專題三導數及其應用

第八講導數的綜合應用

2020年

1.(2020?全國1卷)已知函數/(x)=e'+av2-x.

(1)當8=1時，討論f[x)的單調性；

(2)當/0時，〃*)Ng2+1,求a的取值范圍.

【答案】(1)當工?-oo,0)時，/(x)<0J(x)單調遞減，當工?0,內)時J")>OJ(x)單調遞增.

【解析】Q)由題意首先對函數二次求導，然后確定導函數的符號，最后確定原函數的單調性即可.

(2)首先討論m0的情況,然后分離參數，構造新函數,結合導函數研究構造所得的函數的最大值即可確定

實數a的取值范圍.

【詳解】Q)當。=1時，/(')=-+/-X，f(x)=ex+2x-l.

由于/(x)="+2>0,故/(x)單調遞增,注意到廣(0)=0,故:

當X￡(YO,0)時，r(x)vQ/(x)單調遞減，當x?0，T8)時，/'(x)>0J(x)單調遞增.

(2)由“RNJV+I得，ex+ax2-x..^-x3+1,其中xNO,

①.當40時，不等式為：1N1,顯然成立，符合題意；

ex-----r3—r—1

②.當.00時，分離參數a得，〃2

CI...---------------2----------

X

(x-2)fex--x2-x-1

、ex-^-x3-x-\"——'-------

%(上一—5—

^/?(x)=eA--x2-x-l(x>0)，貝=e'—x-l,/zff(x)=^v-1>0,

2

故力⑺單調遞增,"(x)之"(0)=0,故函數網“單調遞增，/2(力之〃(0)=0,

由〃(工)之0可得：，—gf-x—10恒成立，故當x?o,2)時，>0,g(x)單調遞增；

當x?2,”)時，g?x)<0,83單調遞減；因此，根(切2=8(2)=^^，

[7-e2)

綜上可得，實數3的取值范圍是——,-HX).

L4)

【點睛】導數是研究函數的單調性、極值:最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數

的應用的考查主要從以下幾個角度進行：Q)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系.(2)

利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決

生活中的優化問題.(4)考查數形結合思想的應用.

2.(2020?全國2卷)已知因數>(A)=sin2Asin2x

(1)討論4M在區間(0,用的單調性；

(2)證明：|〃幻區攣；

O

3〃

(3)設,證明：sin2Asin22Asin24x..sin22nx<—.

4〃

【答案】(1)當?0號)時，/(x)>0"(x)單調遞增，當口怎哥時，尸(力<0"(6單調遞

減,當時，尸(耳>0,/(同單調遞增.(2)證明見解析;(3)證明見解析.

【解析】(1)首先求得導函數的解析式，然后由導函數的零點確定其在各個區間上的符號，最后確定原函數

的單調性即可；

(2)首先確定函數的周期性，然后結合(1)中的結論確定函數在一個周期內的最大值和最小值即可證得題中的

不等式；

(3)對所給的不等式左側進行恒等變形可得

2

/?=[sinx(sin2xsin2x)(sin22^sin4x)---(sin22M-Ixsin2wx)sin22"x]*，然后結合⑵的結論和二角

函數的有界性進行放縮即可證得題中的槽式.

【詳解】Q）由函數的解析式可得：/（x）=2sin3xcosx,則：

/*(%)=2(3sin2xcos2x-sin4x)=2sin2x(3cos2x-sin2x)

=2sin2x(4cos2x-1]=2sin2x(2cosx+l)(2cosx-l),

y，當40微）時/x）＞OJ（x）單調遞增,

尸（x）=0在x?0,萬）上的根為：玉=9，工2

/0、

當X*M個時，/'（x）vOj（x）單調遞減，當xw時，/（x）＞OJ（x）單調遞增

IJ5）

出注意到了（工+4）=5[!12（工+萬向11[2（冗+4）]=5皿2xsin2x=/（X）,

故函數/（X）是周期為"的函數,結合（1）的結論，計算可得：/（0）=/（乃）=0,

母用X湃*僧卜閨+卦-*

據此可得:卜（切a=￥，[〃切」￥,叩（小哈

（3）結合（2）的結論有:

2

sin2Asin22xsin24x---sin22"x=[sin3xsin32xsin34x---sin32"xp

2

=^sinx(sin2xsin2x)(sin22xsin4x)-(sin22n-,xsin2nxjsin22nx]5

Jie也x^x

88

【點睛】導數是研究函數的單調性、極值i最值）最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數

的應用的考杳主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系.（2）

利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.（3）利用導數求函數的最值（極值），解決

生活中的優化問題.（4）考直數形結合思想的應用.

