第三屆湖南省大學物理競賽試卷評分細則

第一部分：答案及評分細則

一、判斷題（20分，每小題2分）

7XXX、X、XXX

二、填空題(20分，每小題4分，有兩空的每空2分)

1.(a)4500J：(b)9486J

2.2局J

3.262Hz；786Hz

4.l.OxI^K；5.67x108Wm-2

5.0,±h,±2/l；±—A

2

三、選擇題(30分，每小題3分)

C,B,D,C,B,D,A,A,D,D

四、計算題（40分，每小題10分）

1.解：設細桿在豎直位置與物體碰撞之前的角速度為的，細桿從水

平位置轉向豎直位置的過程中，機械能守恒

1f1,2

線（2分）

碰撞前后系統角動量守恒，物體獲得速度V0,碰后細桿的囹'I

角速度為劭

//=/%+嗎%L（2分）

物體在水平地面上獨自向前滑行距離」的過程中，將平動動能轉化為克服摩擦力所

1、

做的功，即一色埼

2

解得%=j2〃gs（2分）

（1）碰撞過程中細桿所受的沖量矩

JMdt=-JcoQ=一叫=-叫-J24gs（2分）

（2）碰后細桿的角速度。］=4-加

例需-叫蜉（2分）

2.解：（1）由光柵方程

ds\nO=kZ（1分）

代入4=400nm,Z=3,0=300得

光柵常數d=2.4pm（2分）

（2）當光柵衍射的亮紋與單縫衍射的某級暗紋在衍射屏上重合（即兩者的衍射角相等）

時，某級亮紋將不會出現，

ds\nO=kX（光柵衍射亮紋）

a^nO=k,A（單縫衍射暗紋）

光柵亮紋缺級滿足k=-k1（r=1,2,3....）（2分）

a

由題意，1=1/=2,得?=-^=1.2pm（2分）

（3）由光柵方程，dsin6=kA

取。=4/2,得屏幕上可能呈現的最大級次繪ax=6（1分）

考慮％=2,4為缺級；2=6對應90。衍射角，亮紋在屏幕上無法呈現；同時考

慮亮紋相對于中央明紋對稱分布，因此屏幕.匕可呈現的全部亮紋級次為

2=0,±1,±3,±5,共7條。（2分）

dl=RdO叱

解：（）如圖，在帶電圓弧上取電荷元,在圓心產生的電

3.144加，0分）內

AdiARdO

場血度大小為dE=,=）=-

4兀4施nL1麻°R布一

沿坐標軸的分量dE\=dEsme

dEy=dEcos。（2分）

由對稱性得"=Jd"=0（1分）

所以E=Ey=]dE=2『2

vcos6d0-----------（2分）

2冗小R

二一/（1分）

方向：沿y軸負方向或E=-

27r/R

（2）圓心處的電勢V=[-^=0

（2分）

J4股不

4.解：（1）在矩形線圈內取面積元dS=Idx

長直電流在該面積元處的磁感應強度為3:（2分）

27rx

穿過線圈回路的磁通量中=j8?dS

=「生竺二縛1/（2分）

兒27rx24a

（2）設矩形線圈中順時針為感應電動勢正向

由法拉第電磁感應定律，回路A8CO中的感應電動勢為

d①

￡=-----

dt

=_⑷叫cos%/g分）

27a

當cosm>0矩形線圈中感應電動勢沿逆時針方向；

cos創<0矩形線圈中感應電動勢沿順時針方向。（2分）

（3）方法一：設無限長直導線中的電流為。穿過線圈回路的磁通量為中，由互感系數定

義得

<P=Mi

M=—=^ln-（2分）

i2TIa

方法二：設無限長直導線中的電流為i,

M

di/dt2"a

五、論證題（10分）

解：由海森堡不確定關系ArApr>6/2（2分）

（1）方法一：

原子內，電子運動的位置不確定量取為原子的線度盤=107°111

