距離為cm.

六、與圖形位置有關的分類討論

22.如圖，正方形ABCD的邊長為6,M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM,以點P為

圓心，PM長為半徑作。P.當。P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為.

'_/，第22題圖)BE.....%,第23題圖)

23.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,點E,F分別在邊BC,AC±,沿EF所

在的直線折疊/C,使點C的對應點D恰好落在邊AB上，若AEFC和AABC相似，則AD的長為

24.平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD相交于點。，若E,F是線段AC上的兩動點，分別從A,

C以相同的速度1cm/s向目標C,A運動，若BD=12cm,AC=16cm,在這個運動過程中，當運動時

間1=s時，四邊形DEBF是矩形.

BD'

25.如圖，正方形ABCD的邊長是18,點E是AB邊上的一個動點，點F是CD邊上一點，CF=8,

連接EF,把正方形ABCD沿EF折疊，使點A,D分別落在點A',D，處，當點D'落在直線BC上時，線

段AE的長為.

錯誤!，

轉化與化歸思想

在研究數學問題時，我們通常是將未知的問題轉化為已知的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，

將抽象的問題轉化為具體的問題，將實際問題轉化為數學問題.

常見的幾種類型：①把分式方程去分母轉化為整式方程，把二元一次方程組“消元”為一元一次方程來

解；②在求面積時，將不規則圖形通過割補轉化為規則圖形；③求線段和的最小值(或路程最短)時，轉化

為兩點之間，線段最短；④立體圖形問題轉化為平面圖形.總之，都把陌生的問題轉化為我們熟悉的問題

來研窕.

1.若代數式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)的值為24,則X的值可以是(寫一個不扣分).

,1qly

2.已知aAb>0,且9+6+際—0，則1--------------------------------------------------------------

3.如圖，以直角三角形的兩條直角邊AC,AB為直徑，向三角形內作半圓，兩半圓交于點D,CD=

1,BD=3,則圖中陰影部分的面積為(平方單位).

，第3題圖)第4題圖)

4.如圖，在RSABC中，NACB=90。，AC=BC=2,分別以AB,AC為直徑作。Oi與。。2,則

圖中陰影部分面積為.

5.如圖，圓柱形玻璃杯高為24cm、底面周長為36cm,在杯內離杯底8cm的點C處有一滴蜂蜜，

此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿8cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為

，第5題圖）第6題圖）

6.如圖，在菱形ABCD中，AC=8,BD=6.E,P分別是線段AB,AC上的任意一點，則PB+PE

的最小值為.

7.二次函數y=x?+bx的圖象如圖，對稱軸為x=-2.若關于x的一元二次方程x2+bx—t=0（t為

實數）在一5vxv2的范圍內有解，則t的取值范圍是.

錯誤!，

數形結合思想

著名數學家華羅庚說過，“數缺形時少直觀，形少數時難入微”,數形結合思想：從幾何直觀的角度，

利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題的解決方法（以形助數），或利用數量關系來研究幾何圖

形的性質，解決幾何問題（以數助形）.數形結合思想使數量關系和幾何圖形巧妙地結合起來，使問題得以

解決.

1.如果有理數a,b,c在數軸上的位置如圖所示，則|b—1|+|a—c|+|1一c|—|a+b|=.

ab°c1

2.用四張一樣大小的長方形紙片拼成一個正方形ABCD,如圖所示，它的面積是75,其中AE=3小,

空白的地方是一個正方形，那么這個小正方形的周長為.

3.如圖，從邊長為（a+3）的正方形紙片中剪去一個邊長為3的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個

如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的一條邊長是a,另一條邊長是.

3

4.一次函數丫=一彳（+3的圖象如圖所示，當一3vyv3時，x的取值范圍是,

，第4題圖）

5.如圖，函數yi=S^y2=x+b交與點A,B兩點，其中點A的縱坐標是3,則滿足y2>yi的x的

取值范圍是.

2

6.如圖，在平面直角坐標系中，0為坐標一原點，A是函數y=7（x>0j圖象上一點，過點A作x軸

的平行線交函數y$k>0,x>0）的圖象干點B（點B在點A的右邊），若SMOB=2,則k的值為.