3.（2020?全國3卷）設函數/⑴=V+瓜+c,曲線y=fM在點（1,））處的切線與y軸垂直.

（1）求仇

(2)若/(幻有一個絕對值不大于1的零點,證明：Ax)所有零點的絕對值都不大于1.

3

【答案】(1)力二一:；(2)證明見解析

4

,1

【解析】(1)利用導數的幾何意義得到/(])=0,解方程即可；

(2)由(1)可得/(x)=3f一]=2(/+：)(工一:)，易知/⑴在(_；,；)上單調遞減，在(-co,，

(:，”)上單調遞增，n/(-l)=C-j,/(-l)=C+l/(l)=C-^/(I)=C+1,采用反證法，推出

2424244

矛盾即可.

1/1\2

【詳解】(1)因為fW=3V+b,由題意，/(-)=0，即3x-+b=0

2\2>

3

則6=一=;

4

33II

(2)由(1)可得/(0=丁_]工+。，/'(x)=3X2--=3(X+-)(x--),

令/(x)>0,得或工<一；；令/(x)<0,得一,

所以/(X)在(一總上單調遞減，在(--》，(；收)上單調遞增，

且/(T)=c_]/(一:)=c+]/(：)=c_]/Xl)=c+：,

若/(工)所有零點中存在一個絕對值大于1零點/,則/(-1)>0或/⑴<0,

即(、>!或CY」.

當時，/(-l)=c-l>0,/(-l)=c+l>0,/(1)=c-l>0,/(l)=c+l>0,

又/(-4c)=-64c3+3c+c=4c(l-16c2)<0,

由零點存在性定理知/(x)在(-4c，T)上存在唯——個零點%,

即/㈤在(YO,-1)上存在唯一一個零點，在(-1,一)上不存在零點,

此時/“)不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；

當c<一：時，/(-I)=^--<0,/(--)=<?+—<0,/(―)=(?--<0,/(I)=—<0,

4424244

又/(-4。)=64。3+3。+。=4。(1-16。2)>0,

由零點存在性定理知/(x)在(1，-4c)上存在唯——個零點與',

即/(1)在(1,"0)上存在唯一個零點，在(—,1)上不存在零點，

此時，(X)不存在絕對值不大于1的零點，與題設矛盾；

綜上，/(X)所有零點的絕對值都不大于1.

【點晴】本題主要考杳利用導數研究函數的零點，涉及到導數的幾何意義，反證法，考查學生邏輯推理能

力，是一道有一定難度的題.

4.(2020?江蘇卷)已知關于x的函數y=/(x),y=g(x)與〃(x)=H+b(hb￡R)在區間。上恒有

f(x)>h(x)>g(x).

(1)若〃%)=』+2x,g(x)=-X2+2X,0=(-oo，+8),求/切的表達式；

2

(2)若/(1)=x-x+Ug(x)=k\nxth(x)=kx-k,D=(0,+oo),求Z的取值范圍；

(3)若八力=丁―2Zg(x)=4X2-8,h(x)=4(Z2-/)X-3/4+2/2(O<|/|^),D=[〃仁卜也,&],求

證：n-m<yjl.

【答案】(1)h(x)=2x；(2)丘[0,3];(3)證明詳見解析

【解析】(1)求得/(M與g(x)的公共點,并求得過該點的公切線方程，由此求得〃(戈)的表達式.

(2)先由/z(x)-g(力NO,求得女的一個取值范圍，再由/(%)-〃(?之0,求得〃的另一個取值范圍，

從而求得k的取值范圍.

(3)先由/(對之〃(x),求得卜|的取值范圍，由方程g")一力(另=0的兩個根,求得"初的表達式,

利用導致證得不等式成立.

【詳解】(1)由題設有一d+2xW奴+6工12+2”對任意的立.