1AAAy1仆一34

電子的動量不確定量△〃>---t--------二---------=5xlO-25kgm/s

2Ax2xlO-lox2x3.14

電子的速率不確定量和=9="I。:=0.55x106^1（）6m/s（2分）

以氫原子中的電子為例，采用電子軌道概念估算電子在軌道上運動的速率

93,2

」一二二加匕，r?10-'°，9X10^4=9.1X10-V

4/r2rIO-10

106m/s（2分）

可見，在原子內部如采用電子軌道概念，電子速率的不確定量與速率同數量級，即速率完

全不確定。因此，在原子中電子軌道的概念是沒有意義的。

方法二：

以氫原子中的電子為例，采用電子軌道概念估算電子在軌道上運動的速率

?22138

二一二二/〃匕，，*10一°,9xlO9-^-rr-9.1xlO-3,v2

4兀qrrIO-10

106m/s（2分）

電子在軌道上的動量為

p=tnv?9.1xlO25kg?m取該動量為動量的不確定量

4Px9.1xlO-25kgm代入海森堡不確定關系，求出電子的位置不確定量為

h66個尸=10%

（2分）

Up9.1X10-25X2X3.14

可見，在原子內部如采用電子軌道概念，電子位置的不確定量與確定電子位置的原子線

度同數量級，即電子的位置完全不確定。因此，在原子中電子軌道的概念是沒有意義的。

解（2）方法一：

湯姆孫用陰極射線測電子的荷質比時，電子運動的位置不確定量Ar=l（Tm

人、h6.63x10-34

31

電子的動量不確定量Ap2--------=-------------：-------------------=5xlO-

r2Ar2x10^x2x3.14

電子的速率不確定量Av=^=5X10'=0.5m/s（2分）

m9.1xl0-3i

電子通過10V的電場加速后的動能為10eV,估算出電子的速率數量級

-wv2=10xl.6xl0,9

2

-x9.1xl0-3,v2=10xl.6xl0_,9

2

v=106m/s（2分）

可見，湯姆孫用陰極射線測電子的荷質比時，速率的不確定量遠小于速率，即在該過程中,

如采用電子軌道的概念，速率可以完全確定。因此，電子軌道的概念在此過程是有效的。

方法二：電子通過10V的電場加速后的動能為10eV,估算出電子的速率數量級

—wv2=10x1.6xl0-19

2

-x9.1xl0-3,v2=10xl.6xl0-,9

2

v=106m/s（2分）

電子在軌道上的動量為

/?=/nv?9.1x10一2,kg?m取該動量為動量的不確定量,

a9.1x10-25kg?m代入海森堡不確定關系，求出電子的位置不確定量為

6.63X10-34

=10lom（2分）

2Ap9.11XW25X2X3.14

可見，湯姆孫用陰極射線測電子的荷質比時，位置的不確定量（10」°m）遠小于確定電

子位置的電子束截面線度即在該過程中，如采用電子軌道的概念，電子的位置可

以完全確定。因此，電子軌道的概念在此過程是有效的。

第二部分：判斷題、填空題、選擇題詳解

一、判斷題

1.解：3）如圖1,對任何平面曲線運動，Av及靛的方向方向總是指向曲線凹側，

即加速度的方向總是指向曲線凹側：如圖2,豎直面內，光滑圓弧軌道上運動的小球，當其

達到最高點時，速率為零，法向加速度4”=//R=0。

2.解：（X）如圖，作用在勻質細桿的兩個力的合力為零，■

但它們對軸。的合力矩MwO,M=—^0,角動量不守恒!"