力?〃千米

~^1x~0\7

I，第6題圖）?2町，第7題圖）

7.快、慢車分別從相距180千米的甲、乙兩地同時出發，沿同一路線勻速行駛，相向而行，快車到

達乙地停留一段時間后，按原路原速返回甲地.慢車到達甲地比快車到達甲地早;小時，慢車速度是快車速

度的一半.快、慢兩年到達甲地后停止行駛，兩年距各自出發地的路程y（千米）與所用時間x（小時）的函數

圖象如圖所示.在快車從乙地返回甲地的過程中，當慢車恰好在快車前，且與快車相距80千米的路程時，

慢車行駛的總的時間是小時.

8.如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于A,B兩點，交y軸于點C,拋物線的頂點為D.下列

三個判斷：①當x>0時，y>0；②拋物線上有兩點P（xi,y1）和Q（X2,y2）,若Xiv1vx2,且XI+X2>2,則

yi>y2；③點C關于拋物線對稱軸的對稱點為E,點G、F分別在x軸和y軸上，當m=2時，四邊形EDFG

周長的最小值為6冊,其中正確判斷的序號是.

錯誤!，

方程與函數思想

方程思想是指在求解數學問題時，從題中的已知量和未知量的數量關系中找到等量關系，先將等量關

系轉化為方程（組），然后解方程（組）使問題得以解決.

函數思想是指以函數概念為基礎，研究題目中的變量關系，并建立函數關系的數學思想方法.函數思

想主要體現對運動變化的動態事物的描述，體現了變量在研究客觀事物中的重要作用.

在解題過程中，通常需要兩者之間的切換，要熟練掌握兩者之間的聯系.

一、方程思想在代數問題中的應用

1.若單項式amh2與3a2bn的和是單項式，則巾門的值是（）

A.5B.6C.8D.9

2,當m=時，函數丫=一（巾一2"1112—3+（111—4）是關于*的一次函數.

3.若一個反比例函數的圖象與直線y=2x—6的一個交點為A（m,m—2）,則這個反比例函數的表達

式是.

4.拋物線y=ax?+4x—2=0（a￥0）與x軸有交點，那么負整數a=（一個即可）.

二、方程思想在幾何問題中的應用

5.以NAOB的頂點。為端點引射線0C,使/AOC:zB0C=5:4,若/AOB=27°,

則/AOC=.

6.如圖，在△ABC中，/C=90。，AC=4,BC=6,點D是BC上一動點，DEJ_AB,DF±BC,

將乙BDE沿直線DF翻折得到4B*ErD,連接AB\AE\當bAB，E是直角三角形時，則BD=.

CDB

7.我國古代數學著作《九章算術》中有題如下：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意

譯為：如圖，在RtZkABC中，zACB=90°,BC=5,AC=12,四邊形CDEF是RSABC的內接正方

形，點D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，則正方形CDEF邊長為.

三、列方程解實際應用題

8.元代《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駕馬日夕亍一百五十里，駕馬先行十二

日，問良馬幾何追及之？”設良馬x天能追上駕馬，可列方程為.

9.某商品每件的標價是330元，按標價的八折銷售時，仍可獲利10%,設這種商品每件的進價為X

元，根據題意得，列方程是.

10.我國古代的數學著作《孫子算經》中有這樣一道題：今有雞兔同籠，上有35頭，下有94只腳,

問雞兔各有幾何？譯文：雞和兔子圈在一個籠子中，共有頭35個，腳94只，問雞、兔各有多少只？設籠

子里有雞x只，兔y只，則可列方程組為.

11.“綠水青山就是金山銀山為了山更綠、水更清，某縣大力實施生態修復工程，發展林業產業,

確保到2021年實現全縣森林覆蓋率達到72.75%的目標.已知該縣2019年全縣森林覆蓋率為69.05%,

設從2019年起該縣森林覆蓋率年平均增長率為X,則可列方程.

IIIIA

J陽用帥川川I.