令x=0,貝!JO<Z?KO,所以。=0.因此依《爐+2%即x2+(2—%)x2。又寸任意的冗

所以4=(2-攵『40,因此2=2.故〃(力=2尤

(2)令/(x)=〃(x)-g(x)=Z(xTTnx)(x>0),F(l)=0，XFf(x)=k^^-.

X

若kvO,則尸(%)在(0,1)上遞增,在(L+?)上遞減，則尸(力4尸(1)=0,即M6-g(x)<0,不符

合題意.當％=0時，F(X)=/?(x)-(X)=0,h[x)=g(x)，符合題意.

當Q0時，尸(x)在(0,1)上遞減，在(L+?)上遞增，則尸(力之尸(1)=0,

即〃")—g(x)2。，符合題意.綜上所述，A:>0.

由/(x)—〃(x)="2-x+l—(點一欠)=X2-(A：4-1)X+(A：4-1)>0

當x=，即攵<_]時，y=f-(Z+l)x+&+l在(0,+?)為增函數，

因為/(0)-〃(0)=攵+1<0,故存在不?。,口)，使/(打一〃(同<0,不符合題意.

當戶警=0,即2=-1時，f(x)-h(x)=x2>0，符合題意.

k+\9

當％=三>0,即％>—1時，則需△=(%+1)一4(%+1)<0,解得一l<k43.

綜上所述，k的取值范圍是kG[0,3].

(3)因為丁一2d之41-卜一3/+2224/一8對任意xe[肛〃]u[-6,立]恒成立，

x4-2x2>4(r3-r)x-3r4+2t2對任意xe[m,〃]u[-夜,61顏立，

等價于*TP任+2tx+3/2-2)>0對任意xe[孫川u[-"O]恒成立.

故W+2a+3產一220對任意xG[〃z,川u[-V2,V2]恒成立

222

v*M(x)=x+2tx+3r-2，當0v/<i,A=-8r+8>0,-l<-r<1f

此時八一加工應+M<&+lvV7，當IV/42,A=-8/2+8<0,

但4爐—824(rT)x-3/+2/對任意的xe[九〃]u[-J2,J2]恒成立.

等價于4/—4(尸-卜+(3/+4)k2-2)《0對任意的工￡[見川<=[一"@恒成立.

4爐—4,3―卜+(3/+4)92_2)=0的兩根為w，芍，則石+吃=廣一用./=豈二3二

所以n-m=歸-%|=J(M+々f一4入內=〃_5/+3r+8-

令，=4,4w[1,2],貝！]|〃一時=>/分-5分+32+8.

構造函數。(4=萬一5萬+3/1+8(；1￡[1,2]),^(2)=322-102+3=(2-3)(32-1),

所以丸目1,2]時，r(2)<o,尸⑷遞減,尸⑷a=?。)=7.

所以(〃-咐3'即〃-八"

【點睛】本小題主要考查利用的導數求切線方程，考杳利用導數研究不等式恒成立問題，考查利用導數證

明不等式，考查分類討論的數學思想方法，屬于難題.

5.(2020?新全國1山東)已知函數/(x)=ae'-'-Inx+lna.

(1)當。=e時，求曲線片〃x)在點(1,〃1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若〃*)21,求a的取值范圍.

2

【答案】(1)--(2)[l,+oo)

e-1

【解析】(1)先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，求出與坐標軸交點坐

標，最后根據三角形面積公式得結果；

(2)解法一:利用導數研究,得到函數f(x)得導函數廣(x)的單調遞增，當a=l時由尸(1)=0得

/(力“麗=”1)=1，符合題意；當3＞1時,可證八3八1)＜。,從而尸(工)存在零點七＞。,使得

廣(%)=。6“7-；=0,得到/，利用零點的條件，結合指數對數的運算化簡后，利用基本不等式

可以證得(X)＞1恒成立；當0＜。＜1時，研究f(l).即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.

解法二：利用指數對數的運算可將轉化為*+1+癡+%-1之*+/公，

令gG)="+x,上述不等式等價于g(/w+x-l)Ng(祇)，注意到g(x)的單調性，進一步等價轉化為

/wN/nx-x+l,令/?(X)=3T+L利用導數求得Mx',進而艮據不等式恒成立的意義得到關于a

的對數不等式，解得8的取值范圍.