dt

〕尸2

3.解：（x）地球與銀河系中心之間的距離23000光年是靜長，

通過相對運動，長度收縮，因此在一個人的有生之年完全有可能乘飛船從地球出發到達銀河

系的中心。

例如：設某實驗者的有生之年為70歲，則

22

1=Z071-w/clo=23000光年1=70〃

70M=23000C>/1-M2/C2

i/=0.999995c

即相對于地球以0.999995c的速率運動，可以在70年到達銀河系中心。

4.解：（x）溫度是分子的無規熱運動的劇烈程度的量度，而盛有氣體的容器相對某參照

系做勻速運動或機械運動，這是一種宏觀的整體有規運動，不會引起溫度的改變。設想：如

果該描述是正確的，一瓶冷水放在飛馳的汽車中將會變成一瓶熱水！

5.解：（4）由光程的定義：光在不同媒質中傳播的路程都折算成在相同的時間內在真空

中傳播的路程。光在玻璃中的幾何路程為「，光程為L=nr=-r=dx

v

光在真空中的幾何路程與光程相等以2，

6.解：（X）當電荷分布（或電場分布）具有高度對稱性（如：球對稱、柱對稱、面對

稱）時，才能用利用高斯定理求場強。

7.解：（7）由于靜電感應，在空腔導體內、外表面上將分別有-4、+q的感應電荷，當

用導線將兩者連接時，導體球上的電荷將與空腔導體內壁的電荷中和，電荷全部分布在空腔

導體的外表面，在此過程中電場力做功，因此系統靜電場能量將減小。

8.解：（X）F1V,洛倫茲力不做功，因此不能利用磁場對帶電粒子的作用來增大粒

子的動能。

F1____R1D-

9.解：（X）—=c=―,?因此—>—qE2=

BJ￡。入。22%

因此電磁波的能量中，電場能量所占的比例與磁場能量相同。

10.解：（X）,對于一維無限深勢阱中運動的粒子，如取〃=0,代入定態波函數

W（x）=\sin詈中,對任何工的取值，+（%）=0,因此有忸⑸2=0,即粒子出現在

在一維無限深勢阱中任何位置的概率為零，即勢阱中沒有粒子，事實上一維無限深勢阱中存

在粒子！因此，〃00,E產0o

二、填空題

1.解：由可逆過程的燧變數=也，

T

得。=Jn/s=曲線下的面積=45OOJ

內能改變AE=//-/?AT=-2x|x831x200=-4986J

由熱力學第一定律，氣體所做的功W=Q-AE=4500+4986=9486J

2

2.解：正方形載流線圈磁矩pm=la,

在外磁場中的磁力矩T=-pmBsin0

2

平衡位置附近的微小擺動，r=-pmB0=-IaB0=-K0

T=-KG.K=IO1B與F=-kx具有相同的形式

Kck,Jcm

因此，線圈做角諧振動，對于線性諧振動。=J^7荷

對于角諧振動&=477=小C^B/J

周期T=—=2^J/Ia2B

co

3.解：拉緊的兩端固定的弦中，形成穩定駐波時波長與弦長的關系必須滿足L=n-,

2

2=—頻率v=n—,〃=1,2,3,...

v2L

在拉緊的弦中橫波的波速?=7F/A=1.57xlO2m/s

u1.57xl02

=n—=n--------=262刀Hz

2L2x0.3

基頻〃=1,匕=262Hz;三次諧頻〃=3,匕=786Hz

4.解：利用維恩位移定律AmT=b，得T=I.OXKTK；

由斯特藩-玻爾茲曼定律單位面積的輻射功率M=(JTA=5.67xl08Wm-2

5.解：當/=2時，tnt=0,±1,±2,因此L：=0,土電±2*

電子自旋量子數為1/2,；自旋磁量子數嗎=±』，自旋角動量在外磁場方向上的可

2

能取值為s_=±L%

一2

三、選擇題

I.解：電子從靜止通過電勢差為1.02x106v的加速電場后，其動能為1.02x106eV,則

?,5

(y-l)^c2=l.02x106,y=3'/、，=3,v=—c

\l\-v/cS

C=

p=ym{}v-3/4)~Y~/c=2&x0.51MeV/c=1.44MeV/c

2.解：設簡諧振動的運動函數為x=Asina

則其振動動能能為E,=-mv2=■!■，次y2A2cos2cot

22

21

cos-cot=—(\+cos2cot)

因此，動能變化的頻率是質點簡諧振動頻率的2倍，振動動能變化的周期為簡諧振動

周期的1/2

X

3.解：沿x軸負向傳播的簡諧波的波函數為)，=AsinG?+±)

u

波速u=—=------=—,代入上式，得y=Asin(Ax+W)

T2^/cok

4.解：卡諾制冷機的制冷系數為

色=-^-，貝坦=^^卬