12.(2019?江西)斑馬線前“車讓人”，不僅體現著一座城市對生命的尊重，也直接反映著城市的文明程

度.如圖，某路口的斑馬線路段A—B-C橫穿雙向行駛車道，其中AB=BC=6米，在綠燈亮時，小明

共用11秒通過AC,其中通過BC的速度是通過AB速度的1.2倍，求小明通過AB時的速度.設小明通

過AB時的速度是X米/秒，根據題意列方程得:.

四、函數與方程之間的聯系

13.已知拋物線y=ax2—4ax—5a,其中avO,貝I不等式ax?—4ax—5a>0的解集是.

14.若二次函數y=ax?+bx+c的圖象經過點(4,3),且對稱軸是x=1,則關于x的方程ax?+bx

+c=3的解為.

2

15.平面直角坐標系中，過動點P(n,0)且垂直于x軸的直線與直線y=-3x—1及雙曲線丫=一:的

交點分別為B和C,當點B位于點C下方時，則n的取值范圍是.

16.如圖，在乙ABC中，AB=AC=5,BC=6,若P是BC邊上任意一點，且滿足NAPM-zABC,

PM與AC邊的交點為M,則線段AM的最小值是

專題二選擇和填空壓軸題

'V專題剖析

選擇、填空題中出現的折疊問題、動點問題、多結論問題是有些難度的三種類型的題目，突出對考生

綜合能力的考查，是近幾年選擇、填空壓軸的熱點.

V專題訓練

錯誤！

折疊問題

1.如圖，已知矩形紙片ABCD的兩邊AB:BC=2:1,過點B折疊紙片，使點A落在邊CD上的

點F處，折痕為BE.若AB的長為4,則EF的長為（）

A.8-473B.2^3C.4^3-6D.1

B'

VDF,第1題圖）飛…?…斗Q第2題圖）

2.對角線長分別為6和8的菱形ABCD如圖所示，點0為對角線的交點，過點0折疊菱形，使B,

B，兩點重合，MN是折痕.若B，M=1.5,則CN的長為（）

A.3.5B.4.5C.5.5D.6.5

3.如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合（H不與端點C,D重合），折痕

交AD于點E,交BC尸點F,邊AB折疊后與邊BC交于點G.設正方形ABCD的周長為m,△CHG的

了一.....>

周長為n,則毒勺值為（）

A.當B.iC.'建D.隨H點位置的變化而變化

4.如圖，將一個邊長分別為8,16的矩形紙片ABCD沿EF折疊，使C點與A點重合，則EF與

5.（2020.日照）如圖，在平面直角坐標系中，口ABCD的頂點B位于y地的正半軸上，頂點C,D位

丁x軸的負半軸上，雙曲線y—：（k〈O,x（O）與二ABCD的邊AB,AD交丁點E,F,點A的縱坐標為

10,F（-12,5）,把△BOC沿著BC所在直線翻折，使原點O落在點G處，連接EG,若EGIIy軸，則

△BOC的面積是.

6.如圖，對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展平，再一次折疊紙片,

使點A落在EF上的N點處，同時得到折痕BM,BM與EF交于點H,連接線段BN,則EH與HN的比

7.（2020.沈陽）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,對角線AC,BD相交于點O,點P為邊

AD上一動點，連接OP,以OP為折痕，將AAOP折疊，點A的對應點為點E,線段PE與OD相交于

點E若APDF為直角三角形，則DP的長為

8.如圖，矩形AOBC的邊OA,OB分別在x軸、y軸上，點C的坐標為（一2,4）,將△ABC沿AB

所在直線對折后，點C落在點D處，則點D的坐標為.

D

9.如圖，已知RSABC中，/B=90。，nA=60。，AC=3,點M,N分別在線段AC,AB上，將

△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN

的長為.