【詳解】(1)Q/U)=eA-lnx+l:.f\x)=ex--.=

#x

Q/⑴=e+l?切點坐標為(1,1+e),

.?函數f(x)在點(L*l)處的切線方程為y—e—l=(eT)(xT)MI3y=(eT)x+2,

-21-22

??切線與坐標軸交點坐標分別為(0,2),(—7,0)〃??所求三角形面積為-x2x|—|=--；

e-12e-\e-1

(2)解法一：Qf(x)=aex~［-Inx+Intz,

.?./'(》)=aex~x--，且。>0.設g(x)=7'(%)廁g'(x)=aex~l+^->0,

xx

，g(M在Q”)上單調遞增，即尸(x)在(0,”)上單調遞增，

當"1時，r⑴=0,..〃力*=〃1)=1,."(同？1成立

1I11-1

當。>1時,???e丁<1,(一)r(l)=/e。-1)(6/-l)<0,

???存在唯一玉)>°，使得((玉))=。6"-----=°，且當X￡(0,%)時r(x)<0，當］￡(%,+8)時

Xnx

fM>0,ae~=—t.\ln6f+x0-l=-lnx0,因此/(“加=一缶/+In。

=-4-ln6t+x0-l+lna>21ntz-14-2/--x0=21n?+1>1,

%V%

.恒成立;

當0<4<1時，/(I)=a+lna<a<l9:./(l)<l,/(x)>1不是恒成立.

綜上所述，實數3的取值范圍是［L+8).

解法二：/(X)=aex~}-lnx+Ina=-lnx+lna>\等價于

e-+lna+x-\>lnx+x=*+Inx.

令g(x)=/+x,上述不等式等價于g{lna+x-\)>g(lnx),

顯然8(力為單調增函數，，又等價于/也+%-12加%,即?2妹-工+1,

1］-T

令〃(工)=伍T-X+1廁/(/)=——1=-----

XX

在(0,1)上〃的>0力㈤單調遞增;在Q.+8)上卜㈤<0%憚調遞減，

?"("Lav=硝)=°J〃〃2°，即1,:3的取值范圍是［L+8).

【點睛】本題考查導數幾何意義、利用導致研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思

想和等價轉化思想，屬較難試題.

6.(2020?天津卷)已知函數/(幻二/+口11工伏￡區)，f。)為f(x)的導函數.

(I)當％=6時，

(i)求曲線V=/*)在點(1J。))處的切線方程；

9

(ii)求函數g(x)=/*)-f。)+一的單調區間和極值；

x

(II)當k..-3時，求證：對任意的冷X2G[1,+OO)，且不>W，有/㈤:/伍)>/\)一"々)

2x1-x2

【答案】(I)i)y=9x-8;(ii)g(x)的極小值為g⑴=1,無極大值；(H)證明見解析.

【解析】(I)(i)首先求得導函數的解析式，然后結合導數的幾何意義求解切線方程即可；

(ii)首先求得g'(x)的解析式，然后利用導函數與原函數的關系討論函數的單調性和函數的極值即可；

(n)首先確定導函數的解析式，然后令%=f,將原問題轉化為與，有關的函數，然后構造新函數，利用

新函數的性質即可證得題中的結論.

【詳解】(I)(i)當代6時，〃x)=d+61nx，/(力=3/+9.可得/⑴=1,尸(1)=9,

.X

所以曲線y=在點(1,7(1))處的切線方程為y—l=9(x-l),gpj=9x-8.

3

(ii)依題意，g(x)=d-3f+61nx+-,x￡(0,+8).

X

從而可得/(％)=3/-64+9—與，整理可得：/(乃=3。-1)；。+1),

XXX

令g[x)=。，解得X=1.當X變化時，g'(x),g⑴的變化情況如下表：

X(0/)x=\(1,+?)

g'(M—0+

g(x)單調遞減極小值單調遞增

所以,函數的單調遞減區間為(0,1),單調遞增區間為a,+8)；

的極小值為41)=1,無極大值.

(n)證明：由/(x)=%3+%]nx,得/'(了)=3/+".

x

X./1\

對任意的X，七￡[1,+00),且X>%2,令—=，。>1),則

X?

