題型十一手拉手模型【要點提煉】全等型手拉手模型【識別手拉手模型】下面的圖像均為手拉手模型題目中的圖像，同學們能觀察出兩個圖像共同的特點嗎？形如：共頂點、雙等腰、頂角相等的圖形即為手拉手模型【“手”怎么判斷】想象每個等腰三角形都是一個三角形的桌子，三邊旁邊分別有一個座位，我們選擇面對頂角的座位坐下，那么左手邊的頂點即左手，右手邊的頂點即右手【重要結論】每一個手拉手模型都會共同的重要結論，把這些結論以及推理方法都記住，做題時可以快速求解結論如下：①▲ABC?▲AB’C’(▲頂左左?▲頂右右）②BC=B’C’(左左=右右）③∠BOB’=∠BAB’（左左和右右的夾角=等腰三角形的頂角）④AO平分∠BOC’(利用全等三角形對應高線相等以及角平分線性質定理的逆定理證明）【構造手拉手模型】①什么樣的題目需要構造手拉手模型？如下圖，圖形中從一點A出發有三條線，其中兩條相等，那么可以將▲ABC看作等腰三角形，那這個圖形就和手拉手模型很像了，就是缺了一個等腰的手拉手因此，已知共頂點等線段時可以構造手拉手模型②如何構造手拉手模型？牢記手拉手模型的特點：共頂點、雙等腰、頂角相等，只要把圖形補充為符合這些特點即可即以AD為邊、A為頂角、在頂角與▲ABC相等的情況下構造手拉手模型，如下圖相似型手拉手模型【識別手拉手模型】和全等型不同的是，相似型手拉手模型沒有等腰，但是仍然符合共頂點、“頂角”等的特點，判斷左右手的方式也和全等型相同【重要結論】①▲ABC~▲ADE、▲ABD~▲AEC（▲頂左左~▲頂右右）②BD【構造手拉手模型】①什么時候構造相似型手拉手模型？已知共頂點三條線，其中兩條已知比例關系的，就可以構造手拉手模型，按照圖形特點補充即可【專題訓練】一．選擇題（共3小題）1．如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于點F，連接AF．下列結論：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正確結論的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，且點B、C、D在一條直線上，連接BE、AD，點M、N分別是線段BE、AD上的兩點，且BM=13BE，AN=13A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．不等邊三角形3．如圖，A、B、C在同一條直線上，△ABF和△BCE均為等邊三角形，AE、FC分別交FB、EB于點M、N，下列結論中：①△ABE≌△FBC，②AB＝FN，③BM＝BN，④∠ADF＝60°，⑤DB平分∠ADC，其中正確的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個二．填空題（共1小題）4．匈牙利著名數學家愛爾特希（P．Erdos，1913﹣1996）曾提出：在平面內有n個點，其中每三個點都能構成等腰三角形，人們將具有這樣性質的n個點構成的點集稱為愛爾特希點集．如圖，是由五個點A、B、C、D、O構成的愛爾特希點集（它們為正五邊形的任意四個頂點及正五邊形的中心構成），則∠ADO的度數是．三．解答題（共6小題）5．如圖1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．點E是AD的中點，以DE為邊作正方形DEFG，連接AG，CE．將正方形DEFG繞點D順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜90°）．（1）如圖2，在旋轉過程中，①判斷△AGD與△CED是否全等，并說明理由；②當CE＝CD時，AG與EF交于點H，求GH的長．（2）如圖3，延長CE交直線AG于點P．①求證：AG⊥CP；②在旋轉過程中，線段PC的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．6．（1）操作發現：如圖①，小明畫了一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外側分別以AB，AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點M，N，G，連接GM，GN．小明發現了：線段GM與GN的數量關系是；位置關系是．（2）類比思考：如圖②，小明在此基礎上進行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發現的上述結論還成立嗎？請說明理由．（3）深入研究：如圖③，小明在（2）的基礎上，又作了進一步的探究．向△ABC的內側分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明．7．請完成如下探究系列的有關問題：探究1：如圖1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點D為BC上一動點，連接AD，以AD為邊在AD的右側作正方形ADEF，連接CF，則線段CF，BD之間的位置關系為，數量關系為．探究2：如圖2，當點D運動到線段BC的延長線上，其余條件不變，探究1中的兩條結論是否仍然成立？為什么？（請寫出證明過程）探究3：如圖3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留為45°，點D在線段BC上運動，請你判斷線段CF，BD之間的位置關系，并說明理由．8．已知，在△ABC中，BC＝4．（1）如圖1，將邊AC、AB同時繞著點A分別按逆時針、順時針方向旋轉a°，得AD、AE，連接BD、CE，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若∠ABC＝60°，AB＝1，將邊AC繞著點A逆時針旋轉120°，得AD，連接BD，求BD的長；（3）如圖3，O為BC上一點，OB＝1，以O為圓心，OB的長為半徑作⊙O，點M是⊙O上動點，連接MC，以MC為腰作等腰Rt△MCF，使∠MCF＝90°，其中M、C、F三點為逆時針順序，連接BF，則BF的取值范圍是．9．在△ABC中，∠BAC＝60°．（1）如圖1，若AB＝AC，點P在△ABC內，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC繞著點A順時針旋轉，使點C旋轉到點B，得到△ADB，連接DP，補完全圖，直接寫出PB的長．（2）如圖2，若AB＝AC，點P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度數；（3）如圖3，若AB＝2AC，點P在△ABC內，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接寫出PC10．【問題發現】在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：（1）如圖1，在等邊△ABC中，點P在內部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．經過觀察、分析、思考，他對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABD，連接PD，尋找PA、PB、PC三邊之間的數量關系…請你根據上面分析，完成該問題的解答過程