10.如圖，將矩形紙片ABCD分別沿AE、CF折疊，若B、D兩點恰好都落在對角線的交點。上，

下列說法：

①四邊形AECF為菱形，

②/AEC=120。，③若AB=2,

則四邊形AECF的面積為啥，

?AB:BC=1:2,

其中正確的說法有.只填寫序號）

錯誤！

二次函數中的多結論問題

1.（2019?通遼）在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c（a￥0）的圖象如圖所示，現給以下結論:

@abc<0：?c+2a<0；③9a—3b+c=0；

④a—b2m（am+b）（m為實數）；⑤4ac—b2Vo.

其中錯誤結論的個數有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2019.齊齊哈爾）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aN0）與x軸交于點（一3,0）,其對稱軸為直線x=

1

-

2結合圖象分析下列結論：

?abc>0：②3a+c>0；③當x<0時，y隨x的增大而增大；④一元二次方程cx?+bx+a=0的兩

[1b2-4ac

根分別為xi=—,X2=2：⑤-4a-<0:⑥若m,n（mvn）為方程a（x+3）（x—2）+3=0的兩個根，則

mV-3且n>2,其中正確的結論有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

3.（2019?安順）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于

C點，OA=OC.則由拋物線的特征寫出如下結論：

?abc>0：?4ac—b2>0：@a—b-Fc>0：④ac+b+1=0.其中正確的個數是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（2019?鄂州）二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，對稱軸是直線x=1.下列結論：

?abc<0：?3a+c>0：（5）（a+c）2-b2<0：④a+b0m（am+b）（m為實數）.其中結論正確的個數為

5.（2019.巴中）二次函數y=ax2+bx+c（a黃0）的圖象如圖所示，下列結論：①b2>4ac；?abc<0;

③2a+b-c>0；④a+b+cV0?其中正確的是（）

A.@@B.②④

C.D.①②③④

6.（2020.日照）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a黃0）圖象的對稱軸為直線x=-1,下列結論：①abc

<0；@3a<-c；③若m為任意實數，則有a-bm0am2+b;④若圖象經過點（-3,-2）,方程ax?+bx

+c+2=0的兩根為xi,x2（|xi|<|x2|）,則2xi-X2=5.其中正確的結論的個數是（C）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.（2019.舟山）小飛研究二次函數y=-（x-m）2-m+1（m為常數）性質時如下結論：

①這個函數圖象的頂點始終在直線y=-x+1上；

②存在一個m的值，使得函數圖象的頂點與x軸的兩個交點構成等腰直角三角形；

③點A（xhy。與點B（X2,y2）在函數圖象上，若xi〈X2,xi+x2>2m,則yi〈y2；

④當一1〈x<2時，y隨x的增大而增大，則m的取值范圍為mN2.其中錯誤結論的序號是（）

A.@B.②C.③D.@

8.（2019?涼山州）二次函數y=ax24-bx+c的部分圖象如圖所示，有以下結論：①3a—b=0；②b?

-4ac>0；?5a-2b+c>0；?4b+3c>0,其中錯誤結論的個數是（）

9.（2019.赤峰）二次函數y=ax2+bx+c（a黃0）的圖象如圖所示，下列結論：

①b>0；②a—b+c=0；③-元二次方程ax2+bx+c+1=0（a*0）有兩個不相等的實數根；④當xv

—1或x>3時，y>0.上述結論中正確的是.（填上所有正確結論的序號）

（2019?荊門）拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數）的頂點為P,且拋物線經過點A（—1,0）,

B（m,0）,C（—2,n）（1<m<3,n<0）.下列結論：?abc>0；?3a+c<0；③a（m—1）+2b>0；④a

=一1時，存在點P使APAB為直角三角形.其中正確結論的序號為.

錯誤!,

幾何多結論問題

1.（2019?濱州）如圖，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,zAOB=zCOD=

40°,連接AC,BD交于點M,連接OM.下列結論：?AC=BD；②/AMB=40。；③OM平分NBOC；

?MO平分NBMC.其中正確的個數為（）

A.4B.3C.2D.1

2.（2019.綏化）如圖，在正方形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩個動點，P是正方形四邊上的

任意一點，且AB=4,EF=2,設AE=x.當APEF是等腰三角形時，下列關于P點個數的說法中，一定

正確的是（）

①當x=0（即E,A兩點重合）時，P點有6個；

②當Ovxv4&-2時，P點最多有9個；

③當P點有8個時，x=2戲一2；

④當APEF是等邊三角形時，P點有4個.