(西一馬)(f(3)+/'(w))-2(f(芭)一f(w))

=(X)—x2)3x；+—+3^2+――~2x；-W+AIn—

IX引I刈

/\

=M一宕一+A———-2X:In-

E%2

/1\

=￡(r—3廠+3/—1j+/ct---2Inf.①

I/7

1i7f1A2

令/Z(R)=X----21nx,xw[l,+oo).當x>l時，力(R)=1+—--=1一一>0,

xxxyx)

由此可得〃(x)在[L"O)單調遞增，所以當力1時，恤)>硝)，即f—；—21nr>0.

因為血之1,「一3-+3f—1=。-1)3>0,k>-3.

所以￥(r_3/+3r_l)+2,_；_2In,..(f3_3〃+3/_l)_3,_；_2ku)

3

=r-3r2+61nr+y-l.②

3

由(I)(ii)可知，當/>1時，g?)>g(l),即，一3/+6坨，+；>1,

a>3

故1-3『+61n/+--1>0③

由①②③可得(X-.)(/'(%)+/’仇))一2(/(5)-/(9))>0.

所以，當左N—3時"王意的'，/，且為>W，有

/'(%)+/(3),/(%)一)(工2)

24-x2

【點睛】導數是研究函數的單調性、極值［最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，對導數

的應用的考杳主要從以下幾個角度進行：

(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系.

(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數.

(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題.

(4)考查數形結合思想的應用.

7.(2020?浙江卷)已知1<〃42,函數/(x)=e'-x-a,其中e=2.71828…為自然對數的底數.

(I)證明：函數)=/(x)在(。，+8)上有唯一零點；

(n)記府為函數y=〃x)在(0，+8)上的零點,證明：

(i)4^\<xQ<^a-\);

(ii)x0/(e^)>(e-1)(?-1)62.

【答案】(I)證明見解析,(II)(i)證明見解析，(ii)證明見解析.

【解析】(I)先利用導數研究函數單調性，再結合零點存在定理證明結論；

(II)(i)先根據零點化簡不等式，轉化求兩個不等式恒成立，構造差函數，利用導數求其單調性，根據單

調性確定最值，即可證得不等式；

(ii)先根據零點條件轉化：V(^，)=VUo+?)，再根據1<〃K2放縮，轉化為證明不等式

4(/-2yN々-If(〃-1),最后構造差函數，利用導數進行證明.

【詳解】(I)Qf\x)=/-1,Qx>0,>1,.?./'*)>0,;./(x)在(0,+8)上單調遞增，

Ql<a<2,.\/(2)=e2-2-a>e2-4>0,/(0)=l-a<0,

所以由零點存在定理得/“)在(。，+8)上有唯一零點；

(n)(i)Q/(^)=0,.,./°-xo-a=O,

x

da-T<jQj<J2(a-1)<=>e0-x0-l<<2(Z°-x0-l),

令g(x)=^r-x-1-x2[0<x<2),h(x)=ev-x-1-(0<x<2),

一方面：h\x)=ex-i-x=%(x),4'(X)=ex-1>0,

：.hXx)>"(0)=0,/.h(x)在(0,2)單調遞增，二〃(x)>A(0)=0,

r2、

€x—x—1---->0,2(e'—x-1)>x,另方面"Ql<aK2「.a-1V1,

2

所以當與時，J工工工毛成立，因此只需證明當Ovxvl時或x)=e、—x—l一爐4o,

因為g,(x)=ex-\-2x=(x),g^(x)=ex-2=0=>x=ln2

當xw(0,ln2)時，g：(x)<0，當xe(ln2,l)時，g：(x)>0,

所以g'(")<max{g'(O),g'⑴},Qg<0)=0,g'(l)=e-3v0,二gf(x)<0,

???貝乃在(0,1)單調遞減，「遭(幻<8(0)=0,：.ex-x-i<x2,

綜上，「.e°-x。-1《K2(^°—XQ—1),a—1K/K,2(〃-1).