A.①③B.@@C.②④D.②③

3.（2019?廣元）如圖，在正方形ABCD的對角線AC上取一點E,使得/CDE=15。，連接BE并延長

BE至IJF,使CF=CB,BF與CD相交于點H,若AB=1,有下列結論：①BE=DE：②CE+DE=EF：

③SADEC=：—吟④盟=2小一1.則其中正確的結論有（）

A.B.①②③④

C.①②④D.①0?

4.（2020.深圳）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=12.將紙片折疊，使點B落在邊AD的延長

線上的點G處，折痕為EF,點E,F分別在邊AD和邊BC上.連接BG,交CD于點K,FG交CD于

點H.給出以下結論：?EF±BG；②GE=GF；③4GDK和AGKH的面積相等；④當點F與點C重合時,

NDEF=75。.其中正確的結論共有（B）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2019?遂寧）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，△BPC是等邊三角形，連接DP并延長交

CB的延長線于點H,連接BD交PC尸點Q.下列結論：

?zBPD=135。；②小BDP-△HDB：③DQ:BQ-1:2；④SA8。「=嚀工?其中正確的有（）

BC

A.①0③B.②③④

C.???D.①②④

6.（2020.東營）如圖，在正方形ABCD中，點P是AB卜一動點（不與A.B重合），對角線AC,BD

相交于點O,過點P分別作AC,BD的垂線，分別交AC,BD于點E,F,交AD,BC于點M,N.下列

結論：

（$）△APE2△AME;②PM+PN=AC；?PE2+PF2=PO2；④乙POF-△BNF：⑤點O在M,N兩

點的連線上.其中正確的是（B）

A.③④B.①②③⑤

C.@@③④⑤D.③④⑤

節~"，第6題圖）匕第7題圖）

7.（2020.銅仁）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E在邊AB上，BE=1,NDAM=45。，點F在

射線AM上，且AF=加,過點F作AD的平行線交BA的延長線于點H,CF與AD相交于點G,連接

EC,EG,EF.下列結論：

ECF的面積為昔；②4AEG的周長為8；

③EG2=DG2+BE2；其中正確的是（C）

A.@（2）（3）B.@@

C.@@D.@@

8.（2019?濱州）如圖，。ABCD的對角線AC,BD交于點O,CE平分/BCD交AB于點E,交BD

于點F,月/ABC=60。，AB=2BC,連接OE.下列結論:

?EO±AC；②SAAOD=4SAOCF；

③ACBD=V21:7；@FB2-OFDF.

其中正確的結論有.（填寫所有正確結論的序號）.

叫第8題圖）A—第9題圖）

9.（2020.鄂爾多斯）如圖，已知正方形ABCD,點M是邊BA延長線上的動點（不與點A重合），且

AM<AB,ACBE由ADAM平移得到.若過點E作EH_LAC,H為垂足，則有以下結論：

①點M位置變化，使得NDHC=60。時，2BE-DM；

②無論點M運動到何處，都有DM=&HM：

③在點M的運動過程中，四邊形CEMD可能成為菱形；

④無論點M運動到何處，/CHM一定大于135。.

以上結論正確的有（把所有正確結論的序號都填上）.

10.（2018?巴彥淖爾）如圖，。。為等腰三角形ABC的外接圓，AB是OO的直徑，AB=12,P為品

上任意一點（不與點B,C重合），直線CP交AB的延長線于點Q,OO在點P處的切線PD交BQ于

點D,則下列結論：①若/PAB=30。，則麗的長為E②若PDllBC,則AP平分NCAB；③若PB=

BD,則PD=6同④無論點P在介上的位置如何變化,CP?CQ=108.其中正確結論的序號為.