(ii)f(M)=x0/(/°)=+〃)=對(炭T)與+-2)],

Qf'(x())=2(e"—l)x°+a(e"—2)>0,\[a—\x0<yj2(a—\),

.，.?甌)>t(y/a-l)=\[a-i[(ea-+a(ea-2)]=(ea-1)((7-1)+-2),因為1<aK2,

所以e">N2(〃—1),f(xO)N(e_l)(a-1)+2(。-l)Ja-l(e“-2),

只需證明2(a—l)Ja—l(e“—2)N(e—l)(a—,即只需證明4(/一2了之(”1)2(〃一1),

令$(〃)=4(ea-2)2-(e-l)2(a-l),(l<a<2),則“〃)=8/(/-2)-(e-l)2>令(e-2)-(e-l)2>0,

5(a)>5(1)=4(e-2)2>0,即4(e“一2尸2(e-l)2(a—l)成立，

因此(e")>(e-l)(a-l)a.

【點睛】本題考查利用導數研究函數零點、利用導數證明不等式，考查綜合分析論證與求解能力描述難題.

2016-2019年

1(2019天津理8)已知QER,設函數/(%)=("%'若關于x的不等式/(x)..O在R上

x-alnx,x>1,

恒成立，則。的取值范圍為

A.[O,1]B.[0,2]C.[O,e]D,[l,e]

2.(2019全國m理20)已知函數f(x)=2x3-cuc2+b.

(1)討論73的單調性;

(2)是否存在a,b,使得在區間[OJ的最小值為-1且最大值為1?若存在，求出。涉的所有值；

若不存在，說明理由.

3.(2019浙江22)已知實數。工0,設函數f(x)=a\nx+五71,x>0.

3

(1)當。=-：時，求函數/⑴的單調區間；

4

(2)對任意A-€[4,+8)均有人幻4J,求。的取值范圍.

e~2a

注：e=2.71828…為自然對數的底數

4.(2019全國I理20)已知函數〃x)=sinx—ln(l+x),廣。)為/(x)的導數.證明：

(1)/。)在區間(-1,萬)存在唯一極大值點；

(2)/(X)有且僅有2個零點.

X+]

5.(2019全國n理20)已知函數〃x)=ln/----.

x-\

(1)討論4M的單調性，并證明4M有目僅有兩個零點；

(2)設加是的一個零點，證明曲線片Inx在點4燦,In陽)處的切線也是曲線y=e'的切線.

6.(2019江蘇19)設函數f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c￡R、尸(x)為f(*)的導函數.

(1)若a=b=c,〃4)=8,求a的值；

(2)若dwb,且〃x)和尸(幻的零點均在集合｛—3,1,3｝中，求〃*)的極小值；

4

(3)若。=0,0〈&,1,o=1,且”*)的極大值為例，求證:傕二.

27

7.(2019北京理19)已知函數Ax)=。父+-

4

(I)求曲線)=/a)的斜率為1的切線方程；

(II)當.iw［-2,4］時，求證：x-6W

(III)?F(x)=|/(x)-|x+?||(flGR),記F(xi在區間［-2,4］上的最大值為M(a),當M(〃)最小時,求3的值

8.(2019天津理20)設函數f(x)=excosx,g。)為的導函數.

(I)求/(力的單調區間;

(n)^xe時，證明f(x)+g(陪-4.0；

(m)設Z為函數〃(x)=f(x)-l在區間(2團+:,2機兀+］)內的零點，其中〃wN,證明

。兀e—2〃*

2〃萬+——x<-------------.

2nsin%-cos%

9.(2017新課標n)若x=-2是函數/(外=*2+公-1)01的極值點，則

/(x)=(x2+ax-1)/7的極小值為

A.-1B.-2e~3C.5e-3D.1

10.(2017浙江)函數y=/(x)的導函數y=/⑴的圖像如圖所示,則函數y=/(x)的圖像可能是

A.B.

12.(2018全國卷I)已知函數/(x)=L-x+alnx.

x

⑴討論/*)的單調性；

⑵若/(")存在兩個極值點小々，證明：/⑻-/⑺<〃一2.

八一々

13.(2018全國卷H)已知函數/(幻二/-加

⑴若a=l,證明：當x2O時,f(x)m;

(2)若/")在(0,+8)只有f零點，求。.

14.(2018全國卷ID)已知函數/(x)=(2+x+or2)]n(l+x)-2x.