錯誤!,

幾何動態問題）

1.（2020.本溪）如圖，在RtAABC口，zACB=90°,AC=BC=26,CD_LAB于點D.點P從點A

出發，沿ATD—C的路徑運動，運動到點C停止.過點P作PE_LAC于點E,作PF_LBC于點E設點P

運動的路程為X,四邊形CEPF的面積為y,則能反映y與X之間函數關系的圖象是（）

c

2.（2019?衢州）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E是AB的中點，點P從點E出發，沿E-A-DTC

移動至終點C.設P點經過的路徑長為x,ACPE的面積為y,則下列圖象能大致反映y與x函數關系的是

3.（2020.淄博）如圖1,點P從△ABC的頂點BUI發，沿B-C-A勻速運動到點A,圖2是點P運

動時線段BP的長度y隨時間x變化的關系圖象，其中M是曲線部分的最低點，則4ABC的面積是（）

圖1圖2

A.12B.24C.36D.48

4.（2019?樂山）如圖，拋物線y=/（2-4與x軸交于A,B兩點，P是以點C（0,3）為圓心，2為半徑

的圓上的動點，Q是線段PA的中點，連結0Q?則線段0Q的最大值是（）

A.3

，第5題圖）

k

5.（2019?威海）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B在反比例函數y=：（k￥0）的圖象上運動，且始終

保持線段AB=4、叵的長度不變，M為線段AB的中點，連接OM.則線段OM長度的最小值是（用

含k的代數式表示）.

專題三新定義和閱讀理解題

,■＞專題剖析＜.

“新定義”題指給出一個從未接觸過的新規定，要求現學現用，“給什么，用什么”是應用新“定義”解題

的基本思路.這類試題的特點：源于中學數學內容但又是學生沒有遇到過的新信息，它可以是新的概念、

新的運算、新的符號、新的圖形、新的定理或新的操作規則與程序等等.在解決它們過程中又可產生了許

多新方法、新觀念，增強了學生創新意識.閱讀理解題源于課本，高于課本，既考查閱讀能力，又綜合考

查學生的數學意識和數學綜合應用能力，尤其側重于考查學生的數學思維能力和創新意識.這類題目的結

構一般為：給出一段閱讀材料，學生通過閱讀，將材料所給的信息加以搜集整理，在此基礎上，按照題目

的要求進行推理解答.

-⑦專題訓練Q

新定義

1.（2020.青海）對于任意兩個不相等的數a,定義一種新運算“十”如下:如：3十2

=V5,那么12十4=

2.（2020.荊州）定義新運算“a*b”：對于任意實數a,b,都有a*b=（a+b）（a-b）-1,其中等式右邊

是通常的加法、減法、乘法運算，例4*3=（4+3）（4—3）—1=7—1=6.若x*k=x（k為實數）是關于x的方

程，則它的根的情況為（C）

A.有一個實數根

B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根

D.沒有實數根

3.（2019?德州）已知：岡表示不超過x的最大整數.例：[4.8]=4,[―0.8]=—1.現定義：{x}=x—[x],

例：{1.5}=1.5-[1.5]=0.5,則{3?9}+{-1.8}-{1}=.

4.（2020.通遼）用※定義一種新運算：對于任意實數m和n,規定mXn=m2n—mn—3n,如：1X2

=12x342-1x2-3x2=-6.

⑴求（一2）※由；

⑵若3Xm2—6,求m的取值范圍，并在所給的數軸上表示出解集.

-4-3-2-101234

5.（2020.宜賓）定義：分數由m,n為正整數且互為質數）的連分數-----Lj——（其中a］，a2,a3,...

ai+----------—

a2^a3+...

△

7

如

為整數，且等式右邊的每一個分數的分子都為，記作親=??力-

1）E+2+2+.-5-1

111did2。319192-2-

777

+-+--

5

A

7^111

連

數為

的

分---

1-1-一122-

2十2+2192+

21

1+-1+-

551

-2-

2+■2

11

+--

2

3-

6.(2019?深圳)定義一種新運算「n,xn〔dx=an—bn,例如j2xdx=k2—M,若廣一x2dx=-2,

JbJnJ5m

則m=()

22

A.-2B.—3=C.2D.g3

7.（2020.咸寧