(1)若。=0，證明：當一IvxvO時，/(幻<0;當%>0時，/(x)>0;

⑵若x=0是/(x)的極大值點，求a.

15.（2018北京）設函數/（x）=[-2-（4。+1）*+4〃+3]在.

(1)若曲線y="r)在點(1J⑴)處的切線與工軸平行，求。;

(2)若/*)在x=2處取得極小值，求。的取值范圍.

16.(2018天津)已知函數g(x)=\ogax，其中.

Q)求函數力(x)=/(x)—xln。的單調區間；

(2)若曲線y=/(x)在點(百處的切線與曲線)，=g(x)在點(勺送(吃))處的切線平行，證明

2InIn￡7

x+g（w）=-

In。

⑶證明當〃二小時，存在直線/,使/是曲線y=/a)的切線，也是曲線y=g(T)的切線.

17.(2018江蘇)記/'(x),g'(x)分別為函數/*),g(x)的導函數.若存在X°￡R,滿足、〃Xo)=g*o)且

廣"o)=gUo)，則稱為為函數/(工)與g")的一個"S點".

⑴證明：函數f(x)=x與g(x)=f+2工-2不詼"S點”；

⑵若函數/")=心2-1與g*)=inx存在"S點"，求實數d的值;

(3)已知函數/(%)=-爐+。,g(x)=一.對任意。>0，判斷是否存在人>。，使函數/&)與g(x)

x

在區間(0,+oo)內存在"S點：并說明理由.

18.(2018浙江)已知函數/")=4-11)工.

⑴若/(x)在x=%,4*戶9)處導數相等，證明：/(^)+/(^)>8-81n2;

(2)若〃W3-41n2,證明：對于任意A>0,直線y=履+。與曲線y=有唯一公共點.

19.(2017新課標I)已知函數/(1)=/'+(。—2)靖7.

⑴討論/*)的單調性；

(2)若/")有兩個零點，求。的取值范圍.

20.（2017新課標n）已知函數/（幻=加-arrlnx,且/3）20.

⑴求〃；

(2)證明：/(%)存在唯一的極大值點,且"2</(%)<2-2.

21.(2017新課標m)已知函數f(x)=x-\-a\nx.

⑴若f(x)20,求〃的值；

(2)設〃，為整數，且對于任意正整數"，(1+1)(1+])…(1+[)<根，求，〃的最小值.

2222"

22.(2017浙江)已知函數/(%)=(1-反二1)1(x2g).

(I)求/3的導函數;

(n)求f(x)在區間[；,+◎上的取值范圍.

23.(2017江蘇)已知函數/(x)=V+公2+以+]也>0公R)有極值，且導函數,⑴的極值點是

fM的零點.(極值點是指函數取極值時對應的自變量的值)

(1)求h關于。的函數關系式，并寫出定義域；

(2)證明：/>3。；

(3)若八外,尸“)這兩個函數的所有極值之和不小于-g,求。的取值范圍.

24.(2017天津)設。￡Z,已知定義在R上的函數/(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區間(1,2)內有一

個零點小,g(x)為/*)的導函數.

(I)求以外的單調區間；

(n)設機￡[1,%)1)*0,2],函數力(x)=g(x)(加一/)-/(M，求證:h(m)h(x0)<0;

(III)求證：存在大于0的常數A,使得對于任意的正整數p,q,且K￡[1MO)U(XO,2],滿足

q

1

而?

25.(2017山東)已知函數/(x)=d+2cosx,g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然

對數的底數.

(I)求曲線y=/(x)在點(4J(m)處的切線方程；

(n)令〃(幻=g(x)-af(x)(aGR),討論〃(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

26.(2016年山東)已知/(x)=〃(x—ln.E)+'^,〃wR.

JC

(I)討論/*)的單調性；

(II)當〃=1時，證明/(幻>/(力+：對于任意的xG［1,2］成立.

27.(2016年四川)設函數/(乃二以？—。-］。］,其中

(1)討論/。)的單調性；

(II)確定。的所有可能取值，使得f(幻>3、在區間(1,y)內恒成立(e=2.718…為自然對數的

x

底數).

28.(2016年天津)設函數/(%)=(%-1)3-?-瓦工,其中

(1)求/*)的單調區間；

(H)若/(x)存在極值點與,且/(玉)=/*0),其中百工與，求證：％+2/=3;

(H)設。>0,函數g(x)=|/(x)|,求證：g(x)在區間上的最大值不小于；.

29.(2016年全國I)已知兇數/*)=(.?2)/+。*-1)2有兩個零點.

(I)求a的取值范圍；

(H)設內，々是/(x)的兩個零點，證明：%+々<2.

30.(2016年全國D)

x-2

(I)討論函數/(x)=I；e'的單調性，并證明當x>0時，(x-2)e*+x+2>0;

x+2

(H)證明:當。以0,1)時，函數8(力/一，"0>0)有最小值.設8(/)的最小值為〃⑷，求函數力⑷

X

的值域.

31.(2016年全國印)設函數/(%)=acos2x+(a-l)(8sx+l),其中a>0,

記|/(幻|的最大值為A.

(i)求r(?；

(n)求A；

(川)證明/*)|遼24.

32.(2016年浙江高考)已知〃N3,函數工(")二0±1{2|號-1|,爐-2以+4。-2},其中

fp,

min{〃M}二{

［q，p>q

(I)求使得等式FM=x2-2ajc+4a-2成立的,v的取值范圍；

(11)”)求尸(幻的最小值風。)；

(ii)求/")在區間［0,6］上的最大值M(a).

33.(2016江蘇)已知函數f(x)=，+"(a>O,b〉OMH31).

(1)設a=2"1.

①求方程〃x)=2的根;

②若對于任意KWR,不等式/(2力2可.(力-6恒成立，求實數小的最大值；

(2)若Ova<l,b>l，函數g(x)=/(x)-2有且只有1個零點，求面的值.

2016-2019年

1.解析當X=1時，/(l)=l—2〃+2a=l>0頡立;

當xvl時，/(力=/-20￥+2。龐0。2。工，皿立，

X—1

X2X2(1-X-1)2(1-X)2-2(1-X)+1

令g(x)----=-------=―=----------------------------

X-11-X\—X1-x

-(l-x)+p!——2?

-2(1-X)---2=0,

1—Xj

所以2a...g(x)=0,即。>0.當X>1時，/(x)=x-alnx屋0=〃立,

|皿Inx

lnx-x—.

令/心)=戶，則“(x)=,，

Inx(Inx)-(Inx)

當x〉e時，”(x)>0,0(x)遞增，當1<x<e時，"(x)vO,遞減，

所以當x=e時，，2(x)取得最小值〃(e)=e.所以小，〃(現加=e.綜上，〃的取值范圍是［0,e］.

2.解析(1)/(%)=642-2or=2%(31-。).

令八的=。，得六0或X樣

若》0,則當xw(—8,0)U(早+8)時，f\x)>0;當X€(O,1)時,f(x)<0.故/(%)在

(8,0),件18)單調遞增，在(o身單調遞減；

若a=0,f(幻在(F,+oo)單調遞增;

若a<0,貝(J當U(0,+<?)時，f(x)>0；當%￡(三,0)時，/'(x)v0.故/(x)在

卜嗚),(0,+8)單調遞增，在性可單調遞減.

(2)滿足題設條件的3,6存在.

(i)當"。時，由(1)知，/(x)在［0,1］單調遞增,所以/W在區間［05的最小值為f(O)=b,最大

值為f(1)=2—。+〃.此時d，6滿足題設條件當且僅當人=一1,2-a+b=\,即3=0,b=一1.

(ii)當表3時，由(1)知，/(%)在［0,1］單調遞減，所以f(x)在區間［0,1］的最大值為f⑼=b,最

小值為/(1)=2-。+〃.此時d，6滿足題設條件當且僅當2—。+人=-1,3=1,即a=4,b=l.

(iii)當0<a<3時，由(1)知，/")在［0,1］的最小值為/(§］二-34力，最大值為6或2—4+匕.

J27

若一二?+/?=—1,6=1,貝I」〃=3^^，與。<a<3矛盾.

27

§--+/?=-1,2-a+b=\,貝!或。=-36或a=0,與0<a<3矛盾.

綜上,當且僅當a=0,6=-1或a=4,氏1時